Universität Ulm

Wintersemester 2000/01

Hauptseminar in Physik:

Die Bestimmung fundamentaler

Naturkonstanten

und das Maßsystem SI

Betreuung: Othmar Marti

Schriftliche Ausarbeitung zum

Vortrag vom 09.02.2001:

Ausgleichsrechnung für die

Fundamentalkonstanten

von Thomas Schuster

---

Ausgleichsrechnung für die

Fundamentalkonstanten

Gliederung

1 Bezeichnungen und Definitionen

2 Grobe, systematische und zufällige Fehler

3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4 Fehlerfortpflanzungsgesetz und Standardabweichung des Mittelwerts

5 Der gewogene Mittelwert

6 Ausgleichsrechnung im engeren Sinn ­ Regressionsanalyse

7 Die Anpassung der fundamentalen physikalischen Konstanten von 1986

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

2

---

Ausgleichsrechnung für die

Bezeichnungen und Definitionen

Fundamentalkonstanten

1 Bezeichnungen und Definitionen

Zunächst werden einige Begriffe definiert, damit sie später ohne weitere Erklärung verwendet wer-

den können.

Grundgesamtheit: die Menge aller statistisch zu überprüfenden Elemente, d.h. aller unendlich vie-

ler möglicher Messungen unter gleichbleibenden äußeren Bedingungen

Stichprobe: eine (zufällig) aus der Grundgesamtheit ausgewählte Menge, von der man auf die

Grundgesamtheit schließt

Messgröße

x

, Einzelmessung

xi

¡

Mittelwert oder Erwartungswert

x

¢

Mittelwert der Stichprobe

m

"Wahrer" hypothetischer Mittelwert der Grundgesamtheit £

Standardabweichung der Einzelmessung

,

s

¤

ebenso bei weiteren Größen z.B. Korrelationskoeffizient

,

r

¥

1

n

Arithmetischer Mittelwert

x

x

§

¨

¦

n

i

1

i

©

¡

n

w x

i

1

i

i

Gewogener Mittelwert

x

,

w

¢

n

w

i

Gewichte

i

1

i

2

2

Varianz, mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert

x

x

¤

n

n

2

n

GAUSS′sche Summenschreibweise

x

x

,

xx

x

,

xy

x y

!

"

¨

i

1

i

!

"

¨

i

1

i

!

"

¨

i

1

i

i

©

©

©

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

3

---

Ausgleichsrechnung für die

Grobe, systematische und zufällige

Fundamentalkonstanten

Fehler

2 Grobe, systematische und zufällige Fehler

Grobe Fehler

sollten eigentlich ausgeschlossen sein. Beispiele für grobe Fehler sind: Irrtümer, Fehl-

überlegungen, Missverständnisse, Fehler beim Bedienen oder Ablesen der Messgeräte. Grobe Fehler

sind nicht Teil der Fehlerrechnung.

Für den Begriff

Systematische Fehler

findet man verschiedene Definitionen. Eine sinnvolle Definition

lautet:

Fehler, die unter gleichbleibenden Versuchsbedingungen einen nach Betrag und Vorzeichen kon-

stanten Wert haben, nennt man systematische Fehler.

Diese Definition ist sinnvoll für die

Rechnung

, nicht aber anschaulich sinnvoll. So liefert z.B. eine

nicht berücksichtigte Temperaturabhängigkeit einen Beitrag zu systematischen und zu zufälligen

Fehlern.

Beispiele für systematische Fehler sind:

#

Umwelteinflüsse, z.B. Auftrieb bei Wägung

#

Einfluss der Messgeräte auf das Experiment, z.B. Innenwiderstände

#

Unvollkommenheit der Messgeräte, Eichfehler

Man kann systematische Fehler entdecken oder vermeiden durch:

#

Verändern von scheinbar unwichtigen Parametern im Experiment

#

Statistische Tests, Z-Test, siehe später

#

offensichtliche Fehler (z.B. Totzeit des Detektors) abschätzen und rechnerisch korrigieren

Nun sollen systematische Fehler quantitativ beschrieben werden, d.h. man fragt sich, wie sich syste-

matische Fehler einzelner Messgrößen auf eine Funktion dieser Größen auswirken. Wie stets in der

Fehlerrechnung macht man die Annahme

x

x

, was einem erlaubt, eine TAYLOR-Entwicklung in

%

$

1. Näherung zumachen:

N

5

6

f

(1)

f x

,..,

x

f

x

,..,

x

x

′

1

N

′

0

1

0

N

$

k

6

(

)

1

1

(

2

3

x

k

1

k

x

x

4

k

4

8

k

7

9

@

A

f

Sind die

x

&

k

bekannt oder kann man ihre Größe nach Betrag und Vorzeichen schätzen, so dient

diese Gleichung, die man auch Fehlerfortpflanzungsgesetz für systematische Fehler nennt, zu einer

Korrektur des Wertes. Sind dagegen die

x

&

k

nicht bekannt, so bleibt nur die Möglichkeit der

Größtfehlerabschätzung, d.h. man setzt Betragstriche, da schlimmstenfalls alle Fehler dasselbe Vor-

zeichen haben, und setzt Schätzwerte für die maximalen Fehler der Einzelgrößen ein.

Zufällige Fehler

sind statistische Schwankungen bei Wiederholung einer Messung unter möglichst

gleichbleibenden Bedingungen. Ursachen sind Schwankungen der Messgröße selbst oder auch

Schwankungen von nicht erfassbaren oder unvorhersehbaren Einflüssen. Auch die Auflösungsge-

nauigkeit der Messgeräte ist den zufälligen Fehlern zuzuordnen, da diese nicht wie die systemati-

schen Fehler eine feste Verschiebung jedes Werts bewirkt, es ist vielmehr zufällig, ob bei einem Wert

zwischen zwei Skalenteilen der größere oder der kleinere angezeigt wird.

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

4

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Ausgleichsrechnung für die

Grobe, systematische und zufällige

Fundamentalkonstanten

Fehler

Bester Schätzwert einer Größe ist unter der Annahme, dass alle Einzelmessungen gleich genau sind,

das arithmetisches Mittel

m

x

1

n

x

, systematische Abweichungen sind hierdurch nicht er-

B

C

D

B

n

i

1

i

F

E

x

b

fasst, so dass für den unbekannten wahren Wert gilt:

w

B

H

I

P

. Das übliche Fehlermaß für

G

wahrer Wert

′bias′

zufällige Fehler ist die Standardabweichung

2

x

x

2V . Ihren Schätzwert aus der Stichprobe

Q

C

D

U

B

R

S

T

erhält man, indem man als Mittelwert den arithmetischen Mittelwert verwendet. Allerdings ist es

genauer, für den Mittelwert von

x

den unbekannten Mittelwert

der Grundgesamtheit einzusetzen,

H

also

s

2

1

n

2

`

W

x

. Diese Formel ist jedoch zur praktischen Berechnung nicht geeignet, da

n

i

1

i

H

Y

a

b

c

X

nicht bekannt ist. Wenn man nun

durch

m

ersetzt ist es notwendig, eine sogenannte BESSEL-Kor-

H

rektur einzusetzen:

m

n

g

, was zu einer brauchbaren Formel führt:

e

f

b

d

n

1

2

`

(2)

s

2 W

x

m

n

1

i

a

c

i

i

1

Y

a

Eine anschauliche Deutung der BESSEL-Korrektur besteht darin,

als Zahl der Freiheitsgrade (hier

h

n

1 ) aufzufassen, wobei die Zahl der Freiheitsgrade als Zahl der Messungen minus Zahl der

B

T

h

geschätzten Parameter einer Verteilung definiert ist. Man "opfert" also einen Messwert zur Schät-

zung des Mittelwerts aus der Stichprobe, er ist nun nicht mehr unabhängig von den anderen. Kennt

man

n

1 Messwerte und das Stichprobenmittel, so kennt man auch den

n

-ten Messwert. Oft wird

T

die BESSEL-Korrektur in Gleichungen ohne strenge Herleitung eingeführt, wie auch später in diesem

Text. Man kann sie aber in jedem Einzelfall auch herleiten, daher soll nun Gl. (2) hergeleitet werden:

1

1

2

1

s

2

2

2

2

v

v

`

`

`

`

W

x

W

x

m

x

m

m

n

`

m

(3)

n

i

i

i

a

b

c

a

c

a

c

a

b

c

a

b

c

x

p

n

n

w

n

i

i

i

q

q

x

m

m

0 , Def. von

m

siehe Nebenrechnung

i

Y

s

t

s

r

r

u

Nebenrechnung:

y

y

y

y

x

x

m

m

x

m

n m

i

T

H

B

i

T

I

T

H

B

i

T

I

T

H

0 , Def. von

m

F

1

y

y

2

1

2

m

x

,

m

x

T

H

B

T

H

B

n

i

T

H

i

T

H

n

2

y

y

2

1

2

1

m

x

x

x

T

H

B

i

T

H

I

i

T

H

j

T

H

n

2

i

n

2

i j

1

0, falls n groß

s

2

n

in (3) eingesetzt:

1 y

1

1

y

s

2

x

m

2

s

2

2

s

2

x

m

B

I

B

n

i

T

n

n

1

i

T

T

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

5

---

Ausgleichsrechnung für die

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Fundamentalkonstanten

3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Es soll hier kurz die Sprechweise der mathematischen Statistik angeführt werden: Eine stochastische

Variable

X

genügt einer Verteilung, die man entweder durch ihre Verteilungsfunktion

F x

P X

x

oder durch ihre Dichtefunktion

f x

F′ x

(wobei

F x

x

dx f x

) cha-

rakterisieren kann.

Beispiele für Verteilungen sind:

x

2

e

f

g

d

2

GAUSS′sche Normalverteilung:

f x

1

e 2

,

Mittelwert,

Standardabweichung

h

i

j

2

1

2

LORENTZ- oder CAUCHY-Verteilung:

f x

,

Mittelwert,

Halbwertsbreite

q

m

m

i

2 2

2

o

x

k

l

p

n

n

k

l

Man will Verteilungen eindeutig durch Parameter charakterisieren. Es ist also die Verteilung am

besten geeignet, die ein Problem zutreffend beschreibt und durch möglichst wenige Parameter ein-

deutig festgelegt ist. Die wichtigsten Parameter einer Verteilung sind:

Mittelwert

E x

dx f x x

r

i

2

2

Varianz

dx f x

x

r

s

j

i

Die GAUSS′sche Normalverteilung spielt eine besondere Rolle in der Fehlerrechnung. Dies liegt zum

einen daran, dass sehr viele Messgrößen normalverteilt sind. Es können aber nicht alle normalverteilt

sein, wie ein einfaches Beispiel aus [1] zeigt: Durchmesser und Volumen eines Tropfens können

nicht beide normalverteilt sein. Ein weiterer Grund für die Verwendung der Normalverteilung ist ihre

einfache Handhabung mit zwei Parametern

und

. Entscheidend ist jedoch der zentrale Grenz-

i

j

wertsatz der mathematischen Statistik, der besagt:

Für

n

unabhängige Zufallsvariable mit gleicher (nicht notwendig Normalverteilung) Verteilung, glei-

m

chem Mittelwert und endlicher Varianz ist die Größe

p

im Grenzfall großer

n

normalverteilt.

2

n

l

Kurz: Die Mittelwerte einzelner Stichproben einer Grundgesamtheit sind näherungsweise normal-

verteilt.

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

6

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Ausgleichsrechnung für die

Fehlerfortpflanzungsgesetz und

Fundamentalkonstanten

Standardabweichung des Mittelwerts

4 Fehlerfortpflanzungsgesetz und Standardabweichung
des Mittelwerts

Da meist nicht die Messgrößen selbst sondern Funktionen von Messgrößen

f x

, ... ,

x

t

1

N

interes-

u

sieren, muss man sich nach der Standardabweichung von

f

fragen.

Es seien also

xk

Messgrößen mit Stichprobenmittelwerten

mk

und Standardabweichungen

sk

. Je-

des

xk

sei

n

mal gemessen worden. Es war laut Gl. (2):

n

1

s

2

2

{

w

x

m

x

n

1

i

|

}

i

1

z

|

Um zur Standardabweichung von

f

zu gelangen ersetzt man die

x

f x

i

durch

f i

(

i

-te Mes-

t

ki

v

u

sung der

x

2

1

n

2

{

w

f

m

k

,

k 1..N

), also wird

s

, wobei man

m

f

n

1

i

1

i

f

f

auf zweierlei Arten be-

z

|

}

v

x

y

rechnen kann (wird hier nicht gezeigt):

m

f

f

x

f

i

ki

v

~

v

~

Wieder nimmt man an, dass die Fehler klein sind gegen den Mittelwert

f

m

m

i

f

f

und darf somit

|

wieder eine TAYLOR-Entwicklung in 1. Näherung ansetzen:

N

f

f

m

x

m

i

f

t

ki

k

x

u

k

1

k

x

m

k

k

Eingesetzt in Gl. (2)

2

n

N

2

1

f

s

x

m

f

t

ki

k

v

n

1

u

i

x

1

k

1

k

x

m

k

k

2

1

n

N

N

f

f

f

x

m

2

x

m

x

m

ki

k

li

l

mi

m

¡

v

n

1

i

x

x

x

1

k

1

k

l,m

1

l

m

l

m

n

n

x

m

2

x

m

x

m

N

2

t

ki

k

N

t

li

l

t

mi

m

f

u

u

u

i

1

f

f

i

1

v

x

n

1

x

x

n

1

k

1

k

l,m

1

l

m

l

m

N

2

N

f

f

f

s

2

s

2

Kov

x

,

x

f

t

k

l

m

v

x

x

x

u

k

1

k

l,m

1

l

m

(4)

l

m

Diese Gleichung heißt

Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz

mit der neuen Größe Kovarianz:

Kov

x

,

x

x

x

x

x

bzw. ihrem Schätzwert Kov aus der Stichprobe.

t

1

2

1

1

2

2

u

v

Führt man außerdem die Varianzmatrix

V

mit den Einträgen V

Kov

x

,

x

ein, so lässt sich das

ij

t

i

j

v

u

Gesetz schreiben als

s

2

f

T

V

f

, also als quadratische Form. Die Hauptdiagonalelemente von

f

v

V

sind die längst bekannten Varianzen, die Außerdiagonalelemente von

V

sind die Kovarianzen.

Die Kovarianzen lassen sich auch auf den Maximalwert 1 normieren, dies führt zu einer neuen

Kov

x

,

x

Kov

x

,

x

Größe, dem Korrelationskoeffizienten

i

j

i

j

mit Schätzwert

r

. Es gilt die Bezie-

ij

ij

v

i

j

s s

i

j

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

7

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Ausgleichsrechnung für die

Fehlerfortpflanzungsgesetz und

Fundamentalkonstanten

Standardabweichung des Mittelwerts

hung:

1

1 . Ist der Korrelationskoeffizient

1 , so nennt man

x

,

x

vollständig korre-

£

¤

£

¢

¥

ij

i

j

¦

§

liert, ist

0 so nennt man

x

,

x

unkorreliert. Vollständig korrelierte Größen erfüllen einen li-

¤

ij

i

j

¨

nearen Zusammenhang, wie wir später sehen. Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für statistische

Abhängigkeit / Unabhängigkeit. In der Mathematik definiert man Unabhängigkeit von stochastischen

Variablen durch die zweidimensionale Dichtefunktion:

x

,

x

heißen statistisch unabhängig

i

j

©

f x

,

x

f

x

f

x

. Falls also

x

,

x

unabhängig

E x x

E x E x

und somit:

ª

1

2

1 ª

1

2 ª

2

i

j

ª

ª

ª

¬

1

2

1

2

«

«

«

«

«

«

¨

¨

Kov

x

,

x

E

x

E x

x

E x

E x x

E x E x

0

ª

1

2

´

µ

1 ¢

ª

1

µ

2 ¢

ª

2

ª

1

2 ¢

ª

1

ª

2

«

«

¶

«

¶

·

«

«

«

¨

¨

¨

Aus statistischer Unabhängigkeit folgt

0 , nicht aber umgekehrt. Die Ursache der Korrelation

¤

¨

von Messwerten und damit des Auftretens von Kovarianzen im Fehlerfortpflanzungsgesetz sind also

funktionale Zusammenhänge zwischen den Größen.

Kommen wir zurück zum Fehlerfortpflanzungsgesetz. Sind nun die gemessenen Größen statistisch

unabhängig, so sind die Kovarianzen 0 (bzw. ihre Schätzwerte im Grenzfall großer

n

) und es folgt

das bekannte GAUSS′sches Fehlerfortpflanzungsgesetz:

N

2

¹

º

2

f

2

(5)

s

s

f

k

º

¨

¸

k

1

xk x m

®

»

k

®

k

Auch systematische Fehler werden in der modernen Fehlerrechnung wie Standardabweichungen be-

handelt. Man unterscheidet nur noch Typ A Unsicherheiten (statistisch ermittelt) und Typ B Unsi-

cherheiten (auf anderem Weg ermittelt). Sie werden mit dem Fehlerfortpflanzungsgesetz kombiniert.

Bisher haben wir die stets die Standardabweichung einer einzelnen Messung betrachtet, also ein Maß

für die Streuung der Messwerte um ihren Mittelwert. Da man aber als Endergebnis den Stichpro-

benmittelwert als besten Schätzwert angibt, interessiert man sich für die

Standardabweichung des
Mittelwerts

sm

. Diese folgt nun sofort aus dem GAUSS′schen Fehlerfortpflanzungsgesetz:

Die Funktion

f

, deren Standardabweichung nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet wird,

2

ist nun das arithmetische Mittel:

f x

,... ,

x

1

n

x

. Es ist

f

1

und

s

2

s

2 , da es sich

ª

1

n

n

i

1

i

¯

°

x

n

2

i

«

¨

¦

®

¦

i

±

°

um

n

Messungen derselben Größe handelt. Setzt man dies in Gl. (5) ein, so folgt:

n

2

1

2

1 2

s

s

s

f

2

¦

n

¦

¼

n

also:

i

1

®

n

2

1

1

2

(6)

s

s

2

x

m

m

ª

i

¢

«

¨

n

¨

n n

1 ¸

ª

¢

i

1

®

«

Zum Abschluss dieses Kapitels soll nochmals die Bedeutung der Schätzwerte der verschiedenen Pa-

rameter einer Verteilung von Messwerten zusammengefasst werden.

Das

Stichprobenmittel m

ist der beste Schätzwert für

, falls keine systematischen Fehler vorlie-

²

gen der beste Schätzwert für

x

.

Die

Standardabweichung der Einzelmessung s

ist ein Maß für die Streuung der einzelnen Mess-

werte um den Mittelwert. Für große

n

konvergiert sie gegen die unbekannte wahre Standardabwei-

chung der Einzelmessung

.

³

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

8

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Ausgleichsrechnung für die

Fehlerfortpflanzungsgesetz und

Fundamentalkonstanten

Standardabweichung des Mittelwerts

Die

Standardabweichung des Mittelwerts sm

ist die Fehlerangabe für das Ergebnis

m

, sie strebt für

1

große

n

nach 0. Bei normalverteilten Größen liegt

mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall

½

n

¾

m s

¿

m

(für genügend große

n

).

Man sollte immer daran denken, dass

s

und

sm

selbst nur Erwartungswerte sind, d.h. man kann

wiederum nach ihrer Standardabweichung

ss

fragen. Für normalverteilte Größen lässt sich zeigen,

s

dass

ss

gilt. Für nicht allzu große

n

ist damit die Streuung der Streuung, fast in derselben

À

2n

Größenordnung wie die Streuung selbst, so dass es meist nur sinnvoll ist, eine oder zwei Dezimal-

stellen der Streuung anzugeben.

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

9

---

Ausgleichsrechnung für die

Der gewogene Mittelwert

Fundamentalkonstanten

5 Der gewogene Mittelwert

Wir betrachten nun

N

unterschiedlich genaue Werte

mi

(Stichprobenmittelwerte) einer Größe mit

N

w m

Standardabweichungen

s

x

i

1

i

i

Å

i

. Gesucht sind Gewichte

wi

so, dass das gewogene Mittel

Â

Ã

Ä

N

Á

w

i

1

i

Å

Ä

den besten Schätzwert für

x

darstellt.

Die Lösung des Problems liefert das Maximum Likelihood Principle von FISHER. Es geht von folgen-

der Idee aus: Die Wahrscheinlichkeitsdichte, die die Verteilung jedes einzelnen Stichprobenmittels

mi

um den gesuchten Mittelwert beschreibt, ist nach dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik eine

m

x

2

Normalverteilung

f m

C

exp

i

Í

Ë

Ì

Æ

i

Ã

È

É

Ê

2

s

2

Î

Ç

i

Die Wahrscheinlichkeit

m

in einem bestimmten Intervall um

x

und m

in einem bestimmten

1

Â

Á

2

Intervall um

x

und

... ist durch das Produkt der Wahrscheinlichkeiten gegeben. Die Dichtefunk-

Â

Á

tion im

N

-dimensionalen Raum der

mi

ist also durch das Produkt der einzelnen Dichtefunktionen

gegeben:

2

N

m

x

Ó

i

Ê

Â

Ô

Á

(7)

f m

, ... ,

m

C

exp

Æ

1

N

Ã

Ø

È

Ù

Ê

Ú

2

Ç

Ü

i

1

2

s

Û

i

Der beste Schätzwert ist nun der, der mit der höchsten Wahrscheinlichkeit angenommen wird. Man

sucht also das Maximum der Dichtefunktion Gl. (7) bzw., da exp

x

monoton fallend ist, das

Æ

Ê

Ç

Minimum des Exponenten:

2

Ý

m

x

Ó

i

Ê

Â

Ô

Á

! 0

Ú

Ý

(8)

x

2

s

2

Ã

Â

Á

i

Dies nennt man auch

Verallgemeinertes Prinzip der kleinsten Quadrate

, den Spezialfall, dass alle

Standardabweichungen identisch sind,

GAUSS′sches Prinzip der kleinsten Quadrate

.

1

s

2 Ñ

m

Das Auflösen von Gl. (8) liefert

x

Ð

i

i

, also:

Â

Ã

Ä

Ï

2

Á

1

s

Ñ

Ð

i

Ä

Ï

w

1

s

2

i

Ã

Þ

i

(9)

In dem genannten Spezialfall sind alle Gewichte gleich, und der beste Schätzwert ist das arithmeti-

sche Mittel.

Es gibt nach BIRGE zwei Ansätze zur Berechnung der Standardabweichung des gewogenen Mittels:

den interner Fehler und den externen Fehler.

Beim

internen Fehler

wendet man das GAUSS′sche Fehlerfortpflanzungsgesetz auf das gewogene

Mittel an. Dies führt zu der Beziehung:

1

1

(10)

s

2

Ã

ß

s

2

m,int

i

Diese Gleichung heißt auch

Gewichtfortpflanzungsgesetz

. Sie berücksichtigt keine systematischen

Abweichungen der einzelnen Stichprobenmittelwerte.

Den

externen Fehler

berechnet man gemäß der Formel für die Standardabweichung des Mittelwerts

Gl. (6) (mit Einführung einer B

2

N

1

2 Õ

ESSEL-Korrektur)

s

m

x

, wobei aber

...

hier

m

Ã

N

1 È

N

È Ò

Ó

i

Ê

Â

Ô

Á

Ö

×

Ë

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

10

---

Ausgleichsrechnung für die

Der gewogene Mittelwert

Fundamentalkonstanten

der gewogene Mittelwert ist. Dies ergibt:

2

w m

x

2

i

i

õ

ö

ò

ó

ô

(11)

sm,ext

÷

á

ñ

N

1

w

ø

i

ó

ñ

Im Gegensatz zum internen Fehler vergrößern systematische Abweichungen der

mi

den externen

Fehler. Dafür berücksichtigt der externe Fehler nicht die Standardabweichungen der einzelnen Mes-

sungen, also deren zufällige Fehler. Sicherheitshalber gibt man den größeren der beiden Fehler an.

Falls keine systematischen Fehler vorliegen, sollten beide Fehler identisch sein, da man einfach die

Standardabweichung des Mittelwerts auf zwei verschiedene Arten berechnet. Man erwartet also:

à

à

s

m,int

m,ext

und für große

n

:

sm,int

m,ext

. Dies erlaubt im sogenannten

Z-Test

nach BIRGE eine

á

â

quantitative Aussage darüber, ob systematische Fehler vorliegen oder nicht. Wie man zeigen kann,

2

2

1

s

2 æ

m

x

gehorcht die Größe

s

Z

2

m,ext

é

ê

å

i

i

ç

è

ã

ã

ä

der STUDENT′schen

t

-Verteilung, deren Dichtefunktion

s

2

N

1

m,int

ç

ähnlich einer GAUSS-Funktion eine Glochenkurve darstellt. Der Mittelwert der Verteilung muss in

diesem Fall natürlich 1 sein, da im Grenzfall

N

die beiden Fehler gleich sind. Man kann nun um

ë

ì

die Hypothese "Es liegen keine systematischen Fehler vor" zu testen eine untere und obere Vertrau-

ensgrenze

x

,

x

u

o

für

Z

2 (symmetrisch um den Mittelwert) angeben, so dass

Z

2 z.B. mit nur 5%

x

Wahrscheinlichkeit zufällig außerhalb dieser Grenzen liegt, also 1

o dx f x

ã 5 % . Dann kann

ï

ð

í

î

xu

man im Umkehrschluss sagen, dass mit 95% Wahrscheinlichkeit systematische Abweichungen vor-

liegen, falls

Z

2 außerhalb dieser Grenzen liegt. Man lehnt die Hypothese mit 5% Irrtumswahr-

scheinlichkeit ab.

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

11

---

Ausgleichsrechnung für die

Ausgleichsrechnung im engeren Sinn ­

Fundamentalkonstanten

Regressionsanalyse

6 Ausgleichsrechnung im engeren Sinn ­ Regressi-
onsanalyse

Die Fragestellung der Ausgleichsrechnung ist die folgende: Man unterstellt einen funktionalen Zu-

y

f c

,

c

, ... ,

c

,

x

,

x

, ...

sammenhang

û

1

2

u

1

2

ù

, der entweder aus der Theorie bekannt ist oder im

ý

ü

Messgröße ú

Konstanten

Messgrößen þ

Experiment überprüft werden soll. Gesucht sind die Werte der Konstanten

c j

. Im Trivialfall ist die

Anzahl der Messungen

n

gleich der Anzahl

u

der unbekannten Konstanten (z.B. Gerade und zwei

Messpunkte). Dann ist nur ein Gleichungssystem (GLS) zu lösen. I.Allg. ist jedoch

n

u

, das GLS

ÿ

ist überbestimmt und widersprüchlich.

Gesucht sind nun die besten Schätzwerte der Konstanten. Nennt man die Abweichungen der Größe

y

von

f v

, so gelangt man zu den sogenannten Fehlergleichungen (auch Verbesserungsgleichungen ge-

nannt, da die ausgeglichene Funktion nur ein Schätzwert der wahren unbekannten Funktion ist, und

somit die

vi

nicht die wahren Fehler, sondern Verbesserungen sind):

¥

y

f c

,

c

, ... ,

x

,

x

, ...

0 theoretisch

i

-te Messung

i

û

1

2

1

i

2

i

¤

(12)

v

tatsächlich

i

ú

þ

Die besten Schätzwerte liefert analog zum vorigen Kapitel das Prinzip der kleinsten Quadrate:

!

!

vv

min. bzw.

wvv

min. Dies führt zu den Normalgleichungen:

¡

¡

¦

§

ú

ú

vv

!

¨

©

(13)

0

¦

c j

aus denen man die

c j

bestimmen kann. Damit ist schon das ganze Prinzip der Ausgleichsrechnung

erklärt.

Wir betrachten als einfaches Beispiel die

lineare Regression

mit "genauen"

x

-Werten (d.h. die Fehler

der

x

-Werte sind sehr viel kleiner als die der

y

-Werte). Die auszugleichende Funktion ist also:

y

c

c x

1

2

ú

Die Fehlergleichungen lauten:

c

c x

y

©

v

1

2

i

i

i

Zur Vereinfachung führt man Näherungswerte

c

0 ,

c

0 für die Konstanten ein, die z.B. durch grafi-

1

2

sche Ausgleichung oder, bei iterierter Anwendung der Ausgleichsrechnung, im vorangegangenen

Schritt berechnet worden sein könnten, und definiert neue Größen:

c

c

0

0

0

0

©

:

,

c

c

© :

,

y

c

c x

© :

l

1

1

1

2

2

2

i

1

2

i

i

Dies führt zu den sogenannten reduzierte Fehlergleichungen:

x

l

v

1

2

i

i

i

¤

ú

!

!

Man wendet hierauf das Prinzip der kleinsten Quadrate

vv

0 ,

vv

0 an. Nach einfa-

¡

¡

¢

¢

1

2

¢

£

¢

£

ú

ú

chen Umformungen folgen die Normalgleichungen:

v

x

l

0

¡

1

2

¡

2

¡

¤

vx

x

xx

xl

0

ú

ú

¡

¡

1

¡

2

¡

¤

ú

ú

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

12

---

Ausgleichsrechnung für die

Ausgleichsrechnung im engeren Sinn ­

Fundamentalkonstanten

Regressionsanalyse

Diese kann man nach den gesuchten Konstanten auflösen:

l xx

x xl

n xl

x l

3

0

0

!

!

!

!

!

!

!

c

c

,

3

c

c

(14)

1

1

1

2

2

2

n xx

x

2

n xx

x

2

!

!

!

!

Die Standardabweichungen der ausgeglichenen Konstanten erhält man durch Anwendung des Feh-

lerfortpflanzungsgesetzes auf Gl. (14) mit der Annahme

s

2

2

2

2

s

...

s

s

(alle Messungen gleich

l

l

l

l

1

2

n

genau):

xx

n

s

2

2

2

2

!

s

,

s

s

c

l

c

l

1

n xx

x

2

2

n xx

x

2

!

!

!

!

Zur Berechnung von

s

2 betrachtet man

l

die Abbildung. Der Erwartungswert von

l

muss gerade die Differenz von Aus-

gleichsgerade

und

Näherungsgerade

sein, so dass für Standardabweichung

offensichtlich gilt:

s

2

2

vv

6

4

s

4

5

y

l

n

u

7

(15)

Hierbei wurde mit

n u

eine BES-

SEL-Korrektur eingeführt, die Zahl der

Unbekannten ist in diesem Spezialfall

natürlich

u

2 .

Das hier vorgestellte Verfahren lässt

sich analog für den Spezialfall genauer

y

-Werte herleiten, durch Kombination

beider Verfahren kann man auch unge-

naue

x

-

und

y

-Werte

ausgleichen.

Ebenso stellt es keine Schwierigkeit dar,

die einzelnen Messwerte unterschiedlich zu gewichten. In diesem Fall muss einfach das Verallge-

meinerte Prinzip der kleinsten Quadrate

!

wvv

min. verwendet werden.

!

Die lineare Regression führt zu einer neuen Definition für den Korrelationskoeffizienten. Laut Gl.

n xy

x y

(14) ist die Steigung einer Regressionsgeraden mit genauen

x

-Werten gegeben durch

a

"

#

$

"

#

"

#

.

1

n xx

x

2

"

#

$

"

#

Durch Vertauschen von

x

und

y

erhält man die Steigung einer Geraden

x y

, also der Umkehrab-

%

&

n xy

x y

bildung bei genauen

y

-Werten

a

"

#

$

"

#

"

#

. Man definiert nun

2

n yy

y

2

"

#

$

"

#

n xy

x y

r

:

!

!

!

a a

(16)

1

2

8

n xx

x

2

n yy

y

2

!

!

!

!

8

Durch kurze Zwischenrechnung kann man zeigen, dass diese Definition identisch ist mit der früheren:

r

:

Kov

x, y

)

(

′

.

s s

x

y

0

Damit ist die oben gemachte Behauptung begründet. Liegen die (

x

,

y

) exakt auf einer Geraden, so ist

a

a

1

$

und somit

r

1 . Sind dagegen die (

x

,

y

) zufällig verteilt, so ist

a

0 ,

a

0 und somit

1

2

1

2

2

2

1

auch

r

0 .

2

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

13

---

Ausgleichsrechnung für die

Ausgleichsrechnung im engeren Sinn ­

Fundamentalkonstanten

Regressionsanalyse

Wir betrachten nun ein allgemeineres Beispiel: die

multivariate Regression in linearer Näherung

.

Hierbei wird ein beliebiger funktionaler Zusammenhang mit beliebig vielen Konstanten

c j

zugelas-

sen:

y

f c

,

c

, ... ,

x

,

x

, ... . Die Fehlergleichungen sind nun gegeben durch:

9

@

1

2

1

2

A

y

f

c

,

c

, ... ,

x

,

x

, ...

v

i

i

@

1

2

1

2

A

9

i

Y

Sie können also i.Allg auch nichtlinear sein. Um sie trotzdem mit dem gleichen Formalismus zu be-

handeln, werden sie linearisiert durch TAYLOR-Entwicklung in 1. Näherung nach den

Konstanten c j

um ihre Schätzwerte

c

0 :

j

u

d

e

f i

y

f

c

0,

x

,

x

, ...

c

c

0

i

i

j

1

i

2

i

a

b

c

j

j

a

C

`

`

B

e

j

g

h

1

c

0

j

c

c

X

f

j

X

j

j

Weiterhin definiert man

y

f

:

l

i

i

i

und setzt beides in die Fehlergleichungen ein, was zu den redu-

B

C

zierten Fehlergleichungen führt:

u

p

q

f

i

i

l

v

F

j

i

9

i

Y

q

j

c

1

j

X

r

f

Mit

T

,

l

l

l

T ,

v

v

v

T sowie

D

D

mit D

i

folgen die

E

9

I

9

E

F

F

9

E

9

E

D

D

1

u

1

n

1

n

ij

ij

9

Q

H

P

c

G

H

G

H

G

H

j

Q

Fehlergleichungen in Matrixform:

D

l

v

9

D

D

Y

Hierauf wendet man wie gewohnt das Prinzip der kleinsten Quadrate an:

i

s

!

vv

v

2

vT v

T DT D

T DT l lT D

l

T

l

min.

t

9

i

9

9

9

D

D

D

D

D

D

D

D

u

Y

Y

i

v

w

s

w

!

vv

0

...

2

DT D

2

DT l

0

t

9

x

@

A

x

9

D

D

Y

oder aufgelöst:

DT D

1

DT l

9

U

S

T

D

D

(17)

Bei der linearen Regression haben wir die Frage einfach übergangen, ob nach der Ausgleichsrech-

nung Kovarianzen

0 zwischen den Konstanten bestehen. Tatsächlich zeigt sich, dass Konstanten

R

nach der Ausgleichsrechnung korreliert sind. Statt also wie bei der linearen Regression nach der

Standardabweichungen für die Konstanten zu fragen überlegen wir uns hier gleich die Varianzmatrix:

1

Es war laut Gl. (17)

DT D

DT l

, also ist mit der gemachten Abkürzung

n

A

l

. Nun

9

S

T

U

D

D

F

i

9

W

j

1

ij

j

V

X

A

sei

F c

, ... ,

c

eine Funktion der ausgeglichenen Konstanten. Wir betrachten zunächst die TAYLOR-

@

1

u

A

Entwicklung in 1.Näherung der Funktion nach den Konstanten

c

0

i

um ihre Näherungswerte

c

:

i

u

u

n

q

q

i

F

i

F

i

F c

F c

0

F

A

l

@

i

A 9

@

i

A

F

u

i

9

0 u

ij

j

9

q

q

y

c

c

i

1

0

0

i

c

c

i

1

i

c

c j

1

X

X

X

i

X

i

i

X

i

F

0

n

u

q

i

i

F

F

A

l

9

0 u

ij

j

q

c

j

1

i

1

i

X

X

Wir haben also die Funktion nur noch in Abhängigkeit der

l j

ausgedrückt, wobei die Ableitungen

nach den

l j

bereits durch deren Vorfaktoren gegeben sind. Die Standardabweichung von

F

erhal-

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

14

---

Ausgleichsrechnung für die

Ausgleichsrechnung im engeren Sinn ­

Fundamentalkonstanten

Regressionsanalyse

ten wir aus dem GAUSS′schen Fehlerfortpflanzungsgesetz (da ja die

l j

unkorreliert sind). Die Stan-

vv

dardabweichungen der

l

2

j

lassen sich gemäß Gl. (15) durch

s

ausdrücken.

l

n

u

2

n

u

n

u

F

F

F

vv

s

2

A

s

2

A A

F

c

ij

l

kj

lj

j

c

c

n u

j

1

i

1

i

j

1

k,l

1

k

l

d

u

n

e

vv

F

F

A A

kj

lj

n u

c

c

k,l

1

j

1

d

f

k

l

g

V

kl

Wir haben also die Einträge V

kl

der Varianzmatrix gefunden. Setzt man die oben gemachte Abkür-

zung

A

DT D

1

DT

wieder ein, so folgt eine einfachere Darstellung:

n

n

vv

vv

vv

V

A A

V

A AT

h

V

A AT

kl

kj

lj

kl

kj

jl

n u

n u

n u

d

j

1

d

j

1

d

1

1

T

1

1 T

A AT

DT D

k

l

DT

k

DT D

DT

l

DT D

DT D

DT D

i

j

i

j

i

j

i

j

m

E

1

T

1

r

n

o

p

DT D

n

p

DT D

q

q

und somit:

vv

1

V

DT D

i

j

(18)

n u

d

Die Varianzmatrix ist i.Allg.

nicht

diagonal, d.h. ausgeglichene Konstanten sind

rein durch die Aus-
gleichung korreliert

!

Das beschriebene Ausgleichungsverfahren kann iteriert werden, falls die Standardabweichungen der

ausgeglichenen Größen die Erwartungen nicht erfüllen. Man verwendet die ausgeglichenen Werte als

neue Näherungswerte

c

0 .

j

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

15

---

Ausgleichsrechnung für die

Die Anpassung der fundamentalen

Fundamentalkonstanten

physikalischen Konstanten von 1986

7 Die Anpassung der fundamentalen physikalischen
Konstanten von 1986

Seit 1969 ist die CODATA (Committee on Data for Science and Technology) zuständig für die Pu-

blikation von Bestwerten für die Fundamentalkonstanten. Hier soll kurz die Vorgehensweise bei der

Anpassung von 1986 geschildert werden.

Die CODATA wählte gemessene Daten aus, d.h. veröffentlichte Werte mit Fehlerangaben. Sie ver-

einheitlichte die teils unterschiedlichen Fehlerangaben auf das Konzept der Standardabweichung.

Es folgte eine Einteilung der Daten in:

8

s

sehr genaue (relativer Fehler

2 10

) Daten, sogenannte Hilfskonstanten, deren Einbeziehung in

t

u

v

eine Ausgleichsrechnung keine Auswirkung auf die Genauigkeit des Ergebnisses hätte

s

weniger genaue Daten, die einer Ausgleichung unterzogen werden

Danach war es nötig, alle mathematischen Beziehungen zwischen den Konstanten zusammenzustel-

len, um diese einer Ausgleichsrechnung zu unterziehen. Die CODATA konnte die Beziehungen auf

12 unabhängige Gleichungen mit 5 Unbekannten reduzieren, die übrigen Gleichungen können aus

diesen 12 zusammengesetzt werden. Die 5 korrelierten Konstanten sind: die Feinstrukturkonstante

w

, der Umrechnungsfaktor vom alten SI-Ohm zum neuen Quanten-Hall-Effekt-Ohm

K

, der

x

Umrechnungsfaktor vom alten SI-Volt zum neuen Josephson-Volt

K V

, die Gitterkonstante des Si-

liziums in Richtung

220

d

y

z

220 , sowie das Verhältnis der magnetischen Momente von Müon und

Proton { | } {

p

.

Diese 12 Gleichungen mit 5 Unbekannten unterzog die CODATA einer Ausgleichsrechnung, von der

wir hier nicht gesagt haben, wie sie genau funktioniert. Das Prinzip ist dasselbe wie bei der Ausglei-

chung einer Gleichung mit beliebig vielen Unbekannten, die im vorigen Kapitel beschrieben ist, das

Verfahren ist natürlich aufwendiger. Entscheidend ist, dass auch hier die Konstanten durch die Aus-

gleichung korreliert sind, und man die Varianzmatrix, die in diesem Fall Rang 5 hat (5 unabhängige

Konstanten), angeben muss. Die erweiterte (d.h. es sind einige mehr als die 5 linear unabhängigen

Zeilen und Spalten dargestellt) Varianzmatrix aus der Veröffentlichung der Konstanten in Rev. Mod.

Phys. [3] ist am Ende dieses Kapitels abgedruckt. Dabei stehen in der rechten oberen Hälfte die rela-

Kov

c c

tiven Kovarianzen (d.h.

i,

j

9 2

) in der Einheit

10 , die natürlich auf der Hauptdiagonalen den

~

c c

v

i

j

Quadraten der relativen Fehler entsprechen, in der linken unteren Hälfte stehen die Korrelationsko-

effizienten. Anstatt der wenig relevanten Gitterkonstante

d

220 ist die direkt mit ihr verknüpfte AVO-

GADRO-Zahl

N A

aufgeführt.

Wie gesagt sind nur fünf Zeilen und Spalten der Matrix linear unabhängig. Die anderen kann man mit

einer Verallgemeinerung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes aus diesen berechnen. Wir schreiben Gl.

(4) nochmals auf, nennen die Variablen nun

ci

, da es die fundamentalen Konstanten sein sollen:

n

2

f

f

(19)

s

V

f

c

c

ij

i,j

1

i

j

Wir nennen

f

ab jetzt

ck

, da es darum geht, die Varianz weiterer Naturkonstanten als Funktion der

5 korrelierten zu berechnen, also wird

s

2 zu V

f

kk

. Damit wird aus Gl. (19):

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

16

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Ausgleichsrechnung für die

Die Anpassung der fundamentalen

Fundamentalkonstanten

physikalischen Konstanten von 1986

n

c

c

V

k

k

V

kk

ij

c

c

i,j

1

i

j

Ohne dies streng zu beweisen, können wir nun die Verallgemeinerung dieser Gleichung raten, indem

wir statt zwei gleichen Indizes zwei verschiedene wählen. Dann folgt:

n

c

c

k

l

(20)

V

V

kl

ij

c

c

i,j

1

i

j

Diese Gleichung erlaubt es nun, die Varianzmatrix mit Hilfe der entsprechenden Beziehungen zwi-

schen den Naturkonstanten zu erweitern.

1

e

h

m

^

F

K

K

d

V

e

N

p

A

220

1

1997

-1062

925

3267

-3059

-4121

-127

127

-2932

K V

-0,080

87988

90

-1737

89050

177038

174914 -174914

-85864

K

0,416

0,006

2477

1513

-835

-744

1105

-1105

-1939

p

0,498

-0,040

0,207

21523

-5004

-6742

-208

208

-4796

e

-0,226

0,989

-0,055

-0,112

92109

181159

175042 -175042

-85933

h

-0,154

0,997

-0,025

-0,077

-0,997

358197

349956 -349956 -174660

me

-0,005

0,997

0,038

-0,002

0,975

0,989

349702

-349702 -174660

N A

0,005

-0,997

-0,038

0,002

-0,975

-0,989

-1,000

349702

174660

F

-0,217

-0,956

-0,129

-0,108

-0,902

-0,931

-0,975

0,975

91727

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

17

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Ausgleichsrechnung für die

Die Anpassung der fundamentalen

Fundamentalkonstanten

physikalischen Konstanten von 1986

Literatur:

Hauptsächlich verwendete Literatur:

[1]

Gränicher H.: Messung beendet ­ was nun? vdf Verlag, Zürich / Teubner Verlag, Stuttgart,

1986²

[2]

Reißmann G.: Die Ausgleichsrechnung, VEB Verlag für Bauwesen, Berlin 1968

[3]

Cohen E.R., Taylor B.N.: The 1986 Adjustment Of The Fundamental Constants, Rev. Mod.

Phys. Vol. 59, 1987, S. 1121

Ergänzungen, Nachschlagewerke:

[4]

Birge R.T.: The Calculation Of Errors By The Method Of Least Squares, Phys. Rev. Vol. 40,

1932, S. 207

[5]

Sachs L.: Angewandte Statistik, Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York, 19785

[6]

Fisz M.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, VEB Deutscher Verlag

der Wissenschaften, Berlin, 1970

Hauptseminar Experimentalphysik ­ WS 2000/01

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