Die Einheitengruppe des Restklassenrings Z/nZ

Gruppen  Ringe  2

1.1  AlgebraischeStruktur  2

1.2  Halbgruppe  2

1.3  Gruppe  2

1.4  Ring  2

1.1  Ring m 1  2

1.2  Restklassen modulo n  3

1  n9  3 4

1.5  Einheitengruppe  4

1.6  Ordnung einer Gruppe  4

1.7  Eulersche ϕ Funktion  5

Der Ring m 1 Homomorphismus  a  n 2 9

2.1  Ring Homomorphismus  6

2.2  Homomorphiesatz für Ringe  6

2  Kern f  6 7

2.4  Kern von f  6

2.5  Ideal  6

  Zyklische Gruppen  7

3  Tabelle  8 9

1. Gruppen, Ringe

1.1 Definition: Algebraische Struktur

Eine algebraische Struktur ist eine Menge M φ ≠ zusammen mit einer Familie ω = (ω i | i ∈ I )

von Operationen ω i auf M. Dabei ist I eine Index-Menge, wobei ω jedem Index eine Operation

zuordnet. Schreibweise: (M, ω )

1.2 Definition: Halbgruppe

Eine Halbgruppe (G, (⋅ ⋅)) ist eine algebraische Struktur vom Typ (2), d. h. ° ist eine 2-stellige

Operation mit folgender Eigenschaft.

⋅ : G × G → G, (a, b) a a ⋅ ⋅ b genügt dem Assoziativgesetz,

d. h. (a ⋅ ⋅ b) ⋅ ⋅ c = a ⋅ ⋅ (b ⋅ ⋅ c) gilt für alle a, b ∈ G

1.3 Definition: Gruppe

Eine Gruppe (G, (⋅ ⋅, 1 , -1 )) ist eine algebraische Struktur vom Typ (2, 0, 1), d. h. (⋅ ⋅, 1 , -1 )

sind 2-, 0-, bzw. 1-stellige Operationen die den folgenden Regeln genügen.

c).

⋅

⋅

⋅

(R, (+, 0 , -, ⋅ ⋅) ein Ring ist und für 1 die Einselement-Regel gilt.

1.4.2 Definition: Restklassen modulo n

Im Bereich 9 der ganzen Zahlen kennen wir die Division mit Rest; d.h., zu m, n ∈ 9, n > 0, gibt es eindeutig bestimmte q, r ∈ 9 mit:

m = qn + r und 0 ≤ r < n. [r heißt der Rest.]

Zu n ∈ Ð konstruiere ich eine Relation R ⊆ 9 × 9 durch (x, y) ∈ R genau dann, wenn x und y bei Division durch n den gleichen Rest haben. R ist offensichtlich eine Äquivalenzrelation auf 9. Anstatt (x, y) ∈ R schreibt man üblicherweise x ≡ y (mod n).

Eine andere Beschreibung dieser Relation ist günstig. Ich bezeichne mit n9 alle Vielfachen von n, d.h die Menge n9 läßt sich schreiben als: n9 = {nm |m∈ 9}, und zeige:

x ≡ y (mod n) genau dann, wenn x - y ∈ n9 ist.

Falls x und y bei Division durch n den gleichen Rest haben, dann ist x - y ein Vielfaches von n. Andererseits gelte: x = qn + r und y = q’n + r’ mit 0 ≤ r, r’ < n und x - y ∈ n9.

Daraus folgt mit x - y = (q - q’)n + r - r’, daß r - r’ ein Element aus n9 ist. Dieses gilt wegen der Einschränkung 0 ≤ r, r’ < n nur für r = r’, also

x ≡ y (mod n).

1.4.3 Restklassenring 9 9/n9 9

genannt.

Die folgenden Operationen auf 9 n sind wohldefiniert:

+ : (x + n9) + (y +n9) = (x + y) + n9 für alle x, y ∈ 9, d.h. x + y = x + ;

0 : 0 = 0 + n9 ;

⋅: (x + n9) ⋅

1 : 1 = 1 + n9.

Restklassenring modulo n.

1.5 Definition: Einheitengruppe

_

= 1.

Gruppe,

Einheitengruppe.

{0}

sind (multiplikativ) invertierbar?

mit ay + mn = 1. Das ist gleichbedeutend damit, dass a und n teilerfremd sind. Insbesondere gilt für den Fall, daß n eine Primzahl p ist, dass jedes Element ≠ 0 in (9 p , (+, 0 , ⋅ ⋅, 1 )) invertierbar

1.6 Definition: Ordnung einer Gruppe:

Ist G eine endliche Gruppe, so nennt man die Anzahl G der Elemente in G die Ordnung der

1.7 Definition: Eulersche ϕ

Die Abbildung ϕ := (n a E(9/n9)): Ð → 9 heißt Eulersche ϕ-Funktion. Sie gibt also die Ordnung der Einheitengruppe des Restklassenrings 9/n9 an.

Da die Einheiten eines Ringes gerade die invertierbaren Elemente dieses Ringes sind, folgt, dass ϕ(n) genau die Anzahl der zu n teilerfremden ganzen Zahlen zwischen 1und n angibt.

Frage 2: Wieviele Elemente hat die Einheitengruppe von 9/p α 9 für Primzahlpotenzen n = p α ?

Behauptung: ϕ( p α ) = p α (1 - 1/ /p).

Beweis: Wir wissen, daß ϕ(p α ) die Anzahl der zu p α teilerfremden ganzen Zahlen im Restklassenring R := 9/p α 9 angibt. Um ϕ(p α ) für eine Potenz der Primzahl p zu bestimmen, gehe ich wie folgt vor: ϕ(p α ) ist gleich der Anzahl derjenigen Elemente der Reihe 1, 2, ..., p α , die zu p α oder, was auf dasselbe herauskommt, zu p teilerfremd sind. Um diese ϕ(p α ) Zahlen zu erhalten, streiche ich aus dieser Reihe diejenigen Zahlen, die durch p teilbar sind. Dies sind offensichtlich genau die Zahlen px mit 1 ≤ x ≤ p α− 1 .

Streicht man diese Zahlen, so bleiben p α - p α− 1 = p α (1 - 1/p) = ϕ(p α ). Hieraus folgt, dass die Einheitengruppe E(9/p α 9) genau p α (1 - 1/ /p) Elemente hat.

2. Der Ring-m-1-Homomorphismus f f := = (a a (a + n 1 9 9) für a ∈ ∈ 9

9, a + n 2 9 9 ): 9 9 → 9 9 n1 × 9 9 n2

2.1 Definition: Ringhomomorphismus

Es seien R 1 und R 2 Ringe.

Eine Abbildung π: R 1 → R 2 heißt ein Ringhomomorphismus, wenn gilt:

a) π(x + y) = π(x) + π(y) für alle x, y ∈ R 1 .

b) π(xy) = π(x)π(y) für alle x, y ∈ R 1 .

c) Für π gilt stets: π(0) = 0 und π(-x) = -π(x).

Sind R1 und R2 Ringe-m-1 und gilt außerdem:

d) π(1) = 1, so ist π ein Ring-m-1- Homomorphismus.

2.2 Definition: Homomorphiesatz für Ringe

Ist Φ : R 1 → R 2 ein Ringhomomorphismus, dann gilt: R 1 /Kern f ≅ Φ (R) [= Bild(Φ )].

2.3 Der Ring-m-1-Homomorphismus f

Ist n = n 1 n 2 mit teilerfremden n 1 und n 2 , so ist der R-m-1-Homomorphismus f mit f := (a a (a + n 1 9, a + n 2 9) für a ∈ 9 ): 9 → 9 n1 × 9 n2 surjektiv.

Zunächst berechne ich den Kern von f. 2.4 Definition: Kern von f

Kern f := {x ∈ 9  f(x) = 0}

2.5 Definition: Ideal Für einen Ring (R, (+, 0 , -, ⋅ ⋅)) ist eine Teilmenge I ⊆ R genau dann ein Ideal, wenn gilt:

ir ∈ I und ri ∈ I für alle i ∈ I, r ∈ R, d. h. I ist invariant unter allen Rechts- und Links-

Nun berechne ich den Kern von f.

Dazu sei x ∈ Kern f, dann gilt f(x) = (0 + n 1 9, 0 + n 2 9) = (x +n 1 9, x + n 2 9). Hieraus folgt, dass x ∈ n 1 9 und x ∈ n 2 9 ist, also sind n 1 und n 2 Teiler von x. Da wir Teilerfremdheit der Elemente n 1 und n 2 voraussetzen, folgt, dass auch n 1 n 2 ein Teiler von x ist. Aus n 1 n 2 x folgt dann sofort, dass x ∈ n 1 n 2 9 ist. Also ist Kern f ⊆ n 1 n 2 9. Dass n 1 n 2 9 eine Teilmenge von Kern f ist, gilt ebenfalls, woraus schließlich die Gleichheit von Kern f und n 1 n 2 9, also Kern f = n 1 n 2 9 folgt.

Hieraus folgt mit dem Homomorphiesatz: 9/n 1 n 2 9 ≅ Bild ( f ) 9/n 1 9 × 9/n 2 9.

Wegen 9/n 1 n 2 9  = n 1 n 2 = 9n 1 × 9 n 2  folgt Bild ( f ) = 9n 1 × 9 n 2 . Nun habe ich gezeigt, dass 9/n 1 n 2 9 isomorph zu 9n 1 × 9n 2 ist. Da der Ring-m-1-Homomorphismus λ mit λ := (a a (a + n 1 n 2 9) für a ∈ 9 ): 9 → 9/n 1 n 2 9 offensichtlich surjektiv ist, folgt sofort, dass

auch f surjektiv ist.

Aus der Isomorphie von 9/n 1 n 2 9 und 9n 1 × 9n 2 folgt die Isomorphie der zugehörigen

Einheitengruppen, d.h. E (9/n 1 n 2 9) ≅ E (9n 1 × 9n 2 ) = E (9n 1 ) × E (9n 2 ). Es folgt E (9/n 1 n 2 9)= E (9n 1 )  E (9n 2 ) .

Für die Eulersche ϕ-Funktion gilt also für teilerfremde n 1 und n 2 : ϕ (n 1 n 2 ) = ϕ(n 1 ) ϕ(n 2 ).

Frage 4: Ist E(9 9 n ) zyklisch?

3. Definition: Zyklische Gruppe

Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von einem ihrer Elemente erzeugt wird, d.h. wenn es ein g∈G gibt mit G = g , wobei g := { g n n ∈ 9 } gesetzt ist.

3.1 Charakterisierung zyklischer Gruppen:

a) Es sei G eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung m und d ∈Ð \ {0} ein Teiler von m. Dann gibt es ϕ(d) Elemente der Ordnung d in G.

b) Es sei G eine beliebige Gruppe der Ordnung m und a ∈G ein Element der Ordnung

m∈Ð \ {0}. Für jedes n ∈9 gilt dann: a n =

c) Es sei G eine endliche Gruppe mit dem neutralem Element e und a ∈G. Dann ist a ein Teiler von G  und es gilt : a G  = e.

d) Es sei G eine endliche Gruppe der Ordnung m. Gibt es zu jedem Teiler d ∈Ð \ {0} von m

höchstens eine Untergruppe der Ordnung d in G, so ist G zyklisch.

e) Es sei G eine endliche Gruppe mit dem neutralem Element e. Gibt es zu jedem Teiler d ∈Ð \ {0} von G  höchstens d Elemente x ∈ G mit x d = e, so ist G zyklisch.

Behauptung: Für eine Primzahl p ist die Einheitengruppe E(9/p9) zyklisch.

Da im Restklassenring 9/p9 für jedes n ∈ Ð \{0} höchstens n Elemente x ∈ 9/p9 mit x n = 1

existieren, ist E(9/p9) zyklisch.

Für teilerfremde n 1 , n 2 und n = n 1 n 2 ist E(9 n ) ≅ E (9n 1 ) × E (9n 2 ). Wenn E(9 n ) zyklisch ist,

folgt, dass auch E(9n 1 ) und E(9n 2 ) zyklisch sind, da jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ebenfalls zyklisch ist. Aus der Tabelle auf Seite 9 ist zu ersehen, dass der Umkehrschluss dieser Behauptung nicht notwendigerweise gilt, da z.B. für n 1 = 3 und n 2 = 5 E(9 3 ) und E(9 5 ) zyklisch sind, E(9 15 ) jedoch nicht zyklisch ist. Für Primzahlpotenzen p α gilt:ϕ( p α ) = p α (1 - 1/ /p).

In der folgenden Tabelle sind die zyklischen bzw. nicht zyklischen Einheitengruppen für ≤ n

4. Verwendete Literatur Lothar Gerritzen: Grundbegriffe der Algebra: Eine Einführung unter Berücksichtigung funktorieller Aspekte, Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 1994. R. Pöschel, K. Rosenbaum: Angewandte Algebra: Für Mathematiker und Informatiker, Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 1988.

K. Meyberg: Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag, München/Wien, 1980. Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harry Deutsch , 4. Auflage, 1999. H. Lüneburg: Gruppen, Ringe, Körper. Die grundlegenden Strukturen der Algebra, R. Oldenbourg Verlag, München/Wien, 1999.

G. Scheja, U. Storch: Lehrbuch der Algebra Teil 1, 2. Auflage, Verlag B. G. Teubner Stuttgart