Inhalt

Abk  ürzungsverzeichnis  III

Abbildungsverzeichnis.   IV

1  Einleitung  2

2  Die moderne Portfoliotheorie.  3

2.1  Das Grundmodell von Markowitz.  3

2.2  Grenzen der modernen Portfoliotheorie.  4

3  Höhere Verteilungsmomente  5

3.1  Historischer Abriss.  5

3.2  Schiefe und Wölbung einer Renditeverteilung  6

3.  3 Nutzentheoretische Fundierung  9

4  Ansätze zur Portfoliobildung auf Basis höherer Momente  10

4.1  Maximierung historischer Momente  11

4.2  Polynomial Goal Programming  13

4.3  Schiefe Verteilungen.  15

5  Fazit.  17

Anhang V   

Literaturverzeichnis.   VII

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Abkürzungsverzeichnis

Bspw................................................................................................................. beispielsweise

Bzw. ............................................................................................................. beziehungsweise

CAPM ........................................................................................ Capital Asset Pricing Model

MRS. ...............................................................................................Marginale Ersetzungsrate

PGP. ......................................................................................Polynomial-Goal-Programming

ST-Verteilung........................................................................... schiefe Stundent-t-Verteilung

udN............................................................................................unter den Nebenbedingungen

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Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Bestimmung des optimalen Portfolios nach Markowitz.  

Abbildung  2: Arten der Schiefe  

Abbildung  3: Kurtosisausprägungen.  

Abbildung  4: Mathematische Grundlagen  

Abbildung  5: Formelle Betrachtung der Maximierung historischer Momente.  

Abbildung  6: Formelle Betrachtung des PGP  

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1 Einleitung

1 Einleitung

Hauptziel des Portfolio-Managements besteht darin, eine für den Investor optimale Zusammensetzung der Assets zu finden, welche die erwarteten Renditen bei einem

Risikobewertung ist nach wie vor im Gange. Möglicherweise gibt es keine vollständig zufriedenstellende Antwort auf die Frage, was als die richtige Bewertungsmethode anzusehen ist. 1

Bei normalverteilten Renditen findet üblicherweise die Mean-Varianz-Optimierung ihre Anwendung und führt zu eindeutigen Entscheidungsalternativen. Ist allerdings eine differenzierte Auswahl nach dem μ- - Prinzip, bspw. aufgrund identischer erwarteter Rendite und Varianz, nicht mehr möglich, muss die Verteilung anhand anderer Maßstäbe

Verhältnis der beiden ³ ist. Entscheidungshilfe und weiteren Informationsgehalt bieten dabei höhere Verteilungsmomente.

Die vorliegende Arbeit untersucht, die praktischer Relevanz von der Berücksichtigung höherer Momente innerhalb der Portfoliobildung. Es wird an verschiedenen Ansätzen aufgezeigt, inwieweit Anlagerenditen mittels Schiefe und Kurtosis optimiert werden können.

Zu Beginn wird die klassische Portfoliotheorie nach Markowitz und deren Grenzen dargestellt. Dabei wird ersichtlich, dass der Einbezug höherer Momente gerechtfertigt ist. Im Fortlauf werden Schiefe und Kurtosis, insbesondere deren nutzentheoretische Fundierung, näher beleuchtet. Darauf aufbauend, werden verschiedene Optimierungsansätze analysiert, um die Frage nach der Berücksichtigung von höheren Momenten zu klären. Im letzten Teil wird das Fazit eine kurze Zusammenstellung der Ergebnisse liefern.

¹ Vgl. Fabozzi u. a. (2007), S. 53.

² Vgl. Breuer u. a. (2006), S. 6.

^{3 Guse/ Rudolf (2006), S. 2.} Seite | 2

2 Die moderne Portfoliotheorie

2 Die moderne Portfoliotheorie

der klassischen Portfoliotheorie. Für die Einführung seines μ- - Prinzips wurde er 1990 mit dem Nobelpreis für Ökonomie prämiert. ⁴ Um auf die erweiterten Ansätze eingehen zu können, wird zunächst das Modell von Markowitz kurz erläutert. Es wird insbesondere auf die Grenzen dessen verwiesen.

2.1 Das Grundmodell von Markowitz

Nach Markowitz erfolgt die Optimierung auf Basis der zu erwarteten Rendite, der Rendite des Risikos der entsprechenden Anlagealternative und der Ausnutzung der Korrelation dieser Assetklassen untereinander. Das heißt: Durch Mischung von ausgewählten Assets im Portfolio kann ein Diversifikationseffekt ⁵ erreicht werden, sodass das Gesamtrisiko minimiert wird. 6

Als Resultat des Optimierungsprozesses erhält der Investor die sogenannte Effizienzkurve, die durch Aufgliederung der einzelnen effizienten Portfolios entsteht. Diese werden dann

Rendite ein geringeres Risiko oder bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite oder bei höherer erwarteter Rendite gleichzeiti ⁷ Letztlich wählt der Investor ein für sich optimales Portfolio mit Hilfe der Effizienzkurve und in Abhängigkeit seiner persönlichen Risikoneigung. ⁸ Diese wird in der Indifferenzkurve widergespiegelt. Die vermittelten Inhalte werden in Abbildung 1 grafisch dargestellt.

⁴ Vgl. http://www.boerse-frankfurt.de/DE/index.aspx?pageID=44&NewsID=190, S. 1, Anhang S. V.

⁵ Diversifikation bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Risiken der einzelnen Anlagen sich nicht addieren, sondern sich auch zum Teil gegenseitig eliminieren bzw. aufheben.

⁶ Vgl. http://www.boerse-frankfurt.de/DE/index.aspx?pageID=44&NewsID=190, S. 1, Anhang S. V.

⁷ Poddig u. a. (2008), S.162 f.

^{8 Vgl. Nolte (2009), S. 12.} Seite | 3

Abbildung 1: Bestimmung des optimalen Portfolios nach Markowitz 9

2.2 Grenzen der modernen Portfoliotheorie

In diesem Abschnitt werden einige Kritikpunkte aufgegriffen, die beweisen, inwieweit eine Weiterentwicklung der modernen Portfoliotheorie gerechtfertigt ist.

Ein zentraler Aspekt, der in dieser Arbeit eine wichtige Rolle spielt, besteht in der Verwendung der ersten beiden Verteilungsmomente. Es wird angenommen, dass erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz von jeder Anlagemöglichkeit in irgendeiner Art gegeben sind. Nach Nolte ist damit die Voraussetzung einer sinnvollen Messung eine normalverteilte Rendite und zudem eine quadratische Nutzenfunktion. Dieser Aspekt ist allerdings kritisch zu betrachten, da bspw. nicht alle Assetklassen in einer symmetrischen Verteilung dargestellt werden können. ¹⁰ Gerade im Bereich der alternativen Investmentanlagen, wie Hedgefonds, stellt daher die Varianz kein geeignetes Bewertungsmaß dar. Hinzu kommt, dass durch die quadratische Nutzenfunktion vorausgesetzt wird, dass höhere Momente gänzlich ausgeblendet werden. Folglich führen diese Annahmen zu einer Vereinfachung der Realität. Ebenso beweist Lhabitant, dass die Wirklichkeit nicht korrekt

⁹ Eigene Darstellung in Anlehnung an Poddig/ Dichtl/ Petersmeier (2008), S. 164.

^{10 Vgl. Nolte (2009), S. 13.} Seite | 4