Facharbeit Mathematik

Die Zahl

Sascha Lambeck

Jahrgangsstufe 12

Leistungskurs Mathematik M1

Fachlehrer: Herr Tobias

Schuljahr 2000 / 01

1

---

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung

3

1.1

Vorwort .

3

1.2

Geschichtliches

.

3

2

Berechnungsmethoden

5

2.1

Das Wallissche Produkt

.

5

2.2

Verfahren nach Nikolaus Cusanus .

8

A Literaturverzeichnis

11

B Erkl¨

arung

12

2

---

1

Einleitung

1.1

Vorwort

Ich habe die Zahl als Thema meiner Facharbeit gew¨

ahlt, weil ich einmal

wissen wollte, wie man ¨

uberhaupt auf verschiedenen Wegen zur Bestimmung

dieser kommen kann. Jeder kennt diese Zahl vom Taschenrechner: Sie ist

einfach da, aber wo kommt sie her?

Mit diesem Thema m¨

ochte ich mich daher im folgenden in meiner Facharbeit

besch¨

aftigen. Zun¨

achst werde ich einige relevante geschichtliche Informatio-

nen anf¨

uhren und mich daraufhin mit der Herleitung und Erl¨

auterung zweier

Verfahren f¨

ur die Bestimmung von besch¨

aftigen. In meiner Zeit der Recher-

che nach Informationen und der Umsetzung dieser bin ich auf einige Probleme

des Verst¨

andnisses der an einigen Stellen doch schon komplexen Iterations-

verfahren gestoßen. Dies hat mir hinsichtlich des mathematischen Umfangs

doch sehr die Augen ge¨

offnet, aber ich hoffe es geschafft zu haben, diese Pro-

bleme weitestgehend zu beseitigen und somit eine angemessene Darstellung

der Verfahren erzielt zu haben.

1.2

Geschichtliches

"Die Zahl zu erforschen bedeutet, das Universum zu

erforschen..."

David Chudnovsky

Die Zahl ist seit nunmehr ca. 4000 Jahren Gegenstand eines immens

großen Bereiches der Mathematik; seit jeher hat sie die hellen K¨

opfe der

mathematisch versierten Kulturen fasziniert und sie dazu bewegt, diese au-

ßergew¨

ohnliche Zahl zu bestimmen. Immer mehr Mathematiker befaßten

sich mit ihr und entwickelten Methoden, auf denen die heutigen modernen

Verfahren immer noch basieren. Waren es fr¨

uher gerade mal eine Handvoll

bekannter Nachkommastellen, so liegt der Rekord nach riesigem Rechenauf-

wand mit Supercomputern bei mittlerweile mehr als 68 Milliarden!

Die ersten schriftlich ¨

uberlieferten Werte von sind 3, 3 + 1 und 3 + 1 .

7

8

Der letzte Wert wurde 1936 auf einer ca. 4000 Jahre alten babylonischen

Keilschrifttafel entdeckt; er wurde wohl anhand einer Absch¨

atzung zwischen

dem Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 und einem ihm einbeschriebe-

nen Sechseck n¨

aherungsweise angegeben.

Die ¨

Agypter halten auf ihrem Papyrus "Rhind", der etwa auf das Jahr 1650

v. Chr. zur¨

uckdatiert werden kann, eine interessante Methode fest: "Man

subtrahiere 1 vom Durchmesser eines Kreises und quadriere die ¨

ubrig geblie-

9

benen 8 ". Somit lag der Wert f¨

ur " ihr " bei ungef¨

ahr 3,1604... Wie sie

9

3

---

aber auf diese Formel gekommen sind, bleibt bis heute ein R¨

atsel.

Die aber wohl bekannteste Formel stammt von Archimedes von Syrakus (287-

212 v. Chr.), die ihn letztendlich in seiner Arbeit " ¨

Uber Kreismessung" zu

der bemerkenswerten Ungleichung 3+ 10 < < 3+ 1 gef¨

uhrt hat. Er n¨

aherte

71

7

einem gegebenen Kreis jeweils einbeschriebene und umschriebene Polygone

an und hatte somit eine ansteigende Folge von Umf¨

angen der Inkreise und

eine abnehmende Folge von dem Umf¨

angen der Umkreise, die er benutzte,

um einzuschachteln.

Im Laufe der Zeit haben sich noch sehr viele Mathematiker mit der Berech-

nung von besch¨

aftigt, unter ihnen auch Gr¨

oßen wie Leonhard Euler oder

Isaac Newton, aber darauf m¨

ochte ich nicht im einzelnen eingehen, um den

Rahmen der geschichtlichen Betrachtungen nur auf einige wichtige Informa-

tionen zu beschr¨

anken.

Das Verh¨

altnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser eines Krei-

ses wurde erstaunlicherweise erst 1647 von Newtons Lehrer William Ought-

red mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet. Diese Zahl wird auch

weitl¨

aufig nach Ludolph van Ceulen "Ludolphsche Zahl" genannt; dieser war

ein fanatischer Stellenj¨

ager und stellte 1609 unter Verwendung einer verbes-

serten Formel von Archimedes einen neuen Rekord auf, woraufhin diese Zahl

ehrenhalber nach ihm benannt wurde.

4

---

2

Berechnungsmethoden

2.1

Das Wallissche Produkt

Der englische Mathematiker John Wallis (1616 -1703) hat eine Produktdar-

stellung von gefunden, die zun¨

achst darauf basiert, daß im Intervall 0

2

x < stets 0 sinx < 1 ist und f¨

ur nat¨

urliche Zahlen k 1 die Unglei-

2

chung

sin2k+1 x sin2k x sin2k-1 x

(1)

gilt. Somit ging er wie folgt vor: Er betrachtete zun¨

achst das nachstehende

Integral und formte es entsprechend um

1

n - 1

x sinn dx = -

sinn-1 · cos x +

sinn-2 x dx

(2)

n

n

Diese Umformung des Integrals erh¨

alt man durch die sogenannte partiel-

le Integration. Ist n¨

amlich der Integrand ein Produkt zweier Funktionen,

in diesem fall x und sinx, so gibt es zum Unterschied der Produktregel

in der Differenzialrechnung keine allgemein g¨

ultige Regel, um die Berech-

nung des Integrals eines Produktes auf die Berechnung der Integrale sei-

ner Faktoren zur¨

uckzuf¨

uhren.

Man kann sich hier aber helfen, denn es

gibt eine M¨

oglichkeit, ein schwierig zu l¨

osendes Integral auf ein einfacheres

zur¨

uckzuf¨

uhren:

Satz: Seien u(x) und v(x) zwei im Intervall ] a; b [ differenzierbare Funk-

tionen, dann gilt nach der Produktregel der Differenzialrechnung (u(x) ·

v(x)) = u (x) · v(x) + u(x) · v (x). Ist u(x) · v (x) integrierbar, so folgt

hieraus

u(x) · v (x) dx =

(u(x) · v(x)) dx -

u (x) · v(x) dx

= u(x) · v(x) -

u (x) · v(x) dx,

so daß auch u (x) · v(x) integrierbar ist.

Andwendung des Satzes am oberen Integral: Der gegebene Integrand wird

in das Produkt sin x · sinn-1 x zerlegt, d.h. man setzt u = sinn-1 x, v =

sin x und findet v = - cos x, u = (n - 1) · sinn-2 x · cos x (Kettenregel).

Mithin ist

u · v = -(n - 1) sinn-2 x · cos2 x

= -(n - 1) sinn-2 x · (1 - sin2 x)

= -(n - 1) sinn-2 x + (n - 1) sinn x

5

---

oder

sinn x dx =

- cos x · sinn-1 x + (n - 1) ·

sinn-2 x dx - (n - 1) ·

sinn x dx,

(1 + n - 1) ·

sinn x dx = - cos x · sinn-1 x + (n - 1) ·

sinn-2 x dx

Dividiert man beide Seiten durch n, so ergibt sich gerade (2). Somit ist dieses

Integral nachgewiesen. Nun kann man die Grenzen 0 und einsetzen und es

2

ergibt sich

2

n - 1

2

sinn x dx =

·

sinn-2 x dx (n > 1)

0

n

0

Integriert man das rechts stehende Integral nun immer wieder (mehrfache

partielle Integration), so erh¨

alt man unter Ber¨

ucksichtigung der Fallunter-

scheidung zwischen geraden Zahlen (n = 2k) und ungeraden Zahlen (n =

2k + 1) die folgende Darstellung

2

2k - 1

2k - 3

1

2

sin2k x dx =

·

· · ·

·

dx

0

2k

2k - 2

2

0

2

2k

2k - 2

2

2

sin2k+1 x dx =

·

· · ·

·

sin x dx,

0

2k + 1

2k - 1

3

0

und nach dem Aufl¨

osen des Integrals ergibt sich

2

2k - 1

2k - 3

1

sin2k x dx =

·

· · ·

·

0

2k

2k - 2

2

2

2

2k

2k - 2

2

sin2k+1 x dx =

·

· · ·

· 1.

0

2k + 1

2k - 1

3

Nun kommt (1) ins Spiel: Die eben gefundenen Produkte lassen sich nach

der Fallunterscheidung nun mit (1) als Ungleichung darstellen:

2 · 4 · · · 2k

1 · 3 · · · (2k - 1)

2 · 4 · · · (2k - 2)

·

3 · 5 · · · (2k + 1)

2 · 4 · · · 2k

2

3 · 5 · · · (2k - 1)

2

1 · 3 · · · (2k - 1)

2k + 1

1 (2k + 1) ·

·

= 1 + 2k

2 · 4 · · · 2k

2

2k

6

---

Betrachtet man den Grenzwert

1

lim

1 +

= 1,

(3)

k

2k

so muß ebenfalls

2

1 · 3 · · · (2k - 1)

lim (2k + 1) ·

·

= 1

(4)

k

2 · 4 · · · 2k

2

sein; keine andere Zahl außer 1 k¨

onnte gleichzeitig die Eigenschaft 1 x 1

haben. Wallis hat also mit (1) die Absch¨

atzung der Integrale unter Bil-

dung der Grenzwerte dergestalt erlangt, daß man diese sogenannte rekursive

Formel (d.h. nach mehrmaligem partiellen Integrieren) schließlich nach 2

aufl¨

osen und umschreiben kann:

22 · 42 · · · (2k)2

= lim

(5)

2

k 12 · 32 · 52 · · · (2k - 1)2 · (2k + 1)

Dieses meiner Meinung nach sehr interessante Verfahren zur Bestimmung

von als unendliches Produkt nennt man das Wallissche Produkt (auch

2

das Wallissche Integral). Es unterscheidet sich so, wie es ist, von jeglichen

anderen Verfahren und ist somit etwas Einzigartiges, was gerade mein Inter-

esse hieran geweckt hat. Ferner sind der Aufbau und die Herleitung dieses

Produktes sehr ¨

ubersichtlich und und in sich anhand der klar gegliederten

Struktur logisch gut nachvollziehbar.

7

---

2.2

Verfahren nach Nikolaus Cusanus

Nikolaus von Kues (1401-1464), lateinisiert Nicolaus Cusanus, war eigentlich

Theologe, doch er besch¨

aftigte sich dar¨

uberhinaus auch mit der Mathema-

tik, den Naturwissenschaften und der Philosophie. Sein Name leitet sich

von seiner Geburtstadt Kues (heute: Bernkastel-Kues) ab. Er entwickelte

um etwa 1450 ebenfalls eine Methode zur Berechnung von , die eigent-

lich genauso wie die von Archimedes war, nur ganz anders. Anstatt einem

Kreis regelm¨

aßige n-Ecke ein- und umzuschreiben, schrieb er einem n-Eck

mit 2 n (n N) Seiten einen Kreis ein und um. Den Umfang der Polygo-

ne setzte er gleich 2. Somit n¨

aherte er durch Erh¨

ohung der Seitenanzahl die

beiden Kreise an die Polygone an und berechnete dann den Umfang der Krei-

se (r = Radius des einbeschriebenen Kreises, R = Radius des umschriebenen

Kreises, n = Iterationsschritt).

In dieser Konstellation ist es leicht ersichtlich, daß

2 · · rn < 2 < 2 · · Rn

(6)

gelten muß. Nach dem K¨

urzen und Umkehren erh¨

alt man

1

1

> >

.

(7)

rn

Rn

Mit der Festsetzung n = 2 hat man ein Quadrat der Seitenl¨

ange 1 , r

4

2 = 1

4

und R2 = a ·

2 = 1 ·

2.

4

Der Winkel zwischen Rn und rn ist 180 (in diesem Fall also 180 = 45) und

2n

22

es folgt die nachstehende Beziehung unter Betrachtung der Konstruktion:

180

u

u

1

tan

= 2n+1

; rn =

·

(8)

2n

rn

2n+1

tan 180

2n

180

u

u

1

sin

= nn+1

; Rn =

·

(9)

2n

Rn

2n+1

sin 180

2n

8

---

Diese einfachen Zusammenh¨

ange sind die elementaren Bausteine auf dem

Weg zu den Iterationsvorschriften. Um nun den Weg dorthin zu beschreiten,

werden Rn und rn zun¨

achst addiert:

u

1

u

1

Rn + rn =

·

+

·

2n+1

sin 180

2n+1

tan 180

2n

2n

u

1

=

·

2n+1

cos 180

sin 180 +

2n

2n

sin 180

2n

(10)

Der hier entstandene Term l¨

aßt sich in dieser Gestalt allerdings noch nicht

vereinfachen. Hierzu muß noch ein weiterer Schritt in der Umformung ge-

macht werden, der im Ergebnis so aussieht:

u

180

=

· 1 + cos 2 ·

(11)

2n+1 · 2 sin 2 · 180

2n+1

2n+1

Der Term wurde einfach nur anders geschrieben und die Exponenten wurden

gleichnamig gemacht (2n + 1), um nun mit den trigonometrischen Lehrs¨

atzen

sin 2 = 2 sin · cos

(12)

cos 2 = cos2 - sin2

(13)

1 = sin2 + cos2

(14)

den Term weiter vereinfachen zu k¨

onnen. Gerdade diese Umformung stellt

den entscheidenden Schritt f¨

ur die weiterfolgenden Rechnungen dar, denn

sonst k¨

onnte man mit dem Ausgangsterm nie ans Ziel (Iterationsvorschriften)

gelangen; es g¨

abe keine M¨

oglichkeit der Vereinfachung und damit verbunden

keine M¨

oglichkeit, effektiv an rn bzw. Rn heranzukommen.

Mithin ergibt dies mit (13) und (14)

u

180

180

· 1 + cos2

- sin2

(15)

2n+1 · 2 sin 180 · cos 180

2n+1

2n+1

2n+1

2n+1

Nun kann (15) angewendet werden - man erh¨

alt schließlich nach Umstellung

u

cos 180

u

u

·

2n+1

=

= 2 ·

(16)

2n+1

sin 180

2n+1 · tan 180

2n+2 · tan 180

2n+1

2n+1

2n+1

Betrachtet man (16) und vergleicht den Term mit (9), so erkennt man, daß

(16) gerade 2 · rn+1 ist. Damit ist eine Iterationsvorschrift aufgestellt:

r

r

n + Rn

n+1 =

(17)

2

9

---

Nun zur zweiten: Da (17) die Iterationsvorschrift f¨

ur den Inkreisradius ist,

muß nun diejenige f¨

ur den Umkreisradius aufgestellt werden. Nachdem die

ganze Vorarbeit getan ist, erfolgt dies jetzt nach nur wenigen Schritten.

Zun¨

achst werden rn+1 und Rn miteinander multipliziert und es folgt damit

u

1

u

u

1

cos 180

r

2n+1

n+1 · Rn =

·

=

·

·

·

(18)

2n+2

tan 180

2n+1

2n+2

sin 180

2n+1

sin 2 · 180

2n+1

2n+1

Nun muß der Term nur noch ver¨

andert werden (genauso wie oben), woraus

letztlich

2

u

u

1

1

u

1

·

·

·

=

·

2n+2

2n+2

sin 180

sin 180

2n+2

sin 180

2n+1

2n+1

2n+1

= R2

(19)

n+1

folgt. Es muß die Wurzel gezogen werden:

Rn+1 =

Rn · rn+1

(20)

Damit ist auch die zweite Iterationsvorschrift gefunden; kann auf diesem

Wege einmal von innen und von außen eingeschachtelt und somit angen¨

ahert

werden.

Zusammenfassung:

rn+1 = 1 · (r

2

n + Rn)

(21)

Rn+1 =

rn+1 · Rn

Mit diesen Iterationsvorschriften hat Cusanus sicherlich ebenfalls ein inter-

essantes Verfahren entwickelt; es basiert im wesentlichen vollst¨

andig auf tri-

gonometrischen ¨

Uberlegungen und unterscheidet sich somit sehr vom Wal-

lisschen Produkt. Gerade dieser Unterschied hat mir den Anreiz gegeben,

dieses Verfahren zu versuchen darzustellen.

10

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A

Literaturverzeichnis

1. Jean-Paul Delahaye: Pi - Die Story, Birkh¨

auser Verlag 1999

2. R. Rothe: H¨

ohere Mathematik Teil II, B.G. Teubner Verlag 1960

3. Liedl/Kuhnert: Analysis in einer Variablen, B.I. Wissenschaftsverlag

1992

4. Mathematische Bibliothek, J. Lindauer Verlag

5. Sieber: Mathematische Formeln (E), Klett Verlag 1980

11

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B

Erkl¨

arung

Hirmit erkl¨

are ich, daß ich diese Facharbeit selbst¨

andig und nur unter Ver-

wendung der im Literaturverzeichnis angegebenen Quellen verfaßt habe.

Remscheid, den 3.4.2001

(Sascha Lambeck)

12

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