Positivitätserhaltende Methoden hoher Konvergenzordnung für die eindimensionalen Eulergleichungen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung.. 1

2 Grundlagen des discontinuous Galerkin Verfahrens ..4

2.1 Kernelemente am Beispiel der skalaren Advektionsgleichung . . 4

2.2 Erweiterung auf den nichtlinearen, nichtskalaren Fall .. 7

2.3 Implementierung .. 8

2.4 Erste Anwendungen und Analyse . . 16

3 Modifikationen für den nichtlinearen Fall.. 20

3.1 Kurzer Exkurs zu Erhaltungsgleichungen . . 20

3.2 Das nichtlineare Schema . . 23

3.3 Einführung zum Limiting . . 25

3.4 Umsetzung für die eindimensionalen Eulergleichungen .. 32

3.5 Anwendung .. 35

4 Fortgeschrittenes Limiting.. 42

4.1 Limiting in charakteristischen Variablen .. 42

4.2 Positivitätslimiter .. 45

5 Schluss..57

1 Einleitung

Numerische Simulationen stellen in der Physik ein zentrales Werkzeug dar, um Theorien auf ihre Vereinbarkeit mit empirischen Beobachtungen zu überprüfen. Insbesondere wenn eine große Anzahl oder besonders komplizierte Berechnungen vorgenommen werden müssen, führt an der Numerik kein Weg mehr vorbei.

Die Rolle der Computersimulationen ist unter allen Gebieten der Physik in der Astrophysik am größten. Dies hat zahlreiche Gründe: Die enormen Raum-, aber auch Zeitskalen, auf denen die Wechselwirkungen auftreten, erfordern eine große Anzahl an Rechenschritten. Darüber hinaus gibt es aber auch gerade in diesen Skalen enorme Differenzen, da Objekte vom Ausmaß vieler tausend Lichtjahre oder auch nur einiger hundert Kilometer sein können. Entscheidend ist aber auch die Komplexität der Probleme. Bereits für das aus der klassischen Himmelsmechanik bekannte n-Körper-Problem existiert keine praktisch verwertbare Lösung der Differentialgleichungen mehr.

Die Notwendigkeit numerischer Behandlung ist noch viel bedeutender bei partiellen Differentialgleichungen, allen voran den Eulergleichungen [1]:

[Formel in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Hierbei handelt es sich um den inkompressiblen, eindimensionalen Fall in der Erhaltungsform, denn es handelt sich hier offensichtlich um ein System von Erhaltungssätzen. Die Erhaltungsgrößen sind die Dichte , der Impuls u und die Energie E, wobei Energie und Druck über das Ideale Gasgesetz verknüpft sind durch

[Formel in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Y ist dabei ein von der Struktur der Moleküle abhängiger Faktor, der sich über f+2/ f berechnet, mit f, der Anzahl der Freiheitsgrade des Moleküls.

Diese nichtlinearen hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen sind ein Sonderfall der Navier-Stokes-Gleichungen, bei dem die Viskosität und die Wärmeleitung des Fluids vernachlässigt werden, bzw. in unserem Fall auch die Kompressibilität. Deshalb kann man sie ähnlich wie die Navier-Stokes-Gleichungen aus den Newtonschen Bewegungsgleichungen und der Kontinuitätsgleichung für ein festes Volumenelement gewinnen, oder später durch Linearisierung im Gleichgewichtszustand. (vgl. [21]). Die Eulergleichungen können jedoch auch aus der Bernoulli-Gleichung e = u2 2 + p + gz = const. hergeleitet 1 ist jedoch, trotz Limitings Konvergenz hoher Ordnung zu erhalten. Diesem Problem wird sich vorliegende Arbeit widmen.

Hierzu wird zuerst in Kapitel 2 das grundlegende Verfahren erläutert, wobei sich die Notation und die Ausführungen an der herausragenden Einführung von Hesthaven und Warburton orientieren [16]. Es wird dabei auch die Beispielimplementierung von Hesthaven und Warburton erläutert und eigene Ergebnisse mit dieser aufgeführt. Im Anschluss daran wird in Kapitel 3 ein Fokus auf nichtlineare Probleme, zu denen auch die Eulergleichungen gehören, gelegt. Hier werden wir im Kontext von unstetigen Lösungen zum ersten Mal dem Limiting begegnen. In Kapitel 4 schließlich betrachten wir, neben einer Modifikation des TVB-Limiters, den Positivitätslimiter von Zhang und Shu [34]. Ich werde eine Implementierung desselben aufführen und anhand von Anwendungsbeispielen seine Vorzüge im Hinblick auf die Konvergenzordnung des Verfahrens aufzeigen.

[...]

[1] Batchelor, G. K.: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge : Cambridge Univ. Pr., 1967

[16] Hesthaven, J. S. ; Warburton, T.: Nodal Discontinuous Galerkin Methods. New York : Springer, 2008

[21] Landau, L. D. ; Lifschitz, E. M.: Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 6, Hydrodynamik. Haan-Gruiten : Harri Deutsch, 1991

[34] Zhang, X. ; Shu, C.-W.: On positivity preserving high order discontinuous Galerkin schemes for compressible Euler equations on rectangular meshes. In: Journal of Computational Physics (2010)