Discontinuous Galerkin Methods

Erkl¨ arung Hiermit versichere ich, dass ich diese Diplomarbeit selbst¨ andig und nur unter Verwen- dung der im Literaturverzeichnis angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe. Stuttgart, 29. November 2004 Stefanie Winter

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Inhaltsverzeichnis

1 Einf¨ uhrung 5

2 Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden

3 Discontinuous Galerkin Methoden f¨ ur elliptische Probleme 7 3.1 Ausgangsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Fluss-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Primale Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4.1 Die Methode von Bassi und Rebay [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4.2 Die LDG-Methode [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4.3 Die klassische IP-Methode [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4.4 Die Methode von Baumann und Oden [7] . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.5 Die Methode von Brezzi et al. [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.6 Die Methode von Bassi et al. [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4.7 Methode von Babu˘ ska-Zl´ amal [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5 Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.6 Beschr¨ anktheit, Stabilit¨ at und Approximationseigenschaften . . . . . . . 26 3.6.1 Beschr¨ anktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6.2 Stabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.6.3 Approximationseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Fehlerabsch¨ atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7.1 Unterscheidung f¨ ur stabile, vollst¨ andig konsistente Methoden . . . 37 3.7.2 Untersuchung f¨ ur inkonsistente Methoden und versch¨ arfte Straf-

terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.7.3 Untersuchung f¨ ur schwach-stabile Methoden . . . . . . . . . . . . 42

4 Discontinuous Galerkin Methoden f¨ ur hyperbolische Probleme 50

4.1 Ausgangsproblem und Variationsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 Konsistenz und Stabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 A priori Fehlerabsch¨ atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Die DG- Methode f¨ ur Elastizit¨ atsprobleme in der Sattelpunktformu-

lierung 60

5.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Ausgangsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3 Schwache Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4 Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.4.1 Stabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3

5.4.2 Inf- Sup- Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.5 Fehlerabsch¨ atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Appendix 74

7 Zusammenfassung 76

8 Notation 78

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1 Einf¨ uhrung

In hyperbolischen Differentialgleichungen, wie etwa bei den Erhaltungsgleichungen, ent- halten L¨ osungen oft sogenannte shocks, zu deutsch etwa mit “Spr¨ unge”¨ ubersetzbar. W¨ unschenswert war und ist daher, eine Methode zur numerischen Berechnung von L¨ osungen zu finden, die mit diesen Unstetigkeiten umzugehen vermag. Die spezielle Art der Problemformulierung in der Discontinuous Galerkin Methode erlaubt Unste- tigkeiten entlang einzelner Elementkanten und sie unterst¨ utzt damit die Verwendung allgemeiner, unstrukturierter Gitter.

Man kann wohl sagen, dass sich die Motivation und daher auch die Anf¨ ange und Schwer- punktsgebiete der Discontinuous Galerkin Methode in Arbeiten zur numerischen Unter- suchung von L¨ osungen hyperbolischer Probleme wiederfinden.

Mittlerweile ist es aber auch ¨ ublich, Forschungen f¨ ur elliptische sowie parabolische Pro- blemstellungen zu betreiben.

In dieser Arbeit wollen wir unser Augenmerk speziell auf die Theorie der Disconti- nuous Galerkin Methode f¨ ur elliptische Differentialgleichungen lenken. Dabei orientiert sich die Ausarbeitung haupts¨ achlich an Arnold, Brezzi, Cockburn, Marini [3], Castil- lo, Perugia, Sch¨ otzau [14], Brezzi, Manzini, Marini, Pietra und Russo [10] . Einige der im Literaurverzeichnis aufgef¨ uhrten Quellen behandeln nur ausgew¨ ahlte Spezialf¨ alle der einzelnen Unterarten der Discontinuous Galerkin Methoden und bieten keinen umfas- senden ¨ Uberblick ¨ uber die gesamte Methode beziehungsweise die Grundideen, die hinter der neuen Art der Methode stehen.

Ziel dieser Arbeit soll jedoch sein, einen allgemein g¨ ultigen Rahmen der gesamten Dis- continuous Galerkin Methoden angeben zu k¨ onnen. Auf die jeweiligen Unterarten wird, nach ausf¨ uhrlicher, allgemeiner Theorieabhandlung, in einem sp¨ ateren Abschnitt zu den Beispiele eingegangen. Es folgen Fehlerabsch¨ atzungen, die einen Bezug zu jeder aufge- listeten Unterart nehmen und somit gemeing¨ ultige Aussagen ¨ uber Fehlerordnungen der

Discontinuous Galerkin Methoden erm¨ oglichen.

Als kleiner R¨ uckblick auf die eigentlichen Urspr¨ unge der Methode soll im Anschluss an die umfassende Behandlung der Discontinuous Galerkin Methode f¨ ur elliptische Differentialgleichungen die ¨ Ubertragung der Idee auf hyperbolische Methoden anhand der Advektion-Diffusions-Gleichung erfolgen. Motiviert wurden diese Ausarbeitungen haupts¨ achlich durch die Arbeit von Brezzi, Marini und S¨ uli [11].

Vergleiche der Methode bez¨ uglich ihres jeweiligen Anwendungsgebietes, also welche Be- sonderheiten jeweils etwa in elliptischen beziehungsweise hyperbolischen Problemen be- achtet werden m¨ ussen, welche unterschiedlichen Zusatzbedingungen erforderlich sind, damit sich die Methode bew¨ ahrt, k¨ onnen daher zusammenfassend getroffen werden. Als weiteren Ausblick wollen wir die Discontinuous Galerkin Methode in der Sattel- punktformulierung, am Beispiel der Elastizit¨ atsgleichung, darstellen. Dabei orientieren wir uns haupts¨ achlich an den zweiten Teil der Arbeit [21] von P. Hansbo und M. Larson.

5

2 Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden

Die Liste der Vorteile bei der Verwendung von Discontinuous Galerkin Methoden ist groß. Sie erlaubt beispielsweise die Wahl beliebiger Gitter, das heisst, dass man nicht- konforme Gitter, also willk¨ urliche Netze, die h¨ angende Knoten und Elementen unter- schiedlicher Form aufweisen, benutzen darf.

Die Struktur der verwendeten R¨ aume eignet sich zudem bestens um h-, p- sowie hp- Adaptivit¨ at anzuwenden. Jedes Element kann aufgrund seiner besonderen Gestalt ein- zeln, je nach h-, p- oder sogar mit beiden Adaptivit¨ atsregeln verfeinert werden, ohne dass auf die benachbarten Elemente, etwa hinsichtlich verschiedener Polygongrade oder m¨ oglicherweise auftretender h¨ angender Knoten geachtet werden muss. Bei der Standard- Finite-Element-Methode hingegen m¨ ussen gem¨ aß den Verfeinerungskriterien Nachbar- elemente, die mindestens zwei verfeinerte Kanten oder mindestens eine Kante haben, die zweimal verfeinert wurde, nachmarkiert und ebenfalls verfeinert werden. Ferner m¨ ussen dann die notwendigen Abschl¨ usse eingef¨ ugt werden, um das Auftreten h¨ angender Kno- ten zu verhindern.

Des Weiteren garantieren stabile und konsistente Discontinuous Galerkin Methoden op- timale Fehlerabsch¨ atzungen. Selbst inkonsistente Discontinuous Galerkin Methoden er- reichen, falls man sie im nachhinein mit sogenannten Straftermen versieht, optimale Fehlerabsch¨ atzungen. Gleiches gilt auch f¨ ur nicht-adjungiert konsistente Methoden, f¨ ur die sich ebenfalls Strafterme finden lassen, mit denen unsere Methoden bestm¨ ogliche Fehlerabsch¨ atzungen zulassen.

Zudem garantieren die Discontinuous Galerkin Methoden elementweise die Erhaltung physikalischer Gr¨ oßen, wie etwa in Bezug auf Masse, Moment oder Energie. Ganz ohne Nachteile ist die Methode allerdings auch nicht.

Mit ihrer unstetigen Basis erzeugt diese Methode mehr Unbekannte f¨ ur eine gegebene Genauigkeitsordnung als die traditionelle Finite-Element-Methoden, was zu Ineffizienz f¨ uhren kann. Da im Allgemeinen mit komplexeren Matrizen gearbeitet werden muss, ent- stehen damit auch h¨ ohere Kosten bei der L¨ osungsberechnung als bei den Standardme- thoden. Insofern gilt es abzuw¨ agen, wann die Discontinuous Galerkin Methoden wirklich von Nutzen sind.

6

3 Discontinuous Galerkin Methoden f¨ ur elliptische

Probleme

3.1 Ausgangsproblem

Als einfachsten Repr¨ asentanten der elliptischen Differentialgleichungen betrachten wir folgendes Modellproblem:

−∆u = f in Ω,

= g N · n auf Γ N ∂n mit Ω als beschr¨ anktes, konvexes, polygonales Gebiet in R 2 mit dem Rand ∂Ω, wobei dieser in St¨ ucke aufgeteilt wird, auf denen entweder Dirichlet-Randbedingungen oder Neumann-Randbedingungen gegeben sind, so dass ∂Ω = ¯ Γ N ∪ ¯ Γ D mit Γ N ∩ Γ D = ∅

gilt, und n der nach aussen gerichtete normierte Normalenvektor zu ¯ Γ D ∪ ¯ Einfachheit wegen sei das 1 -dimensionale Maß von Γ D ungleich Null. Die Funktion f sei eine gegebene Funktion im L 2 (Ω).

Um herk¨ ommliche Rahmenbedingungen zu schaffen, schreiben wir unser Problem zuerst in ein System 1.Ordnung um:

q = u,

∂u = q · n = g N · n auf Γ N .

∂n

Sei {T h } h eine regul¨ are Familie von Triangulationen ¨ uber dem Gebiet Ω. Die einzelnen

Elemente der Triangulationen von T h werden mit E angedeutet, das heißt T h = E.

E∈T h In dieser Arbeit verwenden wir Dreiecke als Elemente. Zudem soll erf¨ ullt sein, dass E = ¯ Ω ist, mit ¯ Ω = Ω ∪ ∂Ω. Der maximale Durchmesser eines Elementes E wird

soll die Menge Mit Γ wird die Vereinigung aller Kanten ¨

aller inneren Kanten bezeichnen.

nur die Menge aller inneren Kanten. Kan-

leben, nur einfach gez¨ ahlt beziehungsweise gewertet werden.

, so

erh¨ alt man:

7

Das entspricht der schwachen Formulierung, die bei der Discontinuous-Galerkin-Methode

verwendet wird, um die sogenannte Fluss-Formulierung zu gewinnen. Man stellt daher

zun¨ achst eine geeignete Definition Finite-Element-R¨ aume f¨ ur die N¨ aherungsl¨ osungen u h

und q h auf. Wir benennen diese neuen Finite-Element-R¨ aume mit V h beziehungsweise

W h , wobei nun gelten soll:

V h = {v ∈ L 2 (Ω) so, dass v | E = P p (E) f¨ ur alle E ∈ T h },

W h = {τ ∈ [L 2 (Ω)] 2 so, dass τ | E ∈ [P p (E)] 2 f¨ ur alle E ∈ T h },

wobei P p (E) die Menge der auf E definierten Polynome vom Grad p ≥ 1 darstellt.

Spr¨ unge entlang der Triangulationen sind f¨ ur unsere Funktionen v ∈ V h und τ ∈ W h

also zul¨ assig, da wir lediglich fordern, dass die Funktionen ¨ uber dem gesamten Gebiet Ω

Lebesgue-integrierbar sind. Nur auf den einzelnen Elementen der Triangulationen selbst

haben wir (stetige) Polynome. Entlang Kanten sind also Unstetigkeiten zul¨ assig und das

Verhalten entlang der R¨ ander wird nicht festgelegt.

In der Definition der R¨ aume V h und W h wurde bedacht, dass

h V h ⊂ W h beziehungsweise S(E) ⊂ S(E) 2

(3.1.3)

gelten soll. Der hier auftretende Raum S(E) steht f¨ ur den lokal angesetzten Finite-

Element-Raum. h entspricht dem elementbezogenen Gradienten. Mit der Wahl von

S(E) als P k (E) ist die Bedingung (3.1.3) stets erf¨ ullt.

Weiter gilt, dass die Bedingung (3.1.3) ¨ aquivalent ist zu

v · τ dx = 0 f¨ ur alle τ ∈ S(E) 2 ⇒ v ≡ 0 auf E. v ∈ S(E) ∧

E

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3.2 Fluss-Formulierung

Wir k¨ onnen nun also ausgehend von der schwachen Formulierung die sogenannte Fluss-

Formulierung unserer Discontinuous-Galerkin-Methode aufstellen:

Gesucht seien u h ∈ V h und q h ∈ W h , so dass

f¨ ur alle E ∈ T h erf¨ ullt sei. wobei ˆ q E und ˆ u E als die numerischen Fl¨ usse bezeichnet

werden und Approximationen zu q = u beziehungsweise zu u auf den Kanten von E

darstellen. Die numerischen Fl¨ usse, die k¨ unftig als verk¨ urzende Schreibweise nur noch

mit ˆ u = (ˆ u E ) E∈T h f¨ ur den skalaren Fluss und als ˆ q = (ˆ q E ) E∈T h f¨ ur den vektoriellen Fluss

bezeichnet werden sollen, sind lineare Funktionale, die durch

u : H 1 (T h ) → T (Γ)

und

q : H 2 (T h ) × [H 1 (T h )] 2 → [T (Γ)] 2 .

ˆ

gegeben sind.

Die Spur der Funktionen in H 1 (T h ) geh¨ ort zu T (Γ) := Π E∈T h L 2 (∂E).

Hierbei bezeichne H l (T h ) den Raum aller Funktionen auf Ω, deren Einschr¨ ankung auf je-

des Element E, zu dem Raum H l (E) geh¨ ort. Unter der Notation H l (E) werden Sobolev-

R¨ aume verstanden. Damit gilt nat¨ urlich auch, dass die Finite-Element-R¨ aume V h und

W h Teilmengen von H l (T h ) beziehungsweise [H l (T h )] 2 mit beliebig gew¨ ahltem l sind.

Wir m¨ ussen sp¨ ater unter Verwendung der Randbedingungen die numerischen Fl¨ usse ˆ q E

und ˆ u E mithilfe von q h und u h ausdr¨ ucken.

Die Wahl dieser numerischen Fl¨ usse wird ausschlaggebend f¨ ur die jeweilige Unterart der

Discontinuous-Galerkin-Methode sein und ausf¨ uhrlich im Abschnitt 3.4 diskutiert. Die

numerischen Fl¨ usse beeinflussen ebenfalls die Stabilit¨ at und Genauigkeit der Methode,

ebenso wie sie auf den Besetzungsgrad der Steifigkeitsmatrix wirken k¨ onnen.

Da wir, wie bereits erw¨ ahnt, Spr¨ unge entlang der Kanten zulassen und somit abh¨ angig

von der jeweiligen Triangulation zwei verschiedene Werte auf der Kante zulassen, ist es

n¨ otig, sogenannte Spuroperatoren auf den inneren Kanten einzuf¨ uhren.

Mit e bezeichnen wir eine innere Kante, die von den Elementen E 1 und E 2 einer Triangu-

lation geteilt wird. Die Vektoren n 1 und n 2 (beziehungsweise als gleichwertig verwendete

Schreibweise n + und n − ) sind jeweils die nach außen von E 1 beziehungsweise von E 2

gerichteten Einheitsnormalenvektoren .

F¨ ur u i := u | ∂E i definiert man den Sprung [·] und den Durchschnitt {·}:

1

{·} : T (Γ) → L 2 (Γ 0 ) ; {u} =

2

[·] : T (Γ) → [L 2 (Γ)] 2 ; [u] = u 1 n 1 + u 2 n 2 .

9

Demnach ergibt der Durchschnitt einer skalaren Funktion wiederum eine skalare Gr¨ oße,

w¨ ahrend der Sprung einer skalaren Funktion einen Vektor liefert.

Ebenso kann man den Sprung und den Durchschnitt f¨ ur q ∈ [T (Γ)] 2 f¨ ur q i := q | ∂E i

definieren:

1

{·} : [T (Γ)] 2 → [L 2 (Γ)] 2 ; {q} =

2

[·] : [T (Γ)] 2 → L 2 (Γ 0 ) ; [q] = q 1 · n 1 + q 2 · n 2 .

Hierbei gilt, dass es sich beim Durchschnitt einer vektoriellen Funktion wiederum um

eine vektorielle Gr¨ oße handelt, wohingegen der Sprung einer vektoriellen Funktion eine

skalare Gr¨ oße gibt.

Mit den oben eingef¨ uhrten Notationen k¨ onnen wir nun dazu ¨ ubergehen, die Fluss-

Formulierung in die Form der sogenannten primalen Formulierung umzuschreiben.

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3.3 Primale Formulierung

Wir gelangen zur bereits erw¨ ahnten Primalen Formulierung, indem wir die beliebig

gew¨ ahlte Variable q h in unserer Fluss-Formulierung eliminieren.

Dazu gehen wir wie folgt vor:

• Summation ¨ uber alle Elemente E

E∈T h

• Umschreiben der Gleichungen mithilfe der Spuroperatoren

Da folgende Beziehung

Γ E∈T h

wie auch im Anhang unter “Beweis 1”gezeigt wird, gilt, k¨ onnen die Integralterme

(3.3.1) und (3.3.2) unter Verwendung der Sprung- und Durchschnittsoperatoren

ausgedr¨ uckt werden als

Ω Γ Ω

• Ersetzen aller Terme q h durch u h

Die Beziehung (3.3.3) k¨ onnen wir ein weiteres Mal benutzen und in die Greensche

Formel einbauen und erhalten:

−

Wird v ∈ H 1 (T h ) in (3.3.6) durch u h ersetzt, erh¨ alt man

−

11

Setzt man das Resultat (3.3.7) in (3.3.4) ein, so erh¨ alt man

• Definition und Anwendung sogenannter Lifting Operatoren

Indem wir die stetigen Lifting Operatoren

r : [L 2 (Γ)] 2 → W h

und

l : L 2 (Γ 0 ) → W h

mit

Ω

f¨ ur alle τ ∈ W h definieren, k¨ onnen wir obige Gleichungen wie folgt in Kurzschreib-

weise zusammenfassen:

q h = q h (u h ) := h u h − r([ˆ u(u h ) − u h ]) − l({ˆ u(u h ) − u h }).

Die Lifting Operatoren erm¨ oglichen die Darstellung einer auf dem Rand liegenden

Funktion a ∈ [L 2 (Γ)] 2 beziehungsweise b ∈ L 2 (Γ 0 ) durch ein Gebietsintegral. Die

Funktionen r(a) beziehungsweise l(b) liegen in W h .

• Umschreiben der Gleichungen unter Verwendung einer Bilinearform

Wird τ in (3.3.8) durch h v ersetzt, ergibt sich

Γ

Dieses Ergebnis (3.3.12) wird in die Gleichung (3.3.5) eingef¨ ugt und man erh¨ alt

B h (u h , v) =

Ω

wobei die Bilinearform B h (u h , v) als

12

B h (u h , v) :=

({ˆ u − u h }[ h v] − [ˆ q]{v}) ds +

Γ 0

definiert ist.

Wir haben eine Bilinearform B h (u h , v) mit B h : H 2 (T h ) × H 2 (T h ) → R f¨ ur belie-

bige Funktionen u h ∈ H 2 (T h ) und v ∈ H 2 (T h ) definiert, mit ˆ u als ˆ u(u h ) und ˆ q als

ˆ q(u h , q h (u h )).

Wenn (u h , q h ) ∈ V h × W h L¨ osung der Fluss-Formulierung ist, dann ist auch u h L¨ osung

f vdx f¨ ur alle v ∈ V h und q h kann dann mithilfe von u h berechnet zu B h (u h , v) =

Ω

werden.

Wir bezeichnen diese Formulierung als die sogenannte Primale Formulierung der Discon-

tinuous-Galerkin-Methoden mit der Bilinearform B h (·, ·) als der zugeh¨ origen Primalen

Form. Wir sehen, dass diese Formulierung explizit kein q h beinhaltet.

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3.4 Beispiele

Wie bereits erw¨ ahnt, f¨ uhrt die unterschiedliche Wahl der numerischen Fl¨ usse ˆ u und ˆ q

auf die unterschiedlichen Methoden des Discontinuous-Galerkin-Ansatzes.

Als grobe Orientierung sei erw¨ ahnt, dass sich die numerischen Fl¨ usse auf den inneren

Kanten Γ 0 wie folgt beschreiben lassen:

u = {u h } + c 12 [u h ] − c 22 [q h ], ˆ (3.4.1)

q = {q h } − c 11 [u h ] − c 12 [q h ]. ˆ (3.4.2)

Die Methode wird somit also haupts¨ achlich mit der Wahl der Koeffizienten c 11 und c 22

bestimmt, wobei man voraussetzt, dass c 11 als positive und c 22 als nichtnegative Koef-

fizienten gesetzt werden sollen.

Des Weiteren soll n − = −n + gelten.

Bei der Wahl zu dem Koeffizienten c 12 soll vorausgesetzt werden, dass c 12 · n − = 1 auf

Γ D sowie c 12 · n + = 1 auf Γ N erf¨ ullt seien.

2 Wir fordern weiter, dass (q − , u − ) = (q + , g D ) auf Γ D und (q − , u − ) = (g N , u + ) auf Γ N

erf¨ ullt seien. Hierbei sind q − , q + , u − , u + jeweils Stellvertreter von Funktionen aneinander-

liegender Elemente, wobei + das eine und − das andere angrenzende Element bez¨ uglich

der betrachteten Kante bezeichnen soll.

Mit dieser Wahl k¨ onnen wir unsere obige Formulierung der numerischen Fl¨ usse unter

Verwendung unserer Randdaten g D , g N bez¨ uglich Γ D und Γ N ausdr¨ ucken und erhalten

f¨ ur die ¨ außeren (Rand)kanten

g D auf Γ D ,

ˆ u := ˆ q :=

Mithilfe dieser Definitionen kann die Discontinuous-Galerkin-Formulierung ein weiteres

Mal umgeschrieben werden.

Ausgangspunkt sei

E∈T h E∈T h

E∈T h E∈T h

was sich jedoch unter Ber¨ ucksichtigung der Besetzung der inneren und ¨ außeren Rand-

kanten gem¨ aß (3.4.1)-(3.4.4), genauer in der Form

E

14

E∈T h

schreiben l¨ asst.

Ersetzt man in (3.4.5) und (3.4.6) die numerischen Fl¨ usse ˆ u und ˆ q wie oben aufgef¨ uhrt,

erh¨ alt man

+

=

und

− + =

¨ Ahnlich wie in der klassisch-gemischten Finite-Element-Methode lassen sich auch hier

Bilinearformen a(·, ·), b(·, ·), c(·, ·) sowie Linearformen F (·) und G(·) definieren, wobei

die Linearformen alle Randinformationen enthalten.

a(q h , τ ) := b(u h , τ ) :=

E∈T h

= −

u h τ · n ds,

+

Γ D

c(u h , v) :=

15

und

F (τ ) := G(v) :=

Die N¨ aherungsl¨ osung (q h , u h ) der Discontinuous-Galerkin-Methode kann aufgefasst wer- den als eindeutige L¨ osung des folgenden Variationsproblems: finde (q h , u h ) ∈ W h × V h so, dass

a(q h , τ ) + b(u h , τ ) = F (τ ),

−b(v, q h ) + c(u h , v) = G(v)

f¨ ur alle (τ, v) ∈ W h × V h .

Die Definitionen vereinfachen den Nachweis der Exisitenz unserer N¨ aherungsl¨ osung [14]. Lemma 1. Die Discontinuous-Galerkin-Methode, die durch die schwache Formulie- rung und durch die Wahl der numerischen Fl¨ usse mit positivem Koeffizienten c 11 und nichtnegativem Koeffizienten c 22 definiert wird, hat eine eindeutige N¨ aherungsl¨ osung (q h , u h ) ∈ W h × V h .

Beweis:

Es gen¨ ugt zu zeigen, dass q h = 0 und u h = 0 die einzige L¨ osung zu

a(q h , τ ) + b(u h , τ ) = F (τ ),

−b(v, q h ) + c(u h , v) = G(v)

mit f = 0, g D = 0 und g N = 0 ist, da wir Linearit¨ at und endliche Dimension des Problems gegeben haben.

Da unsere Formulierung f¨ ur alle (τ, v) ∈ W h × V h gilt, k¨ onnen wir τ durch q h und v durch u h ersetzen. Addieren wir beide Gleichungen, verschwindet die Bilinearform b(·, ·) und wir erhalten a(q h , q h ) + c(u h , u h ) = 0.

Da c 22 ≥ 0 und da aufgrund des Quadrats von q h im Integral stets positive Terme stehen, muss q h = 0 sein.

Aus der zweiten Bilinearform c(·, ·) erh¨ alt man gleichermassen, dass [u h ] = 0 auf den inneren Kanten Γ 0 und u h = 0 auf Γ D , da c 11 > 0 gelten soll. Daraus folgt nun aber, dass

b(u h , τ ) =

f¨ ur alle τ ∈ W h gilt.

Da jedoch zu Beginn bei dem Ausgangsproblem gefordert wurde, dass h V h ⊂ W h gilt,

erh¨ alt man, dass u h ≡ 0 auf E ist.

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