Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  3

2  Topologische Grundlagen und Vorbemerkungen  6

2.1  Konventionen  6

2.2  Faserungen  7

2.3  Bemerkungen zu Homologie und Kohomologie  8

2.4  Beziehung zwischen Homologie und Homotopie  10

2.5  Einh angung und Schleifenr aume  12

2.6  Der Abbildungszylinder  13

2.7  Spektralfolgen  14

3  Drei Definitionen der Hopf-Invariante  20

3.1  Urspr ungliche Definition nach Hopf  20

3.2  Definition der Hopf-Invariante nach Steenrod  23

3.3  Verallgemeinerte Hopf-Invariante nach Whitehead  25

4  Vergleich der Definitionen der Hopf-Invariante  29

4.1  Vergleich der Definition nach Hopf mit der verallgemeinerten Hopf-Invariante  

nach  Whitehead  29

4.2  Vergleich der verallgemeinerten Hopfinvariante nach Whitehead mit der  

De  finition nach Steenrod und der Definition nach Serre  34

4.3  Bemerkung zu Satz 4.1.6  46

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1 Einleitung

Heinz Hopf f¨ uhrte 1931 die heute nach ihm benannte Invariante folgendermaßen ein

(vgl. [Hop]): Sei f : S ³ → S ² eine simpliziale Abbildung und p, q seien verschiedene innere Punkte von 2-Simplizes aus S ² . Dann sind die Urbilder f ⁻¹ (p) und f ⁻¹ (q) Zykel in S ³ . Diese Zykel k¨ onnen miteinander verschlungen sein und ihre Verschlingungszahl

gibt den Grad der Verschlingung an. Hopf zeigte, dass diese Zahl nur von der Homotopieklasse von f abh¨ angt.

Im Jahr 1935 verallgemeinerte Hopf in [Hop35] diese Definition auf simpliziale Abbil-

dungen f : S ²ⁿ⁻¹ → S ⁿ . In diesem Fall ist die Verschlingungszahl zweier ”Urbildzykel” definiert und die Betrachtungen aus dem Fall S ³ → S ² lassen sich ohne Probleme

ubertragen. ¨ Steenrod ¨ ubersetzte 1949 in [Ste49] die Hopfsche Definition in die singul¨ are Koho-

mologie. Ist f : S ²ⁿ⁻¹ → S ⁿ eine Abbildung und S f der Abbildungszylinder von f , so

hat der Kohomologiering

H ^• (S f , S ²ⁿ⁻¹ )

als homogene Z-Basis ein Paar {α, β} mit dim α = n und dim β = 2n − 1. Die Hopf-Invariante nach Steenrod ist dann die ganze Zahl ˇ γ, die die Relation

α α α = ˇ γβ

erf¨ ullt. Dabei bezeichnet das Cup-Produkt.

In [Whi50] verallgemeinerte G.W. Whitehead 1951 die Definition von Hopf indem er einen Homomorphismus

H : π q (S ⁿ⁺¹ ) → π q (S ²ⁿ⁺¹ )

f¨ ur q < 3n − 3 definierte. Dieser Homomorphismus verallgemeinert die urspr¨ ungliche Definition im folgenden Sinne. Die Hopf-Invariante liefert einen Homomorphismus von

π 2n−1 (S ⁿ ) nach Z. Nun ist die Gruppe π 2n−1 (S ²ⁿ⁻¹ ) isomorph zu Z. W¨ ahlt man den Isomorphismus zwischen diesen Gruppen geeignet, so stimmt f¨ ur q = 2n − 1 der Homo-morphismus, den man aus der Hopf-Invariante erh¨ alt, mit H ¨ uberein.

Von Serre wurde dann 1953 gezeigt, dass sich die Steenrod’sche Definition der Hopf-Invariante auch schreiben l¨ asst als der nat¨ urliche Isomorphismus von π 2n−1 (S ⁿ ) nach π 2n−2 (ΩS ⁿ ) gefolgt vom Hurewicz-Homomorphismus ϕ (vgl. [Ser53]):

^∼ =

1 Einleitung

In dieser Arbeit betrachten wir diese Definitionen der Hopf-Invariante. Um die Notation zu vereinheitlichen ersetzen wir dabei n durch n + 1 und q durch q + 1, so dass wir die Definitionen von Hopf und Steenrod f¨ ur Abbildungen

f : S ²ⁿ⁺¹ → S n+1

geben und die verallgemeinerte Hopf-Invariante nach Whitehead ein Homomorphismus

H : π q+1 (S ⁿ⁺¹ ) → π q+1 (S ²ⁿ⁺¹ )

ist.

Wir werden zeigen, dass die gegebenen Definitionen im Fall q = 2n bis auf Vorzeichen ¨ ubereinstimmen. Da das Vorzeichen der Hopf-Invariante jeweils von der Wahl der entsprechenden Erzeuger abh¨ angig ist, kann mehr als eine ¨ Ubereinstimmung bis auf Vorzeichen nicht erwartet werden. Das Kapitel 2 beinhaltet dazu eine ¨ Ubersicht ¨ uber die verwendeten topologischen

Methoden und gibt eine kurze Einf¨ uhrung in Spektralfolgen. In Kapitel 3 werden wir einen ¨ Uberblick ¨ uber die Definitionen von Hopf, Steenrod und Whitehead geben und dann in Kapitel 4 die Beziehung zwischen diesen Definitionen herstellen. Dazu werden wir zun¨ achst zeigen, dass die Definition von Whitehead f¨ ur q = 2n mit der Definition von Hopf ¨ ubereinstimmt (Satz 4.1.6). Das Bindeglied zwischen diesen beiden Beschreibungen ist dabei das ”Linksdistributivgesetz”

(β 1 + β 2 ) ◦ α = β 1 ◦ α + β 2 ◦ α + [β 1 , β 2 ] ◦ H(α).

f¨ ur α ∈ π q+1 (S ⁿ⁺¹ ), β 1 , β 2 ∈ π n+1 (X) und q ≤ 3n − 2 (Satz 4.1.5). Wir zeigen erst die G¨ ultigkeit dieser Gleichung und wenden anschließend die Hopf-Invariante γ auf diese Gleichung an. Mit den Eigenschaften der Hopf-Invariante erhalten wir dann die ¨ Ubereinstimmung.

Danach zeigen wir dass die Definition von Whitehead im Fall q = 2n auch mit der Beschreibung der Hopf-Invariante ¨ ubereinstimmt, die von Serre in [Ser53] gezeigt

wurde (Satz 4.2.2, Proposition 4.2.3). Dies folgt mit der Nat¨ urlichkeit des Hurewicz-Homomorphismus und dem Hurewicz-Isomorphismus-Theorem.

Anschließend sehen wir, dass diese Definition von Serre der Steenrod’schen Definition

entspricht (Satz 4.2.7). Dazu sei f : S ²ⁿ⁺¹ → S ⁿ⁺¹ eine Abbildung, P S f der Raum

der Wege im Abbildungszylinder S f , die im Basispunkt beginnen, und P S 2n+1 S f der

Unterraum der Wege, die in S ²ⁿ⁺¹ ⊂ S f enden. Wir berechnen dann die Ordnung der

Kohomologiegruppe

H ²ⁿ (P S f , P S 2n+1 S f )

auf zwei verschiedene Weisen. Einmal betrachten wir die Abbildung f : S ²ⁿ → ΩS ⁿ⁺¹ , die unter dem kanonischen Isomorphismus π 2n+1 (S ⁿ⁺¹ ) → π 2n (ΩS ⁿ ) der Abbildung f ”entspricht”, und sehen mit Hilfe der Einschr¨ ankung der Wegefaserung von S f auf S ²ⁿ⁺¹ , dass die Ordnung von H ²ⁿ (P S f , P S 2n+1 S f ) dem Grad der induzierten Abbildung

1 Einleitung

entspricht (Proposition 4.2.5). Danach berechnen wir die Ordnung dieser Gruppe mittels der Spektralfolge f¨ ur die relative Wegefaserung

ΩS f → (P S f , P S 2n+1 S f ) → (S f , S ²ⁿ⁺¹ )

und erhalten, dass H ²ⁿ (P S f , P 2n+1 S f ) genau dann unendlich zyklisch ist, wenn f¨ ur η f von H ⁿ⁺¹ (S f , S ²ⁿ⁺¹ ) und δ ^∗ (ξ) von H ²ⁿ⁺² (S f , S ²ⁿ⁺¹ ) das Cupgew¨ ahlte Erzeuger ˆ

η f gleich 0 ist und dass H ²ⁿ (P S f , P S ² n+1 S f ) Ordnung m hat, genau dann Produkt ˆ η f ˆ wenn

η f = mδ ^∗ (ξ) ˆ η f = ˆ

gilt (Proposition 4.2.6). Aufgrund der Tatsache, dass der Hurewicz-Homomorphismus f ¨ ur

∗ liefert, erhalten wir dann die ¨ Ubereinstimmung zwischen der Definition von Serre mit der von Steenrod (Satz 4.2.7). Abschließend werden wir die Betrachtungen, die wir beim Vergleich zwischen verallgemeinerter Hopf-Invariante nach Whitehead und der urspr¨ unglichen Definition gemacht haben, weiterf¨ uhren und sehen, dass die Hopf-Invariante als Homomorphismus

π 2n+1 (S ⁿ⁺¹ ) → Z

schon durch ihre Eigenschaften bestimmt ist (Satz 4.3.1).

Insgesamt werden wir in dieser Arbeit die folgende Beziehung zwischen den Definitionen zeigen:

F¨ ur n ≥ 2 und [f ] ∈ π 2n+1 (S ⁿ⁺¹ ) gilt

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2 Topologische Grundlagen und

Vorbemerkungen

2.1 Konventionen

Alle R¨ aume, die wir betrachten werden, sollen topologische R¨ aume sein. Die betrachteten Abbildungen zwischen diesen R¨ aumen sind immer als stetig vorausgesetzt.

Ist A ⊆ X so bezeichnen wir mit ˙ A ⊆ X den Rand von A und wir nennen (X, A) auch

ein Raumpaar. Weiter sei E ⁿ der Teilraum von R ⁿ , der gegeben ist durch

E ⁿ := {x ∈ R ⁿ : x ≤ 1}.

Mit S ⁿ bezeichnen wir die n-Sph¨ are

S ⁿ := {x ∈ R ⁿ⁺¹ : x = 1} = ˙ E ⁿ⁺¹ .

Mit dem Symbol ∨ bezeichnen wir die punktierte Summe von topologischen R¨ aumen und mit die disjunkte Vereinigung.

Ist G eine abelsche Gruppe, und schreiben wir H • (·; G), bzw. H ^• (·; G), so meinen wir die Homologie bzw. Kohomologie mit Koeffizienten in G. Im Fall G = Z schreiben wir nur H • (·) und H ^• (·). Die von einer Abbildung f : X → Y induziert Abbildungen in der Homologie und Kohomologie bezeichnen wir mit f ∗ : H • (X) → H • (Y ) und f ^∗ : H ^• (Y ) → H ^• (X). Dabei steht das Symbol • f¨ ur einen beliebigen Index.

Das Cup-Produkt

H ^p (X, A) ⊗ Z H ^q (X, B) → H ^p+q (X, A ∪ B)

bezeichnen wir mit dem Symbol .

Mit π n (X, ∗) bezeichnen wir die Homotopie-Gruppen f¨ ur einen punktierten Raum (X, ∗). Mit ∗ werden wir auch den gew¨ ahlten Basispunkt von beliebigen R¨ aumen bezeichnen. Ist der Raum X einfach-zusammenh¨ angend, so h¨ angt π n (X, ∗) bekanntlich nicht vom Basispunkt ∗ ab. In diesem Fall schreiben wir auch nur π n (X) f¨ ur π n (X, ∗). Eine Abbildung f : X → Y induziert durch [g] → [f g] eine Abbildung

2 Topologische Grundlagen und Vorbemerkungen

Mit bezeichnen wir das Produkt von Wegen ω, ω : [0, 1] → X, mit ω(1) = ω (0), das

gegeben ist durch

Mit unseren weiteren Bezeichnungen orientieren wir uns an [Hat02] und f¨ ur Spektralfolgen an [Hat04].

2.2 Faserungen

Sei Y ein topologischer Raum und α : X → B eine Abbildung. Dann hat α die Homotopie-Hochhebungs-Eigenschaft bez¨ uglich Y , wenn es zu einem gegebenen kommutativen Diagramm

eine Abbildung Y × [0, 1] → X gibt, die das Diagramm kommutativ erweitert.

2.2.1 Definition (Faserung). Eine Abbildung α : X → B heißt Faserung, wenn sie die Homotopie-Hochhebungs-Eigenschaft bez¨ uglich aller topologischer R¨ aume besitzt.

Den Raum F ^b 0 = α ⁻¹ ({b 0 }) nennt man eine Faser von α.

Ist der Raum B wegzusammenh¨ angend, so sind alle Fasern F ^b 0 homotopie¨ aquivalent (vgl. [Hat02, Seite 405, Proposition 4.6.1]). In diesem Fall nennen wir F = F ^b 0 die Faser von α.

2.2.2 Definition (Wegefaserung). Sei (B, ∗) ein punktierter topologischer Raum,

P B := {ω : [0, 1] → B stetig mit ω(0) = ∗},

und α : P B → B definiert durch

α(ω) = ω(1).

Die Abbildung α ist eine Faserung und wird Wegefaserung von B genannt.

F¨ ur die Faser F {∗} = α ⁻¹ ({∗}) der Wegefaserung gilt:

F {∗} = {ω : [0, 1] → B : ω stetig , ω(0) = ∗ = ω(1)} = ΩB.

Den Raum P B nennt man dabei auch Pfadraum und ΩB wird auch als Schleifenraum bezeichnet.

Faserungen induzieren folgende Isomorphismen zwischen Homotopiegruppen (siehe [Spa66, Seite 377, Corollary 9])

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2 Topologische Grundlagen und Vorbemerkungen

2.2.3 Proposition. Sei α : X→B eine Faserung und F = α ⁻¹ ({∗}). Dann induziert α

eine Bijektion

α : π n (X, F, ∗) ∼ = π n (B, ∗).

Unter bestimmten Bedingungen induziert eine Faserung auch Isomorphismen in der Homologie. Wir ben¨ otigen allerdings nur den folgenden Spezialfall

2.2.4 Proposition. Sei α : X→B eine Faserung mit Faser F . Die R¨ aume B und F seien wegzusammenh¨ angend und π 1 (B, ∗) sei trivial. Gilt H q (B) = 0 f¨ ur q < n und H q (F ) = 0 f¨ ur 0 < q < m, so ist der Homomorphismus

α ∗ : H q (X, F ) → H q (B)

ein Isomorphismus f¨ ur q < n + m − 1.

Diese Proposition ergibt sich aus [Spa66, Seite 483, Lemma 4] mit B = {∗}, da eine

Faserung f¨ ur die die Fundamentalgruppe des Basisraums trivial ist, nach [Spa66, Seite 476, Theorem 5(a)] orientierbar ist.

2.3 Bemerkungen zu Homologie und Kohomologie

In dieser Arbeit wird die Existenz von exakten Homologie- bzw. Kohomologie-Sequenzen f¨ ur Raumpaare (X, A) ben¨ otigt. An die Gestalt dieser Sequenzen wollen wir kurz erinnern.

F¨ ur jedes Raumpaar (X, A) gibt es eine lange exakte Sequenz

^{j∗ i∗ ∂ i∗} . . . → H n (A) → H n (X) → H n (X, A) → H n−1 (A) → H n−1 (X) → . . .

Diese Sequenz nennen wir auch die Homologie-Sequenz f¨ ur das Paar (X, A). Dabei bezeichnen i : A → X und j : X = (X, ∅) → (X, A) die Inklusionen und ∂ heißt Verbindungshomomorphismus. Genauso gibt es eine exakte Kohomologie-Sequenz f¨ ur das Paar (X, A):

j ^∗ j ^∗ i ^{∗ δ} . . . → H ⁿ (X, A) → H ⁿ (X) → H ⁿ (A) → H ⁿ⁺¹ (X, A) → H ⁿ⁺¹ (X) → . . .

Dabei bezeichnen i und j wieder die Inklusionen und δ den Verbindungshomomorphismus.

Da wir mit Spektralfolgen f¨ ur die Wegefaserung rechnen werden, ben¨ otigen wir die Homologiegruppen des Schleifenraums

ΩS ⁿ := {ω : [0, 1] → S ⁿ mit ω(0) = ω(1)}.

F¨ ur diese Gruppen gilt:

2.3.1 Proposition. Es gilt

2 Topologische Grundlagen und Vorbemerkungen

Ein Beweis f¨ ur diese Proposition kann man in [Hat04, Seite 9-10, Example 1.5] finden. Genauso ben¨ otigen wir die Homologiegruppen der Sph¨ aren. Es ist wohl bekannt, das diese Gruppen die folgende Gestalt haben:

2.3.2 Proposition. Es gilt

In den folgenden Kapiteln werden wir Serre-Spektralfolgen f¨ ur Kohomologie betrachten. Dabei werden Gruppen der Form H ^p (X; H ^q (F )) auftreten. Um mit diesen Gruppen arbeiten zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir den folgenden Satz: (vgl. [Spa66, Seite 246, Theorem 10]).

2.3.3 Satz. Ist (X, A) ein Raumpaar, und ist die die abelsche Gruppe G endlich erzeugt, so gibt es exakte Sequenzen

0 → H ⁿ (X, A) ⊗ G → H ⁿ (X, A; G) → Tor 1 (H ⁿ⁺¹ (X, A), G) → 0

f¨ ur alle n. Diese Sequenzen spalten.

2.3.4 Bemerkung. Ist H ⁿ⁺¹ (X, A) torsionsfrei, so ist Tor 1 (H ⁿ⁺¹ (X, A), G) = 0 und aus dieser exakten Sequenz folgt H ⁿ (X, A; G) ∼ = H ⁿ (X, A) ⊗ G.

Die Beziehung zwischen Homologie- und Kohomologiegruppen l¨ asst sich durch den Universellen Koeffizientensatz f¨ ur Kohomologie ausdr¨ ucken ([Hat02, Seite 195, Theorem 3.2]).

2.3.5 Satz (Universeller Koeffizientensatz f¨ ur Kohomologie). Ist C ein Kettenkomplex von frei erzeugten abelschen Gruppen mit Homologie-Gruppen H n (C), so sind die Kohomologiegruppen H ⁿ (C; G) des Koketten-Komplexes Hom(C n , G) gegeben durch die exakte Sequenz

0 → Ext ¹ (H n−1 (C), G) → H ⁿ (C; G) → Hom(H n (C), G) → 0.

Diese Sequenz spaltet.

2.3.6 Bemerkung. Ist H eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, so ist Ext ¹ (H; Z) iso-morph zur Torsionsuntergruppe von H und Hom(H; Z) ist isomorph zum freien Teil von H. Also folgt aus dem obigen Satz: Ist C ein Kettenkomplex von frei erzeugten abelschen Gruppen, und sind die Homologiegruppen H n−1 (C) und H n (C) von C endlich erzeugt, so gilt

H ⁿ (C) ∼ = (H n (C)/T n ) ⊕ T n−1 .

Dabei bezeichnen T n−1 ⊂ H n−1 (C) und T n ⊂ H n die Torsionsuntergruppen. Sind H n (C) und H n−1 (C) torsionsfrei, so gilt insbesondere H ⁿ (C) ∼ = H n (C).

2 Topologische Grundlagen und Vorbemerkungen

2.3.7 Bemerkung. Mit den Proposition 2.3.2 und 2.3.1 folgt aus diesen ¨ Uberlegungen

und

f¨ ur alle i

Schließlich ben¨ otigen wir noch die Wang-Sequenz f¨ ur Faserungen ¨ uber Sph¨ aren (vgl. [Spa66, Corollary 6, Seite 456]).

2.3.8 Satz (Wang Homologiesequenz). Sei α : X → S ⁿ eine Faserung mit Faser F . Dann gibt es eine lange exakte Sequenz

. . . → H q (F ) → H q (X) → H q−n (F ) → H q−1 (F ) → . . .

2.4 Beziehung zwischen Homologie und Homotopie

Wir sehen in diesem Abschnitt π n (X, A, ∗) f¨ ur n > 0 als Homotopieklassen von Abbildungen

(E ⁿ , ˙ E ⁿ , ∗) → (X, A, ∗)

an. Dann kann man eine Abbildung

∂ : π n (X, A, ∗) → π n−1 (A, ∗)

f¨ ur f : (E ⁿ , ˙ E ⁿ ) → (X, A) definieren durch

∂([f ]) = [f | ^˙ En ].

Nach dieser Definition ist klar, dass f¨ ur eine Abbildung g : (X, A, ∗) → (X , A , ∗) das

Diagramm

kommutiert. Das heißt ∂ ist eine nat¨ urliche Transformation zwischen den Funktoren π n (X, A) und π n (A) auf der Kategorie von Paaren (X, A) von punktierten R¨ aumen. Den Homomorphismus ∂ nennt man auch Randoperator und es gibt die folgende exakte Homotopiesequenz f¨ ur ein Paar (X, A) (vgl. [Spa66, Seite 374, Theorem 3]):