Ähnliche Matrizen, Eigenwerte, Eigenvektoren

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1 Einleitung

„Übrigens wird mir denn doch bei dieser Gelegenheit immer deutlicher, was ich schon lange im Stillen weiß, dass diejenige Kultur, welche die Mathematik dem Geiste gibt, äußerst

einseitig und beschränkt ist.“ 1

Dies ist eine Passage aus dem Brief Goethes an Karl Friedrich Zelter vom 28.Februar 1811. Darin fällt Goethe ein vernichtendes Urteil über die Mathematik allgemein und die Denkhaltung, die diese beim Menschen hervorruft. Die Mathematik bietet in seinen Augen eine zu einseitige und beschränkte Sichtweise der Welt. Sie wendet sich ab von der Realität. Daraus lässt sich auch schließen, dass Sinn und Zweck der Mathematik zu oft vernachlässigt werden. Und gerade da setzt dieses Seminar an. Es soll zunächst ein tieferes Verständnis der Mathematik und der einzelnen mathematischen Konzepte vermitteln. Daher werden auch in der folgenden Arbeit jeweils Beweise angeführt, die zum Verständnis der Themen unabdingbar sind. Zusätzlich werden auch die Anwendungsbereiche der einzelnen Konzepte erwähnt, damit die Zusammenhänge zwischen den jeweiligen Konzepten – auch innerhalb der Themen des gesamten Seminars – erkennbar werden.

Ebenso wie in der vorherigen Arbeit wird auch in unserer Arbeit auf Themen der Linearen Algebra eingegangen, die heute in der Wirtschaftspraxis so häufig wie kein anderes Gebiet der Mathematik angewandt wird. Vor allem die Matrizenrechnung kann auf vielfältige Weise im Rechnungswesen eingesetzt werden, so z. B. in der Kostenrechnung oder im Controlling. Mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen werden ökonomische Beziehungen beschrieben und erst durch den Einsatz der linearen Planungsrechnung können ökonomische Entscheidungsprobleme gelöst werden.

Unsere Arbeit wird speziell vier Teilgebiete oder Teilaspekte der Linearen Algebra behandeln, die in einem engen Zusammenhang stehen. Als Grundlage für die späteren Ausführungen muss zunächst der Begriff der Determinante erläutert werden. Daran anschließend wird auf Ähnliche Matrizen eingegangen, die letztlich erst zum Eigenwert und zum Eigenvektor führen. Nach der theoretischen Einführung wird noch einmal ausführlicher auf den Anwendungsbezug oder die praktische Relevanz eingegangen. Denn gerade der Begriff Eigenwert kann in dreierlei Hinsicht angewandt werden. Zunächst spielt der Eigenwert quadratischer, symmetrischer Matrizen eine Rolle im Zusammenhang mit Maximierungs- und Minimierungsaufgaben bei Funktionen mit mehren Variablen. Dann benötigt man für die Behandlung und Lösung von linearen Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung grundlegende Kenntnisse über Eigenwerte quadratischer Matrizen und deren Eigenschaften. Und schließlich kann die Eigenwerttheorie von quadratischen Matrizen dazu genutzt werden, lineare

Wachstums- bzw. Ausbreitungsprozesse in der Ökonomie zu beschreiben. 2

Die Verbindung zu den ersten Arbeiten, die alles Themen aus der Analysis behandelten, kann erst durch diese Anwendungen gezogen werden. Oberflächlich betrachtet entdeckt man kaum

1 Vgl. Radbruch 1997, S.VII.

2 Vgl. Opitz 1995, S.331.

3

Gemeinsamkeiten zwischen den Methoden der Differentialrechnung und der Linearen Algebra. Stetigkeit, Differenzierbarkeit usw. stehen Linearen Gleichungssystemen, Matrizen usw. gegenüber und man findet nur schwer einen Zusammenhang zwischen diesen Bereichen. Gemeinsam haben sie nur ihren Anwendungsbereich. In der Wirtschaft hat vor allem das ökonomische Prinzip (Rationalprinzip) besondere Bedeutung. Dies führt dann zur Formulierung von Minimierungsaufgaben („Erreiche ein bestimmtes Ziel mit dem Einsatz möglichst geringer Mittel“) oder von Maximierungsaufgaben („Suche das größtmögliche Ergebnis unter Einsatz verfügbarer Faktoren“). Und gerade zu diesen Problemen stellen beide – Analysis und Lineare Algebra – wirksame

Werkzeuge zur Lösung bereit. 3

2 Determinanten

2.1 Begriffliche Einführung

Als Determinante bezeichnet man eine reelle Zahl, die jeder quadratischen Matrix A eindeutig zugeordnet werden kann, d. h. sie ist für jede Matrix dieses Typs eindeutig definiert. Und eben diese Determinante und deren Berechnung spielen in der Matrizenrechnung eine wichtige Rolle. Bezogen auf diese Arbeit ist das Wissen um die Determinante Voraussetzung für die späteren Ausführungen bzgl. der Eigenwerte und Eigenvektoren. Eine eigenständige ökonomische Bedeutung kann den Determinanten aber nur schwer zugerechnet werden. Daher ist es auch schwierig, die Determinanten

anders als über eine ziemlich willkürlich erscheinende Definition einzuführen. 4

2.2 Determinantenformeln

Um dieses Manko zu beseitigen und zu zeigen, dass Determinanten mehr sind als nur abstrakte mathematische Gebilde, wird die geometrischen Interpretation der Determinanten i m Folgenden

erläutert. 5

Dabei gehen wir von zwei Vektoren

a

Parallelogramm aufspannen,wie in Abb. 2.1 verdeutlicht wird.

3 Vgl. Ohse 2000, S.275.

4 Vgl. Ohse 2000, S.243.

5 Vgl. Rommelfanger 2002, S.171f.

Abb. 1: Fläche des Ursprungsparallelogramms und des verschobenen Parallelogramms

Die Fläche ( )

F

Höhe. Auf unser Beispiel bezogen bedeutet das, aus dem Produkt einer der beiden Seiten z. b. 1

a

mit dem Abstand der zu ihr parallelen Seite, der als h bezeichnet wird.

( )

F

Jetzt betrachten wir ein anderes Parallelogramm, das von den Vektoren 1

beliebigen ∈

a und dieselbe Höhe h , daraus folgt, dass es auch den gleichen

hat dieselbe Grundlinie 1

Flächeninhalt aufweisen muss. Somit gilt

( ) = ( )

F

Die Fläche des Parallelogramms ändert sich also nicht, wenn man einen der Vektoren durch eine

Linearkombination beider Vektoren ersetzt. Daher gilt auch

( ) = ( )

F

Um diese eine Fläche zu berechnen, verschieben wir einen Vektor zunächst so, dass er auf einer

Achse liegt. Das bedeutet, dass eine Komponente dieses Vektors gleich Null sein muss. In der Abb.

2.2 ist der Vektor 2 a auf die k 2 -Achse verschoben worden, daraus folgt, dass die 1.Komponente

−

 

a

12

 

−

λ

des Vektors =

a a

1 2

a



22

entsprechend wählen, d. h. es muss gelten λ =

Abb. 2: Parallelogramm, dessen eine Grundlinie in Ordinatenrichtung liegt

−

λ

Die Länge des Vektors und damit die Grundlinie unseres Parallelogramms ist identisch

a a

1 2

mit dem Betrag der 2.Komponente. Daraus folgt:

Die Höhe des Parallelogramms ist gleich 11

Insgesamt kann man die Fläche des Parallelogramms durch die folgende Rechnung ermitteln:

F

F

Diese Umformungen waren nur für den Fall 11 verschiebt man das Parallelogramm so, dass der andere Vektor auf der k 1 -Achse liegt. Jetzt muss

die 2.Komponente des Vektors gleich null werden. Wir erhalten ein anderes λ , die Länge ist gleich

dem Betrag der 1.Komponente und die Höhe ist 21 Formel, die somit allgemein gilt.

a = 21 a = 0 , dann ist 1

Tritt der Sonderfall ein, dass 11 a ein Nullvektor. Es wird gar keine Fläche

von den beiden Vektoren aufgespannt und es gibt praktisch nur eine Strecke, die durch dem Vektor

a entsteht.

2

6

Nach diesen Vorüberlegungen kommen wir zur allgemeineren Aussage.

Definition 2.1:

Gegeben sei eine 2x2-Matrix A =

Als Determinante von A bezeichnen wir den Wert

21 12 22 11

dafür

det A = A =

Etwas eingängiger ist dieser Merksatz, bei dem man sich die Determinante nur bildlich vorstellen

muss: „Das Produkt der Glieder auf einem Pfeil von links oben nach rechts unten hat ein positives

Vorzeichen, das Produkt der Glieder auf einem Pfeil von links unten nach rechts oben hat ein

negatives Vorzeichen.

Was oben im zweidimensionalen Raum gezeigt wurde, lässt sich auch auf den R 3 übertragen. Für die

geometrischen Erläuterungen und die Herleitung der folgenden Definition wird aber auf die Literatur

verwiesen. 6 Letztlich erhalten wir auch hier eine allgemeine Rechenregel, die für alle 3x3-Matrizen

gilt.

Definition 2.2:

 

Gegeben sei ein 3x3-Matrix A =

Als Determinante von A, symbolisch ausgedrückt mit A oder det A, bezeichnen wir den Wert

det A = A =

=

33 21 12 32 23 11 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11

Diese letzte Gleichung ist auch als Sarrus‘sche Regel 7 bekannt. Hierbei erweitert man die Matrix um

die ersten beiden Spalten und fügt diese wieder rechts an.

 

a a a a

11 13 12 11





a a a a

A* =

21 23 22 21



a a a a



31 33 32 31

6 Vgl. Rommelfanger 2002, S.173f.

7 Vgl. Ohse 2000, S.249.

7

Daher gibt es jetzt drei Hauptdiagonalen und drei Nebendiagonalen. Nun besagt die Regel von

Sarrus:

Satz 2.1:

Der Wert der Determinante einer Matrix A dritter Ordnung ist gleich der Summe der Produkte der

Hauptdiagonalen abzüglich der Summe der Produkte der Nebendiagonalen der erweiterten Matrix

A*.

Im R 2 und R 3 lässt sich die Determinante somit anschaulich erklären. Damit kann in Vektorräumen höherer Ordnung und auch schon im Eindimensionalen leider nicht mehr gedient werden. Daher

werden im Folgenden nur noch die Definitionen genannt. Zunächst für eine 1x1-Matrix und dann eine

allgemeine Formel für alle nxn-Matrizen.

Definition 2.3: (speziell für Matrizen erster Ordnung) 8

a ) gilt

Für eine Matrix erster Ordnung A = ( 11

a

det A = 11

Definition 2.4: (allgemeine Formel) 9

Für die Determinante einer Matrix n-ter Ordnung gilt

det A =

= ∑

Dabei wird über sämtliche Permutationen

Anzahl der Inversionen der jeweiligen Permutation.

Diese Formel ist äußerst unhandlich und soll daher an einem Beispiel erläutert werden.

Beispiel 1:

Wir betrachten eine Determinante dritter Ordnung, die nach dieser Definitionsgleichung berechnet

werden soll. Als erstes bestimmen wir die Anzahl der Summanden, d. h. alle möglichen

Permutationen (j 1 ,j 2 ,...,j n ) der Spaltenindizes müssen ermittelt werden. Dabei kommen n! mögliche

Anordnungen der Indizes (1,2,...,n) heraus und es tritt jeder Spaltenindex in jedem Produkt genau

8 Vgl. Ohse 2000, S.248.

9 Vgl. Rommelfanger 2002, S. 176.