Der topologische Begriff des Zusammenhangs und seine Anwendung in der klassischen Analysis

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  Inhaltsverzeichnis  

1  Elementare Begriffe der Topologie  5

1.1  Topologische Räume  5

1.2  Umgebungen  6

1.3  Häufungspunkte  10

2  Basen und Umgebungsbasen  11

2.1  Basen  11

2.2  Subbasen  13

2.3  Umgebungsbasen und Umgebungssubbasen  14

3  Metrische Räume  16

4  Stetigkeit und Konvergenz  20

4.1  Stetige Abbildungen  20

4.2  Homöomorphismen  22

4.3  Topologische Invarianz  23

4.4  Konvergenz  23

5  Kompaktheit  25

5.1  Überdeckung  25

5.2  Kompakte topologische Räume  25

5.3  Lebesguesche Zahl einer Überdeckung  26

6  Fundamentalkonstruktionen  28

6.1  Initialtopologie  28

6.2  Finaltopologie  28

6.3  Die Relativtopologie  29

6.4  Die Produkttopologie  31

6.5  Produktinvarianz  33

6.6  Die Quotiententopologie  34

7  Zusammenhangseigenschaften  36

7.1  Zusammenhängende topologische Räume  36

7.2  Topologische Invarianz  38

7.3  Zusammenhangskomponenten  42

7.4  Zusammenhangskomponenten einzelner Punkte  43

7.5  Total unzusammenhängende topologische Räume  44

7.6  Quasikomponenten  45

7.7  Produktinvarianz  46

7.8  Zusammenhängende Teilmengen von R und R  48

7.9  Zusammenhängende Teilmengen von R  48

7.10  Zusammenhang in allgemeinen Ordnungstopologien  49

7.11  Zwischenwertsatz  51

8  Lokal zusammenhängende Räume  57

8.1  Erblichkeit  58

8.2  Qoutienteninvarianz  59

8.3  Lokaler Zusammenhang und stetige Abbildungen  60

8.4  Produktinvarianz  61

3

9  Wegzusammenhang  63

9.1  Wegzusammenhängende topologische Räume  63

9.2  Die Beziehung zum Zusammenhang  64

9.3  Topologische Invarianz und Produktinvarinz  67

9.4  Einfach zusammenhängende Räume  68

10  Grundlagen der Homotopietheorie  69

10.1  Homotopie  70

10.2  Die Fundamentalgruppe  74

10.3  Die Fundamentalgruppe wegzusammenhängender  

  Räume  75

10.4  Homotopie und stetige Abbildung  77

10.5  Die Fundamentalgruppe einfach zusammenhängender Räume  77

10.6  Die Fundamentalgruppe des Einheitskreises  79

10.7  Liftung einer Abbildung  82

11  Der Brouwersche Fixpunktsatz  87

11.1  Luitzen Egbertus Jan Brouwer  87

11.2  Brouwerscher Fixpunktsatz  87

12  Der Fundamentalsatz der Algebra  90

12.1  Fundamentalsatz der Algebra  90

13  Literaurverzeichnis  93

14  Abbildungsverzeichnis  94

Einleitung

Ein Merkmal moderner Wissenschaft ist die zunehmende Verflechtung früher ge- trennter Disziplinen, welche sich dadurch bemerkbar macht, dass immer wieder Analogien entdeckt werden, deren weitere Ausnutzung einen enormen Vorteil bedeutet, so dass die darauf gegründete Theorie bald in alle betroffenen Gebie- te Einzug hält. Als eine solche Analogietheorie kann man auch die Topologie auffassen. In dieser Arbeit untersuchen wir den topologischen Begriff des Zu- sammenhangs und zeigen einige Analogien zur klassischen Analysis. Wenn wir den Zusammenhang für Mengen in R oder in R 2 betrachten handelt es sich um eine sehr anschauliche Eigenschaft, die umgangsprachlich besagt, dass eine Men- ge beziehungsweise ein Raum nicht in zwei disjunkte Teile zerfällt. Anschaulich ist einleuchtend, dass das Intervall [0, 1] eine zusammenhängende Menge in R darstellt, wohingegen die Menge [0, 1 zusammenhängend ist. Im R 2 stelle man sich etwa zwei disjunkte Kreisflächen als unzusammenhängende Menge und im Vergleich dazu ein beliebiges zusam- menhängendes Flächenstück vor.

Nachdem wir in den ersten Kapiteln die nötigen Grundbegriffe der Topologie erläutern, werden wir die verschiedenen Zusammenhangsbegriffe wie Zusam- menhang, lokaler Zusammenhang, Wegzusammenhang und einfacher Zusam- menhang unter anderem bezüglich ihres Verhaltens gegenüber den Standardkon- struktionen der Topologie, wie Teilräume, Produkträume und Quotientenräume untersuchen. Des Weiteren erläutern wir das Verhalten unter stetigen Abbil- dungen, insbesondere den strukturerhaltenden Abbildungen in der Topologie, den Homöomorphismen. Dabei behandeln wir mit Hilfe der Mengentheoreti- schen Topologie den bekannten Zwischenwertsatz der reellen Analyisis, welcher besagt, dass eine stetige reelle Funktion jeden Wert annimmt, der zwischen zwei Funktionswerten liegt. Im wesentlichen beruht der Zwischenwertsatz auf einer topologischen Eigenschaft, nämlich genau der des Zusammenhangs der reellen Zahlen. Die Grundzüge der algebraischen Topologie behandeln wir insbesondere zur Untersuchung des einfachen Zusammenhangs nur so weit, wie sie für unsere Anwendung nötig ist. Insbesondere beweisen wir mit der Homotopietheorie das nach dem niederländischen Mathematiker LEJ Brouwer benannte zweidimensio- nale Analogon des Zwischenwertsatzes, die Version für die abgeschlossene Kreis- scheibe, den sogenannten Brouwerschen Fixpunktsatz für n = 2. Eine weitere wichtige Anwendung im Zuge der Homotopietheorie ist der Fundamentalsatz der Algebra, der aussagt, dass jedes nicht konstante Polynom mit komplexen Ko- effizenten im Körper C mindestens eine Nullstelle hat. Da dieser wichtige Satz Aussagen über die Existenz von Nullstellen im durch topologische Eigenschaf- ten charakterisierten Körper C macht, leuchted ein, dass man beim Beweis mehr oder weniger auf topologische Hilfsmittel angewiesen ist. Wir erläutern dafür im wesentlichen den Begriff der Umlaufzahl von geschlossenen Wegen.

Elementare Begriffe der Topologie 5

1 Elementare Begriffe der Topologie

1.1 Topologische Räume

Definition 1.1 Sei X eine Menge und P(X) := {U | U ⊂ X} die Potenzmenge von X. Man nennt eine Teilmenge T ⊂ P(X) eine Topologie auf X, wenn gilt: (T.0) ∅ ∈ T , X ∈ T .

(T.1) Gilt U i ∈ T für alle i ∈ I, so folgt i∈I U i ∈ T .

U 2 ∈ T .

(T.2) Sind U 1 , U 2 ∈ T , so gilt U 1 Die Elemente U ∈ T heißen offene Mengen (in X bezüglich T ). Ein topologi- scher Raum X = (X, T ) besteht also aus einer Menge X und einer Topologie T auf X.

Beispiele 1.2 a) In der Analysis nennt man U ⊂ R offen, wenn zu jedem x ∈ U ein ε > 0 existiert, so dass

I := {y ∈ R | |y − x| < ε} ⊂ U

= {y ∈ R | −ε < y − x < ε} ⊂ U = {y ∈ R | y ∈ (x − ε, x + ε)} ⊂ U gilt.

Das offene Intervall (x, y) ist also im topologischen Sinn eine offene Menge in R, da aus der Analysis bekannt ist, dass (T.0)-(T.2) erfüllt sind. Sei also T nat das System aller offenen Mengen in R in diesem Sinne. Dann gilt T nat ⊂ P(R) und man nennt T nat die natürliche Topologie auf R. Im R  bezüglich der natürlichen Topologie sind die offenen Mengen unter ande- rem offene Kreisscheiben K. Hat K etwa den Mittelpunkt p = (a 1 , a 2 ) und den Radius r > 0, dann gilt:

K = {(x, y) ∈ R  | (x − a  )  + (y − a  )  < r  } = {q ∈ R  | d(p, q) < r}.

Dabei bezeichnet d(p, q) den gewöhnlichen Abstand der beiden Punkte p = (a 1 , a 2 ) und q = (b 1 , b 2 ) des R  , d.h.

d(p, q) :=

b) Sei X eine Menge. Dann sind T indis := {∅, X} sowie T dis := P(X) offensicht- lich Topologien auf X. Mann nennt sie die indiskrete bzw. die diskrete Topologie auf X.

c) Für die endliche Menge X := {a, b, c, d, e} ist

T := {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} ⊂ P(X)

eine Topologie auf X, denn T erfüllt die Axiome (T.0)-(T.2).

Elementare Begriffe der Topologie 6

d) Sei X eine Menge und T cof das System der Teilmengen von X, welches

aus ∅ und allen Komplementen von endlichen Mengen besteht, d.h.

T cof := {U ⊂ X | U = ∅ oder X U endlich }.

Das System T cof ist eine Topologie auf X. Sie heißt die cofinite Topologie auf

X.

Satz 1.3 Sei X = (X, T ) ein topologischer Raum. Dann läßt sich das Axiom

(T.2) auf endlich viele offene Mengen erweitern. Für U 1 , . . . U 2 ∈ T ; n ∈ N gilt

also:

n

U i ∈ T .

i=1

Der Beweis folgt direkt per vollständige Induktion nach i. Das folgende Beispiel

zeigt, dass der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen nicht notwendig

eine offene Menge ist.

Beispiele 1.4 Für die offenen Intervalle der Form A n := (− 1 n , 1 bei der Durchschnittsbildung:

∞ ∞

1 1

n n n=1 n=1 Die Menge {0} ist jedoch keine offene Menge bzgl. der natürlichen Topologie

auf R.

1.2 Umgebungen

Definition 1.5 Sei X = (X, T ) ein topologischer Raum, x ∈ X und A ⊂ X.

Man nennt U ⊂ X eine Umgebung des Punktes x (beziehungsweise von A)

bezüglich T , wenn ein V ∈ T existiert mit x ∈ V ⊂ U (beziehungsweise mit

A ⊂ V ⊂ U ). Das System aller Umgebungen von x (beziehungsweise von A)

heißt das Umgebungsystem von x und wird mit U(x) (beziehungsweise U (A))

bezeichnet.[vgl. [13] S. 3] Beispiele 1.6 a) Sei a ∈ R eine beliebige reelle Zahl und ε > 0. Dann ist jedes

abgeschlossene Intervall [a − ε, a + ε] und jedes offene Intervall (a − ε, a + ε)

mit Mittelpunkt a eine Umgebung von a bezüglich T nat , da [a − ε, a + ε] und

(a − ε, a + ε) jeweils offene Intervalle mit Mittelpunkt a enthalten, etwa (a −

ε 2 , a + ε 2 ). Daran erkennt man insbesondere, dass Umgebungen nicht notwendig

offen sind.

b) Auf X = {a, b, c, d, e} betrachte man die Topologie

T := {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}}

Die Umgebungen des Punktes e sind alle Mengen U , die eine offene Menge

enthalten, in welcher der Punkt e enthalten ist und deren Obermengen V ⊃ U .

Folglich gilt für das Umgebungsystem von e:

U (e) = {{a, b, e}, {a, b, c, e}, {a, b, d, e}, X}.

c) Sei T cof die cofinite Topologie auf X. Dann gilt für jedes x ∈ X U(x) = {U ⊂ X | x ∈ U, X U endlich }.

Elementare Begriffe der Topologie 7

Wir können die offenen Mengen nun auch mit Hilfe des Umgebungsbegriffs cha- rakterisieren.

Satz 1.7 In einem topologischen Raum (X, T ) sind für A ⊂ X die beiden folgenden Aussagen äquivalent.

(i) A ist offen, d.h. A ∈ T .

(ii) A ist Umgebung jedes seiner Punkte, d.h. A ∈ U(a) für alle a ∈ A. Die grundlegenden Eigenschaften eines Umgebungssystems eines beliebigen Punk- tes sind im nächsten Satz zusammengefaßt, d.h. ein Mengensystem ist Umge- bungssystem eines Punktes genau dann, wenn es die sogenannten Umgebungs- axiome (U.1)...(U.4) erfüllt. Desweiteren wird durch das Umgebungssystem eine eindeutig bestimmte Topologie definiert.

Satz 1.8 a) Sei (X, T ) ein topologischer Raum mit X = ∅. Die Abbildung

U : X → P(P(X)), x → U (x)

hat folgende Eigenschaften:

(U.1) Aus x ∈ X, U ∈ U (x) und U ⊂ W ⊂ X folgt stets W ∈ U (x), d.h. Obermengen von Umgebungen eines Punktes x sind wieder Umgebungen dieses Punktes.

(U.2) Aus x ∈ X und U 1 , . . . , U n ∈ U (x) folgt n

i=1 (U.3) Aus x ∈ X und U ∈ U (x) folgt x ∈ U .

(U.4) Zu jedem x ∈ X und U ∈ U (x) existiert ein V ∈ U (x), so dass U Umge- bung jedes Punktes aus V ist, d.h. U ∈ U (v) ∀ v ∈ V.

b) Für eine nichtleere Menge X und eine Abbildung U mit den Eigenschaften (U.1), . . . ,(U.4) existiert genau eine Topologie T auf X, so dass für jedes x ∈ X U(x) = {U | U ist Umgebung von x bzgl.T } gilt [vgl. [13] S. 4].

Definition 1.9 Sei X = (X, T ) ein topologischer Raum. Für A ⊂ X heißt ◦

A := intA := {x ∈ X | A ∈ U(x)} das Innere von A in X.

Die wichtigsten Eigenschaften des Inneren einer Menge beinhaltet der folgende Satz 1.10 Sei X = (X, T ) ein topologischer Raum. Dann gilt für alle x ∈ X und A, B, A i ⊂ X:

◦ a) A ist die größte in A enthaltende Teilmenge von X, d.h.

Elementare Begriffe der Topologie 8

◦ ◦

(i) A ⊂ A, A ∈ T .

◦

(ii) Für jedes B ∈ T mit B ⊂ A gilt B ⊂

◦

b) A = U ∈T ,U ⊂A U.

◦

c) A ∈ T ⇔ A = A.

◦ ◦

d) A ⊂ B ⇒ A ⊂ B.

◦

◦

e) A i ⊂ i∈I A i .

i∈I

◦

◦ ◦

f) A ∩ B ⊂ A ∩ B.

◦

g) A ∈ U(x) ⇔ x ∈ A. [vgl. [13] S. 5]

Beispiele 1.11 a) In (R, T nat ) betrachte man A := (0, 1] ∪ {2}. Für das Innere

◦

von A ergibt sich dann A = (0, 1). Falls B ∈ R abzählbar ist, ergibt sich für das

Innere von B die leere Menge, denn andernfalls enthielte B ein offenes Intervall

der Form (x − ε, x + ε), ε > 0, also eine überabzählbare Menge.

b) Da im diskreten Raum (X, T d ) jede Teilmenge A von X offen ist gilt we-

gen (1.10) a):

◦

A ∈ T d ⇔ A = A

c) Sei T cof die cofinite Topologie auf X. Dann gilt für A ⊂ X :

A, falls C X endlich,

A =

∅ sonst.

Für die Komplemente der offenen Mengen in topologischen Räumen führen wir

eine neue Bezeichnung ein.

Definition 1.12 Sei X = (X, T ) ein topologischer Raum. A ⊂ X heißt abge-

schlossen in X ( oder bezüglich T ), wenn X A = {x ∈ X | x /

ist. [vgl. [13] S. 6]

Beispiele 1.13 a) In (R, T nat ) sind die abgeschlossenen Mengen genau diejeni-

gen, die im Sinne der Analysis abgeschlossen sind, etwa [a, b], [a, ∞], [−∞, b], R, {a}.

b) Sei X = (X, T i ) der indiskrete Raum. Dann sind ∅ und X die einzigen

abgeschlossenen Teilmengen von X.

Mit den Morganschen Regeln für die Komplementbildung erhält man aus (1.1)

und (1.3) eine alternative Charakterisierung topologischer Räume mit Hilfe der

abgeschlossenen Mengen.

Elementare Begriffe der Topologie 9

Satz 1.14 Sei X = (X, T ) ein topologischer Raum. Dann gilt: (T.0) ∗ ∅ und X sind abgeschlossen. (T.1) ∗ Sind A i , i ∈ I, abgeschlossen, so auch

i∈I A i .

(T.2) ∗ Sind A 1 , . . . , A n abgeschlossen, so auch Analog zum Inneren einer Menge definieren wir nun die abgeschlossene Hülle einer Menge.

Definition 1.15 Sei X = (X, T ) ein topologischer Raum und A ⊂ X. Dann

heißt

die abgeschlossene Hülle von A in X (oder bezüglich T ). Man nennt A dicht in X, wenn A = X gilt. [vgl. [13] S. 7 ] Beispiele 1.16 Q ist dicht in R = (R, T nat ). Mit den Morganschen Gesetzen formulieren wir nun aus 1.10 die wesentlichen Eigenschaften der abgeschlossenen Hülle. Satz 1.17 Sei X = (X, T ) ein topologischer Raum. Dann gilt für alle Teilmen- gen A, B, A i ⊂ X :

◦

◦

a) X

b) A ist die kleinste A umfassende abgeschlossene Teilmenge von X, d.h.

c) A = A⊂V ⊂X,V abg. V.

d) A ist genau dann abgeschlossen, wenn A = A.

e) A ⊂ B ⇒ A ⊂ B.

f)

g) A ∪ B = A ∪ B.

Im Folgenden geben wir einige Beispiele für die abgeschlossene Hülle bei ver- schiedenen Toplogien an.

Beispiele 1.18 Sei X = (R, T ) und A = [0, 1] ∩ Q.

a) Für T = T nat gilt A = [0, 1]

b) Für T = T i = {∅, R} oder T = T cof gilt A = R.

Elementare Begriffe der Topologie 10

1.3 Häufungspunkte

Weitere wichtige Begriffe formulieren wir in der Definition 1.19 Sei (X, T ) ein topologischer Raum, A ⊂ X und x ∈ X. Mann nennt x einen Häufungspunkt von A in X, wenn jede Umgebung U ∈ U (x) einen von x verschiedenen Punkt aus A enthält, d.h. wenn ein y ∈ A ∩ U existiert mit y = x. Die Menge aller Häufungspunkte von A in X bzeichnen wir mit A . Ein Punkt x ∈ A heißt isolierter Punkt von A, wenn x nicht in A enthalten ist. Ein Randpunkt von A in X ist ein Punkt x, für den jedes U ∈ U(x) sowohl

U ∩ A = ∅ als auch U ∩ X A = ∅ erfüllt. Die Menge der Randpunkte von A

heißt der Rand von A und wird mit ∂A bezeichnet. Satz 1.20 Sei (X, T ) ein topologischer Raum und A ⊂ X. Dann gilt:

a) A = A ∪ A .

b) A ist abgeschlossen genau dann, wenn A ⊂ A. ◦ ◦

c) ∂A = A ∩ X A = A ∩ X A = A\ A.

◦

◦

d) X = A ∪ ∂A ∪ X A ist eine disjunkte Vereinigung.

e) ∂A ist abgeschlossen. [vgl. [13] S. 8] Beispiele 1.21 Jedes x ∈ R ist ein Häufungspunkt von Q, denn zu je zwei reellen Zahlen x, y mit x < y existiert eine rationale Zahl q mit x < q < y, d.h

R ⊂ Q . Wegen a) ist damit auch (1.16) beweisen, d.h. Q ist dicht in R.

[vgl. [12] S. 15]

Abbildung 1: offenes Rechteck B ⊂ K

(ii) Die Menge B der offenen Rechtecke in der Ebene R  , die durch eine Parallele zur x-Achse beziehungsweise zur y-Achse begrenzt werden, bildet eine Basis für (R  , T nat ), denn für einen Punkt p ∈ G ⊂ R  , wobei

G eine beliebige offene Menge in R  bzgl. T nat sei, existiert eine offene

Kreisscheibe K mit Mittelpunkt p und mit p ∈ K ⊂ G. Dann gilt für jedes offene Rechteck B ∈ B, dessen Ecken auf dem Kreisrand von K liegen: p ∈ B ⊂ K ⊂ G (Abbildung 1). Folglich ist B eine Basis für T nat von R  . [vgl. [15] S. 87, 88]

Basen und Umgebungsbasen 12

Der nächste Satz beschreibt eine Möglichkeit, die offenen Mengen mit Hilfe der Basiselemte zu beschreiben.

Satz 2.3 Sei (X, T ) ein topologischer Raum und B ⊂ T . B ⊂ T ist genau dann eine Basis von T , wenn es zu jedem A ∈ T eine Familie (B i ) i∈I in B gibt mit

A =

Jedes offene A ist also darstellbar als Vereinigung von Basiselementen. B muss nicht die leere Menge enthalten, weil per Defintion ∅ := Naheliegend ist nun die Frage nach der Existenz einer Topologie bezüglich einer vorgegebenen Menge, d.h. welchen Bedingungen muss eine Familie B von Teil- mengen von X genügen, damit eine Topologie auf X existiert? Notwendig ist sicherlich:

X =

da X in jeder Topologie offen ist. Das nächste Beispiel zeigt jedoch, dass man weitere Forderungen an B stellen muss.

Beispiele 2.4 Sei X = {a, b, c}. Es exitiert dann keine Topologie auf X, für die die Familie B = {{a, b}, {b, c}} eine Basis ist. Denn dann wären die Mengen {a, b} und {b, c} offen und folglich wäre auch der Durchschnitt{a, b} ∩ {b, c} = {b} eine offene Menge. Die Menge {b} läßt sich aber offensichtlich nicht als Vereinigung von Basiselemten darstellen.

Der nächste Satz gibt eine notwendige und eine hinreichende Bedingung an, denen eine Familie von Teilmengen genügen muss, damit es eine Topologie gibt, für die diese Familie eine Basis ist.

Satz 2.5 Sei X eine Menge und B ⊂ P(X). Es existiert genau dann eine To- pologie T auf X, wenn gilt:

(i) B∈B B = X.

(ii) Für B 1 , B 2 ∈ B und x ∈ B 1 ∩ B 2 existiert stets ein B 3 ∈ B mit x ∈ B 3 ⊂

B 1 ∩ B 2 .

Sind (i) und (ii) erfüllt, so ist T eindeutig bestimmt und es gilt die Gleichung:

T = { B i | (B i ) i∈I ist Teilfamilie von B}.

i∈I [vgl. [13] S. 11]

Eine übliche Methode zwei Topologien zu vergleichen liefert folgende Definition 2.6 Seien T und T zwei Topologien auf X. Man nennt T feiner cls T ( T gröber als T ), falls T ⊂ T gilt.

Satz 2.7 Sei X eine Menge.

a) Sind T i , i ∈ I, Topologien auf X, so ist auch i∈I T i eine Topologie auf X.

b) Ist M ⊂ P(X), so gibt es genau eine gröbste Topologie auf X mit M ⊂ T . Sie heißt die von M erzeugte Topologie.

Basen und Umgebungsbasen 13

2.2 Subbasen

Definition 2.8 Sei T eine Topologie auf X und M ⊂ P(X). Man nennt M eine Subbasis von T , wenn gilt (SB.1) M ∈M M = X.

(SB.2) T ist die von M erzeugte Topologie auf X im Sinne von (2.6), d.h. T ist die gröbste Topologie auf X mit M ⊂ T .

Satz 2.9 Sei X eine Menge und M ⊂ P(X).

(a) Sei T eine Topologie auf X. M ist Subbasis für T genau dann, wenn

n

B := { i= M i | n ∈ N, M i ∈ M,  ≤ i ≤ n} eine Basis für T ist. (b) Es existiert eine Topologie auf X, für die M Subbasis ist genau dann, wenn M ∈M M = X ist. [vgl. [13] S.12]

Man kann also eine Topologie T eindeutig festlegen, indem man eine Subbbasis

M vorschreibt. Dies ist dann sinnvoll, wenn man sich Topologien mit gewissen

Eigenschaften wünscht, z.B. eine Topologie, die gröber ist als die feinste To- pologie, nämlich die diskrete Topologie, aber andererseits feiner als die gröbste Topologie, nämlich die indiskrete Topologie, d.h. eine Topologie, die möglichst fein sein soll, aber andererseits mindestens alle Mengen aus M enthalten soll. Eine solche Topologie existiert dann immer, eben gerade die durch M erzeugte Topologie.

Beispiele 2.10 a) Da man nach Satz 2.3 die Menge X immer als Vereinigung von Basiselementen darstellen kann, ist jede Basis auch Subbasis der entspre- chenden Topologie.

{(−∞, b) | b ∈ R} keine Ba-

b) Einerseits ist die Menge {(a, ∞) | a ∈ R} sis der natürlichen Topologie auf R, da man z.B. das Intervall (a, b); a < b nicht als Vereinigung von Basiselementen darstellen kann, andererseits ist die Menge jedoch eine Subbasis, da bei Bildung aller endlichen Durchschnitte der Intervalle (a, ∞) und (−∞, b) offensichtlich eine Basis entsteht.

c) Es sei (M, ) eine total geordnete Menge(vgl [13] Anhang B ). Die Fami- lie

S := {x ∈ M | x a, x = a} | a ∈ M

ist Subbasis einer Topologie T auf M . Man nennt T die von induzierte Ordnungstopologie auf M . Die natürliche Ordnung ≤ auf R induziert also durch die Familie aller Intervalle der Form

(−∞, a) := {x ∈ M | x < a} und (b, ∞) := {x ∈ M | x > b}

eine Ordnungstopologie T ≤ auf R, die mit der natürlichen Topologie T nat über- einstimmt.

Basen und Umgebungsbasen 14

2.3 Umgebungsbasen und Umgebungssubbasen

Eine Menge von Umgebungen einer Menge A in der anschaulich betrachtet be- liebig kleine Umgebungen vorkommen, nämlich in dem Sinne, dass in jeder be- liebigen Umgebung eine solche Umgebung enthalten ist, beschreibt der Begriff der Umgebungsbasis, den wir in der nächsten Defnition dem Begriff der Basis bzw. der Subbasis zur Seite stellen.

Definition 2.11 Sei (X, T ) ein topologischer Raum und A ⊂ X. Man nennt B ⊂ U (A) eine Umgebungsbasis von A, wenn zu jedem U ∈ U (A) ein B ∈ B existiert mit B ⊂ U .

n Man nennt M ⊂ U(A) eine Umgebungssubbasis von A, wenn die Familie { i=1 M i | n ∈ N, M i ∈ M} eine Umgebungsbasis von A ist. [vgl. [13] S. 13]

Beispiele 2.12 a) Sei T eine Toplogie auf X und B eine Basis für T , x ∈ X. Dann ist B ∩ U(x) eine Umgebungsbasis für x.

b) In (R, T nat ) sind für alle x ∈ R die Mengen B := {(x − , x + ); > } und B := {(x −  n , x + 

n ); n ∈ N} Umgebungsbasen für X. Insbesondere exi- stiert also eine abzählbare Umgebungsbasis für T nat auf R.

c) Analog bilden in (R  , T nat ) die offenen Kreisscheiben D mit Radius 1

n ; n ∈ N und Mittelpunkt x 0 eine abzählbare Umgebungsbasis von x 0 .

d) Im diskreten Raum (X, T d ) ist für alle x ∈ X die Menge B := {{x}} ei- ne Umgebungsbasis von x.

e) Im indiskreten Raum (X, T i ) ist B := {{X}} eine Umgebungsbasis von x.

Definition 2.13 Ein topologischer Raum X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxi- om (1.Abax), wenn jedes x ∈ X eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Man sagt, X erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom (2.Abax), wenn T eine ab- zählbare Basis besitzt. [vgl. [13] S. 13 ]

Aus Beispiel 2.12 a) folgt, dass das 2. Abax offensichtlich das stärkere Axiom ist. Also formulieren wir den Satz 2.14 Ein topologischer Raum, der das 2. Abax erfüllt, erfüllt auch das 1. Abax. Die Umkehrung ist im allgemeinen nicht richtig. Wir betrachten nun einige

Beispiele 2.15 a) X = (R, T nat ) erfüllt nach (2.2) insbesonderedas 2. Abax, also nach dem vorherigen Lemma auch das erste.

b) Der indiskrete Raum X = (X, {∅, X}) erfüllt beide Abzählbarkeitsaxiome.

c) Der diskrete Raum X = (X, P(X)) erfüllt nach (2.11) das erste Abzähl- barkeitsaxiom. Er erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom genau dann, wenn X abzählbar ist, denn jede Basis muss die Menge {x} umfassen.

Basen und Umgebungsbasen 15

Satz 2.16 Sei (X, T ) ein topologischer Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxi- om erfüllt. Dann gilt

a) X besitzt eine abzählbare dichte Teilmenge.

b) Ist A ⊂ X überabzählbar, so folgt A ∩ A = ∅.

Beweis. Sei B eine abzählbare Basis von T und ohne Einschränkung B = ∅ für jedes B ∈ B.

a) Zu jedem B ∈ B wählen wir ein x b ∈ B und setzen

C := {x B | B ∈ B}.

Dann ist C offensichtlich abzählbar. Sei nun x ∈ X und U ∈ U(x). Nach der Definition der Basis existiert dann ein B ∈ B mit x ∈ B ⊂ U . Dies gilt dann auch für das feste x B ∈ B, welches wir gewählt haben und es folgt x b ∈ U ∩ C, d.h. x ∈ C. Die umgekehrte Relation C ⊂ X ist offensichtlich und folglich ist

C dicht in X. Ein Beispiel aus der Analysis liefert die Menge Q der rationalen

Zahlen, die bekanntlich abzählbar ist und dicht in R liegt.

b) Wir nehmen an, die Bahuptung sei falsch. Demnach gilt für jedes a ∈ A ∈ A . Nach der Definition des Häufungspunkts in 1.18 existiert dann ein

also a /

U ∈ U(a) mit U ∩ A = {a}. Da B eine Basis von T ist, gibt es ein B a ∈ B mit

a ∈ B a ⊂ U , also B a ∩ A = {a}. Die Abbildung

A → B, a → B a ,

ist injektiv, denn aus B a = B a folgt a, a ∈ B a ∩ A, also a = a . Mit B ist also auch A abzählbar.

(vgl. [13] S. 14)

Metrische Räume 16

3 Metrische Räume

Bei der Ausdehnung des R  bzw. des R  auf den R n geht der euklidische Ab- standsbegriff verloren. An seine Stelle tritt ein axiomatisch formulierter Ab- standsbegriff, der aus den Eigenschaften des euklidischen Abstandes abgeleitet ist.

Definition 3.1 Sei X eine Menge und d : X × X → [0, ∞] eine Abbildung. Man nennt d eine Pseudometrik auf X, wenn gilt: (M.1) d(x, y) = d(y, x) für alle x, y ∈ X. (M.2) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) für alle x, y, z ∈ X. (M.3) d(x, x) = 0 für alle x ∈ X.

(M.2) wir als Dreiecksungleichung bezeichnet und besagt, dass der Abstand von x nach z nicht grösser sein kann, als die Summe der Abstände von x nach y und y nach z. Die Pseudometrik heißt Metrik auf X, wenn (M.4) d(x, y > 0) für alle x, y ∈ X, x = y. Man nennt (X, d) einen pseudometrischen Raum beziehungsweise einen me- trischen Raum. [vgl. [13] S. 17] Definition 3.2 Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum, x ∈ X, r > 0. Dann heißt

K d

r (x) := K r (x) := {y ∈ X | d(x, y) < r} offene Kugel mit Mittelpunkt x und Radius r. Der nächste Satz ermöglicht uns, aus einer Pseudometrik eine Topologie zu konstruieren.

Satz 3.3 Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum. Dann ist {K d

r (x) | x ∈ X, r > 0} Basis einer Topologie T d auf X.

Man nennt T d die von d induzierte Topologie auf X. Beweis. Wir verwenden Satz 2.5.

(i) Aus x ∈ K r (x), r > 0 folgt offensichtlich

x∈X,r>0

(ii) Seien x, x ∈ X, r, r > 0 und es existiere ein y ∈ K r (x) ∩ K r (x ). Dann gilt offensichtlich:

δ := min{r − d(x, y), r − d (x , y)} > 0.

Für alle Elemete z aus der offenen Kugel K δ (y) mit Mittelpunkt y und Radius δ gilt dann :

(M.2) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + δ ≤ r.

Metrische Räume 17

Daraus folgt z ∈ K r (x). Aanalog zeigt man z ∈ K r (x ) . Insgesamt gilt also y ∈ K δ (y) ⊂ K r (x) ∩ K r (x ), was zu zeigen war. K δ (y) ist somit das gesuchte Basiselemet (vgl. [13] S. 18)

Wir geben einige Beispiele von induzierten Topologien T d an. Beispiele 3.4 a) Sei X = R und d(x, y) := |x − y| die vom Betrag induzierte Metrik auf R. Dann gilt

K d

r (x) = {y ∈ R | |x − y| < r} = (x − r, x + r).

Die vom Betrag induzierte Topologie T d ist dann die natürliche Topologie auf R. Für X = R  und x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) induziert der gewöhnliche Abstand d(x, y) = {y ∈ R  |

(x  − y  )  + (x  − y  )  } in analoger Weise die natürliche Topologie des R  .

b) d ≡ 0 ist eine Pseudometrik auf jeder Menge X, die sogenannte indiskrete Pseudometrik. Wegen K r (x) = X für alle r > 0 ist T d die indiskrete Topologie.

c)

0 falls x = y

d(x, y) := ist eine Metrik auf jeder Menge X,

1 falls x = y

die sogenannte diskrete Metrik. Wegen K r (x) = {x} für alle 0 < r ≤ 1 ist T d die diskrete Topologie auf X.

d) Für X = R n , x = (x  , . . . , x n ), y = (y  , . . . , y n ) sind (x 1 − y 1 ) 2 + . . . + (x n − y n ) 2

i) d E (x, y) := ii) d S (x, y) := |x 1 − y 1 | + . . . + |x n − y n |

iii) d M (x, y) := max{|x 1 − y 1 |, . . . , |x n − y n |} Metriken auf X. d E (x, y) heißt die euklidische Metrik auf R n , (d S (x, y)) nennt man die Summenmetrik auf R n und d M (x, y) die Maximummetrik auf R n . Offensichtlich gilt für n = 1 : d E = d M = d S , und die offenen Kugeln sehen, je nach Wahl der Metrik, unterschiedlich aus, insbesondere kommen auch Kugeln vor, die im anschaulichen Sinne gar keine Kugeln sind (vgl [15] S. 113 )

e) Sei C die Menge der komplexen Zahlen z = x+iy mit x, y ∈ R. Für z 1 , z 2 ∈ C mit z α = x α + iy α , α ∈ {1, 2} ist durch d(z 1 , z 2 ) :=

eine Metrik auf C gegeben. Die von ihr induzierte Topologie auf C heißt die natürliche Topologie von C (vgl. [17] S. 27).

Definition 3.5 Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum. Für Teilmengen A, B von X definieren wir den Abstand von A und B durch dist(A, B) := inf{d(a, b) ; a ∈ A, b ∈ B}.

Metrische Räume 18

Der Abstand von A und B hängt also von der Metrik d des metrischen Raumes (X, d) ab. Für x ∈ X sei dist(x, B) := d({x}, B).

Damit kann man die abgeschlossene Hülle charakterisieren. Satz 3.6 Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und X = (X, T d ). Dann gilt:

a) Für x ∈ X und r > 0 ist K r (x) offen und {y ∈ X | d(x, y) ≤ r} abge- schlossen in X.

b) Für A ⊂ X, A = 0 gilt

A = {x ∈ X | d(A, x) = 0}.

[vgl. [13] S. 20] Definition 3.7 Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊂ X und ε > 0. Eine end- liche Menge von Punkten N = {x 1 , . . . , x n } heißt ein ε−Netz für A, wenn für jeden Punkt a ∈ A ein x i ∈ N existiert mit d(a, x i ) < ε. Beispiele 3.8 Sei X = R  und d die euklidische Metrik d E . Die Teilmenge A sei gegeben durch:

A := {(x, y) ∈ R  | x  + y  < } = K d E

 (( 0, 0)).

A ist also die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 2.

Für ε = 3

2 ist die Menge

N = {(1, −1), (1, 0), (1, 1), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (−1, −1), (−1, 0), (−1, 1))}

offensichtlich ein ε−Netz für A. Andererseits ist für ε = 1

2 die Menge N kein

ε−Netz für A, da der Abstand zwischen p = ( 1

N größer als 1

Der Durchmesser d(A) der offenen Kreisscheibe A läst sich mit dem Abstands- begriff wie folgt beschreiben:

d(A) := sup{d(a, a ) | a, a ∈ A}

A heißt beschränkt, wenn d(A) < ∞ gilt.

Definition 3.9 Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes (X, d) heißt total- beschränkt, wenn zu jedem ε > 0 ein ε−Netz für A existiert, d.h. wenn zu jedem ε > 0 eine Zerlegung von A in endlich viele Mengen existiert, deren Durchmes- ser kleiner als ε ist.

Lemma 3.10 Jede total beschränkte Menge eines metrischen Raumes ist be- schränkt.

[ [15] S.157]

Metrische Räume 19

Der nächste Satz beschreibt die Rolle der Abzählbarkeitsaxiome für pseudome-

trische Räume.

Satz 3.11 Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und X = (X, T d ). Dann gilt:

a) X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom.

b) X erfüllt genau dann das zweite Abzählbarkeitsaxiom, wenn X eine ab-

zählbare dichte Teilmenge besitzt.

Beweis. a) Für x ∈ X ist {K 1 (x) | n ∈ N} offensichtlich eine Umgebungsbasis

n von x.

b) „⇒“ Die Behauptung folgt sofort aus Satz 2.16.

„⇐ “ Sei D eine abzählbare dichte Teilmenge von X. Dann ist sicherlich

B := {K 

n

Es bleibt noch zu zeigen, dass D eine Basis von T d ist. Dazu sei a ∈ X und

U ∈ U(a). Dann existiert ein n ∈ N mit a ∈ K 1 (a) ⊂ U . Weil D = X gilt, ist

n der Durchschnitt jeder Umgebung von a mit D nicht leer, d.h. es existiert ein

x ∈ D ∩ K 1 (a). Es folgt

2n

n n 2n

denn y ∈ K 1 (x) impliziert

2n

2n 2n n

Also ist B eine Basis von T d . [vgl. [13] S.20]