Fehlerrechnung

Aufgabe 1

Fehlerrechnung

Aufgabe 1

Man leite die Beziehungen

N

N

N

N

N

N

N

2

x

y -

x

x y

N

x y -

x

y

i

i i i i

i i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

a

=

=

und

i 1

=

i 1

=

i 1

b

=

=

2

N

N

2

N

N

2

N

x -

x

2

N

x -

x

i

i

i i

i 1

=

i 1=

i 1

=

i 1=

aus den Angaben

N

N

2 (

a + bx - y ) = 0

und

2 (

a + bx - y )x = 0

i

i

i

i

i

i 1

=

i 1

=

im einzelnen ab und prüfe für den Fall N = 2 nach, ob sich die erwarteten Werte

x y - x y

y - y

2 1

1 2

a =

und

2

1

b =

x - x

x - x

2

1

2

1

ergeben.

N

(

2

a

+

bx

-

y

) = 0

i

i

i

1

=

N

2

(

a

+

bx

-

y

) = 0

i

i

i

1

=

N

(

a

+

bx

-

y

) = 0

i

i

i

1

=

N

N

N

a

+

b

x

-

y

= 0

i

i

i

1

=

i

1

=

N

N

y

-

b

x

i

i

i

1

=

i

1

a

=

=

(1)

N

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Fehlerrechnung

Aufgabe 1

N

2 (a + bx - y )x = 0

i

i

i

i 1

=

N

N

N

2

a

x + b

x -

x y = 0

i

i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

N

N

x y - a

x

i i

i

i 1

=

i 1

b

=

=

(2)

N

2

x

i

i 1

=

(2) in (1)

N

N

x y - a

x

N

i i

i

N

i 1

=

i 1

N a =

y

=

-

x

i

N

i

i 1

=

2

i 1

x

=

i

i 1

=

N

N

N

N

N

N

2

N a -

y

x = -

x

x y + a

x

x

i i i i i

i i

i 1

=

i 1=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

N

N

N

N

N

N

N

2

2

N a

x -

x

y = a

x

x -

x

x y

i i i

i i i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

N

N

N

N

N

N

N

2

N a

x - a

2

x

x =

x

y -

x

x y

i

i i i i i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

N

N

N

N

2

x

y -

x

x y

i i i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

a

=

=

N

N

N

2

N

x -

x

x

i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

N

N

N

N

2

x

y -

x

x y

i i i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

a

=

=

2

N

N

2

N

x -

x

i i

i 1

=

i 1=

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Fehlerrechnung

Aufgabe 1

(1) in (2)

N

N

y - b

x

N

i

i

N

i 1

=

i 1

x y

=

-

x

i i

i

=

N

i 1

i 1

b

=

=

N

2

x

i

i 1

=

N

N

N

N

x

y - b

x

x

N

N

i

i

i

i

2

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

b

x =

x y

=

-

i i i

i 1

=

i 1

=

N

N

N

N

N

N

N

x y -

x

y + b

x

x

N

i i

i

i

i

i

2

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

b

x

=

=

i

i 1

=

N

N

N

N

N

N

N

2

b N

x = N

x y -

x

y + b

x

x

i

i i i i

i i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

N

N

N

N

N

N

2

b N

x - b

x

x = N

x y -

x

y

i

i i

i i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

N

N

N

N

x y -

x

y

i i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

b

=

=

N

N

N

2

N

x -

x

x

i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

N

N

N

N

x y -

x

y

i i i i

i 1

=

i 1

=

i 1

b

=

=

2

N

N

2

N

x -

x

i i

i 1

=

i 1=

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Fehlerrechnung

Aufgabe 1

Für N = 2:

2

2

(y + y )(x + x ) - (x + x )(x y + x y )

1

2

1

2

1

2

1 1

2 2

a =

2

2

2

2 (x + x ) - (x + x )

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

x y + x y + x y + x y - x y - x x y - x x y - x y

1 1

2 1

1

2

2 2

1 1

1 2 2

1 2 1

2 2

a =

2

2

2

2

2x + 2x - x - 2x x - x

1

2

1

1 2

2

2

2

x y + x y - x x y - x x y

2 1

1

2

1 2 2

1 2 1

a =

2

2

x - 2x x + x

1

1 2

2

x y (x - x ) - x y (x - x )

2 1

2

1

1 2

a =

2

1

2

(x - x )

2

1

x y - x y

2 1

1 2

a = (x -x )

2

1

2(x y + x y ) - (x + x )(y + y )

1 1

2 2

1

2

1

2

b =

2

2

2

2(x + x ) - (x + x )

1

2

1

2

2x y + 2x y - x y - x y - x y - x y

1 1

2 2

1 1

1 2

2 1

2 2

b =

2

2

2

2

2x + 2x - x - 2x x - x

1

2

1

1 2

2

x y + x y - x y - x y

1 1

2 2

1 2

2 1

b =

2

2

x - 2x x + x

1

1 2

2

y (x - x ) - y (x - x )

2

2

1

1

2

1

b =

2

(x - x )

2

1

y - y

2

1

b = x -x

2

1

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Fehlerrechnung

Aufgabe 2

Aufgabe 2

Für die Größe W erhält man aus verschiedenen Versuchen die Werte

x

58.3

58.5

58.1

58.2

58.8

58.4

58.6

58.5

i

x - x - 0.13

0.07

- 0.33 - 0.23

0.37

- 0.03

0.17

0.07

i

Man berechne den Mittelwert, die Standardabweichung und den mittleren Fehler des

Mittelwertes.

Mittelwert:

8 x

i 467.4

i 1

x

=

=

=

= 58.43

8

8

Standardabweichung:

8

(x - x)2

i

0.3552

i 1

S

=

=

=

= 0.23

N -1

7

Standardabweichung des Mittelwertes:

8

(x -x

i

)2

S(x) S(x)

0.3552

i 1

=

=

=

=

= 0.08

N

N (N -1)

56

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Fehlerrechnung

Aufgabe 3

Aufgabe 3

Eine Kugel bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit u auf einer linearen Bahn. Zu

mehreren Zeiten ti wird der Abstand zi der Kugel von einem Bezugspunkt aus gemessen.

Man erhält die folgenden Werte:

ti in s

0

1

2

3

4

5

6

zi in cm

2.1

4.7

7.6

11.8

14.1

16.5

20.4

Für die Bewegung der Kugel gilt:

z = z + u t

i

0

i

Man bestimme u und z0. Man gebe den Wert der Fehlerquadratsumme, die

Standardabweichung von zi sowie die mittleren Fehler von u und z0 an.

7

7

7

7

t =

21 s

z = 77.2 cm

t z = 316.6 cm s

2

2

t = 91 s

i

i

i

i

i

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

=

N

N

N

N

2

t

z -

t

t z

i i i i i 77.291-21316.6 376.6

i 1

=

i 1

=

i 1

=

i 1

z

=

=

=

=

=

1.921cm

0

2

2

N

N

7 91- 21

196

2

N

t -

t

i i

i 1

=

i 1=

N

N

N

N

t z -

t

z

i i i i 7316.6-2177.2 595

cm

i 1

=

i 1

=

i 1

u

=

=

=

=

= 3.036

2

2

N

N

7 91- 21

196

s

2

N

t -

t

i i

i 1

=

i 1=

Regressionsgerade:

z = 1.921+ 3.036 t

i

i

ti in s

0

1

2

3

4

5

6

zi in cm

2.1

4.7

7.6

11.8

14.1

16.5

20.4

z

i

in cm

1.92

4.96

7.99

11.03

14.07

17.10

20.13

S

0.0324

0.0676

0.152

0.5929

0.0009

0.3600

0.0729

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Fehlerrechnung

Aufgabe 3

Fehlerquadratsumme:

7

S = (z - z )2

2

i

=

1.28 cm

i

i 1

=

Standardabweichung:

S

1.28

S =

=

=

0.51 cm

zi

N - 2

5

Mittlerer Fehler von z0:

7

2

t

i

91

i 1

m = S

=

= 0.51

= 0.35 cm

z0

zi

2

2

7

7

7 91- 21

2

N

t -

t

i i

i 1

=

i 1=

Mittlerer Fehler von u:

N

7

cm

m = S

= 0.51

= 0.096

u

zi

2

2

7

7

7 91- 21

s

2

N

t -

t

i i

i 1

=

i=2

25

20

15

Messung

10

Regression

5

0

0

2

4

6

8

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Fehlerrechnung

Aufgabe 4

Aufgabe 4

Nach dem Gesetz von Hagen-Poiseuille hängt die Strömungsgeschwindigkeit v eines

Gases durch ein Rohr mit dem Innendurchmesser d über die Beziehung

4

v = const d

zusammen. d wurde zu 0.2 ± 0.01 mm bestimmt. Wie groß ist der relative Fehler von v?

4 d

4 0.0 1 mm

abs

v =

=

= 0.2 = 20%

rel

d

0.2 mm

Aufgabe 5

U

Um eine elektrischen Widerstand nach der Formel R =

zu bestimmen, werden je 10

I

Messungen von U und I vorgenommen.

Messung

Stromstärke I in A

Spannung U in V

1

4.4

221

2

4.2

222

3

4.3

219

4

4.3

221

5

4.1

219

6

4.0

218

7

4.5

220

8

4.3

221

9

4.4

220

10

4.3

219

Wie groß ist der Mittelwert, die Streuung der einzelnen Messung und der mittlere Fehler

des Mittelwertes von I und U?

Wie groß ist bei der Messung von I und U jeweils der relative Fehler?

Wie groß ist der Mittelwert und der mittlere Fehler in R?

Geben Sie die Ergebnisse für die statistische Sicherheit P = 0.95 an.

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Fehlerrechnung

Aufgabe 5

Messung

I in A

v

=

I

-

I

U in V

v =U -U

U

R =

v = R -R

i

i

I

U

i

i

I

R

i

i

1

4.4

0.12

221

1

50.23

- 1.23

2

4.2

- 0.08

222

2

52.86

1.40

3

4.3

0.02

219

- 1

50.93

- 0.53

4

4.3

0.02

221

1

51.40

- 0.06

5

4.1

- 0.18

219

- 1

53.41

1.95

6

4.0

- 0.28

218

- 2

54.50

3.04

7

4.5

0.22

220

0

48.89

- 2.57

8

4.3

0.02

221

1

51.40

- 0.06

9

4.4

0.12

220

0

50.00

- 1.46

10

4.3

0.02

219

- 1

50.93

- 0.53

I = 4.28

0.196

U = 220 14

R = 51.46 25.82

Mittelwert

( 2

2

2

v

Mittelwert

(v

Mittelwert

(v

iR )

iU )

iI )

Streuung der einzelnen Messung:

10

( 2

viI )

0.196 A

i 1

S(I)

=

=

=

= 0.148 A

10 -1

9

10

( 2

viU )

2

14 V

i 1

S(U)

=

=

=

=1.25 V

10 -1

9

10

( 2

viR )

2

25.82

i 1

S(R)

=

=

=

= 1.69

10 -1

9

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Fehlerrechnung

Aufgabe 5

Streuung des Mittelwertes:

10

( 2

viI )

S(I)

2

S(I)

0.196 A

i 1

=

=

=

=

= 0.05 A

10

10(10 -1)

90

10

( 2

viU )

S(U)

2

S(U)

14 V

i 1

=

=

=

=

= 0.39 V

10

10(10 -1)

90

10

( 2

viR )

S(R)

2

S(R)

25.82

i 1

=

=

=

=

= 0.53

10

10(10 -1)

90

Relativer Fehler der Messung:

t S(I)

2.260.05 A

I

=

100 % =

100 % = 2.6 %

rel

I

4.28 A

I = 4.28 A ± (2.260.05 A) = 4.28 A ± 0.11 A

W

t S(U)

2.260.39 V

U

=

100 % =

100 % = 0.4 %

rel

U

220 V

U = 220 V ± (2.260.39 V) = 220 V ± 0.88 V

W

Dieses Protokoll wurde selbstständig erstellt.

______________________

Benjamin Bulheller

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