Inhaltsverzeichnis

1  Erweitertes Modell des elastischen Arms  1

1.1  Übersicht  1

1.2  Mathematische Beschreibung des elastischen Arms  1

1.3  Reibungsmodell und Berücksichtigung der Strukturdämpfung  7

1.4  Zustandsraummodell  9

1.5  Parameter des Laborversuches  10

2  Messung der Arm-Position  11

2.1  Übersicht  11

2.2  Messung des Winkels  11

2.3  Messung der Armposition mit DMS  11

2.3.1  Grundlagen der Messung mit DMS  12

2.3.2  Prinzip der DMS-Meßbrücke  14

3  Aufbau des Laborversuches  16

3.1  Übersicht  16

3.2  Mechanischer Aufbau  16

3.3  Elektrischer Aufbau  19

3.4  Modellierung des Laborversuches  20

3.4.1  D/A-Wandler  20

3.4.2  Servoverstärker  20

3.4.3  Motor  20

i

INHALTSVERZEICHNIS

   ii

3.4.4  Inkrementalgeber  21

3.4.5  Meßverstärker  21

3.4.6  Dehnungsmeßstreifen  21

4  Windows-Programm FlexArm  23

4.1  Übersicht  23

4.2  Bedienung des Programms  23

4.2.1  Beschreibung der Menüs  25

4.3  Details der Programmierung  27

4.3.1  Kalibrierung der Meßeinrichtung  27

4.3.2  Sicherheitsabschaltung  27

4.3.3  Anmerkungen zu speziellen Klassen und Funktionen  28

5  Modell-Verifikation  29

5.1  Überblick  29

5.2  Parameterbestimmung  29

5.2.1  Bestimmung des Elastizitätsmoduls  30

5.2.2  Bestimmung der Strukturdämpfung  31

5.3  Modellüberprüfung  31

6  Regelverfahren für elastische Manipulatoren  35

6.1  Einleitung  35

6.2  Klassifizierung und Überblick  35

6.3  Rahmenbedingungen der Versuche  38

6.3.1  Bestimmung der nicht-meßbaren Zustände  38

6.3.2  Störgrößenkompensation  40

6.4  Experimente mit dem Laborversuch  41

6.4.1  Optimale Zustandsregelung  41

6.4.2  Polvorgabe  47

6.4.3  Abschließende Bemerkungen  60

INHALTSVERZEICHNIS

   iii

7  Vorschläge über mögliche Expermimente  61

7.1  Vorschläge  61

7.2  Fazit und Ausblick  62

A  Matlab-Programm zur Modellberechnung  63

Abbildungsverzeichnis   

1.1  Koordinatensysteme  2

1.2  Undeformierter und deformierter Balken  3

1.3  Normierte Eigenfunktionen  5

1.4  Coulomb’sche-Reibung  8

2.1  Darstellung einer DMS-Meßbrücke  14

3.1  Aufbau des Laborversuches  17

3.2  Sicherungsscheibe der Lichtschranken  18

3.3  Aufhängung des elastischen Arms  18

3.4  Signalflußplan des Laborversuches  19

4.1  Hauptfenster des Programms  24

4.2  Menüpunkt Edit  25

4.3  Menüpunkt Run  26

5.1  Signal einer DMS-Meßbrücke  29

5.2  Dämpfung der 1. elastischen Koordinate  31

5.3  Dämpfung der 2. elastischen Koordinate  31

5.4  Testsignal zur Modellüberprüfung  31

5.5  Modelldaten und Meßwerte für den Winkel  32

5.6  Modelldaten und Meßwerte der Winkelgeschwindigkeit  33

5.7  Modelldaten und Meßwerte der ersten elastischen Koordinate  33

iv

ABBILDUNGSVERZEICHNIS   

   v

5.8  Modelldaten und Meßwerte der zweiten elastischen Koordinate  34

6.1  System mit Störgröße  40

6.2  LQ-Regelung - Endpunktposition (Versuch 1)  42

6.3  LQ-Regelung - Winkel (Versuch 1)  43

6.4  LQ-Regelung - 1. elastischen Koordinate (Versuch 1)  43

6.5  LQ-Regelung - 2. elastischen Koordinate (Versuch 1)  44

6.6  LQ-Regelung - Endpunktposition (Versuch 2)  45

6.7  LQ-Regelung - Winkel (Versuch 2)  45

6.8  LQ-Regelung - 1. elastischen Koordinate (Versuch 2)  46

6.9  LQ-Regelung - 2. elastischen Koordinate (Versuch 2)  46

6.10  Pol-Nullstellenverteilung (Versuch 1)  47

6.11  Polvorgabe - Endpunktposition (Versuch 1)  48

6.12  Polvorgabe - Winkel (Versuch 1)  49

6.13  Polvorgabe - 1. elastischen Koordinate (Versuch 1)  49

6.14  Polvorgabe - 2. elastischen Koordinate (Versuch 1)  50

6.15  Pol-Nullstellenverteilung (Versuch 2)  51

6.16  Polvorgabe - Endpunktposition (Versuch 2)  51

6.17  Polvorgabe - Winkel (Versuch 2)  52

6.18  Polvorgabe - 1. elastischen Koordinate (Versuch 2)  52

6.19  Polvorgabe - 2. elastischen Koordinate (Versuch 2)  53

6.20  Pol-Nullstellenverteilung (Versuch 3)  54

6.21  Polvorgabe - Endpunktposition (Versuch 3)  54

6.22  Polvorgabe - Winkel (Versuch 3)  55

6.23  Polvorgabe - 1. elastischen Koordinate (Versuch 3)  55

6.24  Polvorgabe - 2. elastischen Koordinate (Versuch 3)  56

6.25  Pol-Nullstellenverteilung (Versuch 4)  56

6.26  Polvorgabe - Endpunktposition (Versuch 4)  57

6.27  Polvorgabe - Winkel (Versuch 4)  58

6.28  Polvorgabe - 1. elastischen Koordinate (Versuch 4)  58

6.29  Polvorgabe - 2 elastischen Koordinate (Versuch 4)  59

Ziel dieser Arbeit war die Entwicklung eines, im Rahmen eines Praktikumsversuches einsetzbaren, Prototypen für einen Laborversuch mit einem flexiblen Arm.

Voraussetzung und Motivation für diese Arbeit waren die erfolgreichen Simulationsstudien über die Regelung eines flexiblen Arms, sowie die Untersuchungen über die Realisierbarkeit der Messungen an einem entsprechenden Laborversuch.

Wichtiger Aspekte bei der Realisierung des Prototypen waren zu einem die Auswahl eines geeigneten Stellantriebes, der den dauerhaften Belastungen eines Laborversuches standhalten konnte. Zum anderen war bei der Materialauswahl zu berücksichtigen, daß die Sprungantwort des flexiblen Arms ein sichtbares Schwingungsverhalten aufweist, ohne dabei plastische Verformungen des Materials hervorzurufen.

Für die Bestimmung der Endpunktposition des flexiblen Arms waren die bereits untersuchten Dehnungsmeßstreifen anzubringen und auszuwerten.

Zur Verifikation des mathematischen Modells und zur Identifikation der Parameter des Versuchsaufbaus sollten experimentelle Untersuchen am Prototypen durchgeführt werden.

Den letzten Schritt bei der Realisierung des Laborversuchs stellte der Entwurf eines Windows-Programms, in Anlehnung an bereits gegebene Reglerprogramme, dar, mit dessen Hilfe sich Aussagen über die Regelgüte und Vorschläge über mögliche Experimente im Rahmen eines Prak- tikumsversuches treffen lassen.

Kapitel 1

Erweitertes Modell des elastischen

Arms

1.1 Übersicht

Das in dieser Arbeit verwendete mathematische Modell basiert auf dem bereits in [14] hergeleitetem Modell des elastischen Arms. Hierbei ist jedoch zu beachten, daß bei der Modellbildung in [14], die allein der Simulation diente, Vereinfachungen vorgenommen wurden, die bei der Realisierung des Laborversuchs nicht mehr vertretbar sind.

Aus diesem Grund bedarf es an einigen Stellen dieser Arbeit einer Erweiterung des mathematischen Modells. Die folgenden Unterpunkte stellen lediglich die Erweiterung der in [14] angebenen

Modellbildung dar ¹ .

Die Modelländerungen betreffen zum einen Erweiterungen aufgrund des mechanischen Aufbaus des Laborversuches und zum anderen Erweiterungen in Form eines zusätzlichen Reibungsmodells.

1.2 Mathematische Beschreibung des elastischen Arms

Im folgenden Abschnitt werden die Bewegungsgleichungen eines elastischen Arms der Länge l, unter besonderer Berücksichtigung der Gegebenheiten des Laborversuches, mit Hilfe der Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen analytisch modelliert. Der elastische Arm ist an einem Ende über eine Aufhängung mit der Motorwelle verbunden und erfährt dort das Drehmoment T , während sein anderes Ende frei beweglich ist. Im Gegensatz zur Modellbildung in [14] muß hier der Radius r 0 der Aufhängung mitberücksichtigt werden.

Die Referenzsysteme sind durch x 0 -y 0 und x -y gegeben, wobei x -y um die Motorachse rotiert, so daß der Winkel zwischen dem Arm und dem System x -y gleich Null ist (siehe Abbildung

1.1).

Die Biegesteifigkeit des Arms wird im folgendem mit EI bezeichnet, dessen Dichte mit ρ und die Querschnittsfläche mit A. Bei der Modellbildung des realen Systems sind nun die folgenden Trägheitsmomente zu berücksichtigen:

¹ Aus diesem Grund wurde auf ausführliche Erläuterungen an einigen Stellen verzichtet

1

KAPITEL 1. ERWEITERTES MODELL DES ELASTISCHEN ARMS 2

• Motorwelle J h

• Aufhängung J a

• Inkrementalgeber J i

• Kupplung J k

Die Summe der genannten Trägheitsmomente wird mit J ges bezeichnet.

Bei der weiteren Modellbildung werden folgenden Bedingungen, in Übereinstimmung mit dem Aufbau des Laborversuches, erfüllt. Der elastische Arm bewegt sich ausschließlich in der Ebene, so daß keine Gravitationseinflüsse zu berücksichtigen sind. Die Masse des Arms ist gleichmäßig verteilt, und die Querschnittsabmessungen des Arms sind klein gegenüber seiner Länge. Die elastischen Auslenkungen des Arms sind klein, wobei ein lineares Elastizitätsgesetz vorliegt. Außerdem werden keine Scherdeformationen berücksichtigt (Euler-Bernoulli-Balken [13]).

Die elastische Deformation an der Position x ist durch w(x, t) gegeben, während damit für die absolute Verschiebung y(x, t) eines beliebigen Punktes auf dem Arm an der Position x + r 0 im Referenzsystem x 0 -y 0

y(x + r 0 , t) = Θ(t)(r 0 + x) + w(x, t) (1.1)

gilt.

Für eine spätere Betrachtung der kinetischen Energie des Balkens wird im folgenden Abschnitt der Positionsvektor r eines Punktes auf dem deformierten Arm bestimmt.

Zur Bestimmung des Positionsvektors r betrachtet man einen Punkt P auf der neutralen Achse des unverformten Arms und einen Punkt Q im Abstand s vom Punkt P senkrecht zur neutralen

KAPITEL 1. ERWEITERTES MODELL DES ELASTISCHEN ARMS 3

Achse, ebenfalls noch im unverformten Zustand. Bei einer Deformation des Arms bewegt sich

P Q nach P Q . Die Strecke P Q sei mit s bezeichnet (siehe Abbildung 1.2).

Für eine kleine Deformation kann man s = s annehmen. Daraus folgt für den Positionsvektor :

r(x, s, t) = (r 0 + x − c 1 )e 1 + (w + c 2 )e 2 . (1.2)

Der Winkel α wird als klein angenommen, so daß α durch

ausgedrückt werden kann, womit auch cos α ≈ 1 gilt. Die beiden letzten Gleichungen sind nur gültig, wenn der Positionsvektor r annähernd parallel zur Tangente an der neutralen Achse durch den Punkt P liegt.

Damit gilt für den Positionsvektor r:

Aus Gleichung (1.4) kann der Geschwindigkeitsvektor im Koordinatensystem x 0 − y 0 abgeleitet werden.

e 1 = ˙ e 2 = ˙ Damit ergibt sich unter Beachtung der Beziehungen ˙ Θe 2 und ˙ Θe 1 :

˙ r(x, s, t) =

KAPITEL 1. ERWEITERTES MODELL DES ELASTISCHEN ARMS 4

Die kinetische Energie des Systems wird ausgedrückt durch:

l

Unter den Bedingungen des Euler-Bernoulli-Balkens können sämtliche Terme, die s ² enthalten,

vernachlässigt werden. Bei Annahme eines zur neutralen Achse symmetrischen Querschnitts folgt

A sdA = 0 für die kinetische Energie: mit

2 l

E k =

Die potentielle Energie des Balkens wird durch folgenden Ausdruck beschrieben: 2 l

Zur Diskretisierung der elastischen Deformation wird beim hier verwendeten assumed-modes- Verfahren(siehe [14]) w(x, t) als eine unendliche Summe von Eigenformen dargestellt. Somit gilt:

Dabei entsprechen q i (t) den verallgemeinerten, zeitabhängigen Koordinaten und φ i (x) den Eigenfunktionen des einseitig eingespannten Balkens (clamped-free mode), die durch

φ i (x) = c i

gegeben sind [13] [27].

Weiterhin stellen λ i die Wurzeln der Gleichung

cos(λ i l) cosh(λ i l) + 1 = 0 (1.11)

und c i eine Konstante dar, die die Eigenfunktionen nach folgender Gleichung normiert: l

Abbildung 1.3 zeigt die normierten Eigenfunktionen φ 1 , φ 2 und φ 3 eines elastischen Arms.

KAPITEL 1. ERWEITERTES MODELL DES ELASTISCHEN ARMS 5

Abbildung 1.3: Normierte Eigenfunktionen; φ 1 Linienart —, φ 2 Linienart - -, φ 3 Linienart - · -

Mit Gleichung (1.9) können die kinetische und die potentielle Energie des Systems umgeformt

werden in ² 2 l

E k =

1

=

+

E p =

l

= l

Mit der Abkürzung a i = 0 (r 0 + x)φ i (x)dx können E k und E p unter Verwendung der Orthogonalitätsbeziehungen (siehe [14]) in

umgeformt werden.

² Im folgenden wird auf die Argumente der Funktionen verzichtet, falls diese nicht unbedingt zum Verständnis erforderlich sind.

KAPITEL 1. ERWEITERTES MODELL DES ELASTISCHEN ARMS 6

Durch Anwendung der Lagrange-Gleichungen

mit

folgen nun die unendlichdimensionalen Bewegungsgleichungen des Systems zu:

Mit Hilfe einer nach dem ersten Glied abgebrochenen Taylor-Reihenentwicklung um den Arbeits-

q 0 =0 und ˙ Θ 0 = ¨ punkt q 0 = ˙ q 0 = ¨ Θ 0 = 0 läßt sich das System linearisieren. Für das linearisierte Modell gilt dann:

Werden nur die ersten n Eigenfunktionen verwendet, dann können die linearisierten Gleichungen in der Matrixform wie folgt dargestellt werden:

M¨ q(t) + Kq(t) = u (t) . (1.24)

Die Matrizen M, K ∈ R ⁿ⁺¹ × R ⁿ⁺¹ und die Vektoren q(t), u (t) ∈ R ⁿ⁺¹ des Modells sind

definiert als

KAPITEL 1. ERWEITERTES MODELL DES ELASTISCHEN ARMS 7

⎡ ⎤ l l

⎢

⎢

⎢ M = ⎢

⎣

K = ρA

1.3 Reibungsmodell und Berücksichtigung der Strukturdämpfung

Die im Laborversuch an der Motorwelle auftretende Reibung wird wie folgt dargestellt:

M R = M Rv + M Rc . (1.27)

Dabei bezeichnet M Rv die viskose Reibung, deren Größe proportional zur Winkelgeschwindigkeit

˙ Θ ist. Weiterhin wird durch M Rc die Coulomb’sche-Reibung berücksichtigt.

Zur Modellierung der Reibung wird das Gauß’sche-Reibungsmodell verwendet [9]:

In der Abbildung 1.4 ist der Verlauf der Coulomb’schen-Reibung im System dargestellt. Die Parameter c Rv , c ^Rc 1 , c ^Rc 2 und c ^Rc 3 wurden aus einer geeigneten Anzahl von Probeläufen mit dem Laborversuch bestimmt und sind in Kapitel 1.4 exakt angegeben.

Für den Vektor M R (t) ∈ R ⁿ⁺¹ gilt dann

⎡ ⎤

Zur Beschreibung der Strukturdämpfung des elastischen Arms wird die Möglichkeit gewählt, das ungedämpfte System zunächst mit Hilfe der Eigenfunktionen zu entkoppeln. Anschließend wird

KAPITEL 1. ERWEITERTES MODELL DES ELASTISCHEN ARMS 8

in jeder dieser Eigenschwingungsformen ein Koeffizient der linearen Dämpfung eingeführt, der dann einer modalen Dämpfung entspricht.

Zur Berücksichtigung der Dämpfung des elastischen Arms wird dem Modell daher eine Diagonalmatrix D ∈ R ⁿ⁺¹ × R ⁿ⁺¹ hinzugefügt. Dabei wird die Strukturdämpfung des elastischen Arms durch d 2 bis d n einbezogen

⎡ ⎤

Das Gesamtsystem wird durch folgende Gleichung beschrieben

q(t) + Kq(t) + M R (t) = u (t) . M¨ q(t) + D ˙ (1.32)

Faßt man nun die Matrix der Strukturdämpfung D und die viskose Reibung M Rv zusammen zu einer Dämpfungsmatrix D, ebenso wie die Coulomb’sche-Reibung M Rc und das Drehmoment T (t) zum Eingangsvektor u(t), so gilt

⎡ ⎤

Das Gesamtsystem kann nun durch folgende Gleichung beschrieben werden:

M¨ q(t) + D ˙ q(t) + Kq(t) = u(t) . (1.34)