- II -

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis IV   

Abbildungsverzeichnis   V

Abk  ürzungsverzeichnis.  VI

Symbolverzeichnis.   VII

1  Aufgabenstellung und Ziel der Arbeit  1

2  Grundlagen.  4

2.1  Inhaltliche Grundlagen  4

2.1.1  Supply Chain Management  4

2.1.2  Ergebnisse bei deterministischer Nachfrage  5

2.2  Statistische Grundlagen  10

2.2.1  Dichtefunktion  11

2.2.2  Verteilungsfunktion  12

2.2.3  Erwartungswert.  13

3  Zeitungsjungenproblem  14

3.1  Einleitung.  14

3.2  Annahmen des Modells  15

3.3  Formulierung des Modells.  15

3.4  Zahlenbeispiel.  19

4  Analyse verschiedener Vertragsformen bei gegebenem Verkaufspreis  21

4.1  Erwarteter Absatz eines Händlers.  21

4.1.1  Allgemeine Herleitung  21

4.1.2  Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung.  24

4.1.3  Zahlenbeispiel mit Normalverteilung.  25

4.2  Grundmodell zwischen Hersteller und Händler  26

4.2.1  Allgemeine Herleitung  26

4.2.2  Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung.  29

4.2.3  Zahlenbeispiel mit Normalverteilung.  30

4.3  Großhändlervertrag.  31

4.3.1  Allgemeine Herleitung  31

4.3.2  Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung.  34

4.3.3  Zahlenbeispiel mit Normalverteilung.  37

4.4  Rückkaufvertrag  39

4.4.1  Allgemeine Herleitung  39

4.4.2  Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung.  41

4.4.3  Zahlenbeispiel mit Normalverteilung.  43

4.5  Umsatzanteilsvertrag  44

4.5.1  Allgemeine Herleitung  44

4.5.2  Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung  47

- III -

4.5.3  Zahlenbeispiel mit Normalverteilung.  48

4.6  Vergleich der Ergebnisse der einzelnen Vertragsformen  49

5  Analyse verschiedener Vertragsformen bei variablem Verkaufspreis.  51

5.1  Erwarteter Absatz eines Händlers.  51

5.1.1  Allgemeine Herleitung  51

5.1.2  Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung.  52

5.2  Grundmodell zwischen Hersteller und Händler  56

5.2.1  Allgemeine Herleitung  56

5.2.2  Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung.  58

5.3  Großhändlervertrag.  61

5.3.1  Allgemeine Herleitung  61

5.3.2  Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung.  62

5.4  Rückkaufvertrag  65

5.4.1  Allgemeine Herleitung  65

5.4.2  Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung.  67

5.5  Umsatzanteilsvertrag  69

5.5.1  Allgemeine Herleitung  69

5.5.2  Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung.  72

5.6  Vergleich der Ergebnisse der einzelnen Vertragsformen  75

6  Zusammenfassung  76

7  Anhang.  79

Teil  A: Partielle Integration  79

Teil  B: Leibniz-Regel  80

Teil  C: Mathematische Software MuPad Pro 3.1 1.Beispiel.  80

Teil  :D Mathematische Software MuPad Pro 3.1 2.Beispiel.  82

Literaturverzeichnis   85

- V -

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Gewinnfunktionen beim Großhändlervertrag Typ A/ SG  

Abbildung  2: Gewinnfunktionen beim Rückkaufvertrag Typ A/ SG  

Abbildung  3: Zeichnung von F (y p 0) im rel. Definitionsbereich  

140)  im rel. Definitionsbereich  

Zeichnung  von F (y p 3 Abbildung 4:  

Abbildung  5: Gewinnfunktionen beim Großhändlervertrag Typ B/ SG  

Abbildung  6: Gewinnfunktion des Herstellers beim UA Typ B  

V(X)/ 2 σ Varianz der Zufallsvariable X

^{- 1 -} 1Aufgabenstellung und Ziel der Arbeit

Die Ausführungen in dieser Arbeit bewegen sich im fachlichen Gebiet des Supply Chain Managements (SCM), insbesondere mit Augenmerk auf die Supply Contracts, also die Art und Weise, wie die Partner in der Supply Chain (SC) vertraglich miteinander verbunden sind. Es werden drei verschiedene Modelle betrachtet, die in ihrem Schwierigkeitsgrad aufsteigend sind. Aufsteigende Komplexität ist hierbei auf die Anzahl der Variablen in dem Modell bezogen, die von einem Mitglied der SC bestimmt werden können. Das leichteste Modell, das sogenannte „Zeitungsjungenproblem“ (ZJ) geht von nur einer Variablen aus und betrachtet nur die Sicht eines Mitglieds der SC. Dieses Modell dient als Grundlage für spätere Erweiterungen und wird nicht weiter spezifiziert. Das nächst schwierigere Modell geht von mindestens zwei Variablen aus und wird auf drei verschiedene Vertragstypen angewendet: Großhändlervertrag (GH), Rückkaufvertrag (RK) und Umsatzanteilsvertrag (UA). ¹ Es wird die Sicht von allen Mitgliedern der SC betrachtet. Das abschließende und komplizierteste Modell geht von mindestens drei Variablen aus. Analog zum vorherigen Modell werden die gleichen Vertragstypen untersucht und ebenso die Sicht aller Mitglieder der SC beleuchtet. Wie der Titel der Arbeit „Koordination in Supply Chains - Eine Analyse der Wirkung ausgewählter Supply Contracts“ andeutet, geht es bei der jeweiligen Betrachtung der verschiedenen Vertragstypen um die Fragestellung, inwiefern die einzelnen Typen Koordination gewährleisten. Es werden für jeden Vertragstyp in einem Beispiel zwei Kennziffern berechnet, die getrennt nach Modell abschließend verglichen werden. Alle Modelle gehen davon aus, dass die SC aus zwei Mitgliedern besteht, einem Hersteller und einem Händler. Zwischen Hersteller und Händler gibt es nur ein disponierbares Produkt. Es herrscht vollkommene Information und die Verteilung der Nachfrage am Konsumentenmarkt nach diesem Produkt ist stochastisch, wobei im Rahmen dieser Arbeit prinzipiell von einer stetigen Zufallsvariable (ZV) ausgegangen wird.

¹ Es wurde frei und nicht wörtlich aus der Originalliteratur von Cachon übersetzt: Wholesale price contract = Großhändlervertrag

Buy back contract = Rückkaufvertrag

Revenue sharing contract = Umsatzanteilsvertrag

^{- 2 -} InKapitel 2 erfolgen Grundlagen, die für das Verständnis der anschließenden Kapitel wichtig sind. In Unterkapitel 1 werden als inhaltliche Grundlage ver-schiedene Begriffe aus dem SCM erläutert und zum besseren Verständnis der nachfolgenden Kapitel 4 sowie 5 verschiedene Vertragsformen bei Annahme ei-ner deterministischen Nachfrage untersucht. In Unterkapitel 2 werden statistische Grundlagen erklärt, weil diese Arbeit stark mathematisch-formal orientiert ist. Die Annahme der stochastischen Nachfrage nach dem Produkt erfordert Wissen aus der Statistik, aber auch Kenntnisse aus der Integral- und Differentialrechnung. Aspekte dieser mathematischen Themen werden, falls notwendig, entweder im laufenden Text oder im Anhang ausgeführt.

Nachdem die Grundlagen gelegt worden sind, geht es im Kapitel 3 um das oben erwähnte Zeitungsjungenproblem. Nach einer inhaltlichen Einleitung und der Erläuterung der Annahmen des Modells wird in Kapitel 3.3 das Modell aufgestellt und Schritt für Schritt das Optimum hergeleitet. Ein besonderes Augenmerk dieser Arbeit liegt- auch in Kapitel 4 und 5- darauf, dass alle Herleitungen ausführlich dargestellt und ohne größere mathematische Kenntnisse nachvollziehbar sind. Da allgemeine Herleitungen abstrakt und dadurch tendenziell schwieriger verständlich sind, wird zum Abschluss des Kapitels 3 ein Zahlenbeispiel berechnet, wobei im Gegensatz zu Kapitel 4 nur die Normalverteilung (NV) benutzt wird, weil sie realistischer ist und bei dem in Kapitel 3 vorliegenden mathematischen Schwierigkeitsgrad noch gut nachvollziehbare Berechnungen zulässt.

Kapitel 4 und 5 bilden den wichtigsten Teil dieser Arbeit. Kapitel 4 erweitert das ZJ um eine zusätzliche Variable und lässt somit die Komplexität ansteigen. Im ersten Unterkapitel erfolgt bezogen auf die Gliederung die gleiche Vorgehensweise wie in den weiteren vier Unterkapiteln 4.2 bis 4.5. Nach einer allgemeinen Betrachtung des Problems erfolgen zwei Beispiele mit jeweils einer angenommenen Verteilung. Zunächst wird es die mathematisch leichter verwendbare „Stetige Gleichverteilung“ (SG) und danach die realistischere NV sein. Die allgemeinen Betrachtungen der einzelnen Unterkapitel lehnen sich stark an eine Literaturquelle an. Es handelt sich um einen Text, der im Internet kostenlos downloadbar ist und im „Handbooks in Operations Research and Management Science: Supply Chain Management“, herausgegeben von Steve Graves und Ton de Kok, North-Holland Verlag, erschienen ist. Der Text wurde von Gérard P. Cachon geschrieben und trägt den Titel „Supply Chain Coordination with Contracts“. Inhaltlich betrachtet

^{- 3 -} daserste Unterkapitel unabhängig von der gewählten Vertragsart den erwarteten Absatz des Händlers am Konsumentenmarkt. Im zweiten Unterkapitel, also Kapi-tel 4.2, wird der Gewinn der Supply Chain unter der Annahme berechnet, dass beide Unternehmen als ein gemeinsames Unternehmen handeln. Es ist der Refe-renz- bzw. Idealfall (IF), mit dem in den nächsten drei Unterkapiteln die Ergeb-nisse bei der jeweiligen Vertragsform verglichen werden: Großhändlervertrag, Rückkaufvertrag und Umsatzanteilsvertrag. Das letzte Unterkapitel von Kapitel 4, Kapitel 4.6, vergleicht die Ergebnisse, die in diesem Kapitel berechnet wurden.

Kapitel 5 ist ähnlich wie Kapitel 4 aufgebaut, wobei inhaltlich eine Erweiterung vorgenommen wurde, weil ein zuvor gegebener Parameter nun als Variable fungiert. Das erneute Ansteigen der Komplexität ermöglicht es nicht mehr, das Zahlenbeispiel unter der Annahme einer NV zu berechnen. Bereits die Zahlenbeispiele unter der Annahme einer SG zeigen, dass die Berechnungen sehr komplex sind. Das Weglassen der NV bei den Zahlenbeispielen ist der einzige Unterschied in der Gliederung im Vergleich zu Kapitel 4. Auch in Kapitel 5 lehnen sich die allgemeinen Herleitungen stark an den o. g. Text von Cachon an.

Kapitel 6 fasst die Arbeit zusammen und Kapitel 7 dient als Anhang, in dem mathematische Regeln und Programmierbefehle der benutzten mathematischen Soft- ware erläutert werden.

^{- 4 -} 2Grundlagen

2.1 Inhaltliche Grundlagen

2.1.1 Supply Chain Management

SCM stellt ein Konzept dar, das sich auf komplette Wertschöpfungsketten bezieht. ² Es sollen alle Wertschöpfungsaktivitäten gestaltet und gesteuert werden, die sich auf die gleiche Prozesskette beziehen. Eine Beschränkung auf Teile der Wertschöpfungskette ist nicht zulässig, weil Interdependenzen zu den nicht betrachteten Stufen missachtet werden und somit nur eine stufenbezogene optimale Lösung resultiert.

Eine ausschnittsweise Optimierung gefährdet die Wettbewerbsfähigkeit der SC, denn die Konkurrenz besteht eher aus anderen Wertschöpfungsketten als aus einzelnen Stufen. Das SCM betrifft unter anderem die vertragliche Gestaltung zwischen allen Beteiligten. Diese vertragliche Gestaltung kann in vielen Varianten münden, von denen drei Typen in dieser Arbeit betrachtet werden. Ein Vergleich der einzelnen Typen/ Formen erfolgt auf einer operationalisierten Basis. Die Beteiligten an einer SC achten vorrangig auf die Maximierung ihres eigenen Gewinnes. Die Maximierung des Gewinnes der gesamten SC ist sinnvoller, da die Höhe des Gewinnes immer mindestens genauso hoch ist wie die Summe der Gewinne aller Beteiligten der SC bei getrennter Maximierung.

Der Begriff der Koordination spielt in dieser Arbeit eine zentrale Rolle. Koordination bedeutet in diesem Kontext, dass die Summe der Gewinne aller Beteiligten in der SC genau dem Gewinn entspricht, der resultieren würde, falls der Gewinn der gesamten SC maximiert wird. Die SC agiert wie ein fiktives Unternehmen und erzielt den Idealfall. 3

In der Analyse wird die kleinstmögliche SC betrachtet, die aus einem Händler und einem Hersteller besteht. Der Hersteller ist somit Zulieferer und Produzent in einem Betrieb, während der Händler die Funktion von Großhändler, Spediteur und Filiale des Einzelhandels übernimmt. Der Hersteller produziert ein Gut, dessen

² Vgl. auch Folgeabsatz: Ihde (1997), S.1046-1047.

³ Diese Definition stellt eine Abwandlung zur Definition von Cachon dar.

^{- 5 -} Inputgrößtenteils aus physischen Faktoren aus dem eigenen Betrieb und Arbeits-leistung besteht. Der Output wird vom Händler in der Fabrik des Herstellers ab-geholt und in einer oder mehreren Filialen den Kunden zum Kauf angeboten. Zwi-schen Hersteller und Händler herrscht vollkommene Information, also kennen beide gegenseitig ihre Gewinnmaximierungskalküle, z.B. die anfallenden Kosten beim anderen Unternehmen. ⁴ Eine sichere Information über die Nachfrage nach dem Produkt existiert nur in Kapitel 2.2.1, weil dort die Preis-Absatz-Funktion gegeben ist, d.h. bei einem bestimmten Preis kennen sowohl der Hersteller als auch der Händler die absetzbare Menge. In den Kapiteln 3, 4 und 5 ist die Infor-mation bzgl. der Nachfrage hingegen unsicher, aber immer noch vollkommen. Beide Marktteilnehmer haben den gleichen Informationsstand und kennen nun nur noch die stochastische Verteilung der Nachfrage nach dem Produkt in Form einer Dichtefunktion.

Die vollkommene Information zwischen Hersteller und Händler führt dazu, dass der Hersteller seine steuerbaren Variablen, also bspw. den Einstandspreis für ein Gut, festsetzt und dem Händler mitteilt. ⁵ Der Händler optimiert mit den vom Hersteller genannten Daten seinen eigenen Gewinn. In diesem Modell ist der Hersteller im Vorteil, weil er den so genannten „first-mover-advantage“ innehat. Der Hersteller hat seine Werte so berechnet, dass er die vom Händler steuerbaren Variablen in Abhängigkeit der eigenen Variablen in seine Gewinnfunktion implementiert. Dadurch kann er bspw. den Einstandspreis genau so berechnen, dass der Händler seine eigenen Variablen in der Höhe festlegt, die beim Hersteller ins Gewinnmaximum führen. Dieser Ansatz stellt eine Anlehnung an das Stackelberg-Modell und das Produktwahlspiel dar. Er bewirkt bei der späteren Analyse, dass es stets zu einer einzigen Gewinnaufteilung zwischen Hersteller und Händler kommt, unabhängig vom Modell und vom Vertragstyp.

2.1.2 Ergebnisse bei deterministischer Nachfrage

Die in diesem Kapitel betrachtete SC besteht- wie auch in den anderen Kapitelnaus einem Hersteller und einem Händler. Der Hersteller produziert genau ein Produkt und verkauft dieses Produkt nur an den Händler, der wiederum nur von diesem einen Hersteller beliefert wird. Zwischen beiden Partnern in der SC besteht

⁴ Vgl. auch Rest des Absatzes: Pindyck/Rubinfeld (2005), S.235-238.

⁵ Vgl. auch Rest des Absatzes: Pindyck/Rubinfeld (2005), S.642-643.

^{- 6 -} vollkommeneInformation. Der Händler kann die Nachfrage in Abhängigkeit des Preises genau quantifizieren, d.h. es existiert eine deterministische Nachfrage. Diese Annahme wird später aufgehoben und ab dann gilt immer das Prinzip einer stochastischen Verteilung der Nachfrage.

Zum besseren Verständnis der späteren Ausführungen bei einer stochastischen Verteilung der Nachfrage soll für verschiedene Vertragsformen ein Zahlenbeispiel mit deterministischer Nachfrage gerechnet werden. ⁶ In den Kapiteln 4 und 5 wird unterschieden zwischen einem bereits gegebenen Verkaufspreis (Typ A) und einem Verkaufspreis, der vom Händler gesetzt werden kann (Typ B).

Im Kontext einer deterministischen Nachfrage kann es nur einen Verkaufspreis geben, der vom Händler gesetzt wird (Typ B). Bei einem gegebenen Verkaufspreis (Typ A) würde unmittelbar die Menge feststehen und es gäbe aus Sicht des Händlers kein Entscheidungsproblem mehr. Zu den Modellen Typ A und Typ B werden in den Kapiteln 4 und 5 jeweils drei verschiedene Vertragsformen untersucht, die bei einer deterministischen Nachfrage nicht alle existieren können. Der RK vergütet dem Händler alle Einheiten des Produktes, die der Händler bestellt hat, aber nicht absetzen kann. Dieser Fall ist bei deterministischer Nachfrage nicht möglich, weil das Modell vorsieht, dass jede bestellte Einheit auch abgesetzt wird. Somit bleiben für die nachfolgende Untersuchung nur zwei Formen übrig: der GH und der UA. Um die erzielten Ergebnisse besser vergleichen zu können, wird zuerst der Idealfall berechnet.

Zunächst werden für die Modelle die relevanten Größen deklariert und die Kosten sowie die Preis-Absatz-Funktion als gegeben angenommen:

Gegebene Parameter:

c = 6 Kosten des Händlers in GE/ME

r

c = 8 Kosten des Herstellers in GE/ME

s

Variable:

q Disponierte und abgesetzte Menge in ME

p Verkaufspreis in GE/ME

⁶ Vgl. auch Rest des Kapitels: van der Veen/Venugopal (2000), S.1-10.

^{- 7 -} w Einstandspreis des Herstellers in GE/ME

φ Anteil, den der Händler an seinem Umsatz behalten darf

Zielgröße:

π Gewinn des Händlers in GE

r

π Gewinn des Herstellers in GE

s

π Gewinn der Supply Chain in GE

⋅ − = q p 5 300 (A1) Preis-Absatz-Funktion:

a) Gemeinsames Unternehmen (Idealfall)

Beide Unternehmen werden zusammen betrachtet, d.h. es erfolgt keine Zahlung zwischen Händler und Hersteller. Der Gewinn errechnet sich folgendermaßen:

π ⋅ + − ⋅ = q c q p ) ( (A2)

s r

Nun wird der Verkaufspreis p durch den Zusammenhang (A1) ersetzt und die gegebenen Kosten eingesetzt.

π ⋅ − ⋅ − = q 14 ) 5 300 ( (A3)

Diese Gewinnfunktion ist nur noch von q abhängig und führt bei einer Maximierung zu folgenden Werten:

* = * = * =

π q p 6 , 28 ME / 157 GE/ME / 80 , 4089 GE (A4)

b) Großhändlervertrag

w ⋅ . Der Händ-Der Händler zahlt dem Hersteller für die Bestellmenge insgesamt q ler optimiert im ersten Schritt seine Menge, die in Abhängigkeit von w angegeben wird. Diesen Zusammenhang berücksichtigt der Hersteller bei seiner Optimierung. 7

π ⋅ − ⋅ − ⋅ − = q w q 6 ) 5 300 ( (A5)

r

⁷ Hier kommt der first-mover-advantage des Herstellers zum Ausdruck.

^{- 8 -} ∂

π

*

⋅ − = w q 1 , 0 4 , 29 (A7)

GH

Die Gewinnfunktion des Herstellers lautet mit Berücksichtigung von *

q :

GH

π ⋅ − ⋅ − = w ) 1 , 0 4 , 29 ( ) 8 ( (A8)

S

Diese Gewinnfunktion ist nur noch von w abhängig und führt bei einer Maximierung zu folgenden Werten:

* = * = * =

q p w 3 , 14 ME / 50 , 228 GE/ME / 151 GE/ME (A9)

GH GH GH

r s π π π = = = GE (A10) GE / 90 , 2044 GE / 45 , 1022 35 , 3067

GH GH GH

Bei einer deterministischen Nachfrage und einem Großhändlervertrag gilt unabhängig von den gewählten Parametern und der gewählten Preis-Absatz-Funktion:

3 π * r s π π ⋅ = 2 ⋅ = und (A11)

GH GH GH 4

Der Hersteller erzielt stets den doppelten Gewinn des Händlers und in der Summe erzielen Hersteller sowie Händler bei einem Großhändlervertrag 75% dessen, was sie im Idealfall in der Summe erzielen könnten.

c) Umsatzanteilsvertrag

w ⋅ und gibt ihm zusätzlich einen Anteil (1-φ ) Der Händler zahlt dem Hersteller q

von seinem Umsatz ab. Der Händler optimiert im ersten Schritt seine Menge, die in Abhängigkeit von w und φ angegeben wird. ⁸ Diesen Zusammenhang berück-

sichtigt der Hersteller bei seiner Optimierung.

φ π ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = 6 ) 5 300 (( (A12) q w q

r

∂

φ π = − ⋅ − ⋅ = 0 6 ) 10 300 ( (A13) w q

r ∂ q

^{- 9 -} + *

− = 30 q

UA

Die Gewinnfunktion des Herstellers lautet mit Berücksichtigung von *

q :

φ π − = ) 1 (

s

⎛

⎜ ⎜ ⋅ − + ) 8 ( w

⎝

Diese Gewinnfunktion ist nur noch von w und φ abhängig und führt bei einer

Maximierung zu folgenden Werten:

* = * = *

− = 6 , 28 ME / 157 GE/ME / 6 GE/ME (A16) q p w

UA UA UA

* = r s φ π π π = = = 0 / 0 GE/ 80 , 4089 GE/ 80 , 4089 GE (A17)

UA UA UA UA

Bei einer deterministischen Nachfrage und einem Umsatzanteilsvertrag gilt unabhängig von den gewählten Parametern und der gewählten Preis-Absatz-Funktion:

* s π π = = und (A18)

UA UA UA

Der Hersteller erzielt stets den gesamten Gewinn der SC und in der Summe erzielen Hersteller und Händler bei einem Umsatzanteilsvertrag 100% dessen, was sie im Idealfall in der Summe erzielen könnten, d.h. der UA koordiniert.

⁸ Beim UA bestimmt der Hersteller sowohl w als auch φ .

^{- 10 -} 2.2Statistische Grundlagen

Die Einführung in die relevanten Themen der Statistik ist notwendig, um später die Berechnungen bei einer stochastischen Verteilung der Nachfrage besser verstehen zu können. Es dreht sich bei dieser Arbeit um die Nachfrage nach einem Produkt. Zunächst ist es fraglich, ob diese Nachfrage diskret oder stetig ist.

Nimmt man an, es handelt sich bei dem nicht näher spezifizierten Gut um ein Auto, so kann die Zahlenmenge der nachgefragten Autos nur aus natürlichen Zahlen bestehen, d.h. die einzelnen Ausprägungen der Zufallsvariable X sind diskret. 9

X: Anzahl der nachgefragten Autos in einer bestimmten Periode in ME

X = { a; a+1; a+2; …; b-2; b-1; b}, wobei a eine Mindestnachfragemenge (a≥0) und b eine Höchstnachfragemenge ist. Die einzelnen Ausprägungen sind abzählbar unterscheidbar diskret.

Nimmt man an, es handelt sich bei dem nicht näher spezifizierten Gut um Rohöl in Litern, so ist es sinnvoll, dass man sehr detailliert unterscheidet, d.h. die einzelnen Ausprägungen der ZV X werden rechnerisch als stetig behandelt.

X: Nachgefragtes Rohöl in Litern in einer bestimmten Periode

X = [a; b], wobei a eine Mindestnachfragemenge (a≥0) und b eine Höchstnachfragemenge ist. Bei den einzelnen Ausprägungen ist es nicht mehr sinnvoll, sie abzählbar zu unterscheiden stetig.

Im Rahmen dieser Arbeit werden ausschließlich stetige Zufallsvariablen benutzt, auch wenn bspw. Zeitungen eigentlich diskret behandelt werden müssten. Man kann aber feststellen, dass eine stetige Berechnung mehr Möglichkeiten offeriert und die Ergebnisse eine gute Näherung liefern.

⁹ Vgl. auch Rest des Kapitels: Schlittgen (2003), S.5-6.

^{- 11 -} 2.2.1Dichtefunktion

Die Dichtefunktion bei einer stetigen Zufallsvariablen X ist definiert als: 10

∂

= ) ( : ) ( x F x f (B1)

∂ x

mit x∈X; die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz Dichtefunktion stellt die erste Ableitung der Verteilungsfunktion dar, die in Kapitel 2.2.2 eingeführt ∞

wird. Sie hat folgende Eigenschaften: f(x) ≥ 0 und ∫

−

Jede Dichte ist positiv und die Fläche unter der Dichtefunktion ist immer gleich eins. Wichtig ist, dass man sich den Unterschied zwischen der Dichte und der Wahrscheinlichkeit (WS), dass genau e ME nachgefragt werden, verdeutlicht:

e

P(X = e)= ∫

Inhaltlich sind bei einer stetigen ZV zu viele Ausprägungen möglich, als dass eine einzelne Ausprägung eine von null verschiedene WS haben kann.

Beispiel: Bei einer SG lautet die Dichtefunktion folgendermaßen: 11

1

= x f ) ( mit a als Untergrenze und b als Obergrenze (B4)

− a b

Jede Dichte besitzt den gleichen Funktionswert unabhängig von x. Der Funktionswert ist immer positiv, da b > a ist. Die Dichtefunktion ist nur zwischen a und

b definiert und hat graphisch gesehen immer die Höhe

Fläche unter der Dichtefunktion ausrechnen:

b

∫ −

a

Die Dichtefunktion einer Normalverteilung wird in Kapitel 4.1.3 vorgestellt.

¹⁰ Vgl. auch Folgeabsatz: Schira (2003), S.266-267.

¹¹ Vgl. auch Rest des Kapitels: Schlittgen (2003), S.215-216.