Alternative Rechenverfahren zu den schriftlichen Normalverfahren der Grundrechenoperationen

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  3

2  Alternative Rechenverfahren in der Grundschule  5

2.1  Alternative Rechenverfahren ohne Hilfsmittel  9

2.1.1  Multiplikation  9

2.1.1.1  Die Kreuzmethode  11

2.1.1.2  Die Russische Bauernmultiplikation  15

2.1.1.3  Das Verdopplungsverfahren der Multiplikation  18

2.1.2  Division  19

2.1.2.1  Das Subtraktionsverfahren  20

2.1.2.2  Das Verdopplungsverfahren der Division  21

2.1.3  Addition und Subtraktion/Computersubtraktion  23

2.2  Alternative Rechenverfahren, basierend auf Hilfsmitteln  25

2.2.1  Das Schiebezettelverfahren  27

2.2.2  Die Neperschen Streifen  30

2.2.2.1  Anwendung für die Multiplikation  32

2.2.2.2  Anwendung für die Division  37

2.2.3  Der Abakus  39

2.2.3.1  Aufbau und Darstellung von Zahlen am Abakus  43

2.2.3.2  Rechnen mit dem Abakus  46

2.2.3.3  Vor- und Nachteile des Abakusrechnens  53

2.2.4  Der Schulabakus  55

2.2.4.1  Aufbau und Darstellung von Zahlen am Schulabakus  55

2.2.4.2  Rechnen mit dem Schulabakus  57

2.2.4.3  Vor- und Nachteile des Schulabakus  58

2.2.5  Der Minicomputer von F. Papy  60

3  Alternative Rechenverfahren im Berliner Rahmenlehrplan  63

4  Abschließende Betrachtung  68

5  Literaturverzeichnis  73

5.1  Bücher/Beiträge aus Büchern  73

5.2  Zeitschriftenaufsätze  75

5.3  Internet  76

6  Abbildungsverzeichnis  78

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1 Einleitung

Die alternativen Rechenverfahren lernte ich das erste Mal in einem Hauptseminar meines Lehramtsstudiums kennen. Bis dahin hatte ich sie weder in meiner Schulzeit noch im Grundstudium wahrgenommen. Interessiert an der Alternative zu den Normalverfahren beschäftigte ich mich im Verlauf meines Studiums intensiver mit den alternativen Rechenverfahren. Mit der Examensarbeit habe ich die Möglichkeit gesehen, meine Sachkompetenz innerhalb dieses Themas weiter zu vertiefen und zusätzlich den Bezug zum Rahmenlehrplan zu untersuchen.

In der dritten und vierten Klasse werden im Mathematikunterricht die schriftlichen Rechenverfahren der Grundrechenoperationen behandelt. Die so genannten Norm- bzw. Normalverfahren ¹ sind verpflichtend für alle Schüler ² und unterliegen den Vorgaben der Kultusministerkonferenz (KMK) und des Rahmenlehrplans ³ für den Mathematikunterricht.

Obwohl die schriftlichen Rechenverfahren im Mathematikunterricht obligatorisch sind, wird ihre Anwendung in der Schule seit einiger Zeit von namhaften Mathematikdidaktikern infrage gestellt. Innerhalb dieser Diskussion wird aufgrund der medialen Entwicklung die Notwendigkeit der Normalverfahren hinterfragt. Des Weiteren wird das mechanische Rechnen anhand eines Algorithmus kritisiert. Ein Lösungsvorschlag innerhalb dieser Diskussion ist das Ersetzen der Normalverfahren durch digitale Rechenhilfen oder durch halbschriftliches Rechnen. Ein weiterer Gedanke ist die Nutzung von alternativen Rechenverfahren, die teilweise weniger komplex sind als die Normalverfahren.

In dieser Arbeit werden dem Leser alternative Rechenverfahren ⁴ zu den schriftlichen Normalverfahren der Grundrechenoperationen vorgestellt. Es gibt zahlreiche Variationen für die Multiplikation und Division und einige Alternativen für die Subtraktion. Die Addition bildet mit ihrem einfachen und verständlichen Algorithmus in den meisten

¹ Ich beschränke mich in dieser Arbeit auf den Begriff Normalverfahren.

² Aus Gründen der besseren Lesbarkeit verwende ich in meiner Arbeit das Maskulinum auch stellvertretend für das Femininum.

³ In der weiteren Arbeit mit RLP abgekürzt.

⁴ In der weiteren Arbeit mit a. RV. abgekürzt.

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Fällen die Grundlage der a. RV. Es werden ausgesuchte Verfahren für den Grundschulunterricht ausführlich beschrieben und auf ihre Vor- und Nachteile eingegangen.

Die vorliegende Arbeit untergliedert sich in vier Kapitel. Nach der Einleitung werden im zweiten Kapitel die Alternativen Rechenverfahren in der Grundschule ausführlich vorgestellt. Dies wird in zwei Abschnitten erfolgen. Im Ersten werden „Alternative Rechenverfahren ohne Hilfsmittel“ beschrieben. Dies sind einfache a. RV., die in der Grundschule angewandt werden können, ohne kostspieliges Zusatzmaterial kaufen zu müssen. Ihre Unterteilung erfolgt auf Grundlage Ihrer Anwendung für die Multiplikation, Division sowie Addition und Subtraktion. Im zweiten Abschnitt „Alternative Rechenverfahren, basierend auf Hilfsmitteln“ werde ich auf fünf verschiedene ’Rechenmaschinen’ eingehen. Diese ’Rechenmaschinen’ dienen den Schülern als Hilfsmittel und müssen für den Mathematikunterricht entweder nachgebaut oder gekauft werden. Orientiert an der zunehmenden Komplexität der einzelnen Hilfsmittel werden eingangs die relativ einfache Schiebezettelmethode und die Neperschen Streifen erklärt. Anschließend findet eine umfassende Erläuterung des sehr komplexen Abakus satt. Aufbauend auf den Ausführungen zum Abakus, der im europäischen Raum in Bezug auf seine Handhabung eher unbekannt ist, wird die didaktische Abwandlung - der Schulabakus vorgestellt. Dieser findet in Grundschulen bereits Anwendung und ähnelt in seinem Aufbau sehr dem Minicomputer von Papy, der abschließend beschrieben wird. Der mathematische Hintergrund sowie die Vor- und Nachteile der einzelnen Verfahren werden kapitelweise dargelegt.

Im dritten Kapitel wird zum Einen der neue Berliner RLP dahingehend untersucht, welchen Stellenwert die a. RV. einnehmen, verglichen mit dem alten RLP aus dem Jahre

1986. Zum Anderen wird beleuchtet inwieweit der Handlungsspielraum des Lehrers

erweitert wurde und an welcher Stelle der Einsatz von a. RV. gerechtfertigt wäre.

In der „Abschließenden Betrachtung“ wird der Nutzen, den Schüler aus einer Methodenöffnung ziehen können, dem Aufwand des Lehrers gegenübergestellt. Inwieweit sich für den Schüler aus der Anwendung der a. RV. Vorteile ergeben und worin sie liegen, wird zusammengefasst und bewertet.

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2 Alternative Rechenverfahren in der Grundschule

Die schriftlichen Rechenverfahren sind normierte Lösungsverfahren, so genannte Algorithmen. Der Mathematiker Dähn definiert Algorithmen wie folgt.

„Ein Algorithmus dient dazu, alle Aufgaben eines bestimmten Typs zu lösen. Es ist ein Verfahren, das durch endlich viele Anweisungen beschrieben wird. Dabei ist jede Anweisung eindeutig, d.h. wenn zwei verschiedene Personen eine Anweisung befolgen, erhalten sie stets das gleiche Ergebnis. Jeder Algorithmus ist im Blick auf einen Anwendungsbereich konstruiert.“ 5

Mit Algorithmen lassen sich bestimmte Aufgabentypen rein mechanisch lösen, ohne dass eine Einsicht in das Verfahren notwendig ist. ⁶ Die a. RV. werden in der einschlägigen Literatur und auch in dieser Arbeit hauptsächlich als Ergänzung und nur bedingt als Variante zu den Normalverfahren der schriftlichen Rechenverfahren vorgestellt, da die schriftlichen Rechenverfahren im RLP obligatorisch sind. Sie werden für die schriftliche Multiplikation, Subtraktion und Division verwendet und basieren überwiegend auf der schriftlichen Addition. Einige in meiner Arbeit vorgestellte Verfahren dienten einst als Grundlage für die Entwicklung der heutigen schriftlichen Normalverfahren.

Es gibt viele schriftliche Rechenverfahren. In der Schule werden bisher lediglich die durch den KMK-Beschluss vorgeschriebenen Normalverfahren gelehrt. Trotz der KMK-Beschlüsse und der länderübergreifenden Zusammenarbeit gibt es in der Praxis gelegentlich Abweichungen hinsichtlich der Notation sowie Unterschiede in der Durchführung bei der schriftlichen Subtraktion. ⁷ „Es kommt hinzu, dass heute in nahezu jeder Grundschulklasse zahlreiche Aussiedler- oder Ausländerkinder sitzen, deren Eltern ganz andere Verfahren gelernt haben als unsere Normalverfahren.“ ⁸ Zwangsläufig kommt es zu Konflikten zwischen den schulischen Verfahren und der ’gut gemeinten’ Hilfestellung durch die Eltern. Diese kulturelle Vielfalt kann bei allen Beteiligten zu Verwirrung

⁵ Deutsches Institut für Fernstudien Abteilung Mathematik - Freiburg/Dähn, G., Mellin, E., Strehl, R., Walter, F.-R., Wissler, G.: Mathematik für Grundschullehrer. Ein Fernstudiengang. E11 Algorithmen, schriftliche Rechenverfahren. Weinheim: Beltz Verlag, 1974, S. 12.

⁶ Vgl. Krauthausen, Günter: Kopfrechnen, halbschriftliches Rechnen, schriftliche Normalverfahren, Taschenrechner: Für eine Neubestimmung des Stellenwertes der vier Rechenmethoden. In: Journal für Mathematik - Didaktik, 14/1993, Heft 3/4, S. 191.

⁷ Es gibt das Abzieh- oder Ergänzungsverfahren.

⁸ Schipper, Wilhelm: Schriftliches Rechnen - Ein Fossil mit Zukunft. In: Die Grundschulzeitschrift,

119/1998, S. 14.

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führen. Sie bietet aber auch Ansatzpunkte für die a. RV. und stellt eine Bereicherung für den Unterricht dar. 9

Beispiele für die Standardverfahren sind in Abbildung 1 zu sehen.

„Die Entwicklung des schriftlichen Rechnens ist ein wesentlicher Teilbereich unserer über Jahrtausende gewachsenen mathematischen Kultur [...] .“ ¹⁰ Es wurde entwickelt, um die wachsenden Anforderungen an das Gedächtnis beim Kopfrechnen, vor allem mit großen Zahlen, zu minimieren. Im Mittelalter unterrichteten die Rechenmeister die Verfahren mit einer einzigen Methode, in der kein Wert auf das Verstehen der Rechnung, sondern lediglich auf das korrekte Ausführen der Rechen- und Notationsvorschriften gelegt wurde. Der Rechenunterricht war bis ca. 1830 durch Vor- und Nachmachen geprägt. Erst danach fand allmählich ein Wandel statt. Das Verständnis der Schüler und das Nachdenken wurden gefördert. Trotz dieser Entwicklung wurden 1958 mit dem Beschluss der Kultusministerkonferenz feste Regeln für die Normalverfahren festgelegt. 11

Die Normalverfahren werden oftmals als die Rechenverfahren angesehen, und das beständige Üben dieser führt dazu, dass selbst einfache Aufgaben mit diesem Verfahren durchgeführt werden. Dieser ’Missbrauch’ der schriftlichen Rechenverfahren ist unter Mathematiklehrern und Didaktikern bekannt. ¹² Schüler, die die Normalverfahren als eine effektive und schnelle Art des Rechnens kennen lernen, neigen dazu, ihnen einen übersteigerten Wert zuzusprechen. Sie deklarieren sie als die beste Methode des Rech- ⁹ Vgl.Schipper 119/1998, S. 14.

¹⁰ Schipper 119/1998, S. 11.

¹¹ Vgl. Schipper 119/1998, S. 11 f.

¹² Vgl. Plunkett, Stuart: Wie weit müssen Schüler heute noch die schriftlichen Rechenverfahren beherrschen? In: mathematik lehren, 21/1987, S. 43.

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nens. Nach Plunkett „spielen Konformismus und Verzicht auf eigenes Denken […] eine große Rolle“ ¹³ .

Dieser Verzicht auf das eigene Denken und im Gegensatz dazu die Forderung nach Flexibilität im Mathematikunterricht sind Aspekte, die ein Umdenken in der Mathematikdidaktik verursachten. Schon Ende der 80er Jahre begannen Diskussionen zur Abschaffung der schriftlichen Rechenverfahren. In einigen Artikeln zur Mathematikdidaktik ¹⁴ wird die Frage erörtert, ob es im heutigen Computerzeitalter überhaupt noch nötig ist, schriftliche Rechenverfahren zu lehren bzw. zu lernen. Plunkett zum Beispiel fordert, statt der Einführung der Normalverfahren den Schwerpunkt des Rechenunterrichts auf das Kopfrechnen, die halbschriftlichen Rechenverfahren und den Taschenrechner zu legen. Er teilt in seinem Artikel „Wie weit müssen Schüler heute noch die schriftlichen Rechenverfahren beherrschen?“ die Rechenaufgaben nach Schwierigkeitsgraden ein und vertritt die Meinung, dass die schwierigen Aufgaben, sofern sie nicht mit den ersten genannten Verfahren zu lösen sind, mit dem Taschenrechner gelöst werden können. ¹⁵ Damit nimmt er Bezug auf den immer stärkeren Einfluss von digitalen Rechenmaschinen.

Auch Schipper vertritt in seinem Artikel „Schriftliches Rechnen - ein Fossil mit Zukunft“ die Meinung, dass das Normalverfahren im Mathematikunterricht nicht mehr einen so hohen Stellenwert einnehmen muss. Das schriftliche Rechnen ist nach Schipper zwar ein Kulturgut, das es zu erhalten gilt, allerdings im Rahmen eines Unterrichts, in dem die Diskussion des Rechenwegs und die Herausstellung von besonders praktischen Verfahren thematisiert werden. ¹⁶ „In einem solchen Unterricht wird die Vermittlung der Kulturtechnik „schriftliches Rechnen“ durch die Thematisierung des Kulturgutes „Rechenverfahren“ abgelöst.“ 17

Selter hat in einer Untersuchung festgestellt, dass viele Schüler selbst bei einfachen Re-chenvorgängen die schriftlichen den halbschriftlichen Rechenverfahren oder dem Kopfrechnen vorziehen. Schüler favorisieren mechanisches Rechnen gegenüber dem

¹³ Plunkett 21/1987, S. 44.

¹⁴ Vgl. u. a. Plunkett 21/1987; Schipper 119/1998; Selter, Christoph: Flexibilität oder AutoMathik? In: Grundschulunterricht, 10/2002.

¹⁵ Vgl. Plunkett 21/1987, S. 45.

¹⁶ Vgl. Schipper 119/1998, S, 13.

¹⁷ Schipper 119/1998, S. 13.

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flexiblen Rechnen, da es ihnen scheinbar mehr Sicherheit gibt. ¹⁸ Diese Untersuchung bekräftigt die Forderungen von Plunkett und Schipper, dass die schriftlichen Rechenverfahren nicht als ’Höhepunkt’ im Arithmetikunterricht angesehen werden sollten und aus diesem Grunde von den Schülern immer bevorzugt werden.

Krauthausen fordert in seinem Buch „Einführung in die Mathematikdidaktik“ und in veröffentlichten Artikeln ¹⁹ , den Schwerpunkt auf die halbschriftlichen Verfahren zu verlagern. ²⁰ Er zählt zu den vehementen Verfechtern des flexiblen Rechnens, das seiner Meinung nach die halbschriftlichen Rechenverfahren ermöglicht. 21

Der RLP von 1986 wurde zum Jahre 2004 hin überarbeitet und greift Punkte dieser Diskussion auf. Die Vorgaben der KMK wurden zwar offiziell nicht außer Kraft gesetzt, aber in der Praxis findet schon seit einiger Zeit eine Öffnung der Verfahren statt. Seit

1996 ist es den Lehrkräften im Bundesland Nordrhein-Westfahlen freigestellt, ob sie das Abzieh- oder Ergänzungsverfahren lehren. ²² Mit dem neuen RLP wurde das auch in Berlin erreicht. ²³ Diese Öffnung im Unterricht und die Vorgabe des neuen RLP von Berlin, dass „die Lehrerinnen und Lehrer […] die Schülerinnen und Schüler an der Gestaltung der Lernprozesse (beteiligen), indem sie […] sich und die Schülerinnen und Schüler nicht auf nur einen bestimmten Weg zur Lösung fokussieren [und] […] mit ihnen Varianten der Darstellung des Lösungsweges erörtern“ ²⁴ , geben den Lehrern die Möglichkeit, a. RV. in ihren Unterricht mit aufzunehmen.

Die a. RV. bieten den Schülern die Möglichkeit, auf unterschiedlichen Wegen zu einem Ergebnis zu gelangen. Lehrer, die a. RV. in ihrem Unterricht anwenden möchten, sollten ihre Sachkompetenz zu diesem Thema theoretisch, aber vor allem praktisch erweitern. Die Alternativen selbst zu erproben, ist lohnend, da durch die Anwendung erst ein Durchbrechen der festgefahrenen Rechenwege möglich ist. Der Anwender erhält einen neuen Blick auf diese Thematik.

¹⁸ Vgl. Selter 10/2002, S. 20.

¹⁹ Siehe Literaturliste 5.2.

²⁰ Vgl. Krauthausen, Günther/Scherer, Petra: Einführung in die Mathematikdidaktik. 2. Auflage. Heidelberg; Berlin: Spektrum Akad. Verlag, 2003, S. 44 ff.

²¹ Vgl. Krauthausen 14/1993, S. 202.

²² Vgl. Schipper 19/1998, S. 15.

²³ Vgl. Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (Hrsg.): Rahmenlehrplan Grundschule. Mathematik. Berlin: Wissenschaft und Technik Verlag, 2004, S. 29.

²⁴ RLP 2004, S. 26.

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Die vorgestellten a. RV sind eine Auswahl aus zahlreichen Rechenverfahren. Ihre Zusammenstellung richtete sich nach der einschlägigen Literatur und wurde mit dem betreuenden Professor abgestimmt. Viele der vorgestellten alternativen Verfahren sind bereits sehr alt und im Laufe der Zeit offensichtlich in Vergessenheit geraten. Vielleicht ist auch die Tendenz, ’Altes’ zu verwerfen und als unpraktisch oder altmodisch zu deklarieren, ein weiterer Grund dafür, dass diese Verfahren abgelehnt werden. Die Forderung nach einheitlichen Normalverfahren trug ihren Teil dazu bei.

2.1 Alternative Rechenverfahren ohne Hilfsmittel

Die in diesem Kapitel ausführlich erläuterten Rechenverfahren sind in der Grundschule ohne Zusatzmaterial, außer Papier und Stift, anwendbar. Anhand der einschlägigen Literatur konnten für die Multiplikation erheblich mehr a. RV. als für die Division oder gar Subtraktion herausgearbeitet werden. Für die Addition ließen sich lediglich Abwandlungen in der Notation, aber keine echten Alternativen finden. Sie bildet in vielen Fällen, mit ihrem einfachen Algorithmus, die Grundlage für a. RV.

2.1.1 Multiplikation

Das Normalverfahren der schriftlichen Multiplikation wird seit den 50er Jahren durch den Beschluss des Kultusministeriums an den deutschen Schulen gelehrt. Es handelt sich um ein standardisiertes Verfahren, das einem bestimmten Algorithmus in der Notation und dem Wortlaut folgt. Seine komplexe Notationsform führt dazu, dass Schüler mitunter den Hintergrund dieses Verfahrens nicht verstehen, sondern lediglich den Al-gorithmus auswendig lernen und anwenden. 25

Dass Fehler aufgrund des fehlenden Verständnisses von Schülern nicht gleich wahrgenommen werden, ist unter einigen Mathematikpädagogen ein bekanntes Problem und ein Grund für die Diskussionen zur Abschaffung der Normalverfahren. ²⁶ Gorski und Müller-Philipp, Padberg, Müller und Wittmann u. a. weisen in ihren Büchern daher

²⁵ Vgl. Gorski, Hans-Joachim/Müller-Philipp, Susanne: Leitfaden Arithmetik. 2., überarbeitete Auflage. Wiesbaden: Vieweg, 2004, S. 146.

²⁶ Vgl. u. a. Plunkett 21/1987; Schipper 19/1998.

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auch auf a. RV. als ein erweitertes Angebot zu den Normalverfahren hin. ²⁷ Alternative Multiplikationsverfahren ermöglichen „eine Reduzierung der Anforderungen gegenüber dem komplexen Normalverfahren der schriftlichen Multiplikation“ ²⁸ . Da die Reduzierung der Anforderungen zur Verringerung der Verständnisprobleme und Misserfolge führt, sind die a. RV. ein Angebot, aus dem nicht nur der rechenschwache Schüler wählen und von dem er profitieren kann.

In den folgenden Kapiteln werde ich anhand von Beispielen a. RV. erklären, die sich lediglich auf die Multiplikation beziehen. Zur Gewährleistung der Vergleichbarkeit = ⋅ verwende ich in nahezu allen Verfahren die Rechenaufgabe . Dem Leser 3510 78 45

soll ermöglicht werden, das Augenmerk auf den Rechenweg zu legen, ohne das Ergebnis jeweils von Neuem kontrollieren zu müssen.

Allgemeingültige Bezeichnungen von Zahlen mithilfe von Buchstaben sind in der Mathematik üblich. Im Laufe der Arbeit wird diese Bezeichnung verwendet, um Beweise zu führen oder um Zahlen in allgemeiner Form darzustellen. Es wird dabei die folgende Notationsform verwendet: 123 = , wobei 0 a für die Ziffer 3, 1 a für die Ziffer 2 a a a

0 1 2

a für die Ziffer 1 steht. ²⁹ Um eine dreistellige Zahl in allgemeiner Form, jedoch und 2

mit der richtigen Wertigkeit darzustellen, nutze ich folgende Notation: + + a a 10 a 100 . Hier steht der Buchstabe wieder für die Ziffer der Stellenschreibwei- 0 1 2

se, erhält aber durch die Multiplikation mit der vorangestellten Zehnerpotenz seinen korrekten Wert.

Die Bezeichnungen E für Einer, Z für Zehner, H für Hunderter und T für Tausender etc. sind allgemein übliche Abkürzungen in der Mathematik und in der Grundschule. Die Schüler arbeiten mit diesen Kürzeln bereits in Stellenwerttabellen im Anfangsunterricht.

²⁷ Vgl. u. a. Gorski/Müller-Philipp 2004; Padberg, Friedhelm: Didaktik der Arithmetik. 2. Auflage. Heidelberg; Berlin; Oxford: Spektrum Akad. Verlag, 1996; Müller, Gerhard/Wittmann, Erich Ch.: Der Mathematikunterricht in der Primarstufe. Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1984.

²⁸ Padberg 1996, S. 224.

²⁹ Wichtig ist, dass die Buchstaben nicht miteinander multipliziert werden sollen. Es ist in der Mathematik üblich, anstelle von a · b die kürzere Variante ab zu schreiben. Das gilt hier nicht, da die Buchstaben für die Ziffern stehen.

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2.1.1.1 Die Kreuzmethode

Die Kreuzmethode wird hauptsächlich angewandt, um schnell ’im Kopf’ zu rechnen. In dem Buch „Die Trachtenberg-Schnellrechenmethode“ wird diese Methode als eine Erfindung des russischen Mathematikers Jakow Trachtenberg (1888-1953) vorgestellt. Trachtenberg entwickelte sie während seiner Gefangenschaft in einem deutschen Konzentrationslager zur Zeit des Nationalsozialismus. Später lehrte er sie an einem von ihm in der Schweiz gegründeten mathematischen Institut. ³⁰ Weitere Literatur zu diesem Thema, die bereits vor der NS-Diktatur erschien, gibt andere Begründer dieser Methode an. So wird in „Rechenkniffe“ von Karl Menninger aus dem Jahr 1932 das Kreuzvielfachen vorgestellt, das auf das Verfahren eines Dr. Ferrol zurückzuführen ist. Die Kreuzmethode und die Trachtenberg-Schnellrechenmethode sind in ihrer Anwendung gleich. Wer nun der Urheber dieser Methode war, lässt sich schwer ermitteln, sodass ich in meiner weiteren Ausführung mit dem Begriff Kreuzmethode arbeite.

Der Algorithmus der Kreuzmethode wird anhand der a 1 a 0

Abbildung 2 und der Abbildung 4 verdeutlicht. Anhand der Multiplikation von zwei zweistelligen Faktoren möchte ich das Prinzip vorstellen. Die einzelnen Faktoren werden stellenwertgenau untereinander notiert. Im ersten Rechenschritt werden die Einer miteinander multipliziert und das Ergebnis

Abbildung 2: Schema der Kreuzmethode 31

darunter geschrieben. Im zweiten Schritt werden die Zehner

des Multiplikanden ³² mit dem Einer des Multiplikators multipliziert. Das Teilergebnis wird stellenwertgenau unter das erste Teilergebnis, das bedeutet eine Stelle weiter links, aufgeschrieben. Das Gleiche erfolgt mit dem Zehner des Multiplikators und dem Einer des Multiplikanden. Im dritten Schritt werden die Zehner der Faktoren multipliziert und das Teilprodukt unter das zweite Teilergebnis wieder stellenwertgenau notiert. Am Ende werden alle Teilergebnisse miteinander addiert.

³⁰ Vgl. Wikipedia: Jakow Trachtenberg - Leben. Online: http://de.wikipedia.org/wiki/Jakow_Trachtenberg (Aufruf: 11.06.2007).

³¹ In Anlehnung an Menninger, Karl: Rechenkniffe. Lustiges und vorteilhaftes Rechnen. Ein Lehr- und Handbuch für das tägliche Rechnen. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. Frankfurt a. M.: Poths, 1932, S. 36.

³² Multiplikand · Multiplikator = Produkt.

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Die Multiplikation wird laut Menninger nach einem Bild I X I (siehe Abbildung 2) vollzogen. Er bezeichnet es als „ein ‚Kreuz’ zwischen zwei ‚Pfosten’“ ³³ . An einem konkreten Beispiel sieht die Rechnung wie folgt aus:

Menninger vertritt die Meinung, dass zuerst das ’Kreuz’ und danach der ’Pfosten’ ermittelt werden sollte, da das leichter zu errechnen ist. ³⁵ Ihm geht es um die schnelle Rechnung im Kopf. Allgemein hat sich jedoch der Merksatz „Rechne Pfosten, Kreuz, Pfosten!“ durchgesetzt, da er gleichzeitig das Rechenbild beschreibt (siehe Abbildung

3).

Die Faktoren in der Skizze aus Abbildung 2 können anhand von bestimmten Regeln ins Unendliche erweitert werden. Die Skizze verliert lediglich mit zunehmender Anzahl der Ziffern je Faktor seine Übersichtlichkeit. In der Abbildung 4 ist ein Beispiel hierfür dargestellt.

³³ Menninger, Karl: Rechenkniffe. Lustiges und vorteilhaftes Rechnen. Ein Lehr- und Handbuch für das tägliche Rechnen. 10., überarbeitete Auflage. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1961, S. 52.

³⁴ Vgl. Menninger 1961, S. 53.

³⁵ Vgl. Menninger 1961, S. 52.

³⁶ In Anlehnung an Menninger 1961, S. 53.

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Menninger bezeichnet dieses Rechenbild mit folgenden Worten: „Pfosten, Kreuz, Stern, Kreuz, Pfosten“ ³⁷ . Es kann wiederum als Rechnungsvorschrift genutzt werden. Die Berechnung von dreistelligen Zahlen mit der Kreuzmethode ist laut Menninger nur von geübten Rechnern zu bewältigen, da hier viele Überträge entstehen. ³⁸ Die Kreuzmethode lässt sich bei ausreichender Übung so weit reduzieren, dass die Teilergebnisse im Kopf errechnet werden können und somit am Ende nur das Endergebnis notiert wird.

Anfänglich scheint dieses Rechenverfahren ausschließlich für zwei Faktoren mit gleicher Ziffernanzahl gedacht zu sein. Schüler können in einem offenen Unterricht entdecken, ob sich dieses Verfahren beispielsweise auch für einen drei- und einen zweistelligen Faktor eignen würde. Da die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit null erlaubt ist, gilt: a · 0 = 0 · a = 0. Infolgedessen ist die Multiplikation anhand der Kreuzmethode möglich, wenn die Null als Zeichen für die leere Positionsspalte eingesetzt wird. Bei einer stellengerechten Notation würde sich folgendes Rechnungsbild ergeben.

Der mathematische Hintergrund dieses Rechenverfahrens kann anhand von folgendem Rechenbeispiel erläutert werden. Wenn = = und 45 a a 0 78 b b 0

1 1

dann werden die Zahlen wie folgt dargestellt:

³⁷ Menninger 1961, S. 53.

³⁸ Vgl. Menninger 1961, S. 53.

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45 = 10 · 4 + 1 · 5 = 10 · a 1 + a ⁰ und

78 = 10 · 7 + 1 · 8 = 10 · b 1 + b 0 .

Dann ist (10a 1 + a 0 ) · (10b 1 + b 0 ) = 100a 1 b 1 + 10a 1 b 0 + 10a 0 b 1 + a 0 b 0

³⁹ = 100a 1 b 1 + 10(a 1 b 0 + a 0 b 1 ) + a 0 b 0,

wobei der Term [a 0 · b 0 ] für den ersten Schritt - die Errechnung des ’Einer-Pfostens’der Term [10 (a 1 · b 0 + a 0 · b 1 )] für den zweiten Schritt - das ’Kreuz’ und der Term [100(a 1 ·b 1 )] für den dritten Schritt - die Errechnung des ’Zehner-Pfostens’ - steht. 40

Anhand der Bezeichnung des ersten Faktors mit den Buchstaben und des zweiten 1 a a

⁰ Faktors mit den Buchstaben ist das ’Überkreuzrechnen’ sehr gut zu erkennen. 1 b b

0

Damit ist die Funktionalität der Kreuzmethode für die Multiplikation erklärt.

Bei der Abwägung der Vor- und Nachteile, die dieses Verfahren aufweist, ist auffällig, dass nur ein geübter Rechner mit diesem Verfahren Zeitvorsprung erlangt. Bei ausführlicher Notation des Verfahrens bringt es meiner Meinung nach keine Vorteile gegenüber dem Normalverfahren der Multiplikation. Um dieses Verfahren sinnvoll einzusetzen, sollte der Rechner nicht alle Teilschritte notieren müssen, sondern die Teilprodukte, Überträge etc. im Kopf rechnen können. Dass dem Schüler wie beim Normalverfahren jeglicher Einblick fehlt und das Verständnis für bestimmte Rechenvorteile, Rechenvorschriften etc. verloren geht, ist ein Nachteil dieses Verfahrens. Warum das Verfahren so funktioniert, ist dem Schüler nicht einsichtig. Des Weiteren scheint dieses Verfahren für den ungeübten Anwender zu kompliziert zu sein. Das ist begründet in der Tatsache, dass es sich hierbei um einen Algorithmus handelt, der allgemein unbekannt ist.

Positiv zu bewerten ist, dass sich der Algorithmus der Kreuzmethode leicht merken lässt. Für einige Schüler könnte er demnach leichter zu erlernen zu sein als der Algorithmus des Normalverfahrens der schriftlichen Multiplikation. Um den Ansprüchen des RLP 2004 zu genügen, könnte dieses a. RV. als Beispiel für Algorithmen vorgestellt werden.

³⁹ Vgl. Tschacher, Karel: Wer hat das Malnehmen erfunden? Online: http://www.mi.uni-erlangen.de/~tschach/vortraege/Malnehmen.pdf (Aufruf: 11.06.2007).

⁴⁰ In Anlehnung an: Tschacher: Wer hat das Malnehmen erfunden? Online: a. a. O.

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2.1.1.2 Die Russische Bauernmultiplikation

Die Russische Bauernmultiplikation ist ein sehr altes Verfahren. „Dieses Multiplikationsverfahren basiert auf dem Grundgedanken, daß ein Produkt aus zwei Faktoren unverändert bleibt, wenn ein Faktor verdoppelt und der andere Faktor zugleich halbiert wird.“ ⁴¹ Am folgenden einfachen Beispiel ist das Prinzip gut zu erkennen: “ ⁴² . Aufgrund der Vorgehensweise bei diesem Verfahren ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ „ 40 1 20 2 10 4 5 8

wird es bei Gorski und Müller-Philipp sowie Padberg auch Verdopplungs/Halbierungsverfahren genannt. 43

Im Falle, dass ein Faktor eine Zweierpotenz ist, kann dieser ohne Rest so lange halbiert werden, bis er 1 ergibt, der zweite Faktor wird jeweils verdoppelt. Das Endergebnis kann dann anhand des Ergebnisses des zuletzt verdoppelten Faktors abgelesen werden. Sind die Faktoren keine Zweierpotenz, werden Zahlenreihen wie in Abbildung 6 erzeugt. Der kleinere Faktor wird halbiert, analog dazu der größere Faktor verdoppelt. Ensteht ein ungerader Teilfaktor, muss von diesem zunächst 1 abgezogen werden, damit im Anschluss ohne Rest halbiert werden kann. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis der zu halbierende Faktor 1 ergibt. ⁴⁴ „Alle Zeilen mit geraden [...] (Multipli-kandenzahlen) werden gestrichen, die übriggebliebenen [...] (Multiplikatorzahlen) werden addiert und ergeben das gesuchte Produkt.“ 45

Es gibt zwei Verfahrensmöglichkeiten. Entweder werden die Reihen, in denen die geraden (halbierten) Multiplikanden stehen, gestrichen, oder die Reihen mit den ungeraden Multiplikanden werden gekennzeichnet. Die Vorgehensweise kann durch den Schüler individuell festgelegt werden. In der Abbildung 6 wurden die ’geraden Reihen’ durchgestrichen.

⁴¹ Padberg 1996, S. 224.

⁴² Gorski/Müller-Philipp 2004, S. 155.

⁴³ Padberg 1996, S. 224; Gorski/Müller-Philipp 2004, S. 155.

⁴⁴ Vgl. Padberg 1996, S. 225 f.

⁴⁵ Padberg 1996, S. 226.

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Bei einer detaillierten Schreibweise würde Folgendes errechnet. 46

= ⋅ 78 45 = 11 = = = 1 =

Dieses Prinzip beruht darauf, die Reste der halbierten Zahlen miteinander zu addieren. Die letzte Zeile enthält, wie anhand der ausführlichen Rechnung gut zu erkennen ist, alle Teilfaktoren dieser erwähnten Zeilen.

Um dieses Verfahren zu erklären, können die binären Zahlen genutzt werden. „Der Hal-bierungsvorgang gepaart mit der Auswahl der ungeraden Zahlen entspricht einer Um-wandlung der ersten Zahl in die binäre Form:“ 47

^{0 1 2 3 4 5} ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 45 = ( ) . 101101

2

Die markierten bzw. nicht durchgestrichenen ’ungeraden Zeilen’ in der in Abbildung 6 stehenden Zahlenreihe entsprechen einer 1 der binären Zahl. Sie befinden sich lediglich in umgekehrter Reihenfolge. 48

Die zweite Zahl wird, mathematisch gesehen, aufgrund der jeweiligen Verdoppelung mit den Zweierpotenzen multipliziert: ⁰ ⋅ = 78 2 78

⁴⁶ In Anlehnung an Gorski/Müller-Philipp 2004, S. 155.

⁴⁷ Furter, M.: Russische Bauernmultiplikation (Werkstatt). Online:

http://www.educeth.ch/lehrpersonen/informatik/unterrichtsmaterialien_inf/algorithmen_datenstrukturen/ russ_bauern/russba.doc (Aufruf: 20.06.2007), S. 4.

⁴⁸ Vgl. Furter: Russische Bauernmultiplikation. Online: a. a. O., S. 4.

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