Abkürzungsverzeichnis

APT Arbitrage Pricing Theory

CAPM

Bzw.

Symbolverzeichnis

T  

v

v v



= Sei

v





v 

einspaltige/zeilige Matrizen aufgefasst) so ist

δ

dj Kronecker Symbol

w Umsatvolumen

z.B. Kauf einer Aktie 500€+ Lehrverkauf einer Aktie 500€ = Umsatzvolumen

1000€

Anteil der Aktie i am Umsatzvolumen w der insgesamt zur Portfoliobildung p

i

durchgeführten Wertpapiergeschäfte

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Arbitragemöglichkeit im Zweifaktorenfall ______________________ 14

Abbildung 2: Im Gleichgewichtsfall existieren keine Arbitragemöglichkeiten______ 15

Abbildung 3: Kapitalmarktlinie und Wertpapiermarktlinie _____________________ 16

2

Inhaltsverzeichnis

  ARBITRAGE PRICING THEORY  1

  ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS  2

  SYMBOLVERZEICHNIS  2

  ABBILDUNGSVERZEICHNIS  2

1  EINLEITUNG  4

2  DAS KLASSISCHE APT  4

2.1  DER RENDITEGENERIERENDE PROZESS  5

2.2  DIE HERLEITUNG  6

2.2.1  Die Portfoliorendite  7

2.2.2  Definition Arbitrageportfolio  10

2.2.3  No-Arbitrage Bedingung  10

2.2.4  Herleitung der Bewertungsgleichung  11

2.3  ZUSAMMENFASSUNG: DAS KLASSISCHE APT  13

3  VERGLEICH CAPM APT  15

3.1  CAPM EIN KURZER ÜBERBLICK  15

3.2  KONSISTENZ VON APT UND CAPM  17

3.3  UNTERSCHIEDE ZWISCHEN APT UND CAPM  18

3.3.1  Einbezug des Risikos  19

3.3.2  Praktische Anwendung und empirische Testbarkeit  19

4  EMPIRISCHER TEIL  20

4.1  ERZEUGEN VON ORTHOGONALEN INDIZES  21

4.2  SCHÄTZEN DER FAKTORSENSITIVITÄTEN  21

4.3  SCHÄTZEN DER FAKTORPREISE  22

5  FAZIT  23

6  ANHANG  24

6.1  ANHANG 1  24

6.2  ANHANG 2  24

6.3  ANHANG 3  25

6.3.1  Zusammensetzung der Arbitrageportfolios  26

6.3.2  Die Bewertungsgleichung  28

6.4  ANHANG 4  29

6.5  ANHANG 5  30

  LITERATURLISTE  32

  SEKUNDÄRLITERATUR  33

  3  

1 Abstract

This paper introduces the Arbitrage Pricing Theory (APT) originally derived by Ross in 1976. Therefore it stresses the assumptions and the derivation of this theory. Extensions of this theory should not be focused in this paper, which concentrates on the capital market equilibrium in large markets and in a discrete time horizon. The differences between the APT and the CAPM should also be pointed out, too. Finally this paper closes with an example, that shows how to estimate the coefficients of this theory.

2 Einleitung

Wie auch das CAPM 1 beschreibt die Arbitrage Pricing Theory die Beziehung der erwarteten Renditen zum Risiko. Es gehört damit zu den Modellen, die das Kapitalmarktgleichgewicht beschreiben. Diese Arbeit soll eine Einführung in die Arbitrage Pricing Theory sein. Sie macht es sich zum Ziel, die Annahmen und die Aussagen dieses Modells vorzustellen. Anschließend soll die APT mit dem CAPM, den bekanntestem Kapitalmarktgleichgewichtsmodell, verglichen werden. Die in den letzten Jahren publizierten Erweiterungen 2 des Modells, sollen in dieser Arbeit nicht diskutiert werden. Es werden die Annahmen und die Erkenntnisse der APT herausgearbeitet. Anschließend soll ein Vergleich der APT mit dem CAPM den theoretischen Teil dieser Arbeit abschließen, bevor sie mit einer eher praktisch orientierten Anwendung der APT endet.

3 Das klassische APT

Die Arbitrage Pricing Theory (APT) geht ursprünglich auf Arbeiten von Ross 3 (1976 und 1977) zurück, wurde jedoch kurz darauf von Connor (1983) 4 , Huberman(1983) 5 und Ingersol(1983) 6 erweitert, so dass hier auch deren Erkenntnisse mit als „klassisches APT“ bezeichnet werden sollen. Diese „klassische APT“ ist ein Kapitalmarktmodell für einen vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt mit endlich vielen Wertpapieren, bei endlichem Betrachtungshorizont 7 . Im Folgenden soll diese „klassische APT“ näher beschrieben werden. Dazu wird zuerst der renditegenerierende Prozess (Kapitel 3.1

1 Vgl. Sharp(1964), Lintner(1965), Mosin(1966)

2 Vgl. Reisman (1992); de Vries (2000); Khan/ Sun (2002) 3 Vgl. Ross (1976); Ross (1977) 4 G. Connor: „A Factor Pricing Theory for Capital Assets.“ Unpublished working paper, Kellogg Graduate School of Management, Northwestern University, 1981; Vgl. Chen/Ingersoll (1983): S. 985 5 G. Huberman: „A Simple Approach to the Capital Budgeting Problem.“ Unpublished working paper, School of Organization and Management, Yale University, 1981; Vgl. Chen/Ingersoll (1983): S. 985 6 J. Ingersoll: „Some Results in the Theory of Arbitrage Pricing.“ Unpublished working paper, Graduate School of Business, University of Chicago, 1982; Vgl. Chen/Ingersoll (1983): S. 985 7 Die hier genannten Einschränkungen des Modells sind nicht vollständig. Für eine vollständige Aufzählung aller Einschränkungen, siehe Kapitel 3.2: Die Herleitung.

4

beschrieben), da er die Grundannahme des APT darstellt. Danach wird mit Hilfe von

einfachen Grundlagen der Portfoliotheorie (Kapitel 3.2.1. und 3.2.2) unter Zuhilfenahme der

Gleichgewichtsbedingung (Kapitel 3.2.3) für den Kapitalmarkt die Bewertungsgleichung

hergeleitet (Kapitel 3.2.4).

3.1 Der renditegenerierende Prozess

Ausgangspunkt für das APT ist die Beobachtung, dass gleichgerichtete Bewegungen der

Aktienkurse durch wenige gemeinsame Faktoren beschrieben werden können 8 . So nimmt

Ross an 9 , dass sich die Rendite eines Wertpapiers i zum Zeitpunkt t als dessen erwartete

Rendite, korrigiert um die Auswirkungen unerwarteter Änderungen endlich vieler

ε , der ebenfalls

Einflussgrößen, darstellen lässt. Hinzu kommt noch ein Störterm it

wertpapierspezifisch ist. Es wird davon ausgegangen, dass sich die Auswirkungen, der

unerwarteter Änderungen der Einflussgrößen ( lt f ), proportional zu diesen Änderungen

verhalten:

Einfluss der unerwarteten k

Faktoränderungen auf die Rendite des i-ten Wertpapieres = ∑

il f b

(1) =

l 1

b die Faktorsensitivität 10 der i-ten Wertpapierrendite gegenüber dem l-ten

Dabei bezeichnet il

f die zufällige unerwartete Änderung des l-ten Faktors.

Faktor und lt

Zusammenfassend lässt sich der renditegenerierende Prozess wie folgt darstellen:

k

∑

ε

+ + = ∀

f b R E R t i ) ( : , (2)

lt il it it =1

l

Mit dem Ziel die Schreibweise zu vereinfachen, sollen folgende Definitionen eingeführt

werden:





R 



t 1

=

den Vektor aller verfügbaren Aktienrenditen und setzt weiter

Man bezeichne mit

:

R





M t



 R



 nt

ε









f





t 1

( ) { } { }

=

=

und

b B :

:

f





M ∈ ∈

t

il

k l n i ,..., 1 ; ,..., 1



 f



 kt

b , die Sensitivität der i-ten Wertpapierrendite auf den l-ten Faktor angibt. Dann lässt

wobei l

i

sich Formel (2) prägnanter in Matrixschreibweise darstellen:

8 Vgl. Häflinger (1998), S.36 9 Vgl. Ross (1976), S.342 10 Auch Faktorpreis, factor betas, factor loadings. Vgl. Häflinger(1998), S.37; Wilhelm(1985), S. 103

5

( )

ε

+ + =

Bf R E R

t t t

In der ursprünglichen Version des APT 11 forderte Ross, dass:

f unerwartet sind:

a) Die Faktoreinflüsse lt

( ) 0

= ∀

f E l t

: , (4)

lt

b) Die Faktoren zueinander orthogonal sind:

( )

( )

E

c) Die Faktorvarianzen normiert sind:

i σ

: 2 = ∀

1 (6)

i

d) Die Störgrößen nicht autokorreliert sind und eine beschränkte Varianz haben:

( )

( )

ε

E

e) Kein prognostizierbarer Informationsgehalt in den Residuen enthalten ist d.f.:

( ) ( ) 0

ε ε

= = ∀

: , , E t j i

3.2 Die Herleitung

Der Beitrag von Ross(1976) war es zu zeigen, dass unter Annahme 13 eines vollkommenen,

vollständigen, großen Kapitalmarktes ohne Friktionen 14 und des in Kapitel 3.1 beschriebenen

renditegenerierenden Prozesses, sämtliche Aktienrenditen als Linerkombination ihrer

Faktorsensibilitäten mit den dazugehörigen Riskofaktorentschädigungen darstellbar sind.

Dabei sind die dabei verwendeten Koeffizienten aktienunabhängig. Um dieses Ergebnis

herzuleiten, soll zunächst die Varianz und der Erwartungswert von der Portfoliorendite näher

untersucht werden. Danach ist zu definieren, was unter einem Arbitrageportfolio zu verstehen

ist, um dann über die No-Arbitrage-Bedingung, als Charakteristikum des

Marktgleichgewichts, die Bewertungsgleichung herzuleiteten.

11 Vgl. Ross (1976), S. 342; ein paar dieser Forderungen, werden nicht explizit genannt, wurden jedoch implizit angenommen. Vgl. Häflinger(1998), S.41 ff.; Wilhelm (1985), S.103 ff.; Ingersoll (1984), S. 1022, 1023. 12 Ross (1976) wies darauf hin, dass diese Bedingung abgeschwächt werden könnte. Vgl. Shanken (1992) 13 Ross(1976) trifft diese Annahmen nicht explizit. Sie lassen sich viel mehr von der No-Arbitragebedingung, sowie von der Annahme, das sämtliche Arbitrageportfolios gebildet werden müssen ableiten. 14 Dieser Ausdruck beinhaltet die Annahme der vollkommenen Konkurrenz (Investoren können die Preise nicht beeinflussen) und der uneingeschränkten Möglichkeit Lehrverkäufe zu tätigen. Weiter werden in diesem Modell die Steuern, die Transaktionskosten und andere Marktunvollkommenheiten vernachlässigt. Man geht von vollkommener Information aus. Das bedeutet, dass alle Investoren die selben Informationen haben (homogene Erwartungen der Investoren).

6

3.2.1 Die Portfoliorendite

In diesem Kapitel soll sowohl der Erwartungswert, als auch die Varianz der Portfoliorendite

untersucht werden. Im Folgenden bezeichne i p den Anteil der Aktie am Umsatzvolumen w

der insgesamt zur Portfoliobildung durchgeführten Wertpapiergeschäfte 15 .

bezeichne den Vektor aus diesen Anteilen. Damit ergibt sich der Erwartungswert der

Portfoliorendite als 16 :





( ) ( )

n n

( )

∑

= =



T P

p E R p E R E

i t t





= =

1 1

i i

Wobei n die Anzahl sämtlicher verfügbarer Wertpapiere ist 17 .

Die Varianz der Portfoliorendite berechnet sich wie folgt:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Var

= Var

Da der erste Summand in der Varianz eine Konstante ist, ist Gleichung (10) äquivalent zu:

( )

=

Var

Mit der Unkorreliertheitsannahme Gleichung (8) gilt:

( ) ( ) ( ) ( )p

=

Var

Der erste Summand in dieser Varianz repräsentiert das Faktorrisiko oder auch systematische

Risiko, während der zweite für das unsystematische Risiko steht. Zur Herleitung der

Bewertungsgleichung wird weiter davon ausgegangen, dass dieses unsystematische Risiko

durch den Investor wegdiversifiziert werden kann 18 . Sowohl die Argumentation von

Roll/Ross 19 als auch die von Häflinger können dabei jedoch nicht überzeugen:

15 Das Umsatzvolumen ist nicht das selbe wie das investierte Kapital. So ist das Umsatzvolumen beim Kauf einer Aktie (500€) und anschließenden Lehrverkauf einer Aktie (500€) gleich 1000€, während das Investierte Kapital 0€ beträgt.

16 Siehe Anhang 2

17 Bei einen nicht endlichen Markt ist eine asymptotische Betrachtung mit n gegen unendlich möglich. 18 Vgl. Häflinger(1998), S.44; Haugen(2001), S. 257. Andere Autoren setzen dafür die Existenz von großen Märkten voraus, die solche Diversifikationsmöglichkeiten bieten. Vgl. Khan/Sun(2002), S.1,2 19 Bereits Wilhelm (1985 S. 104) bezeichnete die Argumentation von Roll/Ross (1980, S.1078) als fraglich. Häflinger (1998, S.43) nahm diese Argumentation unkritisch auf. Ross(1976), S.344-346ff. diskutierte seine auch damals schon getroffene Annahme kritisch und kam zu den Schluss, dass sie in großen Märkten Gültigkeit haben könnte. Er empfahl dies empirisch zu untersuchen.

7

( ) ∑

( ) ( )

ε

=

T T T

p e e E p p Var

t t t

Ross/Roll 20 vereinfacht = , während Häflinger 21 argumentiert, dass

p i

n n

argumentieren weiter mit:

( ) ( ) ( )

∑

σ

≤

2

P

max lim lim R Var

i t

n





∞ → ∞ →

n n

i

= =

1 1

i i

Dass das unsystematische Risiko nicht berücksichtigt werden muss. Diese

Argumentationsweise ist problematisch, da damit implizit die Annahme getroffen wird, dass

auf dem Markt die Möglichkeit gegeben ist, ein Arbitrageportfolio aus unendlich vielen

verschiedenen Wertpapieren zu bilden, dessen Assets näherungsweise gleichverteilt sind.

Dieser Existenzbeweis steht aus und lässt sich auch nicht trivial aus den Annahmen des APT

ableiten. Probleme dieser Art wurden in späteren Arbeiten zum APT behandelt 22 .

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit, soll trotz der hier angesprochenen Probleme davon

ausgegangen werden, dass Investoren das diversifizierbare (unsystematische 23 ) Risiko

vollständig diversifizieren und deshalb nicht mit in ihr Entscheidungskalkül einbeziehen.

( ) 0

Var ε

Gleichung (15) in (15):

( ) ( ) ( ) p

Var

Mit Vorraussetzungen (5) und (6) ergibt sich 24 :

20 Vgl. Ross/Roll(1980), S.1078; in Ross (1976) begründet er das Weglassen von dem Störterm nur verbal durch eine Diversifikationsargumentation.

1 nähert

21 Vgl. Häflinger (1998), S.43; Er argumentiert, dass sich die durchschnittliche Portfoliogewichtung n und damit dessen quadrierter Wert approximativ gegen null bewegt. 22 Es gab verschiedene Arbeiten, die die APT empirisch untersuchten, um damit Erkenntnisse über die Aussagekraft des Modells zu bekommen. So z.B. Roll/Ross(1980), Chen(1983), Geweke/Zhou (1996) 23 Khan/Sun (2002, S.2) unterscheiden zwischen diversifizierbaren und unsystematischen Risiko. Da es das Ziel dieses Kapitels ist, die klassische Herleitung des APT zu skizzieren, soll jedoch hier auch die klassische Sichtweise angenommen werden, welche diese Unterscheidung nicht trifft. 24 Siehe hierzu auch Anhang 1

8

( ) ( ) ( ) ( )

Var 

∑

=





(

=

b k

∑ ∑

=

   

= = = = = = =

j j i j i j i

1 1 1 1 1 1 1

n

{ }

= ∑

∈

b p b ; :

Dabei stehen die

ij i Pj

=

i 1

bezüglich des j-ten Faktors. Aus Gleichung (17) lässt sich ableiten:

( )

Var

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich sowohl der Erwartungswert des Portfolios, als auch dessen die Varianz bestimmenden Faktorsensibilitäten als Linearkombination derjenigen Erwartungswerte und Faktorsensibilitäten, der im Portfolio integrierten Wertpapiere darstellen lassen. Dabei dienen die Wertpapieranteile i p als Koeffizienten. Geht man davon aus, dass die Portfoliorendite vollständig durch deren Erwartungswert und deren Varianz beschrieben ist 25 , bzw. dass sich der Investor bei der Beurteilung eines Portfolios nur von dessen Erwartungswert und dessen Varianz leiten lässt, lassen sich die

( )

relevanten Daten eines Portfolios vollständig durch den Vektor

Gleichung (17) auch mit dem Vektor

Wegen Gleichung (9) und (17) gilt:

( )

( )









P

R E

R E









it

t









b

b

n

∑

=

i 1

1

P

p

(19)









i

M

M









=

i 1









b

b









Pk

ik

25 Dies ist sind die klassischen Beurteilungskriterien für ein Portfolio. Vgl. Steiner/Bruns(1998), S.8; Wenn man

z.B. unterstellt, dass die Portfoliorenditen normalverteilt sind, ist diese Annahme erfüllt.

9