I

Inhaltsübersicht

1  Einleitung.  1

2  Risikomaße.  1

2.1  Definition Risiko.  1

2.2  Varianz und Standardabweichung.  2

2.3  Value at Risk.  3

2.4  Conditional Value at Risk  4

2.5  Expected Shortfall  5

2.6  Tail Mean.  6

2.7  Tail Conditional Expectation.  6

2.8  Worst Conditional Expectation.  6

2.9  Lower Partial Moments.  7

3  Kohärenz.  8

3.1  Definition  8

3.2  Axiome.  8

3.3  Weitere Eigenschaften.  10

3.4  Kohärente Risikomaße.  12

4  Abschließende Betrachtungen.  15

4.1  Warum Kohärenz ?  16

4.2  Vergleich der Risikomaße.  16

5  Zusammenfassung  17

II

Inhaltsverzeichnis

I  Abkürzungsverzeichnis.  IV

II  Formelverzeichnis.  V

III  Symbolverzeichnis.  VI

1  Einleitung.  1

2  Risikomaße.  1

2.1  Definition Risiko.  1

2.2  Varianz und Standardabweichung.  2

2.3  Value at Risk.  3

2.4  Conditional Value at Risk  4

2.5  Expected Shortfall  5

2.6  Tail Mean.  6

2.7  Tail Conditional Expectation.  6

2.8  Worst Conditional Expectation.  6

2.9  Lower Partial Moments.  7

3  Kohärenz.  8

3.1  Definition  8

3.2  Axiome.  8

3.2.1  Translationsinvarianz.  9

3.2.2  Subadditivität.  9

3.2.3  Positive Homogenität.  9

3.2.4  Monotonie.  10

3.3  Weitere Eigenschaften.  10

3.3.1  Komonotone Additivität.  10

3.3.2  Verteilungsinvarianz.  11

3.3.3  Konvexität  11

3.4  Kohärente Risikomaße.  12

3.4.1  Varianz und Standardabweichung.  12

3.4.1  Value at Risk.  13

3.4.2  Conditional Value at Risk  13

III

3.4.3  Expected Shortfall.  14

3.4.4  Tail Mean.  14

3.4.5  Tail Conditional Expectation.  14

3.4.6  Worst Conditional Expectation.  15

3.4.7  Lower Partial Moments.  15

4  Abschließende Betrachtungen.  15

4.1  Warum Kohärenz ?  16

4.2  Vergleich der Risikomaße.  16

5  Zusammenfassung.  17

A  Anhang.  19

A.1  Literaturverzeichnis.  19

A  2 Schriftliche Versicherung  22

I Abkürzungsverzeichnis

VaR Value at Risk CVaR Conditional Value at Risk

LPM Lower Partial Moments SE Shortfallerwartungswert

SV Shortfallvarianz SW Shortfallwahrscheinlichkeit

TCE Tail Conditional Expectation TM Tail Mean

WCE Worst Conditional Expectation

II Symbolverzeichnis

1 Einleitung

Die heutige Finanzwelt wird täglich von einer Vielfalt von Risikofaktoren bestimmt. Eine wichtige Maßnahme zur nachhaltigen Sicherung von Vermögenswerten stellt daher die Messung der einwirkenden Risiken dar. Entscheidend ist hierbei die Frage, welche Merkmale in einem Verfahren zur quantitativ und qualitativ sinnvollen Messung von Risiken vorhanden sein sollten. Es bietet sich ein breites Spektrum an Risikomaßen an, die alle, auf unterschiedliche Arten, „Risiko“ messen. In dieser Arbeit soll dargelegt werden, was man unter dem Begriff Risiko zu verstehen hat und welche alternativen Maße zur Erfassung und Bewertung dieses Risikos zur Verfü­ gung stehen. Weiterhin soll geklärt werden, ob alle Risikomaße dieselbe Aussage­ kraft besitzen und sich für den Einsatz in der Praxis eignen. Zur Klärung, ob man Risikomaße in einheitliche Qualitätskategorien einteilen kann, werden die vorgestell­ ten Risikomaße anhand eines Axiomensystems auf bestimmte Eigenschaften geprüft.

Aus Gründen der Vereinfachung und des Umfangs dieser Arbeit wird, falls nicht aus­ drücklich anders benannt, bei verteilungsbasierten Risikomaßen von einer stetigen Verteilung ausgegangen, da die Betrachtungen diskreter Verteilungen den Rahmen der Arbeit sprengen würde.

2 Risikomaße

2.1 Definition Risiko

Um eine Aussage über Risiko treffen zu können, muss der Begriff Risiko erst einmal definiert werden. Hierfür wird ein Modell benötigt, das eine quantitative und qualita­ tive Messung des Risikos möglich macht. Ein möglicher Umweltzustand sei durch die Variable  beschrieben. Die begrenzte Menge aller möglichen Umweltzu­ stände nennen wir . Es besteht zudem eine Zufallsvariable X , die für jeden möglichen Zustand  einen Wert X  annimmt. G sei die Menge aller Funktionen auf , für deren Zufallsvariablen X gilt, dass  X ∈ ℝ . Ebenso wie