DIPLOMARBEIT

Titel der Diplomarbeit
"Das Tabellenkalkulationsprogramm MS-EXCEL im
Mathematikunterricht der Oberstufe: Anwendungsorientierte
Beispiele, Möglichkeiten, Grenzen und Analysen"

angestrebter akademischer Grad
Magister der Naturwissenschaften (Mag. rer. nat.)

Verfasser:
Dipl. Ing. MAS Philipp John

Studienrichtung
(lt. Studienblatt):
Lehramt Mathematik
Wien, im November 2007

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1
2 Computerunterstützer Mathematikunterricht 4
2.1 Entwicklung von Rechenhilfen 4
2.2 Anwendersoftware 6
2.3 Positive Aspekte des Einsatzes von Computern im Mathematikunterricht 8
2.4 Potentielle Probleme und Gefahren eines computerunterstützten Mathematikunterrichts 10
3 EXCEL im Mathematikunterricht 16
3.1 Was ist EXCEL? 16
3.2 Was spricht für den Einsatz von EXCEL? 17
3.3 Wie kann EXCEL im Mathematikunterricht eingesetzt werden? 19
3.4 Probleme mit EXCEL 21
3.5 Allgemeine didaktische Anmerkungen zu den gestellten Aufgaben mit EXCEL 22
4 Aufgaben zum graphischen Lösen 26
4.1 Ortsbestimmung 27
4.2 Wurfweite am schrägen Hang 30
4.3 Lage von Ellipsen 33
4.4 Hyperbeln beim Doppelspalt 36
4.5 Flächeninhaltsbestimmung 39
5 Aufgaben zur numerischen Gleichungslösung 46
5.1 Veranschaulichung des Newtonverfahrens 47
5.2 "Die Katze, die sich in den Schwanz beißt" 49
5.3 Grenzwert des Newtonverfahrens 50
5.4 Verschiedene Lösungsmethoden 53
5.5 Wien′sches Verschiebungsgesetz 58
6 Aufgaben zur numerischen Integration 62
6.1 Rechtecksummen links und rechts 63
6.2 Mittelpunkt-, Trapez-, Simpsonregel 66
6.3 Volumen eines geraden Kreiskegels 70
6.4 Ein berühmtes Integral 74

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6.5 Umfang einer Ellipse 78
7 Aufgaben zur Datenanpassung 81
7.1 Lineare Regression 82
7.2 Barometrische Höhenformel 86
7.3 Quadratische Regression 89
7.4 Federpendel 96
7.5 Digitaler Zoom 98
8 Aufgaben zu Differentialgleichungen 104
8.1 Kepler′sche Gesetze 105
8.2 Ballistischer Wurf 108
8.3 Fadenpendel 112
8.4 Radionuklidproduktion 115
8.5 Kettenlinie 119
9 Aufgaben zur Optimierung 123
9.1 Potentielle Energie 124
9.2 Großkreis 126
9.3 Umkreis von Dreieck 129
9.4 Maximaler Flächeninhalt 131
9.5 Windschiefe Geraden 134
10 Schlusswort 138
A Ergänzende Bemerkungen 140
A.1 Hyperbelgleichung 140
A.2 Wurfweite 141
A.3 Newtonverfahren ohne Ende 142
A.4 Reihenentwicklung für Ellipsenumfang 143
A.5 Minimale Normalabstandsquadratesumme 145
A.6 Gleichungssystem zur quadratischen Regression 147
A.7 Bewegungsgleichung bei Wind 148
A.8 Erzeugung von radioaktivem Material 149
A.8.1 Radionuklidgenerator 149
A.8.2 Aktivierung durch Teilchenbeschuss 149
A.9 Gleichung für die Kettenlinie 150
A.10 Beispiel zur Definition einer Funktion 153
B EXCEL-Funktionen 155

Kapitel 1

Einleitung

In der vorliegenden Arbeit sollen anhand zum Großteil anwendungsorientierter Beispiele die Möglichkeiten des Einsatzes des Tabellenkalkulationsprogramms Microsoft EXCELT (MS-EXCELTM im weiteren kurz EXCEL genannt) im Mathematikunterricht der Oberstufe einer allgemeinbildenden höheren Schule1 aufgezeigt werden. Dies ist ganz im Sinne einer der didaktischen Grundsätze, die in den Bildungszielen des Mathematikunterrichtes2

erwähnt sind, verstanden:

"Mathematiknahe Technologien wie Computeralgebra-Systeme, dynamische Geometriesoftware oder Tabellenkalkulationsprogramme sind im heutigen Mathematikunterricht unverzichtbar. Sachgerechtes und sinnvolles Nutzen der Programme durch geplantes Vorgehen ist sicherzustellen. Die minimale Realisierung besteht im Kennen lernen derartiger Technologien, das über exemplarische Einblicke hinausgeht und zumindest gelegentlich eine wesentliche Rolle beim Erarbeiten und Anwenden von Inhalten spielt. Bei der maximalen Realisierung ist der sinnvolle Einsatz derartiger Technologien ein ständiger und integraler Bestandteil des Unterrichts."

Die von mir zusammengestellten Aufgaben lassen sich in sechs Themenkreise einteilen:

- graphisches Lösen

- numerisches Lösen von Gleichungen

- numerisches Integrieren

- Datenanpassung

- Differentialgleichungen

- Optimierung

^{1 Sollte im Folgenden von Schule die Rede sein, dann ist stets eine allgemeinbildende höhere Schule gemeint.
2 Abrufbar z. B. unter: http//:archiv.bmbwk.gv.at/medienpool/11859/lp neu ahs 07.pdf (29.6.2007).}

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Wie man bereits aus der Aufstellung ersehen kann, sind die Aufgaben für die 12. Schulstufe (in manchen Fällen bereits die 11.) gedacht. Die Auswahl der einzelnen Aufgaben erfolgte im Hinblick auf einen möglichen fächerübergreifenden Unterricht mit Physik3. Art und Umfang der Aufgaben sind so gestaltet, dass sie im Rahmen kleiner Projekte seitens der Sch´üler4 bearbeitet werden können. Dabei sollen die Schüler in Gruppen von ca. vier Personen die Aufgaben in ein bis zwei Wochen (je nach Schwierigkeitsgrad der Aufgaben) außerhalb der Unterrichtszeit behandeln und die Ergebnisse entweder dem Lehrer abgeben oder der restlichen Klasse präsentieren.
Vorab sei klargestellt, dass diese Arbeit keinen Leitfaden zur Handhabung von EXCEL darstellt. Im Gegenteil, in dieser Arbeit wird davon ausgegangen, dass die Schüler zumindest in der Schule einen eigenen Zugang zu einem Computer haben, auf dem EXCEL installiert ist und dass sie mit EXCEL so weit vertraut sind, dass sie in der Lage sind, die Aufgabenteile, die mit EXCEL zu behandeln sind, auch durchführen können. Aufgabenteile, bei denen Schüler bei der Umsetzung in EXCEL auf Schwierigkeiten stoßen könnten, habe ich mit ausführlichen Anleitungen versehen.
Zu Beginn dieser Arbeit steht ein kurzer Einblick in die Entwicklung von Rechenhilfen und mathematischen Anwenderprogrammen, insbesondere solcher, die im Schulunterricht zum Einsatz kamen und kommen, gefolgt von Überlegungen, die positive und negative Aspekte eines Computereinsatzes im Mathematikunterricht aufzeigen sollen.5 Im Anschluss daran stehen Reflexionen über den Einsatz von EXCEL im Mathematikunterricht. Für die Leser, die mit EXCEL nicht vertraut sind, habe ich eine kurze Beschreibung von EXCEL im Kapitel 3.1 (Seite 16) in diese Arbeit einfließen lassen. Weiters sind die EXCEL-Befehle, die ich explizit in dieser Arbeit erwähne und in Großbuchstaben6 geschrieben habe, im Anhang B (Seite 155) kurz erläutert. Mit potentiellen Anworten, zu den in den Abschnitten 3.2 und 3.3 gestellten Fragen Was spricht für den Einsatz von "
EXCEL?" und Wie kann EXCEL im Mathematikunterricht eingesetzt werden? sei keine Lanze für dieses Programm gebrochen, sondern bloß auf das in ihm steckende Potential hingewiesen. Im anschließenden Abschnitt 3.4 widme ich mich in aller Kürze Problemen, die mir aus meinem jahrelangen Umgang mit EXCEL bekannt sind. Es folgen in 3.5 allgemeine didaktische Anmerkungen zu den Aufgaben, die es mit EXCEL zu lösen gilt.
Diese Anmerkungen beziehen sich auf den Großteil der im weiteren vorgestellten Aufgaben. Weitere didaktische Kommentare sind im Anschluss an die jeweiligen Aufgaben zu finden.
Allen didaktischen Kommentaren möchte ich an dieser Stelle ein Zitat von Kalil Gibran [6] voranstellen, in dem aus meiner Sicht alles Wesentliche gesagt und dem eigentlich nichts hinzuzufügen ist:

^{3 Der Leser geht richtig in der Annahme, dass Physik mein Zweitfach ist.
4 Wenn ich in dieser Arbeit ausschließlich die männliche Form verwende, so zum Zweck der einfacheren und flüssigeren Lesbarkeit des Textes. Schüler", Lehrer", ... sind stets berufsbezeichnend" gemeint, nicht geschlechtstypisch.
5 In diesem Zusammenhang erhebe ich keinerlei Anspruch auf eine vollständige Ausschöpfung dieses Themenkreises. Ich erachte mich in dieser Frage auch keineswegs kompetent und werde in den entsprechenden Kapiteln aus der Literatur zitieren und auf diese verweisen.
6 EXCEL nimmt keine Rücksicht auf die Groß- und Kleinschreibung von Befehlen, d. h. der Befehl SIN zur Berechnung eines Sinuswertes wird genauso akzeptiert wie z. B.: sIn.}

3 Vom Lehren

Dann sagte ein Lehrer: Sprich uns vom Lehren. Und er sagte: Niemand kann euch etwas eröffnen, das nicht schon im Dämmern eures Wissens schlummert. Der Lehrer, der zwischen seinen Jüngern im Schatten des Tempels umhergeht, gibt nicht von seiner Weisheit, sondern eher von seinem Glauben und seiner Liebe.

Wenn er wirklich weise ist, fordert er euch nicht auf, ins Haus seiner Weisheit einzutreten, sondern führt euch an die Schwelle eures eigenen Geistes.

Der Astronom kann euch von seinem Verständnis des Weltraums reden, aber er kann euch nicht sein Verständnis geben.

Der Musiker kann euch vom Rhythmus singen, der im Weltraum ist, aber erkann euch weder das Ohr geben, das den Rhythmus festhält, noch die Stimme, die ihn wiedergibt.

Und wer der Wissenschaft der Zahlen kundig ist, kann vom Reich der Gewichte und Maße berichten, aber er kann euch nicht dorthin führen.

Denn die Einsicht eines Menschen verleiht ihre Flügel keinem anderen.

Und wie jeder von euch allein in Gottes Wissen steht, so muss jeder von euch allein in seinem Wissen von Gott und seinem Verständnis der Erde sein.

Als Kernstück dieser Arbeit folgen die Angabetexte zu den einzelnen Aufgaben mit ausgewählten Lösungen und Erläuterungen. Ergänzende Berechnungen und Ableitungen sind im Anhang A zu finden.

Ich hoffe mit dieser Arbeit einen Einblick in die Anwendungsmöglichkeiten von EXCEL im Mathematikunterricht der Schule geben zu können, so dass der Einsatz dieses Hilfsmittels" nach dem Studium der kommenden Seiten möglich und erstrebenswert erscheint.

Ich möchte an dieser Stelle erwähnen, dass mir die Arbeit mit EXCEL (im außerschulischen Bereich) in den letzten 10 Jahren stets sehr viel Freude bereitet hat, und dass ich nach wie vor immer wieder neue Facetten und Möglichkeiten von EXCEL entdecke, die ich gewinnbringend einsetzen kann.

... in diesem Sinne: Viel Spaß!

Kapitel 2

Computerunterstützer Mathematikunterricht

In diesem Abschnitt möchte ich, nach einem kurzen historischen Abriss über die Entwicklung von Rechenhilfen und Anwenderprogrammen für Computer, auf Argumente für und wider den Einsatz des Computers im Mathematikunterricht eingehen. Auch wenn es heute kaum Stimmen gibt, die den Computer als didaktisches und methodisches Hilfsmittel im Mathematikunterricht aus den Klassenzimmern vollends verbannt sehen möchten, gibt es Bedenken, denen man besondere Aufmerksamkeit schenken sollte, wenn der Computer tatsächlich für die Schüler gewinnbringend zum Einsatz kommen soll.

2.1 Entwicklung von Rechenhilfen

Der Wunsch und das Bemühen des Menschen, Hilfsmittel zum Rechnen und Zählen zu entwickeln, lässt sich in der Geschichte weit zurückverfolgen. So kam das Rechenbrett Suan Pan in China und der Abakus in Babylonien um ca. 2500 v. Chr., der Rechentisch in Ägypten ca. 1700 v. Chr., der Rechentisch in Griechenland ca. 300 v. Chr. und der Abakus bei den Römern ca. 50 v. Chr. zum Einsatz.

Im Jahr 1617 erfand J. Napier die nach ihm benannten Rechenstäbe und im Jahr 1622 entwickelte W. Oughtred den ersten Rechenschieber, der in den folgenden Jahrzehnten von ihm, E. Gunter und R. Bissaker verbessert wurde. Im 17. Jahrhundert begünstigten handwerkliches Geschick und die zunehmende Bedeutung sowie Anwendung der Mathematik vor allem in den Naturwissenschaften und den Wirtschaftswissenschaften die Konstruktion und den Bau erster mechanischer Rechenmaschinen (z. B. W. Schickard 1623, B. Pascal 1642, G. W. Leibniz 1673).1

Die elektronischen und damit die direkten Vorläufer der heutigen Computer gehen auf die Mitte des 20. Jahrhunderts zurück. Z. B. der erste voll programmgesteuerte Rechner Z3 wird 1942 von K. Zuse in Berlin vorgeführt, der erste digitale Röhrencomputer ENIAC

^{1Sehr schöne Darstellungen von diversen Rechenmaschinen aus dieser Zeit und anderen Epochen finden sich z. B. in [12] und [14].}

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(Electronic Numerical Integrator and Comperator) 1946 in Betrieb genommen.2 Parallel zur rasanten technologischen Entwicklung wurden die Computer zusehends schneller und leistungsfähiger, gleichzeitig aber auch immer kleiner. Mitte der 70er Jahre des 20. Jahrhunderts fanden kleine Computer wie der Apple II, der Attari oder der Commodore Petzunehmend das Interesse einer breiten Öffentlichkeit. Mit der kommerziellen Verbreitung von Programmier-, Textverarbeitungs-, Tabellenkalkulations- und Zeichenprogrammen, sowie den sich großer Beliebtheit erfreuenden Computerspielen wuchs das Verlangen nach Computern sowohl im beruflichen als auch im privaten (hier vor allem der C64 von Commodore) Bereich.
Mit der Entwicklung integrierter Schaltkreise ergab sich die Möglichkeit, die Baugröße von Computern wesentlich zu verringern. Im Jahre 1967 stellte die Firma Texas Instruments den ersten elektronischen Taschenrechner vor, der nur die 4 Grundrechenarten beherrschte. Diesem folgte 1972 ein wissenschaftlicher Rechner, der auch Wurzeln ziehen, Logarithmieren und trigonometrische Funktionswerte berechnen konnte. Wenige Jahre nach seiner Entwicklung hielt der Taschenrechner Einzug in die Klassenzimmer von Schulen und ersetzte damit die bis zu diesem Zeitpunkt von Schülern verwendeten Rechenhilfsmittel: den Rechenschieber und die Logarithmen-, sowie Winkelfunktionstafeln.
Das Angebot und die Nachfrage nach Taschenrechnern führte wie bei den PC′s zu einem umkämpften Markt, der die Hersteller veranlasste, in immer kürzeren Zeitabständen leistungsfähigere Geräte auf den Markt zu bringen. Bis zu Beginn der 90er Jahre des 20.
Jahrhunderts blieb der Taschenrechner das einzige Hilfsmittel, das an österreichischen Schulen im Mathematikunterricht zum Einsatz kam. Erst mit Ende der 80er Jahre des 20. Jahrhunderts wurden an öffentlichen Schulen PC′s angeschafft, die aber vorerst nur in einem als Provisorium zu bezeichnenden Informatikunterricht eingesetzt wurden.3 Bei der damaligen softwaremäßigen Ausstattung war aber an einen ernsthaften Einsatz im Mathematikunterricht nicht zu denken, wohl auch weil dem Großteil der Mathematiklehrkräfte der Computer ebenso fremd war wie den Schülern. Dazu heißt es z. B. in [4, S.10]:
Lehrer, die bisher gegen einen Computereinsatz waren, haben ihre Abneigung oft dadurch manifestiert, daß sie selbst den Computer und die Mathematiksoftware boykottierten, d. h. sich einfach nicht damit auseinandersetzten und nun natürlich durch den neuen Lehrplan auf dem falschen Beinüberrascht wurden. Dies betrifft viele ältere Kollegen und Kolleginnen, obwohl ich diese Vermutung nicht mit Zahlen sondern nur durch Erfahrung (Gespräche) belegen kann. Sie hatten bereits vor dem neuen Lehrplan argumentiert, daß sie schon einmal umlernen mußten, nämlich bei der Einführung der Taschenrechner und dies nun nicht noch einmal tun wollten.
Die Voraussetzung dafür, den Computer sinnvoll in der Schulmathematik einsetzen zu

2Eine detaillierte Übersicht der historischen Entwicklung der Computerhardware findet man in [14].
3Der Autor dieser Arbeit kann dies bezeugen, da er zum ersten Jahrgang gehörte, der im Schuljahr 87/88 in der 5. Klasse einer AHS ein halbes Jahr verpflichtenden und ein halbes Jahr freiwilligen Computerunterricht hatte. Man brachte uns damals die Programmiersprache Basic auf einem C64 bei. In den weiteren Schulstufen war kein Informatikunterricht vorgesehen.

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können, hing somit einerseits an der Entwicklung brauchbarer Anwendersoftware und andererseits an der Schulung der Lehrkräfte.
2.2 Anwendersoftware
Mit dem verbreiteten Einsatz von Computern an Universitäten und Hochschulen sowie mit zeitlicher Verzögerung an allgemeinbildenden und berufsbildenden Schulen nahm die Bedeutung von Programmiersprachen und -techniken sprunghaft zu. An den Universitäten standen anfangs die klassischen" Programmiersprachen FORTRAN4, ALGOL, LISP und COBOLD im Mittelpunkt, während in den Schulen das Augenmerk vor allem auf BASIC, LOGO, PASCAL oder auch PROLOG gerichtet war.5
In den Anfangsjahren konnte sich an den allgemeinbildenden Schulen kein eigenständiges Pflichtfach Informatik" etablieren. Die Begründung lag u. a. in der fehlenden bzw. unzureichenden Ausstattung der Schulen und in der häufig fehlenden Qualifikation und Sicherheit der Lehrer beim Umgang mit Rechnern und beim Arbeiten mit einer Programmiersprache. Es ist daher auch nicht verwunderlich, dass in den Anfängen der Computer keinen Einzug in den Mathemtikunterricht fand. Letzteres wird noch verständlicher, wenn man bedenkt, dass selbst heute im Jahre 2007(!) die Ausbildung von Mathematiklehrkräften in mathematischer Anwendersoftware für die Schule, zumindest an der Universität Wien (von anderen österreichischen Universitäten kann ich dies nicht beurteilen) meines Erachtens mangelhaft ist.
Nachdem die angebotenen Computer durch Vergräßerung der Festplattenkapazität und des RAM-Speichers sowie durch eine Erhöhung der Rechengeschwindigkeit und Graphikauflösung und nicht zuletzt durch die Reduktion des Preises immer leistungsfähiger und attraktiver wurden, reagierte der Software-Markt mit einem wachsenden Angebot von mathemtikunterstützenden Anwenderprogrammen. Spezielle Programme sollten vor allem Schüler und Lehrer ansprechen und waren sowohl für den privaten als auch für den Schulgebrauch gedacht. Im Wesentlichen beschränkten sich die Möglichkeiten dieser Programme auf numerische Berechnungen und/oder graphische Darstellungen. Die, auch wenn nicht für den Einsatz an Schulen gedachten, sondern primär für die Verwendung im betriebswirtschaftlichen Bereich6 entwickelten Tabellenkalkulationsprogramme, wie MS-EXCEL, können zu dieser Gattung von Programmen gerechnet werden.
Die Entwicklung von Computer Algebra Systemen (kurz: CAS) mit der zusätzlichen Fähigkeit, symbolische Manipulationen durchzuführen, ließen Grenzen bei der Anwendung von mathematikunterstützender Software wider Erwarten leicht überwinden. Ende der 80er Jahre fanden vor allem die PC-tauglichen CAS wie REDUCE, MACSYMA, MAPLE, MATHEMATICA und DERIVE einen zunehmenden Bekanntheitsgrad, auch

4W¨ahrend meines Studiums der Technischen Physik an der TU-Wien in den 90er Jahren machte ich mit dieser Programmiersprache Bekannschaft.
5Die in diesem Kapitel dargestellte Entwicklung des Einsatzes der Anwendersoftware im Schulunterricht ist teilweise aus [23, S. 14ff] übernommen.
6In der Tat hat der Autor dieser Arbeit seine ersten Erfahrungen mit dem Tabellenkalkulationsprogramm MS-EXCEL während seiner Tätigkeit im Controlling-Bereich eines US-amerikanischen Konzerns gemacht.