Spezialgebiet Mathematik

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Die Zahl

e

Die Zahl e

2,7182818284

2,7182818284

Spezialgebiet für

Mathematik

von Bettina Schinninger

Bettina Schinninger

2001/2002

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Spezialgebiet Mathematik

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Die Zahl

e

Inhalt:

1. Was für eine Zahl ist

e

2. Grenzwert

3. Funktionen mit

e

e

x

e

(

e

x +

e

- x)/2

e

i * x

e

x + i * y

4. Wachstums- und Zerfallsprozesse

5. Quellen

Bettina Schinninger

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e

Was für eine Zahl ist e

Die Geschichte von

e

umfasst nur etwa vier Jahrhunderte. Die historischen Wurzeln von

e

sind nicht klar umrissen. Sie scheinen ins sechzehnte Jahrhundert zurückzugehen, als

man zum ersten Mal bemerkte, dass der in der Formeln für den Zinseszins auftretende

Ausdruck (1 + 1/n)n mit wachsendem n gegen einen gewissen Grenzwert strebt, der bei

ungefähr 2,7128 liegt. Damit ist

e

die erste Zahl, die durch einen Grenzwertprozess

definiert worden ist:

e

= lim (1+ 1/n)n für n . Einige Zeit hindurch wurde die neue

Zahl als eine Art Kuriosität angesehen. Dann aber brachte die Erfolgreiche Quadratur

der Hyperbel die Logarithmusfunktion und die Zahl

e

an die vorderste Front der

Mathematik. Der entscheidende Schritt kam mit der Erfindung der Infinitesimalrechung,

als sich herausstellt, dass die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion mit ihrer

eigenen Ableitung übereinstimmt. Um 1750 ließ Euler für die Variable x sogar

komplexe Werte zu und ebnete damit den Weg zur Theorie der Funktionen einer

komplexen Variable mit ihren bemerkenswerten Eigenschaften. Doch was für eine Zahl

ist e eigentlich? Eine irrationale, transzendente Zahl!

Ich möchte nun kurz beschreiben wie die Mathematiker nach und nach zu dieser

Erkenntnis kamen.

Die Griechen glaubten alles durch rationale Zahlen, also durch Brüche, ausdrücken zu

können. Eine Eigenschaft, durch die sich die rationalen Zahlen von den ganzen Zahlen

unterscheiden, ist, dass sie eine

dichte

Zahlenmenge bilden. Das bedeutet, dass sich

zwischen zwei beliebig nahe nebeneinander liegende Brüche stets ein weitere Bruch

schieben lässt. Eines der folgenschwersten Ereignisse in der Geschichte der Mathematik

war die Entdeckung, dass die rationalen Zahlen trotz ihrer Dichte ,,Löcher" auf der

Zahlengerade lassen - Punkte denen keine rationale Zahl zugeordnet ist. Die Entdeckung

der Löcher hat mit der Diagonale eines Einheitsquadrates zu tun. Bezeichnet man die

Länge der Diagonale mit x, dann gilt nach dem Satz von Pythagoreas x2 = 12+ 12, so dass

x = 2 ist. Man versuchte diese Zahl durch eine Bruch darzustellen, doch es gelang

nicht. Die irrationalen Zahlen waren entdeckt.

Vereinigt man die Menge der rationalen Zahlen mit derjenigen der irrationalen Zahlen,

dann erhält man die umfassendere Menge der reellen Zahlen. Eine reelle Zahl ist eine

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e

Zahl, die sich als Dezimalbruch schreiben lässt. Er gibt drei Arten von Dezimalbrüchen:

abbrechende, wie 1,4; nichtabbrechende und periodische, wie 0,272727... (0,27) und

nichtabrechende nichtperiodische, wie 0,1010010001... Die ersten beiden Arten stellen

stets rationale Zahlen, die Dezimalbrüche der dritten Art immer irrationale Zahlen dar.

Weiters kann eine Einteilung der Zahlen in algebraisch und transzendent erfolgen. Eine

reelle Zahl, die Lösung einer Polynominalgleichung mit ganzzahleigen Koeffizienten ist

wird algebraisch genannt. Zum Beispiel sind die Zahlen -1, 2/3 und 2 Lösungen der

Polynominalgleichungen x + 1 = 0, 3x - 2 = 0 beziehungsweise x2 + 1 = 0.

Eine reelle Zahl, die nicht algebraisch ist, wird transzendent genannt (lateinisch

tranzscendere = überschreiten). Diese Art von Zahlen wurde 1850 entdeckt.

Grenzwert

Das sonderbare Verhalten des Ausdrucks (1+1/n)n für große Werte von n muss zunächst

wirklich rätselhaft erscheinen. Betrachten wir einmal nur den in den Klammern

stehenden Ausdruck 1+1/n. Mit wachsendem n nähert sich 1/n der 0 und damit nähert

sich 1+1/n der 1, bleibt dabei immer größer als 1. Man könnte also der Versuchung

erliegen und schlussfolgern, dass für ,,wirklich große" n (was auch immer ,,wirklich

groß" bedeutet) der Ausdruck (1+1/n) durch 1 ersetzt werden kann. Nun ist aber jede

Potenz von 1 immer gleich 1 und so hat es den Anschein, dass sich (1+1/n)n für große n

der Zahl 1 nähert. Wäre das wirklich der Fall, dann bräuchten wir hierüber keine

weiteren Worte mehr zu verlieren.

Geht man etwas anders an die Sache heran und bildet höhere Potenzen einer Zahl, die

größer als 1 ist, so erhält man bekanntlich immer größere Zahlen. Da aber 1+1/n stets

größer als 1 ist, könnte man den Schluss ziehen, dass (1+1/n)n mit wachsendem n

ebenfalls unbeschränkt wächst, dass heißt gegen unendlich strebt. Damit wäre man

wieder am Ende der Geschichte.

Das Bedenkliche dieser Schlussfolgerungen erkennt man bereits an der Tatsache, dass -

in Abhängigkeit von der Herangehensweise - zwei verschiedene Ergebnisse

herausgekommen sind: 1 im ersten Fall und Unendlich im zweiten. In der Mathematik

muss das Endergebnis einer gültigen numerischen Operation immer ein und dasselbe

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sein, unabhängig davon, wie man zu diesem Ergebnis gekommen ist. Warum also sind

dann für (1+1/n)n zwei verschiedene Ergebnisse herausgekommen?

Die Antwort auf diese Frage verbirgt sich hinter dem Wort gültig. Als Beispiel einer

ungültigen Operation: 9+16 = 3+4 = 7. Der Grund für diesen Fehler liegt darin, dass

das Ziehen der Quadratwurzel keine distributive Operation bezüglich der Addition ist.

Unser Umgang mit dem Ausdruck (1+1/n)n beruhte gleichfalls auf ungültigen

Operationen, da wir einen der grundlegendsten Begriffe der mathematischen Analysis,

den Begriff des Grenzwertes fehlerhaft behandelten.

Mit der Redeweise, dass eine Zahlenfolge a1, a2, a3, , an,...für n gegen unendlich gegen

einen Grenzwert L strebt, meint man, dass die Glieder der Folge mit wachsendem n der

Zahl L immer näher kommt. Mit anderen Worten: Der absolute Betrag der Differenz von

an und L kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir nur in unserer Folge hinreichend

weit nach ,,draußen" gehen - dass heißt, wenn wir n hinreichend groß wählen. Man

betrachte zum Beispiel die Folge 1, 1/2, 1/3, 1/4,..., deren allgemeines Glied an = 1/n ist.

Mit wachsendem n geht dieser Ausdruck gegen 0. Das bedeutet, dass die Differenz

zwischen 1/n und dem Grenzwert 0 (diese Differenz beträgt gerade 1/n) beliebig klein

gemacht werden kann, wenn nur n groß genug gewählt wird. Wenn etwa 1/n kleiner als

1/1000 gemacht werden soll, dann muss einfach nur n größer als 1000 gewählt werden.

Man sagt, dass 1/n gegen 0 strebt, falls n über alle Schranken wächst und schreibt 1/n

0 für n . Hierfür wird auch die abgekürzte Schreibweise

lim 1/n = 0

n

verwendet.

Der Ausdruck limn 1/n = 0 besagt nur, dass der Grenzwert von 1/n für n gleich 0

ist. Das bedeutet nicht, dass 1/n selbst jemals gleich 0 ist. Genau hierin liegt das Wesen

der Grenzwertebegriffes: Eine Zahlenfolge kann einem Grenzwert beliebig nahe

kommen, ohne ihn jemals wirklich zu erreichen.

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e

n (1+1/n)n

n (1+1/n)n

1

2

10 2,59374246

2

2,25

100 2,70481383

3 2,37037037

1000 2,71692393

4 2,44140625

10000 2,71814593

5

2,48832

100000 2,71826824

50 2,69158803

1000000 2,71828047

In dieser Tabelle kann man sehen, dass sich der Ausdruck (1+1/n)n für sehr große Werte

von n dem Grenzwert 2,71828 zu nähern scheint. Um aber diesen Grenzwert exakt zu

bestimmen - oder erst einmal zu beweisen, dass er überhaupt existiert - müssen wir zu

anderen Methoden greifen, als lediglich individuelle Werte auszurechnen. Eine solche

Methode stützt sich auf die binomische Formel.

(a+b)0 =

1

(a+b)1 =

a+b

(a+b)2 =

a2+2ab+b2

(a+b)3 =

a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Die Koeffizienten der einzelnen Summanden heißen Binominalkoeffizienten. Man kann

sie in einem dreieckigen Schema anordnen.

Pascalsches Dreieck.

Die Verwendung des Pascalschen Dreiecks zum Auffinden der Binominalkoeffizienten

hat einen Nachteil: Um die uns interessierende Zeile zu erhalten, müssen wir alle darüber

liegenden Zeilen berechnen. Es gibt aber eine vom Pascalschen Dreieck unabhängige

Formel, mit deren Hilfe diese Koeffizienten ausgerechnet werden können. Bezeichnet

man den Koeffizienten des Summanden an-kbk Cnk , dann gilt

n!

Cnk = ---------------

k!(n

-

k)!

Das Symbol n! steht für das Produkt 1*2*3*...xn.

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Die Zahl

e

Wenn man nun die binomische Formel auf den Ausdruck (1+1/n)n anwendet und für a

=1 und b = 1/n annimmt erhält man so:

Hieraus ergibt sich nach leichter Umformung

Da wir den Grenzwert von (1+1/n)n für n suchen, müssen wir n über alle Schranken

wachsen lassen. Unsere Entwicklung umfasst dann immer mehr Summanden.

Gleichzeitig streben die Ausdrücke innerhalb eines jeden Paares von Klammern gegen 1,

dann die Grenzwerte von 1/n, 2/n, ... für n sind alle gleich 0. Somit ergibt sich

Bezeichnet man lim (1+1/n)n mit

e

, dann ergibt sich also

Funktionen mit e

e

x : Die Funktion die ihre eigene Ableitung ist

8

,,Die natürliche Exponentialfunktion ist mit ih

7

rer eigenen Ableitung identisch. Dies ist

die eigentliche Quelle aller Eigenschaften der Exponentialfunktion und die wahre

6

Ursache ihrer Bedeutung für die Anwendung." (Richard Courant und Herbert Robbins,

5

1962)

Wird die Zahl 4

e

als Basis gewählt, dann stimmt die Exponentialfunktion mit ihrer

eigenen Ableitung überein. Die Funktion

3

e

x stimmt aber nicht nur mit ihrer eigenen

Ableitung überein, sonder ist auch die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft. Anders

2

6

ausgedrückt: Löst maen die Gleichung dy/dx = y

x

e-x

nach der Funktion y auf , dann ergibt

sich y= C

e

x mit einer beliebigen Konstanten C.

1

Diese Lösung stellt eine Familie von

4

Exponentialkurven dar, von de

0

nen jede einem anderen Wert von C entspricht.

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

2

Bettina Schinninger

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0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

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Die Zahl

e

Es gib noch einen weiteren Aspekt der Exponentialfunktion. Die meisten Funktionen

y = f(x) besitzen, falls sie in einem geeigneten Bereich definiert werden, eine inverse

Funktion. Es lässt sich also nicht nur jedem Wert von x im Definitionsbereich ein

eindeutiger Wert von y zuordnen, sondern man kann auch zu jedem zulässigen y ein

eindeutig bestimmtes y finden. Die Vorschrift definiert die zu f(x) inverse Funktion, die

mit f -1 (x) bezeichnet wird. Zum Beispiel ordnet die Funktion y = f(x) = x2 jeder reellen

Zahl y ein eindeutiges y > 0 zu: das Quadrat von x. Schränkt man den Definitionsbereich

von f(x) auf positive Zahlen ein, dann lässt sich dieser Prozess umkehren und man kann

jedem y > 0 ein eindeutige bestimmtes x zuordnen, nämlich die Quadratwurzel x = y

von y. Die Bilder der Kurven f(x) und f-1(x) liegen in Bezug auf die Gerade y = x

spiegelbildlich zueinander.

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Die Zahl

e

Auch die Gleichungen y = ex und y = ln y stellen zueinander inverse Funktionen dar.

(

e

x +

e

-x)/2: Die hängende Kette

Des wegen bin ich das angegangen, was ich bislang noch nicht versucht hatte [das

Problem der Kettenlinie] und mit meinem Schlüssel [der Differentialrechnung] habe ich

ihr Geheimnis glücklich geöffnet. (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1690)

Bereits Galilei interessierte die Funktion einer Kurve, die von einer an zwei festen

Punkten frei hängenden Kette angenommen wird. Er dachte, dass die gesuchte Kurve

eine Parabel sei. Eine Kettenlinie sieht auf den ersten Blick tatsächlich wie eine Parabel

aus. Christiaan Huygens (1629-1695), der überaus produktive holländische

Wissenschaftler hatte jedoch bewiesen, dass sie keine Parabel sein kann.

Im Juni 1691 wurden die drei richtigen Lösungen veröffentlicht. Sie stammten von

Huygens, Leibniz und Johann Bernoulli. Jeder hatte das Problem auf seine Weise

attackiert, aber alle drei kamen zu demselben Ergebnis.

Die Kettenlinie erwies sich als eine Kurve, deren Gleichung sich in moderner

Schreibweise durch y = (eax + e-ax)/2a

wiedergeben lässt, wobei a eine Konstante

ist, deren Wert von den physikalischen

Parametern der Kette abhängt.

In unserem Jahrhundert ist die Kettenline in

einem der großartigsten architektonischen

Monumente, dem Gateway Arch in St. Louis,

Missouri, verewigt worden.

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Die Zahl

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Fasst man die Gleichungen y = (ex + e-x)/2 und y = (ex - e-x)/2 als Funktionen von x auf,

dann stellt sich heraus, dass sie den von der Trigonometrie her bekannten

Kreisfunktionen cos x und sin x verblüffend ähnlich sind. Der italienische Jesuit

Vincenzo Riccati (1757-1775) war der Erste, dem diese Ähnlichkeit auffiel.

Spira Miralis

Wachstums- und Zerfallsprozesse

Die Eulersche Zahl, liegt vielen Wachstumsprozessen in der Natur zugrunde, deshalb

wird sie auch »Basis des natürlichen Logarithmus« genannt. Wenn eine

Bakterienkolonie sich vermehrt, wächst sie gemäß e, und auch die Geschwindigkeit, mit

der Bäume Biomasse zulegen, lässt sich auf der Basis von e berechnen. Wo immer etwas

lebt, ist e im Spiel.

Sogar der radioaktive Zerfall folgt der Logik dieser Zahl. ,,Wer hat, dem wird gegeben",

so könnte die Botschaft der Zahl e heißen, denn sie bedeutet, dass ein um das Doppelte

gewachsener Organismus auch doppelt so schnell weiterwuchert. Und dreifache Größe

bedeutet dreifaches Wachstum und so weiter. So wie Computer mit der Leibnizschen

Basis von Zwei laufen, so läuft die Zellteilung gemäß der Eulerschen Basis von 2,718...

Das lässt sich auch auf den Geldmarkt übertragen: Mit e können wir berechnen, wie ein

Vermögen wächst, wenn die Zinsen der Zinseszinsen verzinst werden. Hat sich das

Vermögen verdoppelt, wächst es bei gleicher Verzinsung auch doppelt so schnell weiter.

Dazu möchte ich nun einige Beispiele anführen:

Zinseszinsen:

Im Mittelpunkt aller Finanzangelegenheiten steht der Begriff des Zinses. Im

Bankgewerbe findet man alle möglichen Arten von Zinseszinsformen - jährliche,

halbjährliche, vierteljährliche, wöchentliche und sogar tägliche. Angenommen, der

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Die Zahl

e

Zinseszins wird n mal pro Jahr berechnet. Für jeden Konvertierungszeitraum verwendet

die Bank die durch n geteilte jährliche Zinsrate, das heißt r/n. Da es in t Jahren n*t

Konvertierungszeiträume gibt, erzielt das Kapital P nach t Jahren den Betrag

S = P(1+r/n)n*t

Nimmt man etwa als Beispiel P = 100 Euro und r = 5 Prozent = 0,05 kann man die

Beträge für die verschiedenen Konvertierungszeiträume vergleichen.

Konvertierungszeitraum n

r/n

Jährlich

1

0,05 105

Halbjährlich

2

0,025 105,06

Vierteljährlich

4

0,0125 105,09

Monatlich

12

0,004166667

105,12

Wöchentlich

52

0,000961538

105,12

Täglich

365

0,000136986

105,13

Ein Spezialfall dieser Gleichung tritt dann auf wenn r = 1 ist. Die Gleichung wird dann

zu

S

=

P(1+1/n)n

Ihr Grenzwert ist wiederum 2,71828... Man weiß nicht genau, wer das seltsame

Verhalten des Ausdrucks (1+1/n)n für n gegen Unendlich als Erster bemerkt hat.

Radioaktivenzerfall:

Die Atomkerne einiger Elemente wie Uran, Radium, Plutonium usw. Sind instabil, dass

heißt, sie zerfallen spontan. Die Zeit , in der von einer vorhandenen Stoffmenge die

Hälfte zerfällt, heißt Halbwertszeit. Sie liegt zwischen Bruchteilen einer Sekunde (z.B.

3x10-7 sec beim Poloniumisotop 212) und etlichen Milliarden Jahren (z.B. 4,5x109 Jahre

beim Uran 238). Obwohl für keinen einzigen instabilen Atomkern der Zeitpunkt seines

Zerfalls vorausgesagt werden kann, gilt für eine genügend große Anzahl solcher Kerne

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Die Zahl

e

ein exponentielles Zerfallsgesetz, das sich von den Wachstumsgesetzen durch das

Vorzeichen des Exponenten unterscheiden (,,Minuswachstum"):

Nt die Anzahl der zum Zeitpunkt t noch vorhandenen Kerne des Elements,

N0 die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Kerne und

die Zerfallskonstante

Nt = N0

e

- t

a) Drücke die Halbwertszeit durch aus

N = N0

e

-

e

- = 0,5

| ln

N = N0 x

0,5

-

*ln e = ln 0,5 | (ln e = 1)

- = -0,693..

= 0,693/

b) Berechne für das Poloniumisotop 212

= 0,693/ = 0,693/(3*10-7) = 2*106, dass heißt pro Sekunde finden durchschnittlich

2*106 Zerfälle statt.

c) Berechne nach welcher Zeit t nur noch 10% der ursprünglichen Masse vorhanden ist.

Nt = 10% * N0 = 0,1 * N0

Nt = N0*

e

- t = N0 * 0,1

- t = ln 0,1

-ln 0,1

t

=

----------

Antwort: Nach 1,5 * 1010 Jahre.

Quellen

,,Die Zahl e - Geschichte und Geschichten" von Eli Maor

Internet

Lehrbuch der Mathematik 6

Bettina Schinninger

2001/2002

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