Inhaltsverzeichnis

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Einleitung   1

1.  Herleitung der Ersatzschaltbilder  2

1.1  Leitungsbeläge  2

1.2  Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsstück  6

2.  Leitungsgleichungen  7

2.1  Kirchhoffsche Gesetze  7

2.2  Telegraphengleichungen  8

2.3  Einführung der komplexen Darstellung  8

2.4  Lösung der Differentialgleichungen  10

2.5  Gruppengeschwindigkeit und Gruppenlaufzeit  15

3.Spannungs-  und Stromverteilung auf der verlustlosen Leitung  18

3.1  Leerlauf  18

3.2  Kurzschluss  20

3.3  Abschlusswiderstand beliebig  22

4.  Allgemeine Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung  24

5.  Impedanz und Reflexionsfaktor  26

5.1  Eingangsimpedanz  26

5.2  Reflexionsfaktor  29

6.  Streuparameter  34

6.1  Vierpoldarstellung einer Leitung  34

6.2  Wellengrößen  34

6.3  S-Parameter  36

6.4  S-Parameter-Berechnung  37

7.Smith-Diagramm   39

7.1  Entstehung und Herleitung des Smith-Diagramms  39

7.2  Anwendungen des Smith-Diagramms  41

8.  Anwendung  44

8.1  Leitungen als Kapazitäten und Induktivitäten  44

9.  Visualisierung  46

9.1  GUI - Graphical User Interfaces  46

9.2  Spannungsdarstellung  47

9.3  Spannungs- und Stromdarstellung  52

9.4  Überlagerung der Spannung und des Stromes  56

10.  Literaturverzeichnis  61

Einleitung

Diese Studienarbeit wurde größtenteils in dem Labor für Übertragungstechnik an der Fachhochschule Bielefeld erstellt. Betreut und begleitet wurden die beiden studierenden

Autoren Marco Eggenwirth und Maik Mönchmeier von dem zuständigen Professor Doktor-Ingenieur Rüdiger Schultheis.

Als Vorgabe wurde den Autoren von Hr. Schultheis lediglich gegeben, dass die Theorie der

Signalübertragung bearbeitet und dokumentiert werden sollte und danach eine Visualisierung dieser Theorie zu entwickeln. Als Eingabe dieser Visualisierung sollten die sekundären

Leitungsparameter dienen und als Ausgabe sollte eine Darstellung der Signale entlang der Leitung gewählt werden. Diese Simulation soll in den Vorlesungen von Hr. Schultheis in dem Fach „Datennetze und Datenfernverarbeitung“ zum selbigen Thema zur Veranschaulichung

der Theorie dienen. Diese Vorlesungsinhalte zum Thema „Signalübertragung auf Leitungen“ sind die Basis für diese Studienarbeit. Vorstellbar wäre es, diese Arbeit als Skriptum bzw. als

Begleitmaterial zur Vorlesung den zuhörenden Studenten zur Verfügung zu stellen. Zur Visualisierung wurde von den Autoren das Programm Matlab der Firma Mathworks gewählt, da sie dieses komplexe Programm, welches in der Industrie einen hohen Stellenwert

genießt, näher kennen lernen wollten.

Die beiden Autoren dieser Studienarbeit sind seit September 2001 an der Fachhochschule

Bielefeld im Studiengang Informationstechnik immatrikuliert. Nach dem Grundstudium 2002 wählten beide den Schwerpunkt Hardware und gehen zielstrebig und engagiert den letzten Teil Ihres Studiums entgegen.

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1. Herleitung der Ersatzschaltbilder

Um die Ortsabhängigkeit von Strom und Spannung und damit den Widerstand einer

homogenen Leitung zu ermitteln, führen wir zuerst einige Definitionen ein. Bei den theoretischen Betrachtungen muss vorausgesetzt werden, dass sich die unten

eingeführten Größen gleichmäßig über die Leitungslängen verteilen und somit proportional zur Leitungslänge sind. Eine solche Leitung muss also über die gesamte Länge eine gleiche Beschaffenheit in Isolierung, Verseilung und Abschirmung aufweisen, um als homogene

Leitung bezeichnet werden zu können. Diese Homogenität, die sich nur durch kleine Fertigungstoleranzen erzielen lässt, ist dann auch das Merkmal qualitativ hochstehender

Kommunikationskabel.

1.1 Leitungsbeläge

Definition der Leitungsbeläge:

− WiderstandvonHinundRückleiter

− InduktivitätzwischenHinundRückleiter

− LeitwertzwischenHinundRückleiter

= '

GAbleitungsbe − KapazitätzwischenHinundRückleiter

Widerstandsbelag:

Der längenbezogene Widerstandsbelag R' drückt die Verluste der stromführenden Leiter aus. Diese sind natürlich zunächst durch den ohmschen Widerstand dargestellt, darüber hinaus

aber auch durch andere Prozesse, wie z.B. durch Abstrahlung verursachten Verluste, die häufig sogar dominierend sind.

Der Widerstandsbelag is t temperaturabhängig. Die spezifische Leitfähigkeit der meist für elektrische Leitungen eingesetzten Metalle sinkt mit steigender Temperatur. Zu berücksichtigen ist ferner die durch den Skin-Effekt abnehmende effektive

Querschnittsfläche der Leiter. Der Skin-Effekt erklärt sich damit, dass eine Stromänderung eine Magnetfeldänderung erzeugt und diese eine Flussänderung in der Querschnittsfläche des

Leiters zur Folge hat. Der induzierte Wirbelstrom verringert die Stromdichte im Zentrum und erhöht ihn außen, ergo die eigentlich effektiv genutzte Querschnittsfläche verringert sich und verlagert sich nach außen auf seine „Haut“ (Skin).

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Induktivitätsbelag:

Der längenbezogene Induktivitätsbelag L' beschreibt die Induktivität der durch Hin- und

Rückleiter gebildeten Schleife.

Beispiel:

Abb. 1.2 Koaxialleitung

Damit ergeben sich für die magnetische Flussdichte oder Induktion

und für den magnetischen Fluss

⇒ Induktivitätsbelag:

Ableitungsbelag:

Der längenbezogene Ableitungsbelag G' drückt Isolationsverluste, aber auch dielektrische Verluste durch Polarisatio nseffekte aus. Auch der Ableitungsbelag ist temperatur- und

frequenzabhängig. Die spezifische Leitfähigkeit der Dielektrika nimmt typisch mit steigender Temperatur zu. Bei steigender Frequenz wächst die Leitfähigkeit und die dielektrischen Verluste sinken.

Kapazitätsbelag:

Der längenbezogene Kapazitätsbelag C' beschreibt den durch Hin- und Rückleiter gebildeten Kondensator.

z

Beispiel:

Abb. 1.4 Koaxialleitung

QDADrl π =⋅=⋅⋅⋅⋅ (Gl. 1.1) 2

E ε

Für die Spannung zwischen Innen- und Außenleiter ergibt sich:

⇒

1.2 Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsstück

Ströme und Spannungen auf einer Leitung sind Funktionen der Zeit t und des Ortes z.

Durch zusammenschalten der oben gezeigten Ersatzschaltbilder ergibt sich folgendes Ersatzschaltbild für ein verlustbehaftetes Leitungsstück der Länge dz.

U (z)

2. Leitungsgleichungen

2.1 Kirchhoffsche Gesetze

Auf das ermittelte Ersatzschaltbild eines kurzen homogenen Leitungsabschnittes wendet man

nun die zwei Kirchhoffschen Gesetze an.

U( z)

2. Kirchhoffsche Gesetz / Maschengleichung

Dies ist die Differentialgleichung der Spannung für eine homogene Leitung.

1. Kirchhoffsche Gesetz / Knotengleichung

Dies ist die Differentialgleichung des Stromes für eine homogene Leitung.

2.2 Telegraphengleichungen

Eine der beiden unbekannten Größen U(z) oder I(z) lässt sich durch Kombination von

Gleichungen 2.1 und 2.2 eliminieren. Um beispielsweise den Strom I(z) zu eliminieren, leiten wir Gleichung 2.1 partiell nach z ab:

⇒=−+⋅=−− 

mit Gleichung 2.2 folgt:

⇒=⋅+⋅+⋅+⋅⋅

Auf analoge Weise lässt sich auch eine Gleichung für den Strom herleiten, ergo:

⇒=⋅+⋅+⋅+⋅⋅

Diese partiellen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten bezeichnet man als

Telegraphengleichungen. Sie stellen die Wellengleichung für ebene Wellen auf homogenen Leitungen dar und gelten für beliebige Spannungen bzw. Ströme.

2.3 Einführung der komplexen Darstellung

Beschränken wir uns auf harmonische Anregung mit der Kreisfrequenz ?=2pf, so sind Strom und Spannung der Leitung in allen Punkten sinusförmig und mit gleich bleibender Frequenz, jedoch mit unterschiedlicher Amplitude und Phase. Infolgedessen können wir Strom und

Spannung mit der komplexen Amplitude bzw. komplexen Effektivwertes ausdrücken.

µ µ $$ UUe ϕ IIe ϕ =⋅ =⋅ j j Komplexe Amplitude: U I

UUe ϕ IIe ϕ =⋅ =⋅ j j Komplexer Effektivwert: U I

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utUe ω itIe ω =⋅ jt jt () () Komplexer Augenblickswert:

{ } { }

Reeller Augenblickswert:

Die eingeführten komplexen Effektivwerte werden nun in die Gleichungen 2.1 und 2.2 eingesetzt. Damit ergibt sich:

mit Gleichung 2.4 folgt:

γωω =++ Substitution: '''' GjCRjL

Dies ist eine homogene lineare DGL 2-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

mit Gleichung 2.3 folgt:

Dies ist eine homogene lineare DGL 2-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

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2.4 Lösung der Differentialgleichungen

charakteristische Gleichung:

Dies ist die allgemeine Lösung der DGL, mit den noch unbestimmten Konstanten U h und U r .

aus Gleichung 2.3 folgt:

mit Gleichung 2.7 folgt:

Der Reziprokwert des Wurzelausdrucks hat die Dimension eines Widerstandes, der so genannte Leitungs- oder Leitungswellenwiderstand.

Als sekundäre Leitungsparameter werden die Größen ? und Z L bezeichnet und primäre

Leitungsparameter sind die Größen R', G', L' und C'.

γωω =++ '''' GjCRjL Die oben eingeführte Substitution wird auch als

„Fortpflanzungs- oder Ausbreitungskonstante“ bezeichnet und kann in Imaginärteil und

Realteil aufgespalten werden: ? = a + j ß

Setzen wir nun ? = a + j ß in die Lösung der DGL (Gl. 2.7) ein, so ergibt sich

Zur genaueren Betrachtung sehen wir uns zunächst den ersten Summanden genauer an:

µ µ µ µ γ ⁻ αβαβ −+−− z =⋅=⋅=⋅⋅ () jzzjz (): UzUeUeUee

hhhh

Trägt man die komplexe Funktion auf, so erkennt man die mit wachsendem z (Länge) gedämpfte und im mathematisch negativen Sinn (im Uhrzeigersinn) gedrehte Amplitude.

Aus dieser Abbildung 2.2 ist ersichtlich, dass der Realteil a ein Maß für die Dämpfung ist und somit auch als „Dämpfungsmaß“ bezeichnet wird. Der Imaginäranteil ß berücksichtigt die Phasendrehung und wird so folglich als „Phasenmaß“ gekennzeichnet.

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