Inhaltsverzeichnis ................................................................................................ I

Abbildungsverzeichnis   II

Abk  ürzungs- und Variablenverzeichnis  III

1.  Einleitung  1

2.  Problemstellung  2

a.  Arten der Optimierung von Rückversicherung.  2

b.  Ziele von Rückversicherung als Grundlage der Optimierung  3

3.  Messung der statistischen Schwankungen des Gesamtjahresschadens.  6

a.  Die Einflussgrößen der Schwankungen des  

Gesamtjahresschadens   6

b.  Aggregation mehrerer Schaden-Portefeuilles  7

4.  Die Reduzierung der statistischen Schwankungen des  

Gesamtjahresschadens  durch Rückversicherung.  11

a.  Betrachtung eines Portefeuilles ohne Rückversicherung  11

b.  Betrachtung eines Portefeuilles mit Quoten RV (proportionale  

R  ückversicherung)  12

c.  Betrachtung eines Portefeuilles mit Schadenexzedenten-  

R  ückversicherung (nicht proportionale Rückversicherung)  13

5.  Der optimale Selbstbehalt.  14

a.  Bedeutung des optimalen Selbstbehalts  14

b.  Anwendung bei proportionalen Rückversicherungen  16

i.  Quotenrückversicherung  16

ii.  Summenexzedenten-Rückversicherung.  20

c.  Anwendung bei nicht-proportionalen Rückversicherungen  23

d.  Kombination von proportionalen Rückversicherungen und  

Schadenexzedenten  -Rückversicherungen.  26

Literaturverzeichnis   30

Abbildungsverzeichnis   

Seite   

Abb.  1 Portefeuille A  

Abb.  2 Portefeuille B  

Abb.  3 Portefeuille A und Portefeuille B aggregiert.  

Abb.  4 Darstellung des Schadengleichgewichts in einem  

aggregierten  Schadens-Portefeuille  

Abb.  5 Darstellung der Schadenvolatilitäten eines  

einzelnen  Schadens  

Abb.  6 Portefeuille ohne Rückversicherung.  

Abb.  7 Portefeuille mit Rückversicherung 1  

Abb.  8 Portefeuille mit Rückversicherung 2  

Abb.  9 Schadensverteilung A  

Abb.  10 Schadensverteilung B  

Abb.  11 Schadensverteilung C  

Abb.  12 Kombination aus einer Schadenexzedenten-  

R  ückversicherung und einer Quoten-  

R  ückversicherung  

Abkürzungs- und Variablenverzeichnis

Abkürzungen

Qu RV Quotenrückversicherung RV Rückversicherung S-E-RV Summenexzedentenrückversicherung

Variablen

Lateinische Buchstaben b Zuschlagsfaktor (Loading-Faktor) für prop. RV b h Zuschlagsfaktor (Loading-Faktor) Haftpflichtgeschäft b k Zuschlagsfaktor (Loading-Faktor) Kaskogeschäft s Gleichgewicht einer Schadensverteilung bzw. Schadensportefeuille c Loading-Faktor der nichtproportionalen Rückversicherung E durchschnittlich erwarteter Schaden in GE E r durchschnittlich zu erwartender Schaden in GE eines Schadenfalles bei Schadenexzedentenrückversicherung (auf Basis P) H Anzahl der Schadensfälle, die die Priorität übersteigen s Gleichgewicht der Schadenverteilung LD A Loading des Portefeuille A LD B Loading des Portefeuille B m Maximum der Summenexzedentenrückversicherung P Priorität P 0 optimale Priorität P E Pirorität Erdbebengeschäft P F Priorität Feuerversicherungsgeschäft PR (RV) Preis der Rückversicherung PR ^I (RV 1.Ableitung der Preisfunktion PR red (RV) Preisreduzierung der Rückversicherung q Selbstbehaltsquote

q k Eigenbehaltsquote Kaskogeschäft qP Priorität der Schadenexzedentenrückversicherung bei Kombination mit proportionaler Rückversicherung s (B) Gleichgewicht der Schadenverteilung von Portfolio B SB A Selbstbehalt des Portefeuille A SB B Selbstbehalt des Portefeuille B s r Gleichgewicht der aufgrund der Priorität entstandenen Schadensverteilung V Jahresschadenvolatilität eines einzelnen Schadenfalls V(Z) Jahresschadenvolatilität: V A Ergebnisvolatilität des Portfeuille A V B Ergebnisvolatilität des Portfeuille B w Verhältnis zwischen Preisreduzierung und Erhöhung der Jahresschadenvolatilität Griechische Buchstaben ∆ Erhöhungsbetrag der Priorität ∆ 1 Erhöhung des Selbstbehalts P der Schadenexzedenten-Rückversicherung ∆ 2 Reduzierung der Selbstbehaltsquote q der Quotenrückversicherung ∆Pr A Preisveränderung des Versicherungspreises von Portefeuille A ∆Pr B Preisveränderung des Versicherungspreises von Portefeuille B ∆q Selbstbehaltsveränderung λ Anzahl der erwarteten Schadensfälle

1. Einleitung

Mit dem Kauf von Rückversicherungsschutz will der Erstversicherer das Risiko mindern, dass er durch den Verkauf von Versicherung übernommen hat ¹ . Die Funktionen der Rückversicherung für den Erstversicherer bestehen u. a. darin, die Zeichnungskapazität zu erhöhen sowie den Eigenkapitalbedarf in Grenzen zu halten. Die Rückversicherung kann auch als Eigenkapitalersatz angesehen werden. ² Der Rückversicherer auf der anderen Seite kann durch die Hereinnahme von Risiken ein Kollektiv bilden, in dem das Gesetz der großen Zahlen gilt, so dass er das eingegangene Risiko handhaben kann. ³ D. h. die Rückversicherung führt insgesamt zu einer breiteren Risikostreuung und damit zu einem Risikoausgleich in der Versicherungsbranche.

Die Rückversicherungsformen können zum einen unterschieden werden in vertragsrechtliche Formen und zum anderen in versicherungstechnische Formen, unter die u. a. die Begriffe der proportionalen und nicht proportionalen Rückversicherung zu subsumieren sind. Ferner sind noch zu nennen der alternative Risikotransfer sowie Financial Reinsurance, die ebenfalls unter die Begrifflichkeit der versicherungstechnischen Formen einzuordnen sind. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden wir uns ausschließlich mit der Optimierung der proportionalen und nicht proportionalen Rückversicherung beschäftigen, weil es sich bei diesen traditionellen Formen der Rückversicherung, im Gegensatz zu den neueren Formen der Rückversicherung, die primär finanz- und erfolgswirtschaftliche Funktionen erfüllen, um primär risikopolitische Funktionen handelt. Unsere mathematischen Ausführungen in den Kapiteln 3 bis 5 basieren auf dem Modell von Schmitter ⁴ .

¹ Vgl. Graumann, M., Warum versichern sich Versicherungsunternehmen? in: WiSt, Wirtschaftswissenschaftliches Studium,30 Jg. Heft 6 Juni 2001, Seite 305

² Vgl. Koch, P. (Hrsg.), Gabler Versicherungslexikon, Wiesbaden 1994, Seite 717

³ Vgl. Koch, P. (Hrsg.), Gabler Versicherungslexikon, Wiesbaden 1994, Seite 717

⁴ Schmitter, H., Setting optimal reinsurance retentions, http://www.swissre.com/INTERNET/pwsfilpr.nsf/vwFilebyIDKEYLu/SBAT-

544EBS/$FILE/Download_en_pdf.pdf Zugriff am 17.11.2003

2. Problemstellung

Die ultimative Optimierung von Rückversicherung gibt es nicht, da es sich bei der Rückversicherungsnahme aufgrund der zahlreichen vertragsrechtlichen und versicherungstechnischen Möglichkeiten um eine sehr komplexe Problematik handelt, die auf der versicherungstechnischen Seite mittels mathematischer Modelle, wie sie in dieser Arbeit exemplarisch dargestellt werden, nur näherungsweise gelöst werden kann. Man kann sich also mit Hilfe mathematischer Modelle nur von einer Seite an eine optimale Rückversicherungsnahme annähern. ⁵ a. Ansätze zur Optimierung von Rückversicherung

Für die Optimierung von Rückversicherung gibt es in der Theorie mehrere Ansätze. Man unterscheidet den klassischen Ansatz ⁶ , der darauf beruht, eine Risikonutzenfunktion zu konstruieren, um daraus Entscheidungen abzuleiten. Der klassische Ansatz hat sich jedoch in der Praxis nicht durchgesetzt ⁷ , und wird deshalb im weiteren Verlauf dieser Ausarbeitung nicht diskutiert. Daneben gibt es risikotheoretische Modelle, die mit Hilfe mathematischer Methoden versuchen, die Höhe eines angemessenen Selbstbehalts zu bestimmen. Jedoch können diese Modelle dem Praktiker nur Einblick in die grundsätzliche Mechanik zur Bemessung des optimalen Selbstbehalts geben, um daraus Entscheidungen abzuleiten. 8

⁵ Vgl. Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik, Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik, Mathematische Verfahren der Rückversicherung, Heft 19, Karlsruhe 1988

Seite 19

⁶ Vgl. Graf von der Schulenburg, J. M.,Neuere Ansätze der Versicherungstheorie, in: WiSt, Wirtschaftswissenschaftliches Studium, 21. Jg., Heft 8, 92, Seite 400

⁷ . Graumann, M., Warum versichern sich Versicherungsunternehmen? in: WiSt, Wirtschaftswissenschaftliches Studium,30 Jg. Heft 6 Juni 2001, Seite 306

⁸ Vgl. Deutsche Gesellschaft für Versicherungsmathematik, Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik, Heft 19, Karlsruhe 1988, Seite19