Facharbeit

Im Leistungskursfach Mathematik

Thema:

Die graphische Integration am Beispiel der Funktion:

f

(

x

) =

x

² + ;

1

x

]

3

;

1

[

Verfasser :

Daniel Sprehe

Fachlehrer :

Abgabetermin :

13. April 2000

---

Inhaltsverzeichnis

1.

Historie zur Intergralrechnung 1

2.

Vorgehensweise 2

3.

Das Integral als Summengrenzwert 3

3.1. Allgemeine Erklärung des Summengrenzwertes 3

3.2. Einfaches Beispiel anhand einer linearen Funktion 3

3.3. Unter- und Obersummen Bildung anhand der Funktion f

(

x

) =

x

² +1

4

3.4. Allgemeine Rechnung und Beschreibung des Vorgehens 5

4.

Bestimmen der Fläche mit Hilfe der zeichnerisch ermittelten

Stammfunktion 6

4.1. Einführung und Bedingungen 6

4.2. Konstruktionsschritte zur graphischen Ermittlung der Stammfunktion 7

5.

Beurteilung 9

6.

Nachwort 10

7.

Literaturverzeichnis 11

8.

Anhang 12

---

1

1.

Historie der Intergralrechnung1

Mit den Problemen der Flächen- und Körperberechnung beschäftigte man sich

schon vor Christi Geburt. So konnte bereits Archimedes (287 ­ 212 v. Chr.)

Beweise zur Parabelquadratur2 liefern. Zur Berechnung von Flächeninhalten

und Körpervolumen dachte man sich diese in sehr dünne Segmente zerschnit-

ten; d.h. man wandte bereits integrationsartige Verfahren an.

Erst mit Beginn des 16. Jahrhunderts lassen sich Weiterentwicklungen in der

Mathematik durch europäische Gelehrte erkennen. Die schwerfällig-

geometrische Darstellungsweise der griechischen Mathematik wurde abgelöst

durch eine analytische Form der Beschreibung. Die Probleme der Infinitesimal-

rechnung3 rücken in den Vordergrund.

Isaac Newton (1642 ­ 1727), der auf Erkenntnisse von Barrow

(1630 ­ 1677) aufbauen konnte, betrachtete die Mathematik vor

allem als Wissenschaft zur Lösung seiner physikalischen Probleme. So gelang-

te er dann auch durch physikalische Überlegungen zur Infinitesimalrechnung.

Seine ,,Fluxionsrechnung" diente der Beschreibung von Geschwindigkeitsprob-

lemen. Noch heute erinnert die Ableitung nach der Zeit, die durch einen Punkt

angedeutet wird, an die Forschungsergebnisse Newtons.

Leibniz (1646 ­ 1716) fand nach umfangreichen Studien auf anderen Gebieten

seine Anregungen zur Beschäftigung mit der Mathematik vor allem

in Schriften von Pascal. Im Gegensatz zu Newton gelangte er über

die Geometrie - genauer dem Tangentenproblem ­ zur Infinitesi-

malrechnung. Das Integrationssymbol wurde von ihm eingeführt.

Im 18. Jahrhundert trieben so bekannte Mathematiker wie Taylor, Euler,

Lagrange und Laplace die Entwicklung der Infinitesimalrechnung voran, deren

Erkenntnisse allerdings im 19. Jahrhundert einer Überprüfung unterzogen wur-

den und teilweise Korrekturen erfuhren. Bernhard Riemann (1826 ­ 1866)

schließlich gab nach ausführlichen Studien dem Begriff des Integrals eine Neu-

fassung. Dieser Integralbegriff findet noch heute Anwendung.4

1 Integer: lat. ganz

2 Quadratur: Umwandlung einer beliebigen Fläche in ein flächengleiches Quadrat

3 Zusammenfassung von Differential- und Integralrechnung

4 vgl. hierzu: W.Gellert, Mathematik-Kleine Enzyklopädie, Leipzig, VEB, S. 482

---

2

2. Vorgehensweise

Da das Thema dieser Facharbeit ,,graphische Integration" lautet, möchte ich

mich zum Thema ,,Allgemeine Integration" kurzfassen.

Das Problem, den Flächeninhalt eines von einer geschlossenen Kurve begrenz-

ten Flächenstücks oder das Volumen eines durch eine Funktionskurve begrenz-

ten Rotationskörpers zu erklären und zu berechnen, führt zur Definition der In-

tegralrechnung. Der Grenzprozess ergibt sich dabei durch beliebig genaue Ap-

proximation5 der Flächenstücken durch elementar bestimmbare Teilflächen.

Elementar deshalb, da sich diese Teilflächen mit ,,einfachen" mathematischen

Mitteln genau bestimmen lassen. Es kommt vor, dass der Graph einer Funktion

f

bekannt ist, die Funktionsgleichung

f(x)

aber nicht bekannt ist.

So eine Situation ist häufig in der Physik finden, z.B. bei der Streckenberech-

nung. Bei einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer beschleunigten Be-

wegung ist die gefahrene Strecke nach einer bestimmten Zeit anzugeben. Die

hier grauunterlegte Fläche gibt die Maßzahl für

die Strecke

s

an. Wenn man also diese Fläche

ermittelt ist damit auch der Zahlenwert für die

Strecke

s

bekannt. Es gibt zwei solcher

graphischen Verfahren:

a) Das Integral als Summengrenzwert

b) Bestimmen der Fläche mit Hilfe der zeich-

nerisch ermittelten Stammfunktion

5 Annäherung

---

3

3.

Das Integral als Summengrenzwert

3.1.

Allgemeine Erklärung des Summengrenzwertes

Die Flächenermittlung mit Hilfe von Summengrenzwerten, ist in einem ganzen

einfachen Beispiel zu verdeutlichen. Es soll ange-

nommen werden, dass die Fläche eines Kreises zu

berechnen sei. Hierzu stelle man sich vor, dass mit

Hilfe eines Vieleckes um den Kreises die gesuchte

Fläche des Kreises annähernd zu berechnen sei

(nebenstehende Abbildung). Durch immer genauere

Näherungswerte d.h. einer höheren Anzahl von E-

cken (gestricheltes Vieleck), nähert man sich immer mehr dem genauen Flä-

chenwert des Kreises.

3.2.

Einfaches Beispiel anhand einer linearen Funktion

Das selbe Prinzip gilt und funktioniert auch bei der Flächenberechnung von

Funktionen. Hierbei unterteilt man die Fläche der Funktion in mehrere kleine

oder große Abschnitte (Teilintervalle). Als Beispiel:

Gegeben sei die Funktion:

f

(

x

) = 2

x

Die Fläche

A

im Intervall von [0;3] unter dem Funktions-

graphen ist auszurechnen. Nun nähert man die gegebene

Fläche an durch eine zu kleine ,,untere Treppenfläche" und

durch eine zu große ,,obere Treppenfläche", wie sie in ne-

ben stehender Abbildung eingezeichnet sind. Wir bezeich-

nen diese drei Teilintervalle als A1, A2 und A3, welche alle

die Längenmaßzahl

h=1

haben. Wir bezeichnen die Maß-

zahlen der beiden Treppenflächen als ,,Untersumme"

s3

bzw. als ,,Obersumme"

S3

. Da hier eine lineare Funktion

vorliegt, lässt sich einfach die Zahl der Rechtecke abzählen und dann mit der

Fläche eines einzelnen multiplizieren.

---

4

Also gilt:

s

=

f

)

1

( 1 +

f

( )

2 1 = 2 + 4 = 6

3

S

=

f

)

1

( 1 +

f

( )

2 1 +

f

)

3

(

1 = 2 + 4 + 6 = 12

3

Für die Fläche

A

gilt damit:

s

A

S

3

3

Die Maßzahlen

s3

und

S3

geben dabei je nach Aufwand mehr oder weniger den

genauen Wert der Fläche wieder.

3.3.

Ober- und Untersummen Bildung anhand der Funktion f

(

x

) =

x

² +1

Nach diesem einfachen Beispiel soll nunmehr das Ver-

fahren an der in der Aufgabenstellung gegebenen Funk-

tion erläutert werden:

Gegeben sei die Funktion:

f

(

x

) =

x

² +1 , die Fläche im

Intervall von [1;3] soll Berechnet werden.

Bei dieser Funktion ist zu beachten, das die Längen-

maßzahl der Teilintervalle nur halb so groß ist (

h=0,5

)

wie beim ersten Beispiel, wodurch sich ein genauerer

Näherungswert ergibt. Das gilt auch im allgemeinen so:

Umso kleiner das einzelne Teilintervall h gewählt wird,

umso genauer ist der Näherungswert.

Um die Fläche auszurechnen wird wie beim ersten Beispiel vorgegangen. Für

die Maßzahl der Flächen von ,,Untersumme" und ,,Obersumme" werden aber

diesmal die beiden Variablen

s4

bzw.

S4

vergeben, aufgrund der Anzahl der

Teilintervalle.

---

5

Rechnung:

s

=

f

)

1

( 5

,

0

+

f

)

5

,

1

(

5

,

0

+

f

( )

2 5

,

0

+

f

( )

5

,

2

5

,

0

4

= 5

,

0

²

1

[(

+ )

1 +

²

5

,

1

(

+ )

1 + ( ²

2 + )

1 + (

²

5

,

2

+ )]

1 = 5

,

0 17 5

, = ,

8 75

S

=

f

)

1

( 5

,

0

+

f

)

5

,

1

(

5

,

0

+

f

( )

2 5

,

0

+

f

( )

5

,

2

5

,

0

+

f

)

3

(

5

,

0

4

= 5

,

0

²

1

[(

+ )

1 +

²

5

,

1

(

+ )

1 + ( ²

2 + )

1 + (

²

5

,

2

+ )

1 + 3

( ² + )]

1 = 5

,

0 27 5

, =

,

13 75

An dieser Funktion lässt sich erkennen, dass die beiden Näherungswerte, bei

einer höheren Anzahl von Teilintervallen, nicht mehr so weit auseinanderlie-

gen, wie beim vorherigen Beispiel. Um noch bessere Näherungswerte zu erhal-

ten müsste das Intervall in eine noch größere Anzahl von Teilintervallen zer-

legt werden.

3.4.

Allgemeine Rechnung und Beschreibung des Vorgehens

Allgemein lässt sich eine Fläche wie folgt ermitteln:

,,Gegeben sei eine positive Normalfläche über einem Intervall [a;b] zu einer

über diesem Intervall stetigen und monotonen Funktion

f

. Wir zerlegen das In-

tervall in n gleichgroße Teilintervalle

Ak

mit dem Teilungspunkten:"6

x

= ;

a x

=

a

+ ;

h x

=

a

+ 2 ;

h

;

0

1

2

x

- =

a

+ (

n

- )

1 ;

h x

= .

b

n

1

n

Jedes Teilintervall hat dann die Längenmaßzahl:

b

-

a

h

=

n

Nun bildet man eine untere Treppenfläche

t

und eine obere Treppenfläche

T

;

deren Maßzahl erfasst man durch die Untersumme

sn

und die Obersumme

Sn.

Für die Berechnung setzt man zusätzlich voraus, dass die Funktion

f

über [a;b]

monoton steigt.

6 Mathematik Sekundarstufe II Analysis Grundkurse Neu, Düsseldorf: Pädagogischer Verlag

Schwann-Bagel GmbH 1982, S. 202

---

6

Dann gilt:

n

1

s

=

f

(

x

)

0

h

+

f

(

x

)

1

h

+

f

(

x

)

2

h

+ +

f

(

x

- )

1

h

=

f

(

x

-

)

h

n

n

k

k

=0

und

n

S

=

f

(

x

)

h

+

f

(

x

)

h

+ +

f

(

x

)

h

=

f

(

x

)

.

h

n

1

2

n

k

k

1

=

Bemerkungen:

-

,,n" steht für einen unendlichen positiven Wert

-

Das Summenzeichen bedeutet, dass im Term

f

(

x

)

h

nacheinander

k

k=0, k=1, k=2, ..., k=n-1 eingesetzt wird und die so entstehenden Pro-

dukte addiert werden. Die untere Summe addiert die Terme von k=1 bis

k=n auf.

-

Es sind auch Zerlegungen des Intervalls [a;b] zugelassen, bei denen die

einzelnen Teilintervalle

h

nicht gleich groß sind.

-

Wenn die Grenzwerte von s

h

n

n und Sn für

0 bzw. für

über

einstimmen ist dieser gemeinsame Grenzwert der Funktion f im Inter-

vall [a;b] die Maßzahl der Fläche.

-

Diesen gemeinsamen Grenzwert nennt man das ,,bestimmte Intgral der

Funktion

f

über [a;b]" und schreibt:

b

f

(

x

)

dx

.

a

-

Dieses so definierte Integral nennt man nach dem deutschen Mathema-

tiker Bernhard Riemann (1828-1866) ,,Riemann-Integral", das in der

geschriebenen Form wie ein langgezogene S wirkende Integralzei-

chen wird vom griechischen S für Summe () abgeleitet.7

4.

Bestimmen der Fläche mit Hilfe der zeichnerisch ermittelten

Stammfunktion

4.1.

Einführung und Bedingungen

Die Maßzahl einer Fläche lässt sich auch, mit Hilfe eines Verfahrens lösen,

welches aus dem vorrangegangenen hervorgeht.

7 in Anlenung an: Dr. Josef Lauter (u.a.) ,Schwann-Bagel 1982, S.199-203

---

7

Um ein Integral auf graphischen Wege ermitteln zu können, muss die zu integ-

rierende Funktion

f

als Kurve vorliegen. Die Funktionsgleichung braucht nicht

bekannt zu sein. Falls der Integrand als eine Gleichung vorliegt, muss erst die

zugehörige Kurve gezeichnet werden. Man stelle sich vor, dass man die Fläche

zwischen der Kurve und der X-Achse ersetzen kann, durch eine inhaltsgleiche

Fläche zwischen einer geeigneten Treppenkurve und der x-Achse (wie schon

bei dem vorherigem Verfahren besprochen). Man braucht nur darauf zu achten,

dass die Flächenstücke zwischen der gegebenen Kurve und der Treppenkurve

paarweise vom Inhalt gleich sind.

4.2.

Konstruktionsschritte zur graphischen Ermittlung der Stammfunktion

1. Es sind auf der Kurve beliebige Punkte (

P′1,P′2,P′3,...,P′n

) auszuwäh-

len. Hierbei sollten vorhandene Extrempunkte, Wendepunkte und Null-

stellen berücksichtigt werden.

2. Durch jeden dieser Punkte konstruiert man Parallelen zu beiden

Koordinatenachsen. So ergibt sich auf der y-Achse jeweils ein

Schnittpunkt

Bn

.

Anmerkung:

Der Achsenmaß-

stab wurde unter-

schiedlich ge-

wählt, da sonst

die Veranschauli-

chung anhand

dieses Beispiels

nicht deutlich

wäre.

---

8

3. Die gegebene Kurve

f

(

x

) =

x

² + ;

1

x

]

3

;

1

[

ist durch eine Treppenkurve

zu ersetzen. Nach Augenmaß werden nun geeignete Zwischenpunkte

(

S′1,S′2,S′3,...S′n-1

) gewählt, sodass die grau unterlegten Flächen beider-

seits der gegebenen Kurve paarweise inhaltsgleich sind.

4. Durch die Zwischenpunkte konstruiert man Parallelen zur y-Achse.

5. Auf der x-Achse legt man nun an der Stelle

x

= 1

- (oder an anderer

Stelle) einen so genannten Polpunkt

A

fest. Der Polabstand

p

zum Ko-

ordinatenursprung hat dann den Wert 1 (oder einen anderen konstanten

Wert)

6. Die Punkte

Bn

verbindet man mit dem Polpunkt durch Geraden. Diese

Geraden geben die Tangentenrichtung für die gesuchte Kurve der

Stammfunktion mit der Gleichung

y

=

F

(

x

) +

C

an.

7. Da die Tangentensteigung für die gesuchte Kurve bereits bekannt ist,

braucht man nur noch einen Anfangspunkt. Deshalb wählt man auf der

durch

P′1

parallel zur y-Achse verlaufenden Graden an einer beliebigen

Stelle einen Punkt

P1

. Durch die Wahl dieses Punktes wird die Kon-

stante der Stammfunktion

C

festgelegt.

8. Jetzt muss man die durch

AB

gegebene Tangentenrichtung parallel

n

verschieben. Bis sie durch den Punkt

P1

verläuft. Die Parallele

AB

1

lässt man solange weiterlaufen, bis sie auf die Senkrechte zum Punkt

S′1

trifft (

S1

). In diesem Punkt setzt man die Parallele zu

AB

an, wo-

2

durch sich die Schnittpunkte

P2

und

S2

ergeben.

P2

ist der nächste Kur-

venpunkt der gesuchten Stammfunktion,

S2

ist der Ansatzpunkt für die

nächste Tangente parallel zu

AB

. Genauso wie gerade beschrieben,

3

verfährt man bei den übrigen Tangenten. Es ergibt sich ein Tangenten-

zug.

9. Durch die Punkte

P1,P2,P3,...,Pn

zeichnet man die Kurve der gesuchten

Stammfunktion. Wobei der Tangentenzug die Konstruktion der Kurve

erleichtert. Ist der Polabstand ungleich 1, so ergeben sich für

F

und

f

unterschiedliche Maßstäbe auf der y-Achse.

Um in der Praxis das Papierformat nicht zu überschreiten, wählt man häu-

fig den Polabstand

p

1 . Je größer dabei

p

ist, desto flacher verläuft die

Lösungskurve.

---

9

Bei der zeichnerischen Ermittlung der Stammfunktion kommt es nicht, dar-

auf an (ganz im Gegensatz zum vorher besprochenen Verfahren), die An-

zahl der Teilintervalle möglichst groß zu wählen. Denn das führt zu einer

höheren Ungenauigkeit und damit auch zur Verschlechterung des Ergebnis-

ses.

Aus der gegebenen y-Skala geht dann die bestimmte Maßzahl durch Multi-

plikation mit

p

hervor, was auch zu dimensionsmäßig richtigen Werten

führt. Man überzeugt sich nachträglich, ob die Maßzahl von

F(x)

dem zu-

gehörigen Flächeninhalt der f(x)-Funktion ungefähr entspricht. Dies kann

man zum Beispiel durch ,,Kästchenzählen" tun.

Konkret am Beispiel der Funktion

f

(

x

) =

x

² +1 heißt das:

Man liest ein Flächenmaßzahl von ungefähr 11,6 FE (tatsächliche Flächen-

größe 11,65 FE) ab. Jetzt vergleicht man diese Zahl zum Beispiel mit der

Maßzahl, die durch das Verfahren ,,Ingegral als Summengrenzwert" ermit-

telt wurde. Die Maßzahl der Untersumme beträgt 8,75, die der Obersumme

13,75. Sieht man sich diese Zahlen genauer an, kann man feststellen, dass

die hier ermittelte Maßzahl einen sehr viel genaueren Wert der Fläche wie-

dergibt.

5. Beurteilung

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das zuletzt angesprochene Verfahren

zwar sehr genau, aber dafür auch recht umständlich ist. Dieses Verfahren ist

jedoch unerlässlich bei der Ermittlung von Flächen, wenn nur der Graph einer

Funktion gegeben und gleichzeitig die Funktionsgleichung unbekannt ist. Falls

man dieses Verfahren, trotz bekannter Funktionsgleichung anwenden möchte,

muss die Funktion zuerst gezeichnet werden.

Die Bestimmung der Fläche mit Hilfe von Summengrenzwerten, ist zwar sehr

schnell, aber dafür auch sehr ungenau. Möchte man hier eine höhere Genauig-

keit erzielen, ist dies nur möglich durch die Erhöhung der Teilintervalle. Doch

das führt dazu, dass dieses Verfahren im Endeffekt aufwendiger ist als das ein-

fache Ablesen an der graphisch konstruierten Stammfunktion.

---

10

6. Nachwort

Nachträglich möchte ich noch darauf hinweisen, dass es auch maschinelle

Hilfsmittel zur graphischen Integration gibt, so zum Beispiel das Polarplanime-

ter. Die Abbildung und Funktionsweise dieses Gerätes ist im Anhang zu fin-

den.

---

11

7. Literaturverzeichnis

Dipl.-Math. Gerhard Große: Integrationsverfahren (1972).

In: H. Birnbaum (u.a.)(Hrsg): Analysis für

Ingenieure (9. Aufl.) VEB Fachbuchverlag,

Leipzig

1973

Dr. Josef Lauter,

In: Oberstudiendirektor Wilhelm Kuypers (u.a.):

Gabriele Bölts,

Mathematik Sekundarstufe II Analysis

Wilhelm Kuypers und

Grundkurse (8. Aufl.) Pädagogischer Verlag

Hans Wuttke

Schwann-Bagel GmbH, Düsseldorf 1982

W. Gellert (u.a.):

Kleine Enzyklopädie Mathematik.

(10. Aufl.) VEB Verlag Enzyklopädie, Leipzig

1977

---

12

8. Anhang

Polarplanimeter:

aus F.A. Willers, Mathematische Maschinen und Instrumente, Akademie-Verlag, Ber-

lin 1951

,,Das Polarplanimeter [...], wurde 1854 von dem Schweizer Amsler entwickelt.

[...] Es besteht im wesentlichen aus drei teilen, dem Polarm mit dem Pol, dem

Fahrarm und dem Zählwerk, das am Fahrarm verstellbar befestigt ist. Am Ende

des Fahrarmes befindet sich ein Stift, mit dem die Beradungskurve einer Fläche

umfahren wird. Die Bewegung des Fahrarmes wird durch eine Gleitrolle des

Zählwerkes in eine Drehbewegung umgesetzt, die mit verschiedener Ge-

schwindigkeit teils vorwärts, teils rückwärts abläuft. Das Gelenk zwischen

Fahrarm und Polarm bewegt sich dabei auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt de

Pol ist. Dadurch wird der Stillstand der Gleitrolle verhindert, wenn sich der

Fahrstift entlang einer Geraden bewegt. Die auf der Gleitrolle befindliche und

mit einem Nonius versehene Skale ermöglicht in Verbindung mit der Zähl-

scheibe die Ablesung des Resultats. Der abgelesene Wert kann mit 4 Dezimal-

stellen angegeben werden. Bei einem Grundplanimeter erhält man entweder

unmittelbar den Inhalt der umfahrenen Fläche oder einen Wert, der diesem Flä-

cheninhalt proportional ist. Durch Verschiebung des Zählwerks auf dem Fahr-

arm ändert sich der Proportionalitätsfaktor. Sind

n1

der in der Anfangsstellung

und

n2

der in der Endstellung der Messrolle abgelesene Wert, so ist der Inhalt

der umfahrenen Fläche

A= k(n2 ­ n1).

---

13

Die sog. Planimeterkonstante

k

kann entweder aus einer dem Planimeter

beigegebenen Tabelle oder durch mehrmaliges Umfahren einer bekannten Flä-

che (für eine bestimmte Fahrarmlänge) ermittelt werden."8

8 Dipl.-Math. Gerhard Große: Integrationsverfahren. H. Birnbaum (u.a.)(Hrsg): Analysis für

Ingenieure (9. Aufl.) VEB Fachbuchverlag, Leipzig 1973

---

14

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Facharbeit selbstständig angefer-

tigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der

Facharbeit, die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken

entnommen wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe.

________________________

Daniel Sprehe

---