Gliederung

1.  Einleitung Seite  02

2.  Polynom-, Spline- oder trigonometrische Interpolation? Seite  02

3.  Die Interpolation periodischer Funktionen Seite  03

3.1.  Theoretische Grundlagen Seite  03

3.2.  Alles aus diesem Gebiet zusammengefasst Seite  05

4.  Programm zur Interpolation periodischer Funktionen Seite  08

5.  Beispiel zur Interpolation periodischer Funktionen Seite  10

6.  Literatur Seite  12

1.  Einleitung  

H  äufig kommt es vor, dass in den verschiedensten Bereichen Daten dargestellt werden  

m  üssen, die einen periodischen Verlauf annehmen. Dies ist zum Beispiel in der Medizin -  bei

der  Darstellung von Fieberkurven, Herzfunktionen o.ä. - der Fall. Aber auch bei den  

Oszillographen  in der Physik oder bei der geschichtlichen Analogrechnung oder  bei

Berechnungen  durch das Messen von Strömen. Um diese Daten praktisch anschaulich  

darstellen  zu können, empfiehlt es sich, diese durch eine Kurve zu interpolieren - was in der  

Praxis  auch so gemacht wird. Hier kommt nun die Numerischen Mathematiker ins Spiel, zu  

dessen  Teilgebieten ja die Interpolation von Datenkurven/ Funktion gehört.  

Die  nächste Frage ist nun, auf welche Weise diese periodischen Datenkurven oder Funktionen  

interpoliert  werden sollen. Als Ausgangsfunktion wären hier Polynome, Splines oder auch  

Winkelfunktionen  denkbar. Welche am besten für die Interpolation solcher periodischer  

Datenkurven  oder Funktionen geeignet sind, soll im nächsten Kapitel erörtert werden.  

Weiter  möchte ich dann auf die theoretischen Grundlagen der Interpolation periodischer  

Funktionen  eingehen, im vierten Kapitel versuchen, ein Programm dazu zu erarbeiten und  

zum  Schluss ein selbstgewähltes Beispiel mit meinem Programm zu bearbeiten und  

gegebenenfalls  zu diskutieren.  

2.  Polynom-, Spline- oder trigonometrische Interpolation?  

Da  schon zu Anfang der Vorlesung „Numerische Mathematik“ gezeigt wurde, dass bei einer  

Polynominterpolation  mit ansteigender Datenmenge auch der Oszillationsgrad ansteigt und  

somit  die Interpolation zwischen den Messwerten gänzlich ungenau sind, scheidet diese  

Methode  schon von vornherein für mich aus.  

Die  Idee, mehrere kubische Funktionen aneinander zu reihen erscheint mir schon als viel  

g  ünstiger, da es hier zu keiner so hohen Oszillation kommen kann. Aber dennoch muss man  

bei  den Übergängen darauf achten, dass die Gesamtfunktion glatt, d.h. jeweils die  

Folgefunktionen  an den Knüpfstellen mindestens in den Funktionswerten und den ersten  

beiden  Ableitungen übereinstimmen. Außerdem muss die Periodizität durch die zusätzliche  

Bedingung  , dass in einem bestimmten immer wiederkehrenden Intervall die untere und obere  

Grenzstelle  in Funktionswert und mindestens der ersten Ableitung übereinstimmen, gegeben  

sein.   

Dem  entgegen wäre es doch meiner Meinung nach viel sinnvoller die schon vorhandene  

Eigenschaft  der Periodizität der Winkelfunktionen, die in einem bestimmten Intervall  

hinreichend  glatt (also hinreichend oft differenzierbar) und in Funktionswert und Ableitungen  

der  unteren und oberen Grenzstellen übereinstimmen, auszunutzen. Aus diesem Grunde haben  

sich  Mathematiker wie SANDE/ TUCKEY, GOERTZEL, REINSCH u.a. auch genau damit  

befasst  und Berechnungsmethoden dazu erarbeitet.  

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3. Die Interpolation periodischer Funktionen

3.1. Theoretische Grundlagen

Ausgangspunkt ist die Periode 2π, das heißt ƒ(x) = ƒ(x + 2π).

Gegeben sind N Stützpunkte (x k , ƒ k ) ∀(k = 0,1,...,N−1) mit ƒ k = ƒ(x k )∈ und x k ∈ unter der

Voraussetzung, dass 0 ≤ x 0 < x 1 < ... < x N-1 ≤ 2π. Dann folgt aus

sin(hx) = sin(h(x + 2π)) = sin(hx + 2hπ) ∧ cos(hx) = cos(h(x + 2π)) = cos(hx + 2hπ) ∀h∈⁄

ψ(x k ) = ƒ k ∀(k = 0,1,...,N−1) stellt eine Linearkombination für die Stützstellen dar, für die

fo lgendes gilt:

Im Folgenden möchte ich mich auf eine äquidistante Einteilung des Intervalls [0 , 2π]

beschränken. Daraus folgt für die Stützstellen,

äquivalent zum Problem des trigonometrischen Polynom p(x) von N-ter Ordnung mit p(x k ) =

ƒ k ∀(k = 0,1,...,N−1), für das wiederum Folgendes gilt:

ψ(x) und p(x) stimmen in der Regel nur an den Stützstellen überein.

π k ² i Setzt man ω:= e ix ∧ ω k := ∧ P(ω):= β 0 + β 1 ω + β 2 ω ² + ... + β N−1 ω N−1 , dann ist P(ψ) = ix e e k N

ein Interpolationspolynom vom Grad P ≤ N−1 und P(ω k ) = ƒ k ∀(k = 0,1,...,N−1).

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ƒ = (ƒ 0 , ƒ 1 , ..., ƒ N−1 ) → F(ƒ) := β = (β 0 , β 1 , ..., β N−1 ) bezeichnet man als die diskrete

Fouriertransformation (DFT). Dem entgegen ist F ⁻¹ (β) die Fouriersynthese, das heißt die

Auswertung eines trigo nometrischen Polynoms p(x) an der Stelle x k .

− 1 N ∑ = Aus

f k

= 0 j