Risiken  von Kreditportfolien  1

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  2

2  Was versteht man unter Kreditrisiken  2

3  Modellierung von Kreditrisiken f ur einzelne Kredite  3

3.1  Risikofaktoren  3

3.2  Modelle zur Sch atzung der Ausfallwahrscheinlichkeiten und Wert-  

ver¨  anderungen  5

3.2.1  Migrationsmodelle  5

3.2.2  Strukturmodelle  7

3.2.3  Hazardratenmodelle  8

4  Risikomaße f ur Kreditportfolien  9

4.1  Erwarteter oder unerwarteter Verlust - was ist das eigentliche Risiko?  9

4.2  Reservebildung anhand des okonomischen Kapitals  11

5  Die Berechnung der Verteilung der Portfolioverluste  12

5.1  Modellierung der Korrelation  12

5.2  Herleitung der Portfolioverlustverteilung  14

5.3  Kreditrisikomodelle  16

6  Schluss  17

A  Anhang  20

A.1  Abk urzungsverzeichnis  20

A  2 Tabellen  21

Risiken von Kreditportfolien 2

1 Einleitung

Das Kreditrisiko ist das ¨ alteste Risiko an den Finanzm¨ arkten und doch ist es im Vergleich zum Marktrisiko noch relativ wenig erforscht worden. So wurde im traditionellen Kreditgesch¨ aft der Banken jeder Kredit eines Unternehmens einzelnd bewertet und oft war die Kundenbeziehung wichtiger als die Rentabilit¨ at des einzelnen Kredits, so dass die meisten Kreditportfolios weit entfernt waren von einem optimalen Verh¨ altnis von Ertrag zu Risiko. Diese Sichtweise hat sich jedoch in den letzten Jahren vielerorts ge¨ andert und so ist man inzwischen auch auf regulatorischer Ebene der Auffassung, dass die auf dem Portfolioansatz beruhenden ” Kreditrisikomodelle .. zu einem besseren internen Risikomanagement f¨ uhren k¨ onnen“ 1

In diesem Seminar ¨ uber Kreditrisiken soll die vorliegende Arbeit Risiken von Kre-ditportfolien aufzeigen, dabei auf Besonderheiten eingehen und einen Rahmen f¨ ur die Betrachtung der verschiedenen Modelle schaffen.

Dazu werden in Kapitel 2 die Risiken einzelner Kredite genannt und in Kapitel 3 deren Modellierung vorgestellt. Hier gilt die Aufmerksamkeit insbesondere den Modellen zur Bewertung und Sch¨ atzung der Ausfallwahrscheinlichkeit von Krediten. In Kapitel 4 werden Maße zur Messung der Risiken von Kreditportfolien aufgezeigt und es wird erkl¨ art, warum man daf¨ ur die Verteilungsfunktion der Portfolioverluste braucht. Allgemeine Ans¨ atze zu deren Sch¨ atzung sowie die g¨ angigsten Modelle werden in Kapitel 5 vorgestellt.

2 Was versteht man unter Kreditrisiken

Bei der Betrachtung einzelner Kredite ist das Kreditrisiko das Risiko eines ¨ okonomischen Verlustes aufgrund einer Nichteinhaltung der vertraglichen Verpflichtungen durch den Schuldner ² . Da der Kreditgeber, im allgemeinen eine Bank, die Zahlungen f¨ ur Zins und Tilgung erwartet und sie m¨ oglichst ohne gr¨ oßere Verz¨ ogerung wieder sinnvoll investieren will, geht er seinerseits wieder Verpflichtungen ein, so dass ein Ausbleiben der erwarteten Zahlungsstr¨ ome zu Liquidit¨ atsengp¨ assen und schlimmstenfalls zur Zahlungsunf¨ ahikeit des Kreditgebers f¨ uhren kann. Um das zu verhindern, sollte er f¨ ur eingegangene Kreditrisiken Reserven bilden. So sind Banken aufgrund ihrer Wichtigkeit f¨ ur die Stabilit¨ at einer Volkswirtschaft sogar dazu verpflichtet, Reserven gem¨ aß ihrer eingegangenen Kreditrisiken zur¨ uckzulegen ³ .

Das Kreditrisiko einzelner Kredite ist abh¨ angig von der Kreditqualit¨ at und dem finanziellen Engagement in diesem Kredit. Dabei wird die Kreditqualit¨ at durch die Ausfallwahrscheinlichkeit ⁴ und die voraussichtliche Wiedergewinnungsrate bei Ausfall bestimmt. Neben Verlusten durch Ausf¨ alle kann eine verschlechterte Kreditqualit¨ at bei handelbaren Anleihen zu Verlusten durch einen steigenden Zins und damit fallenden Kursen f¨ uhren. Bei diesem so genannten Spreadrisiko ist es

¹ vgl. Basler Ausschuss f¨ ur Bankenaufsicht (1999, S. 1)

² vgl. Jorion (2003, S. 393)

³ desweiteren m¨ ussen sie noch Reserven f¨ ur Marktrisiken und operationelle Risiken zur¨ ucklegen,

vgl. Basler Ausschuss f¨ ur Bankenaufsicht (2004, Teil 2, Abschnitte V und VI)

⁴ die Begriffe Ausfallwahrscheinlichkeit und Wiedergewinnungsrate werden im folgenden Kapi-

tel erkl¨ art

Risiken von Kreditportfolien 3

allerdings nicht ganz einfach, zwischen Kreditrisiko und Marktrisiko zu unterscheiden, da eine erh¨ ohte Differenz zwischen dem Anleihe-Zins und dem risikofreien Zins (=Spread) nicht unbedingt durch eine ver¨ anderte Kreditqualit¨ at hervorgerufen sein muss, sondern an einer allgemein geringeren Nachfrage nach Anleihen derselben Bonit¨ at liegen kann ⁵ .

Betrachtet man ein Kreditportfolio, so zeugen historische Daten davon, dass im Durchschnitt mit einer gewissen Ausfallquote gerechnet werden muss ⁶ , die man mit einer entsprechenden Reserve antizipieren sollte. So besteht das Risiko von Kreditportfolien in der Unsicherheit dar¨ uber, ob und um wie viel die erwartete ubertroffen wird ⁷ . Da man auch f¨ ur diese H¨ ohe des zuk¨ unftigen Kreditverlustes ¨

“unerwarteten Verluste“ eine Reserve bilden muss, stellt sich also die Frage wie man diese Risiken messen kann, um die H¨ ohe der Reserve zu bestimmen.

3 Modellierung von Kreditrisiken f¨ ur einzelne Kre-

dite

3.1 Risikofaktoren

Im Folgenden betrachten wir einen klassischen, nicht handelbaren Kredit, der von einer Bank an einen Kunden vergeben wird. Um das Risiko eines solchen Kredits, welches ja von dem finanziellen Engagement und der Kreditqualit¨ at abh¨ angt, messen zu k¨ onnen, modelliert man den Verlust durch eine Zufallsvariable, die sogenannte Verlustvariable (loss variable) ⁸ :

L = 1 D × ˜ LGD , P (D) = DP (1)

Der Zeithorizont kann dabei nach zwei Ans¨ atzen bestimmt werden ⁹ . Entweder nach dem Ansatz der Liquidationsperiode, bei dem jeder Kredit ¨ uber einen Zeitraum

entsprechend seiner Laufzeit oder Dauer einer ordnungsgem¨ aßen Liquidation betrachtet wird. Oder es wird ein gemeinsamer Zeithorizont f¨ ur alle Forderungen gew¨ ahlt. Die meisten Banken w¨ ahlen einen Zeithorizont von einem Jahr, weil dies unter anderem der typische Zeitraum ist, in dem neues Kapital beschafft werden kann, neue Informationen ¨ uber die Kreditnehmer bekannt werden k¨ onnen und die Daten ¨ uber Ausfallraten publiziert werden.

1 D ist eine Bernoulli Zufallsvariable, die mit der Ausfallwahrscheinlichkeit (default probability) P(D)=DP den Wert 1 annimmt. Kommt es im betrachteten Zeitraum zu keiner Insolvenz und der Schuldner kommt seinen Zahlungsverpflichtungen nach, so ist der Verlust gleich null, also L=0*EAD*LGD=0. Bei einem Ausfall (default) gilt L=1*EAD*LGD, wobei der Ausfall recht unterschiedlich definiert werden kann und i. d. R. von der juristisch gebr¨ auchlichen Definition abweicht. So gilt je nach

⁵ vgl. Crouhy et al. (2000, S. 60), Jorion (2003, S. 399) oder auch B¨ uhler und Uhrig-Homburg

(2000, S. 318-322)

⁶ vgl. B¨ uschgen (1998, S. 924)

⁷ vgl. Hickman (2000, S. 537)

⁸ vgl. hier und im folgenden Bluhm et al. (2003, S. 16-27)

⁹ vgl. Basler Ausschuss f¨ ur Bankenaufsicht (1999, S. 15f)

Risiken von Kreditportfolien 4

Bank ein Kredit als ausgefallen, wenn zum Beispiel Zahlungen ¨ uberf¨ allig sind, der

Kredit abgeschrieben oder das Zwangsvollstreckungsverfahren eingeleitet wird. In Basel II wird ein Kreditausfall als gegeben angesehen, wenn entweder davon ausgegangen werden muss, dass der Schuldner seinen Kreditverpflichtungen mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht in voller H¨ ohe nachkommen wird, ohne dass auf Maßnahmen (z. B. Verwertung von Sicherheiten) zur¨ uckgegriffen wird, oder eine wesentliche uberf¨ allig ist ¹⁰ . Verbindlichkeit des Schuldners mehr als 90 Tage ¨

Die Ausfallquote

LGD (loss given default) nimmt Werte zwischen 0 und 1 an und wird bestimmt durch die Wiedergewinnungsrate (recovery rate, RR), genauer

LGD = 1 −

W R. Die Wiedergewinnungsrate ist der prozentuale Anteil an den noch ausstehenden Forderungen, der bei Eintreten des Ausfalls an den Gl¨ aubiger geht. Diese schwer herzuleitende Variable h¨ angt von vielen Faktoren wie zum Beispiel den Sicherheiten, den Kosten f¨ ur das Konkursverfahren und dem Rang ab. Sie wird stochastisch oder in manchen Modellen deterministisch modelliert. Sch¨ atzungen beruhen oft auf Informationen aus internen historischen Daten, welche noch sehr sp¨ arlich sind, oder aus ¨ offentlichen Daten der großen Ratingagenturen uber historische Ausfallquoten von Unternehmensanleihen. Hierbei k¨ onnen sich z. ¨

B. Schwierigkeiten ergeben, wenn das bankinterne Rating mit externen Ratings verglichen wird, um die entsprechende Wiedergewinnungsrate als Sch¨ atzwert einzusetzen ¹¹ .

Der Term exposure at default (EAD) steht f¨ ur den Risikobetrag und bezeichnet die Summe der ausstehenden Forderungen bei Ausfall. Bei einem gew¨ ohnlichen Kredit wird das der Nominalwert des Kredits sein. Wenn aber zum Beispiel Kreditlinien vereinbart wurden, welche der Kunde bisher noch nicht beansprucht hat, kann man nicht einfach von EAD=0 ausgehen. Vielmehr muss man damit rechnen, dass der Schuldner diese im Falle finanzieller Schwierigkeiten nutzen wird, um damit m¨ oglichen anderen finanziellen Verpflichtungen nachzukommen. Eine einfache L¨ osung w¨ are daher, von einem EAD in voller H¨ ohe der zugesagten Kreditlinien auszugehen. Dies kann allerdings wieder zuviel sein, da die Bank die wirtschaftliche Situation des Kunden in der Regel ¨ uberpr¨ uft und im Falle einer sich ank¨ undigen-

den Insolvenz die Zusagen zur¨ uckziehen kann. Als L¨ osung bietet sich nun folgender Ansatz an:

EAD = OU T ST + ˜ β × COMM 0 ≤ ˜ β ≤ 1

EAD besteht aus dem schon vergebenen Teil (outstandings, OUTST) und dem bis zum Insolvenzzeitpunkt beanspruchten Anteil ( ˜ β) der zur Zeit noch ungenutzten

Kreditlinien (commitments, COMM). Dieser Anteil kann eine Zufallsvariable sein, vereinfachend nimmt man β = E[ ˜ β] aber oft als Erwartungswert der zugrunde-

liegenden Zufallsvariable an. Im IRB-Basisansatz von Basel II wird zum Beispiel f¨ ur Kreditzusagen β = 0.75 angenommen; im fortgeschrittenen Ansatz k¨ onnen die Banken unter gewissen Bedingungen eigene Sch¨ atzungen f¨ ur β verwenden ¹² .

¹⁰ vgl. Basler Ausschuss f¨ ur Bankenaufsicht (1999, S. 22f) und (2004, Absatz 452)

¹¹ vgl. zu diesem Absatz Bluhm et al. (2003, S. 27) und Basler Ausschuss f¨ ur Bankenaufsicht

(1999, S. 34f) sowie zu den Problemen bei Krediten ohne ¨ offentliches Rating Kern und Rudolph (2001, S. 5ff) und Caouette et al. (1998, S. 236)

¹² vgl. Bluhm (2003, S. 24-27), Basler Ausschuss f¨ ur Bankenaufsicht (2004, Abs¨ atze 308-316,

474-478)

Risiken von Kreditportfolien 5

Die Zufallsvariable ˜ L besteht also wiederum aus drei Zufallsvariablen, die miteinander multipliziert werden. Bei der Berechnung des erwarteten Verlustes (EL) stellt sich nun die Frage, ob wir es hier mit unabh¨ angigen Zufallsvariablen zu tun haben oder nicht. So zeugen historische Daten zum Beispiel von einem Zusammenhang zwischen Ausfall und Wiedergewinnungsraten ¹³ . In Jahren schlechterer wirtschaftlicher Bedingungen mit vielen Insolvenzen sinken auch die Wiedergewinnungsraten, was unter anderem an sinkenden Marktwerten der Sicherheiten liegen kann. Auch der Risikobetrag ist wohl nicht unabh¨ angig vom Kreditausfall, wie oben schon angemerkt wurde. Dennoch geht man im Allgemeinen von der Unabh¨ angigkeit der drei Zufallsvariablen aus, womit dann f¨ ur den erwarteten Verlust gilt:

L] = E[ EAD] × E[ EL = E[ ˜ LGD] × E[1 D ] = EAD × LGD × DP (2)

Die hier vorgestellte Modellierung des Verlustes eines Kredits beruht auf der buy-and-hold-Sichtweise, das heißt man geht davon aus, dass der Kredit bis zum Endf¨ alligkeitszeitpunkt gehalten wird und interessiert sich daher auch nur f¨ ur das Ausfallrisiko. F¨ ur eine Modellierung des Kreditrisikos unter dieser klassischen Sichtweise, auch Ausfallparadigma (default mode, DM) genannt, welche dem traditionellen Kreditgesch¨ aft entspricht und aus dem in Deutschland immer noch der Großteil des Kreditrisikos herr¨ uhrt, spricht zum Beispiel die leichte Berechnung ¹⁴ . Daneben gibt es noch das Marktwertparadigma (mark-to-market, MTM), bei dem man den Kredit so behandelt, als w¨ urde er zu Beginn und zum Ende des Planungszeitraums marktgerecht bewertet, womit Kreditverluste als Differenz dieser beiden Werte auch durch eine Verschlechterung der Kreditqualit¨ at entstehen k¨ onnen, ohne dass es zum Ausfall gekommen ist. Die Messung der Kreditrisiken unter dem Marktwertparadigma ist zwar komplizierter, denn statt der zwei Zust¨ ande (Ausfall oder kein Ausfall) m¨ ussen mehrere Zust¨ ande abh¨ angig von der Kreditqualit¨ at ber¨ ucksichtigt werden, doch ist gerade diese Mehrzustandswelt vorteilhaft, wenn handelbare Kredite betrachtet werden, welche auch durch die sich entwickelnden Secondary Markets immer mehr an Bedeutung gewinnen. So k¨ onnen dann auch Risiken von Kreditportfolien modelliert werden, die sowohl handelbare als auch nicht handelbare Kredite beinhalten, wobei auch letztere durch entsprechende Modelle bewertet werden ¹⁵ .

3.2 Modelle zur Sch¨ atzung der Ausfallwahrscheinlichkeiten

und Wertver¨ anderungen

3.2.1 Migrationsmodelle

Um jedem Kredit eines bestimmten Ratings eine Ausfallwahrscheinlichkeit zuzu-ordnen, also eine Abbildung Rating DP Rating zu finden, kann man die von den Ratingagenturen gestellten ¨ Ubergangsmatrizen ¹⁶ heranziehen, welche die his-

torischen Ausfallraten eines jeden Ratings sowie die relativen H¨ aufigkeiten der

¹³ vgl. Moody’s (2000, S. 8f)

¹⁴ vgl. Basler Ausschuss f¨ ur Bankenaufsicht (1999, S. 23f), Kern und Rudolph (2001, S. 2) und

Credit Suisse First Boston (2004, S. 11)

¹⁵ vgl. Wilson (1998, S. 80)

¹⁶ siehe Tabelle 2 im Anhang

Risiken von Kreditportfolien 6

¨ Uberg¨ ange von einem Rating zum anderen angeben. Diese Daten sollten unter Umst¨ anden noch gegl¨ attet werden, so dass Inkonsistenzen der statistischen Daten eleminiert werden. Zum Beispiel m¨ ochte man selbst dem Rating AAA nicht die v¨ ollige Risikofreiheit unterstellen und weist diesem Rating eine positive Ausfallwahrscheinlichkeit zu. Hat man dann jedem Rating entsprechende Ausfall- und ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten zugeordnet ¹⁷ , so ist unter dem Ausfallparadigma bei einem Zeithorizont von einem Jahr nur die letzte Spalte von Interesse. Bei einem mehrj¨ ahrigen Zeithorizont werden auch die ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten

genutzt, denn man multipliziert die Matrix einfach entsprechend oft mit sich selbst. So ergeben sich nach f¨ unfmaligem Multiplizieren die entsprechenden Ausfall- und ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten f¨ ur einen Zeithorizont von f¨ unf Jahren ¹⁸ , wobei in dieser Matrix wiederum nur die letzte Spalte von Bedeutung ist.

Unter dem Marktwertparadigma spielen die anderen Spalten auch bei einj¨ ahrigem Zeithorizont (den die meisten Banken w¨ ahlen) eine bedeutende Rolle, denn neben den Ausfallwahrscheinlichkeiten m¨ ussen auch ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten

ber¨ ucksichtigt werden, welche die Bewertung des Kredits beeinflussen. Zur Bewertung eines Kredits geht man folgendermaßen vor:

Sei die Endf¨ alligkeit in T und der Kredit habe das Rating R i (i ∈ (1, . . . , k) und R k =D). Nun zieht man die Spreadkurve (sei r R i t der Zinsspread der Ratingklasse R i ¨ uber t Jahre) des Ratings heran und diskontiert damit die zuk¨ unftigen Zahlungsstr¨ ome (e t ) ab, um den Wert zum aktuellen Zeitpunkt (V R i 0 ) zu berechnen:

V R i 0 =

F¨ ur den Wert in einem Jahr werden die entsprechenden Forward Zinsen (sei f t 1 (R i )

der Forward Zins vom n¨ achsten Jahr bis t) ben¨ otigt, um f¨ ur jedes m¨ ogliche Rating, das der Kredit dann haben kann, eine Bewertung durchzuf¨ uhren:

R j ˆ V

1

ˆ 1 = Nominalwert × RR V R k = V D

1

Nun kann man mit den gesch¨ atzten zustandsabh¨ angigen Werten und den Wahrscheinlichkeiten aus der ¨ Ubergangsmatrix den erwarteten Marktwert des Kredits in einem Jahr errechnen:

E[ ˜ V R i 1 ] =

Migrationsmodelle haben neben dem Vorteil der relativ einfachen Rechenbarkeit einige Nachteile, zum Beispiel bezieht sich das Rating auf die Ausfallwahrscheinlichkeit und die Wiedergewinnungsrate. Daher haben zwei Kredite desselben Ratings mit unterschiedlicher gesch¨ atzter Wiedergewinnungsrate auch unterschiedliche Ausfallwahrscheinlichkeiten. Desweiteren kann es bei nicht gerateten Unternehmen Schwierigkeiten beim Vergleich der internen Ratings der Bank und den

¹⁷ siehe Tabelle 3 im Anhang

¹⁸ siehe Tabelle 4 im Anhang, bei der die historischen relativen H¨ aufigkeiten aus Tabelle 2 als

Wahrscheinlichkeiten angenommen wurden

Risiken von Kreditportfolien 7

¨ offentlichen Ratings geben, wenn ein ¨ aquivalentes Rating gesucht wird, um die entsprechende Ausfallwahrscheinlichkeit heranzuziehen.

3.2.2 Strukturmodelle

Strukturmodelle gehen auf Merton (1974) zur¨ uck, dessen Ansatz auf der Kapitalstruktur des Unternehmens beruht. Dazu wird der Wert der Aktiva (V T ) aus dem Wert des Eigenkapitals (E T ) und des Fremdkapitals (B T ) gebildet,

V T = E T + B T

wobei das Fremdkapital zur Vereinfachung durch einen Zero Bond repr¨ asentiert wird, der bei F¨ alligkeit zur Zeit T in H¨ ohe K zur¨ uckzuzahlen ist. Desweiteren unterstellt man f¨ ur V t

dV t

= µdt + σdω t , V 0 > 0 , ω t Standard Wiener Prozess.

V t

In T l¨ ost man das Unternehmen auf und teilt den Erl¨ os unter den Eigent¨ umern und Gl¨ aubigern auf, so dass es zu folgenden Zahlungen kommt:

Eigent¨ umer: E T = (V T − K) ⁺ Gl¨ aubiger: B T = K − (K − V T ) ⁺ .

Wenn der Wert der Aktiva kleiner als der zur¨ uck zu zahlende Betrag K ist, kommt es zum Ausfall. Da die Zahlungsstr¨ ome des Eigenkapitals denen eines Call auf die Aktiva zum Basiskurs K gleichen, dessen Wert wir nach Black/Scholes bestimmen k¨ onnen, ergibt sich mit r als risikofreien Zins und unter der Annahme von Arbitragefreiheit

E t = C t (V t , K, σ, r, T − t) = V t N (d 1 ) − Ke −r(T −t) N (d 2 )

mit

√

Genauso ergibt sich f¨ ur die Schulden, die ja dasselbe Auszahlungsprofil haben wie eine risikofreie Anlage und ein verkaufter Put

Nach Crouhy und Galai (1997) kann N (−d 2 ) auch als risikoneutrale Ausfallwahr- N ^(−d 1 ⁾ scheinlichkeit angesehen werden, und mit V t als erwarteten diskontierten Wie- N ^(−d 2 )

dergewinnungsbetrag bei Ausfall kann (3) auch interpretiert werden als

B t = Ke −r(T −t) − DP Q × EDLGD .

(4)

Mit EDLGD als erwarteter diskontierter Verlust bei Ausfall (expected discounted loss given default) und DP Q als risikoneutrale Wahrscheinlichkeit kann der Kredit also nach (4) bewertet werden.

Risiken von Kreditportfolien 8

Nach Anwendung von Ito’s Lemma auf dV t /V t , so dass

lassen sich die “wahren“ Ausfallwahrscheinlichkeiten berechnen:

DP = P [V T < K] = P

Dieser Ansatz basiert auf sehr restriktiven Annahmen wie einem konstanten risikofreien Zins, nur einer bestehenden Klasse Fremdkapital und nur einem m¨ oglichen Zeitpunkt der Insolvenz. Allerdings wurde dieser Basisansatz durch verschiedene Autoren weiterentwickelt, um Konkurse vor Laufzeitende, komplexere Kapitalstrukturen und stochastische Entwicklungen des risikofreien Zinses zu integrieren. Vorteile der Strukturmodelle sind unter anderem die Abh¨ angigkeit der Ausfallwahrscheinlichkeit von der Kapitalstruktur des Unternehmens und die endogen erkl¨ arte Wiedergewinnungsrate ¹⁹ .

3.2.3 Hazardratenmodelle

Hazardratenmodelle modellieren den Prozess der Kreditausf¨ alle direkt, anstatt wie die Strukturmodelle den Ausfall indirekt durch einen stochastischen Prozess f¨ ur die Unternehmenswerte zu verursachen. Dabei kann der Ausfall jederzeit und v¨ ollig unvorhersehbar eintreten, ohne dass das Modell einen Grund daf¨ ur liefert. Diese Losl¨ osung von den ¨ okonomischen Hintergr¨ unden ist zwar ein Nachteil, doch hat die Unvorhersagbarkeit zur Folge, dass man mit diesen Modellen positive Spreads auch f¨ ur kurze Laufzeiten erkl¨ aren kann. Dies ist einer ihrer großen Vorteile gegen¨ uber den Strukturmodellen, bei denen Ausfallwahrscheinlichkeiten bei kurzen Laufzeiten zu gering sind.

Die wichtigsten Eingabeparameter sind der risikofreie Zins, die Hazardrate und die Wiedergewinnungsrate. Die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit ²⁰ T

wird durch die vorgegebene Hazardrate (oder auch Intensit¨ at genannt) exogen modelliert. Damit wird ein riskanter Zero-Bond, der im Endf¨ alligkeitszeitpunkt T einen Euro abwirft, bei vorgegebener Wiedergewinnungsrate RR wie folgt bewertet:

0 = e −rT − e −rT (1 − RR)q(T ). B T (5)

Der Wert entspricht also dem Wert eines risikofreien Kredits abz¨ uglich der abdiskontierten erwarteten Ausfallquote. Ist die Hazardrate konstant und RR=0, dann folgt aus (5)

0 = e −rT (1 − q(T )) = e −rT e −λT = e −(r+λ)T , B T

womit der Spread gleich der Konstanten λ ist. Typischerweise ist die Hazardrate jedoch keine Konstante, sondern ein stochastischer Prozess.

¹⁹ vgl. Cossin und Pirotte (2001, S. 15f), Niethen und Wahrenburg (2000, S. 4f) und Credit

Suisse First Boston(2004, S. 175ff)

²⁰ vgl. Cossin und Pirotte (2001, S. 85fff), Niethen und Wahrenburg (2000, S. 6) und Credit

Suisse First Boston(2004, S. 175f)

Risiken von Kreditportfolien 9

4 Risikomaße f¨ ur Kreditportfolien

4.1 Erwarteter oder unerwarteter Verlust - was ist das ei-

gentliche Risiko?

Betrachtet man nicht mehr jeden Kredit f¨ ur sich, sondern ein Kreditportfolio, so besteht das Risiko darin, dass viele Kredite ausfallen oder aufgrund einer sich verschlechternden Bonit¨ at der Schuldner an Wert verlieren. Der durch Aggregation entstehende Verlust beeinflusst dann entsprechend den Wert des Portfolios. Nat¨ urlich k¨ onnen auch positive Wertver¨ anderungen durch eine Verbesserung der Bonit¨ at einzelner Schuldner vorkommen, aber im Allgemeinen kann man im Vergleich zu den Verlusten nur wenige Aufwertungen erwarten ²¹ . Wie schon f¨ ur einzelne Kredite will man nun auch f¨ ur ein Portfolio wissen, wie hoch der zu erwartende Verlust ist.

Angenommen, ein Portfolio besteht aus n Krediten, so ergibt sich f¨ ur den Portfolioverlust ( ˜ L P F ) unter der Annahme des Ausfallparadigmas ²² nach (1):

F¨ ur den erwarteten Verlust des Portfolios (EL P F )ergibt sich dann mit (2):

n

EL P F = E[ ˜ L P F ] = E

Wir k¨ onnen also aufgrund der Additivit¨ at des Erwartungswertes relativ einfach vom erwarteten Verlust der einzelnen Kredite auf den erwarteten Verlust des Portfolios schließen. Wenn nun eine Reserve in H¨ ohe dieser erwarteten Verluste angelegt wird, wird diese nur in einem guten Jahr mit h¨ ochstens durchschnittlich vielen Insolvenzen ausreichen, um die hieraus resultierenden Ausf¨ alle abzudecken. In einem schlechten Jahr mit ¨ uberdurchschnittlich vielen Insolvenzen allerdings w¨ are diese Art von Reserve ungen¨ ugend und die Bank h¨ atte ein unter Umst¨ anden existenzgef¨ ahrdendes Liquidit¨ atsproblem ²³ . Es muss also sichergestellt werden, dass die Reserve gewissen Abweichungen vom erwarteten Verlust nach oben gen¨ ugt, denn dies ist das eigentliche Risiko des Portfolios. Ein Maß f¨ ur die H¨ ohe der Abweichungen, dem so genannten unerwarteten Verlust (unexpected loss, UL), sei hier die Standardabweichung

Im vorangegangenen Abschitt wurde bereits erkl¨ art, dass man trotz gegenteiliger empirischer Beobachtungen zur Vereinfachung ¨ ublicherweise die Unkorreliert-

heit zwischen Risikobetr¨ agen, Ausfallquoten und dem Ausfall des Kredits unterstellt. Bei der Betrachtung von Kreditportfolien nimmt man nun in diesem Sin- EAD i , Uberkreuzkorrelationen von null an (so z. B. corr( ne ¨ LGD j ) = 0 oder

²¹ vgl. Crouhy et al. (2000, S. 63)

²² hier und im Folgenden sei bei der Berechnung von Risikogr¨ ossen zur Vereinfachung das Aus-

fallparadigma unterstellt

²³ vgl. B¨ uschgen (1998, S. 924 und S. 931)

Risiken von Kreditportfolien 10

LGD j ) = 0 f¨ ur i = j), obwohl man auch zwischen EAD, LGD und

dem Ausfall verschiedener Schuldner unter Umst¨ anden deutliche Korrelationen erwarten kann. So sollten zum Beispiel die aufgrund von in Anspruch genommener Kreditlinien bestehenden Kreditpositionen oder die Ausfallquote von Firmen einer sich in der Depression befindenden Branche tendenziell steigen. Doch aufgrund der eingeschr¨ ankten Datenbasis versucht man im Allgemeinen nicht, Korrelationen zwischen verschiedenen Risikofaktoren explizit zu modellieren und nimmt deren Unkorreliertheit an. So wird zur Zeit in den meisten Kreditrisikomodellen nur die Korrelation zwischen den Ausf¨ allen und Bonit¨ ats¨ anderungen verschiedener Kredite ber¨ ucksichtigt ²⁴ .

Im Folgenden gehe ich zur Veranschaulichung von konstanten identischen Werten EAD, LGD und DP f¨ ur alle Schuldner aus. Der erwartete Verlust eines Kreditportfolios ist dann

Der unerwartete Verlust der einzelnen Kredite ist

und f¨ ur die Varianz des Portfolioverlusts gilt:

n

UL ² P F = V ar

= EAD ² LGD 2

mit ρ i,j = corr(1 i , 1 j ). Mit diesen sehr vereinfachenden Annahmen kommen wir automatisch dazu, dass die Korrelation zwischen den Verlusten nur von den Korrelationen zwischen den Ausf¨ allen bestimmt werden. Wie oben bereits angemerkt, wird in den zur Zeit genutzten Modellen auch nur diese ber¨ ucksichtigt.

Wie bereits deutlich gemacht wurde, muss ausgehend vom erwarteten Verlust, der

den ersten Anhaltspunkt ¨ Unsicherheit ¨ uber eben diesen Erwartungswert noch ein zus¨ atzliches finanzielles Polster gebildet werden. Zwar wurde die Standardabweichung als ein Maß f¨ ur die Unsicherheit ¨ uber die H¨ ohe der Abweichungen vom erwarteten Verlust vorgestellt, aber nat¨ urlich w¨ urde eine Reserve R P F = EL P F + σ P F nicht gen¨ ugend Sicherheit bieten, da hierbei auch h¨ ohere Abweichungen mit einer gewissen Regelm¨ aßigkeit zu erwarten sind. Die Standardabweichung wird als ein Risikomaß benutzt, wenn gew¨ ohnliche und h¨ aufiger auftretende Ereignisse betrachtet werden. Da die Reserve aber die Funktion einer Versicherung gegen worst-case-Ereignisse haben soll und bei Nichtausreichen unter Umst¨ anden die Existenz des Portfoliohalters gef¨ ahrdet w¨ are, ist man an den Quantilen interessiert und braucht daher Informationen uber die Verteilung des Portfolioverlustes. W¨ are dieser normalverteilt (die gesamte ¨

²⁴ Basler Ausschuss f¨ ur Bankenaufsicht (1999, S. 31f)

Risiken von Kreditportfolien 11

Verteilung w¨ are dann ja durch µ = EL P F und σ P F charakterisiert), k¨ onnte man ausgehend von EL P F und σ P F die Quantile ausrechnen. Doch im Gegensatz zu Ak-tienportfolien, deren Renditen lognormalverteilt sind, ist dies bei Kreditportfolien komplizierter.

¨ Uber die Verteilung der Verluste einzelner Kredite weiß man, dass sie schief und an der y-Achse abgeschnitten sind. Wenn sie unkorreliert w¨ aren, k¨ onnte man zwar durch gen¨ ugend viele Kredite nach dem Zentralen Grenzwertsatz eine ann¨ ahernd normalverteilte Portfolioverlustverteilung erreichen, allerdings wurde zuvor schon darauf hingewiesen, dass man im Allgemeinen nicht von unkorrelierten Verlusten ausgehen kann. Typischerweise sind die Verteilungen der Verluste aus Kreditportfolien schief in Richtung großer Verluste und mit einer im Vergleich zur Normalverteilung gr¨ oßeren Wahrscheinlichkeitsmasse am Verteilungsende. Sie sind nicht nur von EL P F und σ P F abh¨ angig, sondern auch von den relativen Risikobetr¨ agen und Ausfall- bzw. Bonit¨ ats¨ anderungswahrscheinlichkeiten eines jeden Kredits sowie den Korrelationen der Kreditausf¨ alle ²⁵ . Da diese Gr¨ oßen alle unbekannt und schwer zu sch¨ atzen sind, ist es auch eine große Herausforderung, die Verteilung des Portfolioverlusts zu sch¨ atzen. Bevor die daf¨ ur gebr¨ auchlichen Modelle und Methoden im ubern¨ achsten Abschnitt vorgestellt werden, soll das Verfahren der Reservebildung ¨

anhand der Quantile unter der Voraussetzung einer bereits gesch¨ atzten Verlustverteilung erkl¨ art werden.

4.2 Reservebildung anhand des ¨ okonomischen Kapitals

Um sich nun auch gegen recht hohe Verluste abzusichern, w¨ ahlt man ¨ ublicherweise

eine Reserve gem¨ aß des Value-at-Risk-Verfahrens f¨ ur Marktpreisrisiken. Sie soll so hoch sein, dass die gesch¨ atzte Wahrscheinlichkeit f¨ ur ein Nichtausreichen geringer ist als die angestrebte Insolvenzrate ²⁶ .Diese wird in der Praxis h¨ aufig entsprechend dem erw¨ unschten Rating der Bank bestimmt, so dass zum Beispiel f¨ ur ein angestrebtes AA-Rating (historische 1-Jahres-Ausfallrate liegt bei etwa 3 Basispunkten) eine Insolvenzrate von 0,03% angestrebt wird. In der Regel liegt sie zwischen 0.02% und 1%. Setzt man beispielsweise das Zielgr¨ ossenquantil α = 99%, dann sollte die Reserve bei einem betrachteten Zeitraum von einem Jahr (statistisch gesehen) in 99 von 100 Jahren reichen, es bleibt aber noch eine Wahrscheinlichkeit von 1% , dass die Verluste die Reserve ¨ ubersteigen. Um wie viel sie ¨ ubertroffen wird, sagt

der VaR allerdings nicht aus, was auch der Nachteil dieses Risikomaßes ist. Es wird n¨ amlich nicht die weitere Verteilung hinter dem a-Quantil ber¨ ucksichtigt. Dagegen kann man als Alternative das Risikokapital auch anhand des Expected Shortfall (ESF) berechnen:

ESF α ( ˜ L P F ) = E[ ˜ L P F | ˜ L P F ≥ V aR α ( ˜ L P F )]

Interpretieren l¨ asst er sich folgendermaßen: Sollte also doch einmal der Fall eintreten, dass die Portfolioverluste gr¨ oßer sind als die abh¨ angig vom Konfidenzlevel a gehaltenen Reserven, so bietet der ESF eine weitere Polsterung gegen Verluste in Uberschreitung der kritischen Schwelle V aR α ( ˜ H¨ ohe der erwarteten ¨ L P F ).

²⁵ Bluhm et al. (2003, S.174)

²⁶ vgl. Basler Ausschuss f¨ ur Bankenaufsicht (1999, S. 13)

Risiken von Kreditportfolien 12

Hat man nun zum Beispiel anhand des Value at Risk die Reserve (R P F ) bestimmt, unterteilt man diese in den Anteil f¨ ur erwartete Verluste (EL P F ) und den Anteil f¨ ur unerwartete Verluste, dem so genannten ¨ okonomischen Kapital (economic capital, EC):

R P F = V aR α ( ˜ L P F ) = EL P F + V aR α ( ˜ L P F ) − EL P F = EL P F + EC V aRα

M¨ ochte man jedem Kredit die von ihm verursachten Kosten aufgrund der Reserve zuordnen, so geht das bei dem Reserveanteil f¨ ur erwartete Verluste nach (7) relativ einfach. So wird jedem Kredit Portfolio-unabh¨ angig ein Anteil an der Reserve f¨ ur erwartete Verluste entsprechend seinem erwarteten Verlust zugeordnet.

Das ¨ okonomische Kapital, welches ja abh¨ angig von der Zusammensetzung des Portfolios ist, l¨ asst sich nicht so einfach aufteilen. Ein aufgrund seiner Einfachheit h¨ aufig verwendeter Ansatz ist die Aufteilung des UL P F auf die einzelnen Kredite mittels Risikobeitr¨ agen ²⁷ RC i , so dass

Die Risikobeitr¨ age sind gleich der partiellen Ableitung des Risikomaßes, hier die Standardabweichung, nach dem jeweiligen Anteil w i

In der Regel ist RC i ≤ UL i , und so dr¨ uckt man den Diversifikationseffekt aus durch

Zur Berechnung des Anteils am ¨ okonomischen Kapital zieht man noch den Kapi-talmultiplikator (capital multiplier) heran

der sich allerdings nach Ver¨ anderungen des Portfolios ¨ andert, da die Quantile nicht nur von der Standardabweichung abh¨ angig sind. F¨ ur den Anteil des ¨ okonomischen Kapitals, der f¨ ur Kredit i aufgewendet werden muß, ergibt sich

EC V aRα (i) = CM α × RC i ,

5 Die Berechnung der Verteilung der Portfolio-

verluste

5.1 Modellierung der Korrelation

Nachdem bereits angemerkt wurde, dass man bei der Modellierung von Kreditport-foliorisiken die Korrelation zwischen den einzelnen Kreditverlusten durch korrelierte

²⁷ vgl. Bluhm et al. (2003, S. 171ff)

Risiken von Kreditportfolien 13

Ausfallwahrscheinlichkeiten induziert, sollen hier die generellen Herangehensweisen unter dem Ausfallparadigma vorgestellt werden ²⁸ .

In den vorangegangenen Kapiteln wurden die Ausf¨ alle eines Portfolios durch Bernouli Zufallsvariablen modelliert, denn wir haben die Ausfallvariablen D i = 1 D i ∼

B(1; P i ) aus (1) f¨ ur ein Portfolio aus n Krediten betrachtet. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten P i sollen nun aber nicht mehr als deterministisch angesehen werden, sondern stochastisch sein, also

P = (P 1 , . . . , P n ) ∼ F, F Verteilungsfunktion.

Des Weiteren seien die Ausfallvariablen D 1 , ..., D n bei gegebener Realisation p = (p 1 , ..., p n ) von P unabh¨ angig, so dass

D i | P i ^=p i ∼ B(1; p i ), (D i | P =p ) i=1,...,n unabh¨ angig. (8)

Die gemeinsame Verteilung (unconditional) der D i ist dann

P [D 1 = d 1 , ..., D n = d n ] =

und die Korrelation zwischen Ausf¨ allen im Portfolio ist gegeben durch

Corr[D i , D j ] =

Die andere Methode ist die Modellierung der Ausf¨ alle durch poissonverteilte Aus- ²⁹ ,also fallvariablen D i

D i ∼ P ois(λ i ), D i ∈ {0, 1, 2, ...}, p i = P [D i ≥ 1] ,

wobei die Intensit¨ at λ i typischerweise ungef¨ ahr der Ausfallwahrscheinlichkeit p i entspricht, denn f¨ ur kleine λ i gilt

p i = P [D i ≥ 1] = 1 − e −λ i ≈ λ i .

(10)

Nun nimmt man anstatt deterministischer λ i stochastische Intensit¨ aten Λ i an, also

D i ∼ P ois(Λ i ) , wobei Λ = (Λ 1 , . . . , Λ n ) ∼ F, F Verteilungsfunktion,

und desweiteren, analog zum Vorgehen im Bernoulli-Modell, unabh¨ angige Ausfallvariablen D 1 , ..., D n bei gegebener Realisation λ = (λ 1 , ..., λ n ) von Λ

D i | ^Λ i ^=λ i ∼ P ois(λ i ), (D i | Λ=λ ) i=1,...,n unabh¨ angig . (11)

Die gemeinsame Verteilung (unconditional) der D i ist dann

P [D 1 = d 1 , ..., D n = d n ] =

²⁸ Dieser Abschnitt folgt Bluhm et al. (2003, S. 55ff)

²⁹ die M¨ oglichkeit eines unzul¨ assigen Mehrfachausfalls wird in Kauf genommen, da P [D i ≥ 2] = 1 − e −λi (1 + λ i ) in der Regel sehr klein ist.

Risiken von Kreditportfolien 14

und die Korrelation zwischen Ausf¨ allen im Portfolio ist gegeben durch

In beiden Modellen wird die Korrelation zwischen den Ausf¨ allen also durch eine multivariate Verteilung F von P beziehungsweise F von Λ induziert. Analog zum deterministischen Fall kann man die Beziehung (10) auch f¨ ur stochastische P i und Λ i annehmen. Nimmt man noch zur Vereinfachung identische Erwartungswerte und Varianzen f¨ ur P i und Λ i an, so sieht man durch den Vergleich von (9) mit (12), dass das Bernoulli-Modell eine h¨ ohere Korrelation als das Poisson-Modell induziert, was wiederum eine gr¨ oßere Wahrscheinlichkeitsmasse f¨ ur große Verluste bei der entsprechenden Portfolioverlustverteilung zur Folge hat.

5.2 Herleitung der Portfolioverlustverteilung

Nachdem eingangs die Frage nach der H¨ ohe der Reserve gestellt wurde und wir das Risiko anhand vom erwarteten Verlust, der Standardabweichung und α-Quantilen quantifiziert haben, ist aufgefallen, dass diese Werte von der Kreditportfolioverlustvariablen ˜ L P F abhingen. Deshalb ist man beim Kreditportfolio-Management auch sehr an der Verteilung dieser Zufallsvariable interessiert. W¨ urde man diese Verteilung kennen, k¨ onnte man alle Risikogr¨ oßen exakt bestimmen. Nun ist das L P F sich ja aus den ˜ Problem, dass ˜ L i zusammensetzt, f¨ ur die man die Verteilung

nicht angeben kann. Man kann nur das Ergebnis beobachten, welches Insolvenz oder Fortbestehen lautet. Daher wird man versuchen, die Portfolioverlustverteilung aus geeigneten Daten herzuleiten und anhand dieser gesch¨ atzten Verteilung die Risikogr¨ oßen zu berechnen. Dabei bedient man sich ¨ ublicherweise zweier Methoden:

erstere basiert auf einer analytischen Approximation, letztere auf der Monte Carlo Simulation.

Bei der analytischen Approximation bedient man sich der Momentenmethode. Man nimmt an Stelle der unbekannten wahren Verteilung des Portfolioverlustes eine Verteilungsfamilie mit der typischen Form (schief in Richtung grosser Verluste und leptokurtisch) an, die durch die ersten beiden Momente charakterisiert wird. Dies kann zum Beispiel die Beta-, Gamma- oder F-Verteilung sein. Dann errechnet man die ersten beiden Momente:

• das erste Moment, µ = EL P F , mit Hilfe der Informationen ¨ uber Rating, Risikobeitr¨ age und Ausfallquoten der Kredite

• das zweite zentrierte Moment, σ ² P F , unter der Annahme einer konstanten Korrelation ρ i,j = ρ.

Hat man beispielsweise einen erwarteten Verlust von 30 Basispunkten und eine Standardabweichung von 22.5 Basispunkten und unterstellt eine Beta-Verteilung, so approximiert man die PDF durch eine Beta-verteilte Zufallsvariable, deren ersten ubereinstimmen ³⁰ : beiden Momente ¨

0.003 = E[X] =

0.00225 ² = V ar[X] =

³⁰ Beispiel aus Bluhm et al. (2003, S. 39)

Risiken von Kreditportfolien 15

Die entsprechende Zufallsvariable ist also Beta-verteilt mit den Parametern a=1.76944 und b=588.045 und hat somit die Dichte

β (a,b) (x) =

Anhand dieser Verteilung approximiert man nun zum Beispiel das Risikokapital, indem man ein gew¨ unschtes Quantil der unterstellten Verteilung ausrechnet und als Quantil der eigentlichen unbekannten wahren Verteilung annimmt. Vorteil dieser Methoden ist der geringe Rechenaufwand. Hat man erstmal eine Verteilung durch die Momentenmethode bestimmt, so kann man alle m¨ oglichen Gr¨ oßen sofort ausrechnen, denn die typischerweise unterstellten Verteilungsfamilien sind wohl bekannte analytische Funktionen. In dieser Unterstellung liegt aber auch der Nachteil der analytischen Approximation. Zwar haben alle ¨ ublicherweise unterstellten

Verteilungsfamilien die typische Form einer Verlustverteilung, doch unterscheiden sie sich in der Schiefe und der Wahrscheinlichkeitsmasse am Verteilungsende. So kann die falsche Wahl der Verteilung trotz ¨ ubereinstimmenden Momenten zu einem von der wahren Verteilung differierenden Verteilungsende und damit zu unter Umst¨ anden deutlich unterschiedlichen Quantilen f¨ uhren (Modellrisiko), was dann das ¨ okonomische Kapital beeinflusst. Weitere Ungenauigkeiten k¨ onnen durch die Annahme einer konstanten Korrelation entstehen. Hier ist es von Vorteil, wenn das betrachtete Portfolio m¨ oglichst homogen ist, das heißt es besteht aus Krediten mit vergleichbaren Risikocharakteristika, wie zum Beispiel keine gr¨ osseren Unterschiede bez¨ uglich der Ausfallwahrscheinlichkeiten oder gleichm¨ aßig verteilte Kreditsummen auf die Kreditnehmer aus wenigen oder idealerweise nur einer unterschiedlichen Branche. So kann man zum Beispiel bei Retail-Krediten von durchschnittlichen Korrelationen zwischen 1 und 5 Prozent ausgehen, w¨ ahrend sie f¨ ur Unternehmenskredite bei ungef¨ ahr 20 Prozent angenommen werden ³¹ .

Bei der auf der Monte Carlo Simulation basierenden Methode werden die Verlustverteilungen der einzelnen Kredite zu einer Portfolioverlustverteilung aggregiert. Dazu simuliert man die Entwicklung der Kredite (Ausfall oder auch Bewertungs¨ anderungen bei MTM) ¨ uber den gew¨ ahlten Beobachtungszeitraum um

den Gesamtverlust des Portfolios in einem Histogramm abzutragen. Jeder Kredit verh¨ alt sich dabei abh¨ angig von den individuell gesch¨ atzten Risikobetr¨ agen, Ausfallquoten und Ausfallwahrscheinlichkeiten. Letztere werden dabei mit einem der vorgestellten Modelle unter Ber¨ ucksichtigung der Korrelation gesch¨ atzt. Dazu bedarf es ab einer gewissen Anzahl von Krediten eines Faktormodells, um den Rechenaufwand zu begrenzen. Statt die Korrelation zwischen allen Krediten zu berechnen, m¨ ussen nur die Korrelationen zwischen den Krediten und Faktoren gesch¨ atzt werden ³² . Sind die korrelierten Ausfallwahrscheinlichkeiten errechnet, simuliert man im n¨ achsten Schritt das Verhalten der Kredite, welche bei errechneten Ausfallwahrscheinlichkeiten unabh¨ angig voneinander sind ³³ . Addiert man die auftretenden Verluste, so erh¨ alt man den Portfolioverlust ˜ L P F und bei n-facher

³¹ vgl. Bluhm et al. (2003, S.38)

³² So muß man bei einem Portfolio bestehen aus n Krediten 1/2n(n-1) Korrelationen berechnen,

bei k angenommenen Faktoren nur nk

³³ modelliert wie in (8) bzw. (11)

Risiken von Kreditportfolien 16

^{(1) (n)} Wiederholung die Portfolioverluste ˜ P F , . . . , ˜ L L P F . Damit hat man eine empirische Verteilungsfunktion generiert,

und kann die gew¨ unschten Risikogr¨ ossen wie EL P F , σ P F oder Quantile ausrechnen. So w¨ are mit den Ordnungsstatistiken

⁽ⁱ 1 ^{) (i} 2 ^{) (in)} ˜ P F ≤ ˜ P F ≤ . . . ≤ ˜ L L L

P F das α-Quantil ˆ q α der empirischen Verlustverteilungsfunktion gegeben durch

Damit kann dann das ¨ okonomische Kapital folgendermaßen bestimmt werden:

Vorteil der Monte Carlo Simulation ist zum einen, dass mit Hilfe eines zu Grunde liegenden Faktormodells die Korrelation zwischen zwei Verlustvariablen ¨ okonomisch interpretierbar ist, die ja durch die Korrelation zwischen Faktoren und Verlustvariablen induziert wird. So sollte zum Beispiel bei Unternehmen einer sich in der Depression befindenden Branche eine durchschnittliche Verschlechterung der finanziellen Situation zu erwarten sein, was bei einigen dieser Unternehmen wiederum zur Abwertung der Kredite oder gar zum Ausfall f¨ uhren kann. Dieser Zusammenhang kann durch einen entsprechenden Faktor (zum Beispiel einen branchenspezifischen Aktienindex) modelliert werden. So lassen sich auch Szenario-Analysen durchf¨ uhren, um durch Festlegung eines bestimmten Faktors die Auswirkungen auf das Portfolio zu simulieren. Im Gegensatz zur analytischen Approximation ist die Monte Carlo Simulation auch f¨ ur Portfolien geeignet, die aus recht heterogenen Krediten mit eher unterschiedlichen Risikocharakteristiken bestehen, da diese alle einzelnd modelliert werden. Der Nachteil ist, dass recht viele Daten ben¨ otigt werden und die Berechnung l¨ anger dauert (bis zu einigen Stunden).

5.3 Kreditrisikomodelle

In den letzten Jahren wurden verschiedene Modelle zur Sch¨ atzung der Verlustverteilung entwickelt. Zu den Bekanntesten geh¨ oren KMV’s PortfolioManager, CreditMetrics, CreditRisk ⁺ , Credit Portfolio View (CPView) sowie einige Intensit¨ atsmodelle. Sie haben recht unterschiedliche Ans¨ atze und machen verschiedene Einschr¨ ankungen. So erlauben manche Modelle nur die Ber¨ ucksichtigung von Kreditverlusten durch Ausfall oder modellieren keine stochastischen Wiedergewinnungsraten. Zur Modellierung der Ausfallwahrscheinlichkeiten und Wertver¨ anderungen greifen sie entweder auf Struktur-, Hazard- oder Migrationsmodelle zur¨ uck und gehen auch unterschiedliche Wege bei der Berechnung der Ausfallkorrelationen. Die folgende Tabelle soll eine ¨ Ubersicht einiger bekannter Kreditrisikomodelle geben ³⁴ .

³⁴ Unter dem Paradigma f¨ ur KMV steht DtD f¨ ur “distance to default“, welches ein Mass f¨ ur die

Entfernung zwischen erwartetem Aktivawert und einer kritischen Schwelle, dem “default point“ ist. Mit dieser DtD errechnet man die Ausfallwahrscheinlichkeiten.

Risiken von Kreditportfolien 17

Tabelle 1: ¨ Ubersicht bekannter Kreditrisikomodelle 35

6 Schluss

In dieser Seminararbeit wurden die Risiken von Kreditportfolien und deren Messung vorgestellt. Dabei wurde ersichtlich, wie komplex die Modellierung der Risiken ist, so dass man oft entgegen empirischen Erkenntnissen grundlegende Sachverhalte vereinfacht. Dies f¨ angt schon bei der Bewertung einzelner Kredite an, indem man zum Beispiel Korrelationen zwischen Risikofaktoren wie Ausfall und Ausfallquote vernachl¨ assigt oder Ausfallwahrscheinlichkeiten ohne Ber¨ ucksichtigung wirtschaftlicher Hintergr¨ unde aus historischen Daten bezieht. Bei der Sch¨ atzung der Verteilung der Portfolioverluste setzt es sich fort, indem entweder ausgehend von den vereinfachenden Annahmen bei der Bewertung einzelner Kredite diese simuliert werden oder einfach eine Verteilungsfamilie sowie eine konstante Korrelation angenommen und mittels der ersten beiden Momente spezifiziert wird.

Da die unterschiedlichen Modellierungen mit den entsprechenden vereinfachenden Annahmen zu verschiedenen Verteilungen f¨ uhren, insbesondere mit noch unbekannten Auswirkungen auf die extremen Enden der Verteilung, und derzeit kein allgemein anerkanntes Konzept zur ¨ Uberpr¨ ufung der Genauigkeit von Kreditrisikomodellen existiert ³⁶ , stellt die Sch¨ atzung der Verlustverteilung ein wichtiges Thema derzeitiger Forschungsarbeiten dar.

³⁵ vgl. Bluhm et al. (2003, S. 67f) und Jorion (2003, S. 518-525)

³⁶ vgl. Basler Ausschuss f¨ ur Bankenaufsicht (1999, S. 1)

Risiken von Kreditportfolien 18

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Risiken von Kreditportfolien 20

A Anhang

A.1 Abk¨ urzungsverzeichnis

Englisch Deutsch

COMM

D

DM DP DtD

EAD

EC EDLGD

EL

LGD MTM OUTST RR UL