- I -

INHALTSVERZEICHNIS

ABBILDUNGS  - UND FORMELVERZEICHN IS  II

SYMBOLVERZEICHNIS   III

1  Einleitung  IV

2  Grundstruktur des verwendeten Prinzipal-Agent Modells.  V

3  Anreize bei mehre ren Handlungen und Leistungsindikatoren.  VII

3.1  Relative Gewichtung der Leistungsindikatoren  VII

3.2  Relative Gewichtung der Leistungsindikatoren bei Sicherheit  VII

3.3  Relative Gewichtung der Indikatoren bei gleichgerichteten Vektoren  X

3.4  Relative Gewichtung bei deckungsgleichem und bestimmtem Indikator.  XI

3.5  Relative Gewichtung des bestimmten Leistungsindikators  XII

4  Schlussfolgerung  XV

ANHANG. XVII   

A  - Zielfunktion des Prinzipals.  XVII

B  - Relative Gewichtung der Leistungsindikatoren.  XX

C  - Relative Gewichtung der Leistungsindikatoren bei Sicherheit  XXI

D  - Zu minimierende Zielfunktion.  XXII

E  - Relative Gewichtung bei gleichgerichteten Vektoren.  XXIII

F  - Relative Gewichtung bei deckungsgleichem und bestimmten Indikator  XXIII

  β  XXIV

G  - Beispiel 1: Positive Gewichtung von  2

H  - Relative Gewichtung bei Veränderung der Leistungskoeffizienten  XXV

J  - Beispiel 2: Veränderung der Leistungskoeffizienten.  XXVIII

K  - Relative Gewichtung bei Veränderung der Produktionskoeffizienten  XXVIII

LITERATURVERZEICHNIS   IV

- II -

Aktionen, Handlungen des Agenten a

j

( ) ρ ⁻ − = W e w U : Nutzenfunktion des Agenten

( ) ( ) − = a C x w W : Nettoeinkommen des Agent

( ) ∑ = ² + = β α y w i y w Entlohnungsvertrag:

i 1 i

α Festgehalt

β Gewichtung der Leistungsindikatoren im Arbeitsvertrag

i

∑ = m + = y Leistungsindikatoren e a g y

i i j ij i j 1

[ ] ( ) , ( )

y w E y E : Erwartungswert der Leistungsindikatoren

i

( ) [ ] ( ) y Var y w Var , : Varianz der Leistungsindikatoren

i

Leistungskoeffizienten g

ij

( ) y β β + y Gesamtleistungsindikator

2 2 1 1

∑ = m + = x Ergebnisses e a f x

x j j j 1

( )

x E : Erwartungswert des Ergebnisses

Produktionskoeffizienten f

j

i e e , Externe Umwelteinflüsse

x

ρ Risikoaversionskoeffizient

- IV - 1Einleitung

Die Prinzipal- Agent Theorie untersucht die vertragliche Beziehung

zwischen Wirtschaftsubjekten. Ihr Ziel ist es, die effiziente Gestaltung

von Verträgen zwischen einem Prinzipal und einem Agent anhand der

damit verbundenen Kosten zu erklären. ¹ Der Prinzipal delegiert Auf-

gaben mit Entscheidungskompetenz an den Agenten, die dieser eige n-verantwortlich gegen Entlohnung erfüllt. Der Prinzipal als Auftragge-

ber ist schlechter informiert als der Agent als Auftragnehmer.

Die von dem Agenten getroffene Auswahl der möglichen Handlungs-

alternativen, auch als Aktionen bezeichnet, ist vom Prinzipal nicht zu

beobachten (Hidden action). Die Kontrolle des Agenten erfolgt an-hand von ungenauen aber leicht beobachtbaren Performancegrößen,

im Folgenden als Leistungsindikatoren bezeichnet. Die vertraglich

festgelegten Leistungsindikatoren setzen Anreize für den Agenten, un-

ter den möglichen Handlungsalternativen diejenige Kombination zu

wählen, die zu einem maximalen Unternehmensergebnis führen. Die

Kontrolle der Leistungsindikatoren ist für den Prinzipal mit Kosten

verbunden. Bei Risikoaversion des Agenten entstehen zusätzliche Ef-

fizienznachteile. In diesem Fall muss bei der Ermittelung der Anreize

das mit den Leistungsindikatoren verbundene Risiko berücksichtigt

werden. Das effiziente Anreizniveau wird durch die Gewichtung der

Leistungsindikatoren bestimmt.

Der erste Teil dieser Arbeit beschreibt das verwendete Prinzipal-Agent Modell. Im Anschluss wird die optimale Gewichtung von zwei

Leistungsindikatoren bei mehreren Handlungen zur Implementierung

eines effizienten Anreizniveaus behandelt, sowie Einflüsse von

Leistungs- und Produktionskoeffizienten auf die Gewichtung. In der

Schlussbetrachtung wird ein Resümee über die verschiedenen Ein-wirkungen auf die Gewichtung der Leistungsindikatoren gezogen.

Diese Arbeit basiert auf dem Artikel „Balancing Performance Measu-

res“ von S. Datar, S. Cohen Kulp und R. A. Lambert, erschienen im

Journal of Accounting Research.

¹ Vgl.: Jost, 2001, S. 45.

- V - 2Grundstruktur des verwendeten Prinzipal-Agent Modells

Die Prinzipal- Agent Theorie untersucht die vertragliche Beziehung

zwischen Arbeitgeber (Prinzipal) und Arbeitnehmer (Agent). Das an-

gewendete Modell basiert auf einem diskreten kontinuierlichen Ar-beitseinsatz bei Hidden Action. Der leistungsabhängige Vertrag ba-siert auf beobachtbaren Performancegrößen, auch Leistungsindikato-

ren.

Die grund legenden Annahmen sind Normalverteilung, lineare Ver-

tragsstruktur und negative exponentiale Nutzenfunktion. Die Leistung

des Agenten ist vom Prinzipal nicht direkt verifizierbar und der Rück-

schluss von dem erzielten Ergebnis auf die Handlungen des Agenten

ist nicht möglich.

Die Leistungsindikatoren können auf mehrere und unterschiedliche

Handlungen des Agenten wirken. Der Erwartungswert des Ergebnis-

ses ( ) und der Leistungsindikatoren ( )

x E y E sind lineare Funktionen

i

der Handlungen des Agenten ( j a ). Die Varianz der Leistungsindika- ()

toren y Var werden nicht von den Handlungen beeinflusst.

i

Die externen Umwelteinflüsse ( )

fassen alle vom Agenten e e e , 1 ,

x 2

nicht kontrollierbaren externen Faktoren zusammen, sie sind normal-

verteilt mit einer Varianz von Null.

Der Agent ist risiko- sowie effortavers. ¹ Seine Nutzenfunktion ist eine

negative Exponentialfunktion, der Form ( ) ρ ⁻ − = W e w U . Das Nettoein-kommen W des Agenten setzt sich aus seinem Disnutzen und der

monetären Entlohnung zusammen. Die Entlohnungsfunktion ( )

y w ist

linearer Art. Sie besteht aus einem Fixum α und einem Prämiensatz

der abhängig ist von den Leistungsindikatoren und ihrer Gewichtung.

Da höhere Leistungen des Agenten stochastisch ein höheres Ergebnis

bewirken, lässt sich das Entscheidungsproblem des Prinzipals wie

folgt formulieren:

¹ Vgl.: Jost, 2001, S. 362.

- VI - () ( ) [ ]

max Zielfunktion:

β β α a ^{, , ,} i 2

Unter der Bedingung:

[ ] [ ] ( ) U ( ) ( ) ≥ − − ρ a C y w Var y w E 5 , 0 Partizipationsbedingung:

Anreizkompatibilitätsbedingung:

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) − − ρ a maximiert a C y w Var y w E 5 , 0

Der Agent bewertet die unsichere Entlohnung entsprechend dem Er-wartungswert-Varianz-Prinzip. ¹ Ein hö herer Risikoaversionskoeffi-

zient ρ drückt eine höhere Risikoaversion aus, bei Risikoneutralität

[ ] ( ) ρ = ρ y w Var 5 , 0 gilt . Der Term stellt die Risikoprämie des A- 0

ge nten für die Übernahme des Risikos dar. ² Die Partizipationsbedin-

gung besteht außerdem aus dem nicht monetären Disnutzen ( )

a C ,

welcher mit den Handlungen des Agenten verbunden ist. Der Agent

nimmt an der Vertragsbeziehung nur teil, wenn ihm diesen einen Re-servationsnutzen U gewährleistet. 3

Die Anreizkompatibilität, der erwartete Nutzen des Agenten, wird an-hand des Sicherheitsäquivalents ausgedrückt. Das Sicherheitsäquiva-

lent entspricht der erwarteten Entlohnung des Agenten minus der Kos-ten des Risikos und minus seines Disnutzens. Das Sicherheitsäquiva-

lent des Reservationsnutzens ist U . Der Reservationsnutzen ent-spricht einem Wert von Null.

Unter den genannten Vorraussetzungen stellt sich das Entscheidungs-

problem des Prinzipals nach einigen Umformungen, wie folgt dar:

[ ] [ ]

max

−

¹ Vgl.: Jost, 2001, S. 362.

² Vgl.: Jost, 2001, S. 362.

³ Vgl.: Jost, 2001, S. 362.

⁴ Herleitungen befinden sich im Anhang

- VII - 3Anreize bei mehreren Handlungen und Leistungsindikatoren

3.1 Relative Gewichtung der Leistungsindikatoren

Die relative Gewichtung der Leistungsindikatoren entsteht aus der ers-

ten Ableitung der Zielfunktion des Prinzipals.

[ ] [ ] [ ][ ]

⇒

Formel 2: Relative Gewichtung der Leistungsindikatoren 1

Zur näheren Betrachtung wird die Gleichung in zwei Teile unterglie-dert. Der erste Teil spiegelt das Ziel des Prinzipals wieder eine effi-ziente Aufteilung der Leistungen des Agenten zu bestimmen, einen ef-fizienten Leistungsanreiz zu setzen.

[ ] [ ] [ ] [ ]

Dieser Teil der Gleichung stellt eine maximale Übereinstimmung zwi-schen Leistungskoeffizienten und Produktionskoeffizienten sicher.

Der zweite Teil behandelt das Risiko. Das Ziel des Prinzipals ist es

das Risiko des Agenten zu reduzieren und damit die zu zahlende Risi-

koprämie.

3.2 Relative Ge wichtung der Leistungsindikatoren bei

Sicherheit

Die Betrachtung der Zielfunktion des Prinzipals und der relativen

Gewichtung der Leistungsindikatoren bei Sicherheit ermöglicht eine

Analyse der Motivationswirkung der Leistungsanreize. Dies wird er-

¹ Herleitungen befinden sich im Anhang

- VIII -reicht durch Annahme von Risikoneutralität des Agenten ( ) = ρ 0 oder

( ) ( ) = 0 y Var durch Ausschluss des Risikos .

i

Die relative Gewichtung der Leistungsindikatoren wird unter Sicher-

heit ausschließlich von den Leistungs- und Produktionskoeffizienten

bestimmt. Anhand der Gewichtung werden dem Agenten Leistungsan-

reize vermittelt.

[ ][ ] [ ] [ ]

Formel 3: Relative Gewichtung der Leistungsindikatoren bei Sicherheit

Die Zielfunktion des Prinzipals reduziert sich bei Sicherheit auf fo l-gendes Minimierungsproblem:

[ ]

Die Gewichtung der Leistungsindikatoren ist umso effizienter je klei-

ner der Wert der Zielfunktion. Die Gewichtung der Leistungsindikato-ren ist optimal bei einem Wert von Null. Die Anreizwirkung ist somit

effizient und der Gesamtleistungsindikator ist deckungsgleich mit dem

Ergebnis. Deckungsgleichheit bedeutet, dass Übereinstimmung zwi-schen dem Gesamtleistungsindikator und dem Unternehmensergebnis

besteht ( ( ) x = + β β y y ).

2 2 1 1

Bei Risiko stellt sich das Minimierungsproblem in folge nder Form

dar:

[ ]

Die Zielfunktion verdeutlicht, dass der Prinzipal eine hohe Überein-stimmung zwischen Gesamtleistungsindikator und Ergebnis bei gerin-

gem Risiko für den Agenten als Optimum anstrebt.