Potenzfuntionen
Funktionen allgemein: Jede eindeutige Abbildung von x E D auf Y E W heißt Funktion.
1. Die Funktionen y=x
n
allgemein:
y=c*x
n
Gerade Exponenten
Ungerade Exponenten
Bild1
Bild2
Graphen:
Parabeln n-ter Ordnung
ohne Zahlen und Skalierung gültig für alle Graphen der jeweiligen Art
z.B. Bild1
- symmetrisch zur y-Achse
(achsensymmetrisch), d.h. jeweilige
x-Werte mit gleichem Betrag haben
gleichen Funktionswert.
streng monoton fallend für x>=0
streng monoton steigend für x<=0
z.B. Bild2
symmetrisch zum Ursprung (0;0), d.h.
jeweilige Werte mit gleichem Betrag
haben entgegengesetzte Funktionswerte.
streng monoton wachsend
weitere Eigenschaften der Funktionen y=c*x
n
Beispielaufgabe: Wie ändert sich der Oberflächeninhalt/ das Volumen eines Würfels, wenn die
Kantenlänge x verdoppelt wird?
è Proportionalität
A
O
=6x² x
neu
=x
alt
*2
²
Rauminhalt wird vervierfacht
V=x³ x
neu
=x
alt
*2
³
Volumen wird verachtfacht
Allgemein: y=c*x
n
*k
n
Dem k-fachen Wert für x wird der k
n
-fache Funktionswert zugeordnet.
Verschiebung zur y Achse: e
è y=x²+e s. Bild3
Verschiebung zur x-Achse: -d
è y=(x-d)³s. Bild4
Beispiel für Einfluß von Faktor c s. Bild5
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
-1
1
-1
0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011
y=x³
0
20
40
60
80
100
120
-15
-10
-5
0
5
10
15
y=x³
2. Die Funktionen y=x
-n
allgemein: c/x
n
Ungerade Exponenten
Bild6
- symmetrisch zum Ursprung
- monoton fallend
Gerade Exponenten
Bild7
- symmetrisch zur y-Achse
- monoton steigend für x<0
monoton fallend für x>0
Graphen:
Hyperbeln
Keine Nullstellen
Beide Funktionen für x=0 nicht definiert
Bestehend aus 2 Ästen
x-Achse, y-Achse sind
Asymptoten
, d. h. egal wie groß Betrag von x, y zwar sehr klein,
berührt oder schneidet aber nie x, und umgedreht.
3. Die Umkehrfunktionen
y=x^n
x: unabhängig; y: abhängig
x=y
1/n
è x: abhängig; y: unabhängig;
y=n. Wurzel von x
=
x^1/n
durch Vertauschung der Variablen, damit übliche
Zeichnungsweise möglich ist(x horizontal, y vertikal)
è Wurzelfunktion
Dabei Entstehung einer neuen Funktion, wenn eineindeutig, d. h. jedem x wird genau ein y
zugeordnet und jedem y genau ein x.
Zeichnung der Umkehrfunktion durch Spiegeln an Gerade y=x (durch Ursprung)
Umkehrung: Vertauschung der Zuordnung (der Wertebereiche)
y=x
4
Auflösung nach x;
x =4. Wurzel von y
Umkehrung: y= 4. Wurzel von x
Umkehrfunktion nicht möglich, denn:
Bei theoretischer Umkehrfunktion:
Wenn y=16 dann 2 Möglichkeiten für x: 2 und (-2)
è nicht eineindeutig, einem y-Wert 2 x-
Werte zugeordnet.
è keine Umkehrfunktion möglich aber bei Betrachtung von
Definitionsbereich positive rationale Zahlen +0
Die Funktionen y=x
1/n
sind die Umkehrfunktionen zu den Potenzfunktionen.
Rechenbeispiel: Umkehrfnkt. für: y=x
3/4
x=3.Wurzel von y
4
y=
3
. Wurzel von x
4
Proportionalität s. Fnktn. x
n
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-20
-10
0
10
20
y=1/x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-15
-10
-5
0
5
10
15
y=1/x²
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