Georg-Wilhelm-Steller-Gymnasium Bad Windsheim

Kollegstufenjahrgang 2005/2007

F A C H A R B E I T

aus dem Fach

Mathematik

Die hyperbolische Geometrie - axiomatische

Entwicklung und das Poincaré-Modell

Verfasser:

Patrick Schmidt

Leistungskurs:

Mathematik

Abgabetermin:

26. Januar 2007

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Die hyperbolische Geometrie -

axiomatische Entwicklung und das

Poincaré-Modell

Abb.1: Max Ernst:

,,Junger Mann, beunruhigt durch den Flug einer nicht-euklidischen Fliege"

(aus [2], S. 1)

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Inhaltsverzeichnis

A. Umbruch des Verständnisses der Geometrie

S. 4

B. Die hyperbolische Geometrie

S. 5

I. Entwicklung der hyperbolischen Geometrie

S. 5

1. Euklids fünf Axiome

S. 5

a) Problematik des 5. Axioms

S. 6

b) Alternative 5. Axiome

S. 6

2. Der Thibautsche Scheinbeweis

S. 8

3. Entstehung der hyperbolischen Geometrie

S. 9

II. Eigenschaften der hyperbolischen Geometrie

S. 10

1. Parallele Geraden

S. 11

2. Flächeninhalt und Winkelsumme des Dreiecks

S. 13

a) Entartete Dreiecke

S. 13

b) Die direkten Abhängigkeit Fläche - Winkelsumme

S. 15

3. Absolute Längeneinheit

S. 16

4. Hyperbolische Geometrie in der Realität

S. 17

III. Das Poincaré-Modell

S. 19

1. Modelle in der Mathematik

S. 19

2. Definition des Poincaré-Modells

S. 19

3. Die Axiome im Modell

S. 20

4. Untersuchung des Dreiends

S. 22

5. Die Metrik des Modells

S. 25

C. Schlussbemerkung über den Wert dieser Arbeit

S. 26

D. Literaturverzeichnis

S. 27

Anhang:

A1. Inversion am Kreis

S. 28

A2. Beweis: Die Winkelsumme im Dreieck ist nicht größer als 180°

S. 28

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A. Umbruch des Verständnisses der Geometrie

Verfolgt man die Mathematik bis zu ihren Ursprüngen zurück, so lässt sich die

Geometrie als die erste mathematische Disziplin erkennen. Die Realität lieferte durch

Anschauung Erkenntnisse, welche die Wirklichkeit beschrieben, wie sie die Menschen

ursprünglich empfanden. Die Mathematik sollte die Schönheit und Symmetrie der Natur

wiederspiegeln. Erst ungelöste Problemstellungen der Geometrie resultierten in der

Entwicklung weiterer mathematischer Disziplinen. Die Ergebnisse der antiken bzw.

euklidischen Geometrie wurden jahrtausendelang als absolut anerkannt. Doch mit der

Entwicklung der hyperbolischen beziehungsweise nicht-euklidischen Geometrie änderte

sich dies. Gauß entdeckte zuerst, dass auch eine andere Art von Geometrie denkbar ist,

die nicht auf Anschauung basiert, aber dennoch in sich schlüssig ist. Aus Angst um

seinen Ruf entschied er sich gegen die Veröffentlichung seine Erkenntnisse. Erst Bolyai

und Lobatschevski, die unabhängig voneinander fast zeitgleich die neue Geometrie

entwickelten, machten ihre Arbeiten publik und lösten heftige Reaktionen aus. Selbst

berühmte Lyriker beschäftigten sich mit diesem weltbildveränderten Thema. Folgender

Dramenauszug ist aus Kurt Lasswitz Faustparodie(vgl. [7]):

Mephisto

:

alle Kreise fein säuberlich,

Zwar ward dem Menschen zu seiner Erbauung

auch Parallelen, die treffen sich

die dreidimensionale Raumanschauung,

und im Raume kann man daneben

dass er sieht was um ihn passiert,

allerlei Krümmungsmaße erleben.

und die Figuren sich construiert -

(...)Da preisen′s die Schüler aller Orten,

der Analytiker tritt herein

dass das Gerade ist krumm geworden.

und beweist, das konnte auch anders sein.

Nicht-Euklidisch nennt′s die Geometrie,

Gleichungen, die auf dem Papiere stehn,

spottet ihrer selbst, und weiß nicht wie.

die müßt′ man auch können im Raume sehn;

Fuchs:

(...)Drum in den unendlich fernen beiden

Ich kann euch nicht eben ganz verstehn.

imaginären Punkten müssen sich schneiden

Mephisto

Das soll den Philosophen auch so gehn.

Tatsächlich ist die hyperbolische Geometrie unanschaulich, schwer zu verstehen und

für den Philosophen mit einer Vielzahl unser Weltbild betreffenden Fragen verbunden.

Das erste Kapitel dieser Arbeit soll deshalb dem Leser die Grundlagen und die

Entwicklung dieser neuartigen Geometrie vermitteln, das Zweite auf dessen

Eigenschaften eingehen und die philosophische Frage nach Realitätsbezug

mathematisch klären und das Letzte soll anhand des Poincaré-Modells die zuvor

erarbeiteten Erkenntnisse veranschaulichen und vertiefen.

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-5-

B. Die hyperbolische Geometrie

I. Die Entwicklung der hyperbolischen Geometrie

Für das Verständnis der hyperbolischen Geometrie sind Kenntnisse über den Aufbau

der - auch in der Schule gelehrten - euklidischen Geometrie unabdingbar.

300 v. Chr. verfasste Euklid sein berühmtes Werk ,,Elemente". Soweit bekannt, war

Euklid der Erste, der die Geometrie deduktiv aufbaute. Ausgehend von wenigen

elementaren Aussagen entwickelte der Grieche immer komplexere Sätze, die

aufeinander aufbauen. Die so entstehende Geometrie nennt man heute euklidische

Geometrie.

1. Euklids fünf Axiome

Die gesamte Geometrie Euklids lässt sich also auf wenige elementare Aussagen

zurückführen, die Axiome genannt werden. Diese kann man nicht mit anderen

grundlegenden Tatsachen beweisen und sie müssen deshalb ihre Richtigkeit von selbst

erkennen lassen. Die fünf Axiome von Euklid sollen wegen ihrer Wichtigkeit im

Folgenden genannt werden (vgl. [4]):

1. Axiom:

Für jeden Punkt P und jeden Punkt Q gibt es genau eine Strecke, die P und Q verbindet.

2. Axiom:

Eine begrenzte gerade Linie kann zusammenhängend gerade verlängert

werden.

3. Axiom:

Für jeden Punkt B und jeden Punkt A ... B gibt es einen Kreis mit

Mittelpunkt B und Radius r = AB.

4. Axiom:

Alle rechten Winkel sind kongruent.

5. Axiom:

Die Geraden g, h und k verlaufen in

einer Ebene, wobei g und h von k geschnitten

werden. Ist die Summe der zwei inneren

Schnittwinkel kleiner als zwei rechte Winkel,

so haben g und h einen Schnittpunkt auf dieser

Seite von k.

Abb. 2: 5. Axiom + < 180°

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-6-

Diese Axiome entsprechen nur sinngemäß denen Euklids, sind also des einfacheren

Verständnisses wegen so umformuliert, dass die mathematische Aussage die gleiche

bleibt. Ausgehend von den fünf Axiomen Euklids entsteht die euklidische Geometrie,

die dem Leser wohlbekannt sein sollte, da sie in der Schule gelehrt wird und dem

mathematisch weniger bewanderten Menschen nicht bewusst ist, dass es auch

alternative Geometrien gibt.

a) Problematik des fünften Axioms

Das fünfte Axiom, welches auch Parallelenaxiom genannt wird, unterscheidet sich

sowohl in Länge als auch in seiner unmittelbaren Einsichtigkeit deutlich von den

anderen vier Axiomen und wurde deshalb immer gesondert betrachtet. So stützt bereits

Euklid seine ersten 28 Sätze ausschließlich auf die ersten vier Axiome und beginnt erst

dann das letzte Axiom in seine Beweise zu integrieren.(vgl. [6]) Dies lässt schließen,

dass er, wie auch viele Mathematiker nach ihm, unzufrieden mit diesem Postulat war.

Bis zur Entwicklung der hyperbolischen Geometrie scheiterten die größten Geister

jahrhundertelang an der Aufgabe dieses Axiom zu ersetzen. Man ging davon aus, dass

das fünfte Axiom aus den anderen vier hervorgehen würde, also selbst kein Axiom

sondern ein Satz wäre. Doch alle Versuche, dies zu beweisen, mussten, wie wir heute

wissen, scheitern.

b) Alternative 5. Axiome

Wie auch bei den anderen Axiomen ist zwar die mathematische Aussage des

Parallelenaxioms eindeutig. Allerdings gibt es zahlreiche Alternativen, die gleichwertig

sind. Einige dieser mathematisch äquivalenten Aussagen sollen nun dargestellt werden:

1. Alternative

: Zu einer Geraden g und einen Punkt P

gibt es nur genau eine Gerade h, die zu g parallel ist

und P enthält.

Abb. 3

Beweis: Gegeben seien der Punkt P und die Gerade g. Das Geradenbüschel durch P

besteht aus unendlich vielen Geraden. Jede dieser Geraden lässt sich einem eindeutigen

Schnittwinkel mit dem Lot durch P auf g zuordnen.

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-7-

Ist dieser Schnittwinkel auf der zu g hingewandten Seite kleiner (größer) als 90°, so

schneidet die Gerade des Geradenbüschels g auf dieser (der anderen) Seite des Lotes(5.

Axiom). Ist der Schnittwinkel mit dem Lot ungleich 90°, so hat die Gerade einen

Schnittpunkt mit g, ist also nicht parallel zu g. Daraus folgt, es gibt nur genau eine

Gerade des Geradenbüschels, die parallel zu g ist, nämlich die, welche senkrecht auf

dem Lot zu g steht.

Abb. 4

Abb. 5

Ähnlich kann man zeigen, dass die Forderung nach nur einer Parallelen das 5. Axiom

Euklids zur Folge hat.

2. Alternative

: Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°.

Beweis: Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC.

Man bestimme die Parallele zu c durch C. Davon

gibt es, wie oben bewiesen, genau eine. Die Winkel

, und finden sich nun alle bei C wieder und

ergeben zusammen 180°. Wechselwinkel ergeben

sich unmittelbar aus dem 5. Axiom.

Abb. 6: Winkelsumme im Dreieck

Ebenso folgt aus der Forderung einer Winkelsumme von 180°, dass das

Parallelenaxiom gilt. Die zwei hier vorgestellten Sätze der Innenwinkelsumme und der

eindeutigen Parallelen sind also äquivalente Aussagen zu dem 5. Axiom Euklids.

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-8-

2. Der Thibautsche Scheinbeweis

In der Geschichte der Geometrie gab es viele Versuche das sogenannte Parallelen-

problem zu lösen. Zahlreiche Ansätze das Parallelenaxiom durch die ersten vier

Axiome zu beweisen und es so zu einem Satz zu machen, wurden lange als richtig

angesehen. Doch waren es immer versteckte Fehler, welche zunächst übersehen

wurden. Einer dieser gescheiterten Versuche, der Thibautsche Scheinbeweis, wird nun

dargestellt, um das axiomatische System weiter zu erläutern und die Wichtigkeit

ordentlichen Arbeitens für dieses zu illustrieren (vgl. [1], S. 7,8):

Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC. Man

nehme die Gerade AB und drehe sie um A bis sie

auf AC fällt, also um den Winkel . Nun drehe man

die Gerade um C bis sie auf BC fällt, also um den

Winkel . Anschließend dreht man noch um den

Punkt B, mit Drehwinkel , bis die Gerade wieder

mit sich selbst in ihrer ursprünglichen Position AB

zusammenfällt. Dann scheint offensichtlich, dass

+ + = 180° gilt , denn die drei Drehungen um

Abb.7: Der Thibautsche

die Punkte A, B und C entsprechen einer Drehung

Scheinbeweis

um 180° am Punkt A. So wäre bewiesen, dass die

Innenwinkelsumme im Dreieck 180° ist. Indirekt wäre also auch das Parallelenaxiom

bewiesen und somit kein Axiom mehr, sondern ein Satz, da es sich aus den anderen

Axiomen beweisen lässt. Doch bei genauerem Hinsehen stellen sich dem Mathematiker

einige Probleme dieses Beweises dar. Dass er falsch sein muss, erkennt man zunächst

an der Tatsache, dass man in dieser Weise auch in

der Geometrie der Kugeloberfläche eine Winkel-

summe von 180° voraussagen kann, obwohl dies

offensichtlich nicht der Fall ist, da die Winkel-

summe dort größer als 180° ist.

(Abb. 8 zeigt ein Gegenbeispiel auf der Kugel-

oberfläche: Der Äquator wird von zwei Groß-

kreisen geschnitten, welche im Nordpol senkrecht

aufeinander stehen. Dieses Dreieck hat die

Winkelsumme 3 x 90° ...180°.)

Abb. 8: Kugelgeometrie

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-9-

Betrachtet man den Sachverhalt auf der Kugeloberfläche genauer, so ist der Fehler

leicht zu erkennen: Die Drehung zweier paralleler Geraden um verschiedene Dreh-

zentren ist nicht gleichzusetzen. Deutlich wird dies aber nicht nur auf dem Modell der

Kugeloberfläche, sondern auch bei genauerem Betrachten des abstrakten Beweises. Wie

oben gesehen ist das Parallelenaxiom mit der Aussage äquivalent, dass es zu einer

Geraden durch einen Punkt, welcher nicht auf der Geraden liegt, nur eine Parallele gibt

(vgl. Kapitel I, b). Will man nun dieses Axiom beweisen, so darf man selbst-

verständlich nicht annehmen, dass eine Aussage, hier die Eindeutigkeit der Parallelität,

welche sich erst aus dem Axiom ergibt, wahr ist.

Wie wichtig ordentliches und fehlerfreies Arbeiten im axiomatischen Aufbau einer

Geometrie ist, kann leider nicht durch absolut lückenlose Herleitungen gezeigt werden.

Allerdings wurde hier deutlich, dass man die Zusammenhänge stets bis aufs Kleinste

ausleuchten muss und niemals Tatsachen als gegeben oder offensichtlich annehmen

darf, welche nicht ein Axiom sind oder aus diesen hervorgehen.

3. Entstehung der hyperbolischen Geometrie

Ein anderer Ansatz für das Parallelenproblem war der Versuch Geometrien, in denen

das fünfte Axiom durch ein anderes ersetzt wird zu einem Widerspruch zu führen und

so indirekt das Parallelenaxiom zu beweisen. So entstanden neben der euklidischen

Geometrie zwei weitere Geometrien, die man nicht-euklidisch nennt. Sie haben die

ersten vier Axiome mit denen der euklidischen gemein, wobei bei einer auf das 2.

Axiom verzichtet werden muss. Sie besitzen allerdings beide ein anderes 5. Axiom.

Hier sind zwei Alternativen, die Parallelität betreffend, denkbar:

1. Zu einer Geraden g gibt es

keine

parallele Gerade, welche durch einen Punkt P geht.

( P ó g)

Aus diesem Axiom lässt sich die sogenannte elliptische Geometrie

entwickeln. Diese lässt sich, sofern man am 2. Axiom festhält zu einem

Widerspruch führen. Das 2. Axiom besagt, dass eine Gerade unendlich

lang ist. Dennoch ist die elliptische Geometrie in sich schlüssig und

wiederspruchsfrei, wenn man das 2. Axiom weglässt. Ein Modell für

diese Geometrie ist die Kugeloberfläche, wobei die Geraden durch

Großkreise dargestellt werden (siehe Abb. 8).

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-10-

2. Zu einer Geraden g gibt es

mehr als eine

parallele Gerade, welche durch P geht.

( P ó g)

Das sogenannte hyperbolische Parallelenaxiom statt des euklidischen Parallelenaxioms

anzusetzen mutet zunächst

,

ebenso wie oben, seltsam an. Unsere Erfahrung und

Anschauung widerspricht dem Axiom geradezu. Deshalb liegt es nahe, diese Geometrie

zum Widerspruch zu führen. Diesbezüglich wurden aber keine Erfolge erzielt.

Dennoch war der Versuch historisch äußerst fruchtbar für die Mathematik. Denn erst

aufgrund des Ansatzes, eine Geometrie als in sich widersprüchlich darzustellen,

beschäftigten sich viele Mathematiker mit der hyperbolischen Geometrie. Wie bereits

erwähnt folgt aus den Axiomen Euklids, dass die Winkelsumme eines Dreiecks 180°

beträgt. Führt man nun oben erwähntes Axiom ein, so ist der Satz der Innenwinkel-

summe selbstverständlich hinfällig. Ebenso alle anderen Sätze und Beweise, die mit

dem euklidischen Paralallelenaxiom bewiesen wurden (vgl. Kapitel II, b). Ausgehend

von diesem Axiomensystem wurde eine neue Geometrie aufgebaut, die man der Fehler-

haftigkeit überführen wollte. Zwar sollte dies nicht gelingen, allerdings stieß man auf

eine Reihe von höchst bemerkenswerter Eigenschaften der hyperbolischen Geometrie:

ÿ ,,Die Winkelsumme im Dreieck ist von dessen Flächeninhalt abhängig."

ÿ ,,Es gibt eine absolute Maßzahl."

ÿ ,,Es gibt keine Quadrate mit vier rechten Winkeln."

Der Weg zu solch unüblichen Sätzen, von der Änderung nur eines Axiomes aus, wird

im nächsten Kapitel nachvollziehbar dargestellt.

II. Eigenschaften der hyperbolischen Geometrie

Als Ausgangspunkt und zum Zwecke der Erklärung des axiomatischen Aufbaus wurde

die euklidische Geometrie beschrieben. Im Folgenden werden die wichtigsten Etappen

von den wenigen Axiomen bis hin zu einigen komplexeren Sätzen der hyperbolischen

Geometrie dargestellt. Hierbei kann aufgrund der Kürze dieser Arbeit nicht auf alle,

manchmal als offensichtlich erkennbaren Beweise eingegangen werden. Es sei aber

erwähnt, dass diese für den ordentlichen Aufbau einer Geometrie unabdingbar sind,

wenn auch nicht für ihr umfassenden Verständnis. Am Ende des Kapitels wird noch auf

die einzigartigen Eigenschaften und die Anmut der hyperbolischen Geometrie ein-

gegangen und zudem der Realitätsbezug aufgezeigt.

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-11-

Da die hyperbolische Geometrie die ersten vier Axiome mit denen der euklidischen

gemein hat, werden vor allem die Gebiete der Geometrie im Fokus der Betrachtungen

stehen, welche sich auf das Parallelenaxiom stützen.

1. Parallele Geraden

Zu Beginn werden die Eigenschaften paralleler Geraden untersucht, da dies auch der

Ansatzpunkt des hyperbolischen Axioms ist. Hierbei muss bewiesen werden, dass die

Winkelsumme im Dreieck nicht größer als 180° sein kann. Dies ist im Anhang unter A3

nachzulesen.

Da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, wenn das euklidische Parallelenaxiom

gilt, ist bei dessen Verneinung die Winkelsumme also nicht 180°. Größer als 180° kann

sie nicht sein, da dies unter der Annahme unendlich langer Geraden unmöglich ist.

Somit ist die Winkelsumme im Dreieck kleiner als 180°.

Man betrachte nun ein rechtwinkliges Dreieck ABC und

trage den Winkel bei B an. So ist unter der Annahme

einer Winkelsumme unter 180° der Winkel + kleiner

als 90° und die zwei Geraden würden sich in der eukli-

dischen Geometrie schneiden. In der hyperbolischen Geo-

metrie bedarf die Situation allerdings erneuter Betrachtung.

Ein möglicher Schnittpunkt S würde zu einem Dreieck

ABS führen, für welches gilt: Winkelsumme des Dreiecks

ABS = + (180° - ) + Ë ASB = 180° + x

(vgl. [1], S. 9)

Abb. 9: ([1], S. 9), verändert

Ein Dreieck mit einer Winkelsumme über 180° ist allerdings unmöglich. Deshalb

schneiden sich die Geraden nicht. Dies erscheint zunächst falsch, denn bereits ein

einfaches Experiment mit zwei Stiften illustriert, dass sich solche Geraden schneiden.

Allerdings verliert dieses Argument seine Schlagkraft, wenn man sich an die un-

endliche Länge von Geraden erinnert und davon ausgeht, dass die hyperbolische

Geometrie erst entscheidend auffällt, wenn man in astronomischen Maßstäben rechnet.

Will man diesen Sachverhalt auch in Skizzen illustrieren, so muss man mit gekrümmten

Geraden arbeiten. Das widerspricht jedoch unserem Verständnis einer Geraden. Aber

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-12-

für die Objekte der Geometrie dürfen wir nur Eigen-

schaften annehmen, die auch aus den Axiomen

hervorgehen. Eine gekrümmte Gerade beziehungs-

weiße ein gekrümmter Raum sind deshalb durchaus

mathematisch möglich, wenn sie auch schwer

vorstellbar sind.

Abb. 10: (vgl. [1], S. 9), verändert

Es ist also offensichtlich, dass in der hyperbolischen

Geometrie mehrere Parallelen zu einer Geraden durch einen Punkt vorhanden sind.

Welche dies sind und wie sie liegen, wird nun untersucht. Zudem ist richtig, dass zwei

Geraden, welche beide auf einer Dritten senkrecht stehen, sich nicht schneiden. Der

Beweis ist schnell erbracht: Aus Symmetriegründen bildet eine Drehung um 180° um

den Mittelpunkt M des Lotes die Geraden wieder auf

sich selbst ab. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch:

Würden sich die Geraden auf der einen Seite schneiden,

so gäbe es also auch ein Schnittpunkt auf der anderen

Seite des Lotes. Zwei Geraden können allerdings nur

maximal einen Schnittpunkt haben. (vgl. [1], S. 14)

Abb. 11: Drehung um 180°

Ebenfalls leicht zu finden sind Geraden, welche nicht parallel zu einer anderen sind.

Man muss nur einen Punkt der Gerade g mit P verbinden, um eine schneidende Gerade

zu konstruieren. Es gibt also eine Klasse von schneidenden Geraden und eine Klasse

nicht schneidender. Sie werden durch eine Gerade getrennt, welche die letzte Gerade

ohne Schnittpunkt ist. Diese wird von nun an parallele Gerade genannt. Parallele Gera-

den schneiden sich im Unendlichen Alle anderen, ohne Schnittpunkt, heißen ultra-

parallel. Ausgehend von einem Punkt P gibt es nun also genau zwei parallele Geraden

zu einer Geraden g. Ultraparallele Geraden gibt es unendlich viele.

Abb. 12: Schneidende, parallele und ultraparallele Geraden durch P zu g

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-13-

Bei der Untersuchung der Eigenschaften zweier paralleler Geraden lässt sich feststellen,

dass der Abstand eines Punktes auf einer der Geraden zur anderen sich offensichtlich

mit dem zu untersuchenden Punkt ändert. Zu der Richtung hin, in welcher die Geraden

parallel sind und sich annähern, geht der Abstand gegen Null. In die andere Richtung

wird er immer größer. Wählt man nun einen Punkt P und konstruiert die hyperbolische

Parallele durch P zu g, so kann man

diesem Punkt einen Abstand zu g zu-

ordnen. Dieser wird Paralleldistanz

genannt. Den spitzen Winkel zwischen

der Parallelen durch P und dem Lot zu g

durch P nennt man Parallelwinkel.

Abb. 13: Paralleldistanzen

Dieser ist in seiner Größe von der Paralleldistanz abhängig:

,,Zur kleineren Strecke gehört der größere Parallelwinkel und umgekehrt." ( [1], S. 16)

2. Flächeninhalt und Winkelsumme des Dreiecks

Mit dem nun gesammelten Wissen ist es möglich, genauer auf die Winkelsumme des

Dreiecks einzugehen. Dies ist bereits eine der komplexeren Eigenheiten der hyper-

bolischen Geometrie, deren Folgen ihr eine einzigartige Geschlossenheit verleihen.

a) Entartete Dreiecke

Die Gebilde Einend, Zweiend und Dreiend sind eine Besonderheit der hyperbolischen

Geometrie. Man nennt sie entartete Dreiecke.

Ein Einend bezeichnet ein Dreieck mit zwei

Punkten, in dem sich zwei Seiten nicht in

einem dritten Punkt schneiden sondern erst

im Unendlichen. Diese zwei verlaufen also

asymptotisch und sind somit parallel.

Unendlich ferne Punkte werden im

Folgendem mit P* betitelt.

Das Zweiend hat dementsprechend nur

einen Punkt und die dritte Seite verläuft

asymptotisch zu den Zweien, welche durch

Abb. 14: Das Einend

den Punkt verlaufen.

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-14-

Das Dreiend besteht aus drei asymptotischen Geraden.

Zunächst widmen wir uns dem Dreiend. Dieses hat

eine endliche Fläche und ist das größtmögliche Drei-

eck. Somit ist jedes Dreiend kongruent zu jedem

anderen Dreiend.

Der Beweis wird in Kapitel III, 4 geführt.

Abb. 15: Das Dreiend

Nun untersuchen wir das Zweiend, wessen Fläche ausschließlich von dem einen

vorhandenem Winkel abhängig ist. Gegeben seien zwei beliebige parallele Geraden.

Nun nehme man einen Punkt A auf der einen Geraden und zeichne die Parallele zu der

gegenüberliegenden Seite. Es sei darauf hingewiesen, dass man zwar nur eine parallele

Gerade, aber unendlich viele ultraparallele Geraden hat. Die Größe des Dreiecks ist

folglich nur von der Lage des Punktes P abhängig, die eindeutig einem Winkel

zugeordnet werden kann. Die Fläche F des

Zweiends ist demgemäß eine Funktion des

Winkels bei A oder auch des Neben-

winkels

′

von diesem ( + ′= ):

(vgl. [1], S. 23)

F = f (

′ )

Abb. 16: Winkel des Zweiends

Diese noch unbekannte Funktion gilt es nun zu untersuchen. Zunächst sei die Fläche

des Dreiends C, welches das größtmögliche

Dreieck darstellt. Ein solches Dreiend soll von

einer Geraden, welche eine Seite schneidet und

asymptotisch zu den zwei anderen Seiten des

Dreiends verläuft, in zwei Zweienden geteilt

werden: (vgl. [1], S. 23)

Abb. 17: Zweiteilung des Dreiends

C = f (

n

)+ f (

-

n

)

mit

n

=

+

folgt,

I: C = f (

+

) + f (

- (

+

) )

---

-15-

Ähnlich verfährt man mit einem weiteren

Dreiend. Dieses soll von einem Punkt und drei

Halbgeraden in drei Zweienden geteilt werden.

Der Punkt soll dabei so angesetzt werden, dass

sich die Winkel

-

,

-

und

+

ergeben:

(vgl. [1], S. 25)

Abb. 18: Dreiteilung des Dreiends

II: C = f (

) + f (

) + f (

-

-

)

­> I in II: f (

+

) + f (

-

-

) = f (

) + f (

) + f (

-

-

)

f (

+

) = f (

) + f (

)

­>

f ( n + 1 ) = f ( n ) + f ( 1 )

­> f ( k ) = f ( k - 1 ) + f ( 1 ) = ... = f( k - k ) + k

×

f ( 1 ) = k

×

f ( 1 ) = k

×

c

Dies gilt für

k

. Soll die Funktion stetig sein, so kann man außerdem eine

Gültigkeit für alle reellen Zahlen fordern.

(Der umfangreiche Beweis ist in Quelle [3], S. 80/81 nachzulesen.)

Die lineare Funktion

f (

) = c

entspricht offensichtlich diesen Voraussetzungen. Um

auch Gleichung I und II zu erfüllen, muss die Konstante c näher bestimmt werden. Das

Dreiend kann in zwei Zweienden zerlegt werden:

C = f (

) + f (

-

) = c

+ c (

-

) = c

C = c

Folglich ist die Fläche des Zweiends:

F = (C /

)

b) Die direkte Abhängigkeit Fläche - Winkelsumme

Mit Hilfe der Funktion für die Fläche des

Zweiends lässt sich nun die Fläche A eines

beliebigen Dreiecks erschließen. Man nehme

ein beliebiges Dreieck und verlängere alle drei

Seiten - je an einem Punkt - zu Halbgeraden.

Zu je zwei dieser Halbgeraden gibt es immer

genau eine Parallele. So entsteht ein Dreiend.

Man kann also jedes Dreieck in ein Dreiend

einbetten. Die Fläche des Dreiecks ist nun die

Differenz aus der Fläche des Dreiends und der Abb. 19: Dreieck eingebettet im Dreiend

drei Zweienden:

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-16-

A = C - f (

) - f(

) - f (

) = C - C

/

- C

/

- C

/

= c

- c

- c

- c

A = c (

-

-

-

) = c (

- (

+

+

) )

Die Fläche A eines Dreiecks in der hyperbolischen Geometrie ist also ausschließlich

von der Winkelsumme abhängig. Genauer gesagt ist die Fläche direkt proportional zu

der Abweichung der Winkelsumme von 180°. Diese Abweichung nennt man Defekt.

Die Konstante c bleibt noch zu bestimmen. Sie wird durch die Fläche des größt-

möglichen Dreiecks festgelegt: Das Dreiend, bei welchem alle Winkel gleich Null sind

und für dessen Fläche gilt:

C

=

c

×

Mit Hilfe der Dreiecksflächengleichung ist auch zu erkennen, dass bei sehr kleinen

Längen die hyperbolische und die euklidische Geometrie keinen Unterschied erkennen

lassen. Denn je größer das Dreieck ist, desto mehr weicht die Winkelsumme von 180°

ab. Ein Dreieck, dessen Fläche gegen Null geht, hätte die euklidische Winkelsumme

von 180°.

Außerdem ist ein weiterer Unterschied zur euklidischen Geometrie erkennbar: Die

Ähnlichkeitslehre entfällt in der hyperbolischen Geometrie komplett. Es gibt keine Ge-

bilde unterschiedlicher Größe mit den gleichen Winkeln, da Winkel und Größe von-

einander abhängig sind.

3. Absolute Längeneinheit

Die wohl wichtigste Folgerung aus der Dreiecksgleichung ist die absolute Längen-

einheit, welche in der hyperbolischen Geometrie vorhanden ist. In der euklidischen

Geometrie ist nur das Winkelmaß genau bestimmt, da sich die ganze Drehung, also

360°, eindeutig zuordnen lässt. Die Länge hingegen ist eine Frage des Maßstabs und

lässt sich in jede Größenordnung beliebig übertragen. Längen, Flächen und Volumina

spielen also nur in Abhängigkeit voneinander eine Rolle, sind aber nicht absolut de-

finiert. In der hyperbolischen Geometrie besteht allerdings eine Abhängigkeit zwischen

Winkel und Fläche. Folglich kann man über die ausgezeichneten Winkel auch eine aus-

gezeichnete Länge finden. Hier sind sehr viele Alternativen in Betracht zu ziehen: Man

könnte zum Beispiel die Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit Winkelsumme 90° oder

die Wurzel des Quadrats mit Winkelsumme 200° nehmen. Doch entscheidend ist nicht

die Wahl, sondern die Möglichkeit, eine absolute Längeneinheit zu definieren, die so

eindeutig wie der vierte Teil einer ganzen Drehung, der rechte Winkel, ist. Abhängig ist

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-17-

diese Längeneinheit dann nur noch von der Konstanten c. Deshalb gibt es unendlich

viele hyperbolische Geometrien, die sich nur hinsichtlich dieser Konstanten unter-

scheiden. Allerdings wäre diese Definition unnötig kompliziert, da alle so unter-

schiedenen Geometrien die gleichen Eigenschaften hätten. Demgemäß spricht man von

nur einer hyperbolischen Geometrie.

4. Hyperbolische Geometrie in der Realität

Auf den ersten Blick ist die nicht-euklidische Geometrie nur ein Ideengebäude der

Mathematik und der Versuch, sie auf die Realität anzuwenden, erscheint widersinnig,

da wir zu wissen glauben, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° ist und es nur eine

Parallele durch einen Punkt gibt. Wie bereits erwähnt, ähnelt die hyperbolische der

euklidischen Geometrie, wenn wir uns in relativ kleinem Maßstab bewegen. Außerdem

ist bekannt, dass die hyperbolische Geometrie, was ihre Größe angeht, noch von einer

Konstanten c abhängig ist. Wir nehmen nun an, die Realität wäre hyperbolisch und

nicht euklidisch. Solch eine Annahme ist ebenso wahr oder falsch wie die, dass die

Wirklichkeit gemäß der euklidischen Geometrie funktioniert. Offensichtlich wäre dann

c eine sehr große Zahl, da die wahrnehmbaren Größen des Menschen relativ klein im

Vergleich zu der Konstanten sein müssten. In diesem Fall wäre es unmöglich, den De-

fekt eines Dreiecks zu messen, da dieser zu klein wäre. Erst immer größere Dreiecke

würden einen immer größeren Defekt nach sich ziehen, welcher in Abhängigkeit der

Messgenauigkeit ab einer bestimmten Dreiecksfläche bemerkbar wäre. Da es keine

Messungen gibt, die eine hyperbolische Geometrie ratifizieren, lässt sich zumindest

eine untere Grenze für die Konstante c abschätzen:

Zunächst wählen wir als ersten Dreieckspunkt die Erdoberfläche, da man hier den

Winkel am einfachsten Messen kann. Wir messen also nur einen der drei Winkel.

Deshalb entscheiden wir uns für ein gleichseitiges Dreieck, da wir noch keinen

Aufschluss über die Verteilung des Winkeldefekts haben. Im gleichseitigen Dreieck ist

davon auszugehen, dass alle Winkel gleich sind. Somit ist dieses Problem umgangen.

Als zweiten Punkt wählen wir den Mond und als dritten einen Satelliten. Dieser erhält

von der Erde, wenn er die passende Position inne hat, einen Lichtblitz, der zum Mond

und von dort zurück zur Erde reflektiert werden soll. An der Erdoberfläche misst man

nun den Winkel. Es gilt:

c

= A / (

-

-

-

)

---

-18-

Der Winkeldefekt ist nicht messbar. Man gehe von einer möglichen Messgenauigkeit

von 0,01 Bogensekunden aus.

(Messgenauigkeit des Winkelmessers der TU Chemnitz, vgl. [5])

, °

­>

(

-

-

-

)

÷

0 01

3 < 0,01 Bogensekunden =

×

=

3600

180°

648 × 105

Zusätzlich kann man näherungsweise bestimmen, dass die Fläche A des hyperbolischen

Dreiecks euklidisch zu berechnen ist.

a

2 ×

3

­

> A

, wobei a die Entfernung Mond-Erde ist.

4

(

2

60 3

, × 6368

k

)

m

× 3

­> A

6 38 1010

,

×

km

4

Folglich ergibt sich für c:

c > A / (

-

-

-

)

4 4 × 1017

2

,

km

Somit wurde eine untere Grenze für die Konstante c abgeschätzt. Deutet man die

errechnete Fläche als Quadrat, so würde Licht (

v

3 × 108 m/s) 2,5 Stunden brauchen

um dieses zu umrunden. Die Angaben, vor allem die Größe des messbaren Dreiecks

betreffend, sind allerdings auf Spekulationen aufgebaut. Deshalb kann man lediglich

folgern, dass die Größenordnung von c deutlich über den hier errechneten Wert liegt.

Für die physikalischen Berechnungen im Raum ist nun offensichtlich die euklidische

Geometrie ausreichend, da die hyperbolische, sofern sie die Wirklichkeit überhaupt

treffend beschreibt, erst bei interstellaren Entfernungen zum Tragen kommt.

---

-19-

III. Das Poincaré-Modell

Die gewonnenen Erkenntnisse über die hyperbolische Geometrie lassen zwar noch kei-

ne logischen Fehler erkennen, damit ist aber nicht bewiesen, dass die Axiome ein wi-

derspruchfreies System aufbauen. Dies konnte erst durch Modelle in der euklidischen

Geometrie erreicht werden. Hierbei stellt man die hyperbolische Geometrie in der

euklidischen dar und kann schließlich aus der Geschlossenheit der euklidischen die der

hyperbolischen Axiome folgern.

1. Modelle in der Mathematik

Die hyperbolische Geometrie ist ein autonomes System. d.h. man stellt zunächst will-

kürlich ein Axiomensystem auf, entwickelt anschließend daraus eine abstrakte

Geometrie und versucht, diese zu veranschaulichen (vgl. [2], S.91). Letzteres wird mit

der Hilfe eines Modells bewerkstelligt. Man kann aber nicht sagen, ein Modell sehe aus

wie die hyperbolische Geometrie. Es kann uns lediglich Teilaspekte vergegenwärtigen.

Da wir in der euklidischen Geometrie bereits viele Kenntnisse gesammelt haben und

diese für uns einfach zu behandeln ist, wird das Modell in der Geometrie Euklids

eingebettet sein. Allerdings nicht, weil diese Geometrie der hyperbolischen in irgend-

einer Weise übergeordnet wäre, sondern weil wir sie gewohnt sind.

2. Definitionen

Euklids Elemente überdauerten Jahrtausende, erst 1899 war es David Hilbert vergönnt,

einen weiteren großen Schritt im Aufbau der Geometrie zu machen. Während Euklids

Definitionen noch auf Anschauung basierten, war Hilbert der Meinung, es wäre un-

nötig, das Wesen der Elemente der Geometrie näher zu bestimmen. Wichtig ist in Hil-

berts Aufbau der Geometrie einzig und allein die Beziehung zwischen den Elementen.

So ist der Punkt also nicht mehr der kleinste Teil eines Ganzen, sondern nur noch das

Element, welches mit einem weiteren seiner Art genau eine Gerade bestimmt. Auf die-

sem neuen Blickwinkel baut das Poincaré-Modell auf. Die Elemente der hyperbo-

lischen Geometrie werden durch Elemente der euklidischen dargestellt. Im Folgenden

werden diese Zusammenhänge gemäß des Poincaré-Modells dargestellt (vgl. [2], S.23):

Die Elemente der hyperbolischen Geometrie werden mit ,,H-" ergänzt, die der

euklidischen mit ,,E-".

---

-20-

Punkte

: Die Menge aller E-Punkte der oberen offenen Halbeben bilden die Menge der

H-Ebene. Die Menge aller E-Punkte der x-Achse bilden die unendlich fernen Punkte

der H-Ebene.

Geraden

: Die Menge aller E-Halbkreise

mit dem Mittelpunkt auf der x-Achse

und die Menge aller Halbgeraden, die

senkrecht auf der x-Achse stehen, bilden

die Menge aller H-Geraden.

Abb. 20: H-Geraden, aus [2], S. 23, verändert

Winkel

: Der H-Winkel zwischen zwei H-Geraden entspricht dem E-Winkel zwischen

den E-Asymptoten zu den E-Halbkreisen am Scheitelpunkt. Man sagt deshalb auch,

dass das Poincaré-Modell winkeltreu ist, da die H-Winkel mit den E-Winkeln über-

einstimmen.

Spiegelung:

Die H-Spiegelung wird durch die Inversion am E-Halbkreis dargestellt

oder gegebenenfalls durch eine Achsenspiegelung an der E-Halbgeraden.

(Inversion am Kreis, siehe Anhang A2)

3. Die Axiome im Modell

Diese Definitionen sind keineswegs willkürlich, sondern so gewählt, dass die Elemente

sich gemäß den Axiomen der hyperbolischen Geometrie zueinander verhalten:

1. Axiom

: Es gibt genau eine H-Gerade, die zwei gegebene H-Punkte verbindet.

Die Punkte P und Q sind gegeben. Die H-Gerade k die beide verbindet ist der E-Kreis,

dessen Mittelpunkt sich auf der x-Achse und auf der E-Mittelsenkrechten m der E-

Strecke [PQ] befindet. Ist die E-Mittel-senkrechte m parallel zur x-Achse, so ist der

Schnittpunkt unend-

lich weit entfernt und

der E-Kreisbogen k

somit nicht gekrümmt.

Die H-Gerade k ist

also die E-Halbgerade, Abb. 21: H-Gerade durch zwei Punkte, aus [2], S. 28, verändert

---

-21-

welche senkrecht auf der x-Achse steht. Die Mittelsenkrechte m und die x-Achse haben

nur genau einen Schnittpunkt. So ist bewiesen, dass es auch nur genau einen E-Kreis,

der P und Q enthält und dessen Mittelpunkt auf der x-Achse ist. Es gibt also auch nur

genau ein H-Gerade, die P und Q verbindet.

2. Axiom

: Eine H-Strecke kann unbegrenzt gerade verlängert werden.

Jeder E-Kreis kann offensichtlich verlängert werden. Ebenso jede Halbgerade in ihre

offene Richtung. Auch die Grenze der Ebene, die x-Achse, stellt hier keinen

Widerspruch dar, denn sie bildet die Menge der unendlich fernen H-Punkte. Somit sind

die E-Halbgeraden und die E-Halbkreise, die hier enden unendlich lang.

3. Axiom

: Für jeden Mittelpunkt M eines Kreises gibt es einen Kreisradius r =

MP

für

jeden Punkt P.

Dieses Axiom fordert eigentlich nur eine geeignete Längenmaßfunktion beziehungs-

weise Metrik. Diese wird weiter unten besprochen.

4. Axiom

. Alle rechten Winkel sind kongruent.

Dies folg unmittelbar aus der Definition des H-Winkels, der genau dem E-Winkel

entspricht.

5. Axiom

: Zu einer H-Geraden und durch einen Punkt gibt es mehrere Parallelen.

Es gibt offensichtlich durch einen Punkt zahlreiche E-Halbkreise, die einen zweiten E-

Halbkreis nicht schneiden. Genau

zwei Halbkreise gibt es die sowohl

durch den Punkt gehen, als auch

den unendlich fernen Punkt mit der

ursprünglichen H-Geraden gemein-

sam haben. Je eine dieser H-Gera-

den ist in eine Richtung zu der ur- Abb. 22: Parallelen zu g durch P

sprünglichen parallel. Alle oben er-

wähnten E-Kreise sind ultraparallel.

Demgemäß gelten alle Axiome der hyperbolischen Geometrie im Poincaré-Modell und

somit auch alle Folgerungen, die sich aus diesen ergeben. Nun ist auch bewiesen, dass

die hyperbolische Geometrie in sich widerspruchsfrei ist, da es die euklidische ist. Mit

Hilfe der euklidischen Geometrie im Modell kann man nun auch auf weitere

Eigenschaften der hyperbolischen schließen.

---

-22-

4. Untersuchung des Dreiends

In Kapitel II, 2, b wurde im Zuge des Beweises, für die Fläche des Dreiecks

vorweggenommen, dass jedes Dreiend kongruent zu jedem anderen Dreiend ist. Somit

ist die Fläche jedes Dreiends gleich. Die Kongruenz lässt sich nun im Poincaré-Modell

beweisen.

Zwei Punktmengen gelten als kongruent, wenn sie durch Spiegelung zur Deckung

gebracht werden können (vgl.[2], S. 26). Es muss demnach bewiesen werden, dass

jedes Dreiend durch Spiegelung in eine bestimmte Position zu bekommen ist. In

unserem Modell bedeutet dies: Jedes Dreieck mit drei unendlich entfernten Punkten

muss durch Inversion an E-Halbkreisen in eine bestimmte Position gebracht werden

können. Unendlich entfernte H-Punkte sind die E-Punkte auf der x-Achse und die

unendlich entfernten E-Punkte in denen sich zwei E-Halbgeraden schneiden.

Wir nehmen nun ein beliebiges Dreiend und zeigen, dass jedes solches Dreiend in eine

bestimmte Position durch Inversion am E-Halbkreis gebracht werden kann.

(vgl. [2], S. 76)

Mittelpunkt des Inversions-

kreises ist C*. Dieser wird

gemäß der Definition der

Inversion ins Unendliche

gespiegelt. Dem folgt, dass das

Dreiend nun ausschließlich

von dem E-Abstand der zwei

verbliebenen Punkte auf der

Abb. 23: Kongruente Dreienden, durch Inversion,

x-Achse abhängig ist. Wir

aus [2], S. 86, verändert

nennen diesen

l.

B

*′

A

*′ =

l

;

C

*

A

* =

a

;

B

*

C

* =

b

So ergibt sich mit der Inversion am E-Halbkreis:

r

2 =

a

×

a

′

2

;

r

=

b

×

b

′

---

-23-

r

2

r

2

b

-

a

2

­>

l

=

a

′-

b

′ =

-

=

r

a

b

ab

d.h. man kann jede beliebige Strecke

l

erzeugen, da diese vom Radius r des Inver-

sionskreises abhängig ist. Der Fall b - a = 0 ist auszuschließen, da ein Dreieck drei

unterschiedliche Punkte hat. Die so entstandenen Dreienden kann man mit Hilfe der E-

Achsenspiegelung an der E-Halbgeraden problemlos ineinander überführen. Es ist also

Bewiesen, dass alle Dreienden kongruent sind.

Wie in Kapitel I, 2, b bereits geschehen, kann man ein Dreiend in zwei Zweienden

teilen. Diese wiederum kann man in zwei Einenden teilen. Will man also zeigen, dass

das Dreiend eine endliche Fläche hat, so genügt es dies für das Einend zu beweisen. Für

diesen Beweis sind eine Reihe von Erkenntnissen über das Poincaré-Modell nötig, die

hier nur vorgestellt, allerdings nicht bewiesen werden(vgl. [2], S. 30-32, S.70-73):

­> die zentrische Streckung mit Zentrum auf der x-Achse ist eine H-kongruente

Abbildung

­> die Konstruktion gleicher H-Strecken ist möglich

­> alle Punkte

B

,

C

,...der Skizze liegen auf einer Geraden

i

i

Zwar sind die Sätze anschaulich, für einen korrekten Aufbau der Poincaré-Modells sind

die dazugehörigen Beweise dennoch unabdingbar. Hier soll allerdings nur ein Eindruck

der Möglichkeiten des Modells und seiner Methodik gegeben werden. Deshalb muss

der Verweis auf die Gültigkeit des oben genannten dem Leser genügen.

Man konstruiere zunächst eine E-Halbgerade und

trage mit Hilfe der Inversion am Punkt Z H-

kongruente Strecken auf dieser an. So entstehen die

+

Punkte

H

. (

i

N

) Nun konstruiere man eine

i

zweite E-Halbgerade a und benenne die Punkte auf

dieser so, dass gilt:

Abb. 24: aus [2], S. 77, verändert

A

=

K

(

Z

;

r

=

ZH

)

a

i

i

Diese Punkte verbinde man mit Z. Jeder Schnittpunkt dieser Punkte mit einem der

Kreise um Z wird nun benannt: Der erste mit B, der zweite mit C usw.

---

-24-

Wobei gilt, dass

B

der Schnittpunkt mit dem i-ten

i

Kreis ist. Nun verbinde man alle Punkte

B

,

C

,...der Skizze zu jeweils einer H-Geraden.

i

i

Es ist offensichtlich, dass durch zentrische

Streckung am Zentrum Z mit Streckungsfaktor

ZH

m

=

2 alle Punkte des ersten Kreises auf die

ZH

1

entsprechenden des zweiten Kreises gespiegelt

werden. Wir erinnern uns, die zentrische Streck-

ung mit Zentrum auf der x-Achse ist eine

Kongruenzabbildung. Also folgt, dass die so ab-

gebildeten Vierecke kongruent sind und dement-

sprechend gleichen Flächinhalt haben. Diese

zentrische Streckung, kann man für jedes

H Z

k

Verhältnis

m

=

mit k = {2,3,4,...}

k

H

Z

k

-1

durchführen.

Abb. 25: kongruente Vierecke,

aus [2], S. 77, verändert

So ergeben sich die kongruenten Flächen, die in der Abbildung 25 mit gleicher Farbe

markiert sind. Demgemäß kann man die Fläche des Einends

A B P

durch die

1

1

*

Fläche des Vierecks

A H H A

darstellen. Da diese endlich ist, muss also auch die

1

1

2

2

Fläche des Einends endlich sein. Somit ist auch die Fläche des Zweiends und des

Dreiends endlich. (vgl. [2], S. 77)

---

-25-

5. Die Metrik

Die Metrik bestimmt die Art der Längenmessung in einer Geometrie. Die jedem

bekannte Metrik der euklidischen Geometrie beruht auf dem Satz des Pythagoras. Für

n

2

den n-dimensionalen Raum gilt hier:

d

(

P

,

Q

) =

(

x

-

x

pk

qk

)

k

=1

Eine Metrik für das Poincaré-Modell zu finden gestaltet sich schwieriger. Denn wie aus

den Achsenspiegelungen leicht ersichtlich wird, sind gleich lange H-Strecken im

euklidischen Sinne von unterschiedlicher Länge. Für die Metrik eines Raumes gelten

außerdem bestimmte Voraussetzungen, die immer erfüllt sein müssen.(vgl. [2], S. 53)

Definitheit: Eine Strecke darf nie negativ sein.

PQ

0 mit

PP

= 0

Additivität: Teilt man eine Strecke

P P

mit dem Punkt

P

so gilt:

1

2

3

P P

=

P P

+

P P

1

2

1

3

3

2

Invarianz: Kongruente Strecken haben gleiche Länge.

Auf eine geeignete Abstandsfunktion kommt man, indem man diejenige sucht, die alle

drei Forderungen erfüllt. Anschließend kann man beweisen, dass die genannte Funktion

die einzig mögliche ist. Diese Beweise würden den Rahmen der Facharbeit allerdings

sprengen. Die Abstandsfunktion des Poincaré-Modells lautet wie folgt (vgl. [2], S. 54):

a

a

P P

=

k

1

2

ln

÷

1

2

b

b

1

2

Man konstruiere die H-Strecke durch die Punkte

P

und

P

. Die Schnittstellen der E-Halbkreise

1

2

mit der x-Achse seien die Punkte A und B. Dann

gilt:

AP

=

a

und entsprechend für B und b.

i

i

Abb. 24: aus [2], S. 54, verändert

---

-26-

C. Schlussbemerkung zum Wert dieser Arbeit

Die hyperbolische Geometrie ist, gleichgültig ob sie nun die Realität beschreibt oder

nicht, in jedem Falle eine wichtige mathematische Disziplin. Die Beschäftigung mit ihr

zeigt auch die große Diskrepanz, die zwischen der Schulmathematik und der

Mathematik, wie sie an Hochschulen betrieben wird, vorherrscht. Der Schüler wird

meist nur insofern gefordert, als er vorhandene Schemata in Aufgaben anwenden muss.

Die Beweisfindung oder das selbstständige Erschließen eines Themas, nicht durch

Quellen, sondern mit Hilfe der eigenen Geisteskraft, wird kaum gefragt. Doch gerade

dies macht die Mathematik aus. Die hyperbolische Geometrie ist mit ihrer inneren

Logik, die neueartige Denkweisen erfordert, eine gute Möglichkeit dem Schüler

derartige Fertigkeiten abzuverlangen und diese bei ihm zu fördern. Jedoch ist es schwer

an Quellen zu kommen, die es einem Oberstufenschüler erlauben, einen Einblick in die

hyperbolische Geometrie zu erhalten. Man hat nur die Wahl zwischen kurzen

Internetseiten, die den mathematischen Hintergrund fast vollständig ausblenden und

deshalb keinerlei Einsicht gewähren, und wissenschaftlichen Büchern, die für

Studenten im Hauptstudium geschrieben sind und dies meist auch noch in englischer

Sprache. Das musste ich während meiner Stoffsammlung für diese Arbeit schmerzlich

erfahren. Doch ich hoffe, mit dieser Facharbeit, die Lücke ein Stück weit geschlossen

zu haben. Der Leser sollte in dieser kurzen Arbeit die hyperbolische Geometrie nicht

nur kennen gelernt, sondern sie in ihren Ursprüngen und Eigenheiten auch verstanden

haben. Inwiefern dies gelungen ist, mag jeder Leser für sich entscheiden.

---

-27-

D. Literaturverzeichnis

a) Bücher:

[1] Zacharias, M., Das Parallelenproblem und seine Lösung, Leipzig: B.G. Teubner

Verlagsgesellschaft, 1937

[2] Zeitler, Herbert, Das spezielle Poincaré-Modell, gewonnen durch ,,Umetikettieren",

München: Bayerischer Schulbuch-Verlag, 1970

[3] Hammer, Anton, Physikalische Formeln und Tabellen, 8. Auflage, München: J.

Lindauer Verlag, 2002

b) Internetseiten:

[4] ,,Grundlagen der Geometrie", Uni Hannover

http://www.unikik.uni-hannover.de/downloads/ZSF1.pdf , aufgerufen am 24. 1. 2007

[5] ,,Angebot der Professur Werkzeugmaschinenkonstruktion und Umformtechnik", TU

Chemnitz,

http://www.tu-chemnitz.de/forschung/transfer/detail.php?fakult=3&professur=mb27&i

ds=177, aufgerufen am 24. 1. 2007

[6],,Euclids Elements, Book1", D.E. Joyce Clark University

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html#guide

von 1996, aufgerufen am 24. 1. 2007

[7] Kurt Lasswitz, Prost, http://www.buecherquelle.com/lasswitz/prost/prost.htm,

aufgerufen am 25. 1. 2007

Außerdem gelesen:

#

Ramsay, A., ,,Introduction to hyperbolic geometry", New York: Springer

Verlag, 1995

#

Reichhardt, H., ,,Gauß und die Anfänge der nicht euklidischen Geometrie",

Leipzig: Teubner Verlag, 1985

#

Klein, F., ,,Vorlesungen über nicht euklidische Geometrie", New York:

Chelsea Publishing Company, 1927

---

-28-

Anhang:

A1. Inversion am Kreis

Die Spiegelung im Poincaré-Modell entspricht einer Inversion am E-Halbkreis. Deshalb

sollen die wichtigsten Eigenschaften der Inversion vorgestellt werden. Dies geschieht

gemäß des Buches ,,Das spezielle Poincaré-Modell, gewonnen durch `Umetikettieren′".

Die Inversion am Kreis mit Mittelpunkt M ist eine Orthogonalspiegelung, so dass gilt.

r

2 =

MP

×

MP

′ d.h. ein Punkt innerhalb des Kreises wird nach außen gespiegelt

und umgekehrt. Die Fixpunkte dieser

Spiegelung stellen den Kreisradius dar und

der Mittelpunkt des Kreises wird ins

Unendliche gespiegelt. Deshalb führt man

hier, ebenso wie in der hyperbolischen

Geometrie und im Poincaré-Modell, die

unendlich fernen Punkte ein.

Abb. 25: Inversion am Kreis

A2. Beweis: Die Winkelsumme im Dreieck ist nicht größer als 180°

Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC. M sei der Mittelpunkt von BC. Nun erhält

man D mit D 0 AM und D 0 K(M, MA). Die Dreiecke AMC und BDM sind kongruent

und folglich auch die eingezeichneten

Winkel . Dies wiederum lässt den

Schluss zu, dass die Winkelsumme des

Dreiecks ABD gleich der des Dreiecks

ABC ist. Diese Vorgangsweise lässt sich

immer wieder wiederholen, bis die

Winkel bei A und D unendlich klein sind.

Abb.26: Dreiecke gleicher Winkelsumme

Hätte das ursprüngliche Dreieck nun eine Winkelsumme größer als 180°, so müsste der

Winkel bei B auch größer als 180° werden, was aber unmöglich ist. Folglich ist auch

eine Winkelsumme größer als 180° im Dreieck unmöglich, sofern man Geraden

unendlich verlängern kann.(Deshalb fällt bei der elliptischen Geometrie auch das

zweite Axiom weg.)

---