Vieleck-Kreise, Polyeder-Kugeln, Simplex-Hyperkugeln

und die verschwundenen unendlich-dimensionalen Sphären

Beitrag

zum

Jahr der

Mathematik 2008

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Der Autor, Hugo Wehrle, studierte 1974-1982 Mathematik und Physik an

der Albert-Ludwigs-Universität in Freiburg. Danach lernte er die Sprachen

der Computer (Assembler, Pascal, Unix, C) and wurde später

Systemadministrator für Windows- and Unix Netzwerke (MCSC). Er

arbeitete von 1989-1996 bei der Firma AEG in Konstanz, die die ganze

Welt mit Postsortiermaschinen belieferte. Von 1989-2001 war er bei der

Entwicklung von Software für Online-Jobs bei INTERNOLIX in Dettingen.

Portrait des Autors von Erich Meyer

www.wehrle-formeln.net

Der Autor des Anhangs, Arno Fehringer, studierte ebenfalls zur selben Zeit

Mathematik und Physik an der Albert-Ludwigs-Universität in Freiburg, und

ist noch heute Gymnasiallehrer in Gailingen.

Geometrie in allen Dimensionen

2

Jahr der Mathematik 2008

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Einleitung

Mathematik ist die Liebe zur Weisheit, die Philosophie des Unendlich-

Vielfältigen. Daher ist es auch kein Wunder, dass der erste Philosoph, -

wie Aristoteles sagte -, auch ein Mathematiker ist, nämlich Thales von

Milet (etwa 625-547 v.Chr.), der die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v.

Chr. richtig vorhersagte.

Unter den alten Geometern finden sich der um 600 v. Chr. geborene, von

der Schule her so bekannte Pythagoras, der eine geheime Bruderschaft

gründete; Zenon von Elea (490-430), der mit scharfsinnigen Paradoxien

durch reine Überlegung schon der ,,Quantennatur der Geometrie" auf die

Schliche kam; Platon (427-347), ein Schüler Sokrates, der nur den Ideen

eigentliche Realität zusprach, und unsere Sicht der Welt im

Höhlengleichnis als nur schattenhaft erkannte; der um 300 v. Chr. in

Alexandria lebende Euklid, der schließlich das erste axiomatisch

aufgebaute 13-bändige mathematische Werk verfasste, nach dessen

Geometrie noch heute alle Schüler unterrichtet werden, - nur das

Beweisen scheint heute an den Schulen außer Mode gekommen zu sein;

Archimedes von Syrakus (287?-212), der nicht nur die Kreiszahl ,

sonder beispielsweise auch äußerst elegant das Kugelvolumen

berechnete; und die vielen anderen, wie etwa der Erdvermesser

Eratosthenes von Kyrene (284-202) oder Diophantos.

Alle Gelehrten und Kosmologen beschäftigten sich mit dieser abstrakten

Welt der Zahlen und des Raumes, angefangen von Aristarchos von

Samos (320-250), der als erster das heliozentrische Weltbild lehrte,

nachdem sich die Erde um die Sonne dreht, bis hin zu dem im 2.

Jahrhundert nach Christus in Alexandria lebenden Claudius Ptolemäus,

dessen geozentrisches Weltbild sich für Jahrhunderte durchsetzen sollte,

(- würde sich nicht jede Fliege als Mittelpunkt der Welt betrachten? -), bis

1543 Kopernikus und dann ab 1605 Kepler und schließlich Galilei (der

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Jahr der Mathematik 2008

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1633 wegen der Inquisition widerrief) uns endgültig eines besseren

belehren sollten.

Allerdings geriet das gesamte griechische Wissen für ein Jahrtausend in

völlige Vergessenheit und ist uns nur über den Umweg muselmanischer

Übersetzungen überhaupt erhalten geblieben. Die Mörder HYPATIAs1

scheinen nicht nur eine Mathematikerin, sondern mit ihr zugleich die

gesamte Mathematik ermodert zu haben! Das römische Imperium konnte

zwar nicht ohne Kriege, wohl aber ohne Mathematiker bestehen, und das

auch noch länger als jedes andere der Welt!

In unserer heutigen Zeit existiert das sog. >>Werte-Paradoxon2<<,

was besagen will, dass, obwohl wir alle zwar die modernste Technik z.B.

für Handies, Autos, TV und Computer benutzen, das Ansehen und der

Stellenwert der entsprechenden Wissenschaften und Techniken sich aber

am Ende der Wichtigkeitsskala ansiedelt, währen die Spitzenpositionen

z.B. vom Sport wie Fußball oder durch Filmschauspieler (die wie Reagan

sogar Präsident werden können) besetzt werden. Speziell für die

Mathematik gilt sogar, dass man sich mit deren ,,Unkenntnis" beliebt

machen kann, denn einige Politiker erklären öffentlich, dass sie >>in

Mathe nie gut waren<<, ­ während keiner es je wagen würde, dasselbe

vom Fach Deutsch zu behaupten!

Das erste Kapitel des Beitrags zum Jahr der Mathematik 2008 liefert

die ,,vorletzten" Geheimnisse des Dreiecks. Es beginnt mit einer wohl

1 Hypatia von Alexandria (370?-415), Tochter Theons, verfasste ein 13-bändiges

Werk zu der "Aritmetica" des Diophant (dem "Vater der Algebra") und eine achtbändige

Abhandlung zu den Kegelschnitten des Apollonius von Perga. Für weitere Informationen:

www.britannica.com/eb/article-9041785/Hypatia

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Theon.html

http://www.frauen-informatik-geschichte.de

2 R. Biehler, R. W Scholz, R. Straßer, B. Winkelmann

,,Didactics of mathematics as a scientific discipline.pdf"

Mathematics Education Library, Klumer Academic Publishers,

Morgan Niss´analysis: Seite 331

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Jahr der Mathematik 2008

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altbekannten und doch unbekannten Formel, dass nämlich das Produkt

der Dreiecksseiten dividiert durch dessen Summe (auch Umfang

genannt) gleich dem doppelten Produkt seiner beiden Radien des

In- und Umkreises ist, was ich als Wehrle-Zahl des Dreiecks bezeichne. Im

rechtwinkligen Dreieck ist Summe der kleineren Seiten (auch Katheten

genannt) um den Inkreisdurchmesser größer als seine größte Seite (auch

Hypotenuse genannt), und die Summe der am rechten Winkel

anliegenden Seiten ist gleich der Summe der Durchmesser vom In-

und Umkreis.

Wissen Sie, dass das halbe Produkt dieser zwei Seiten, - die

Dreiecksfläche also-, gleich der Summe der Wehrle-Zahl und dem vierten

Teil der Wehrle-Zahl der Differenzen ist: A = w + ¼w*

(Dieser letztere ,,Differenzen-Wehrle" ist das Quadrat des Durchmessers

des Inkreises!).

Dann kommen wir auf die Rationalität von Dreiecken zu sprechen, d.h.

dass seine Fläche, alle Höhen, der In- und Umkreisradius sowie die

Sinuswerte aller drei Winkel durch Quotienten natürlicher Zahlen

darstellbar sind, also keine Wurzelausdrücke enthalten.

Sie kennen das kleinste, rationale rechtwinklige oder gleichschenklige

Dreieck mit natürlichen Seitenlängen, aber kennen Sie auch das kleinste,

nicht-rechtwinklige, rationale Dreieck, das aus nur natürlichen

verschiedenen Seitenlängen besteht?

Kennen Sie die trigonometrischen Wehrles, dessen zu den drei Winkeln

gehörendes trigonometrische Produkt durch deren trigonometrische

Summe geteilt wird: Den Sinus-Wehlre, den Cosinus-Wehrle, den

Tangens- und Cotangens-Wehrle, den Quadrat-Sinus-Wehrle oder den

Halbwinkel- und Doppelwinkel-Sinus-Wehrle, oder die entsprechenden

trigonometrischen Differenzen-Wehrles?

Und was stellt das Titelbild dar?

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Jahr der Mathematik 2008

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Zum Ende des ersten Kapitels kommen wir schließlich ausführlicher auf

die Kreisspiegelung und auf die krönenden Erkenntnis Karl

Feuerbachs zu sprechen. Beim rechtwinkligen Dreieck berührt dieser

sowohl den In- und Umkreis als auch alle drei Ankreise. Wir spiegeln dann

zuerst am Inkreis und schließlich am Feuerbachkreis selbst, der dann nicht

nur alle Spiegelbilder der Dreieckskreise berührt, sondern auch noch alle

drei Bilder der drei Ankreise, die ebenfalls noch die Bildkreise der

Spiegelkreise der drei Dreiecksseiten berühren!

Kapitel zwei ist dann dem Kreis-Viereck gewidmet. Wissen Sie, welche

Vierecke außer dem Quadrat einen In- und Umkreis haben, oder kennen

Sie deren doppeltes Radienprodukt? Kennen sie rationale Kreisvierecke,

oder rationale Sehnenvierecke mit natürlichen Seitenlängen? Kennen Sie

auch die trigonometrischen Wehrles für Sehnenvierecke oder Drachen?

Im dritten Kapitel begeben wir und weg von der Ebene in den 3D-Raum.

Jeder kennt den Satz des Pythagoras, aber wie heißt der

dreidimensionale Satz des Pythagoras?

Wissen Sie, welche rechtwinklige Pyramide mit welchen natürlichen

anliegenden Kantenlängen den Inkugelradius r = 1 hat? Und was gilt für

das Radienprodukt bei der Pyramide? Wissen Sie, wie man das Volumen

und den Umkugelradius einer Pyramide nur über die Kantenlängen

berechnet? Sicherlich kennen Sie auch die Fehringer-Formel für den

allgemeinen Tetraeder noch nicht, wobei zur Berechnung nur die

Kantenlängen der Pyramide verwendet werden!

Oder dass bei einer Vieleckspyramide mit gleichen Kantenlängen l an der

Spitze und deren Abstand zur Grundfläche (auch Körperhöhe genant) halb

so groß ist wie die Seitenkanten, der Umkugelradius R gerade diese

Kantenlänge R = l ist? Und dass man für jede andere Höhen h nur das

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Quadrat der gleichlangen Seitenkantenlänge nur durch das Doppelte

dieser Höhe teilen muss, um den Umkugelradius R zu erhalten?

Im letzten Kapitel machen wir den Hypersprung bis ins Unendliche.

Wollen Sie wie Einstein in höhere Dimensionen aufsteigen? Wissen Sie,

dass sich der Inhalt einer n-dimensionalen Kugel (auch Volumen

genannt) zu ihrer Begrenzungs-Hyperfläche (auch ,,Oberfläche") sich wie

ihr Radius zur Dimension des Raumes verhält.

Kennen Sie das Volumen einer vierdimensionalen Kugel oder ganz

allgemein das einer n-dimensionalen Sphäre? Wollen Sie verstehen,

warum diese Hypersphären im unendlich-dimensionalen Raum komplett

verschwunden sind und was das bedeutet?

Die längeren Beweise finden Sie dann im Anhang, wo Sie auch drei

Beiträge von Arno Fehringer finden.

Besonderen Dank schulde ich Arno Fehringer für seine wertvollen

Beiträge!

Ohne seine mathematischen Anregungen wäre das Buch nicht entstanden!

Außerdem wird dem GRIN-Verlag für das Drucken des Werks gedankt!

Arthur Schopenhauer

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Jahr der Mathematik 2008

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I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

Einleitung

I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

Erster TEIL:

12

Wehrle-Formeln für Dreiecke

w = A - r2

15

ab = 2r(2R+r)

15

2 r = a+b ­ c

15

a+b = 2 (R+r)

16

2

a

= R+r ± (R ­A)

16

½

Rationale Dreiecke mit natürlichen Seitenlängen

Abstand der Zentren

2

2

d = (R + r - A)

24

Der Sinus-Wehrle

Andere trigonometrische Wehrles

Des Sinus-Differenzen-Wehrle

Die trigonomischen Potenzen-Wehrles

Die Summe der Seitenquadrate des Dreiecks

Die Kreise des Dreiecks

37

Das Küßproblem

Die Formel von Descartes

Die Kreisspiegelung

Die Krümmung der Küßkreise

Die Krümmung der Ankreise

Die Eulergerade und der Feuerbachkreis

Merkwürdigkeiten beim Dreieck

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Jahr der Mathematik 2008

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Teil II: Das Radienprodukt für Kreisvierecke

63

Flächeninhalt A = ( abcd )

Der Inkreisradius ist r = (2abcd)/(a+b+c+d) ,

65

Sehnen- und Tangentenvierecke

e : f = sin : sin

66

R = ¼{[(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / (abcd)}

68

Summe der Gegenseitenprodukte ac + bd = ef

67

Der Drachen-Wehrle

Rationale Vierecke mit natürlichen Seiten

2rR = abc / (a+b)

73

Der kleinste ganzzahlige,rationale Kreisdrachen

74

(2r)² =ac

75

R = (a+c)(a²+6ac+c²) / (ac)

75

Das Radienprodukt für Kreistrapeze ist

2rR = (a+c)(a²+c²+6ac)

75

Zu einem rationalen Sehnenviereck gehört ein rationales Tangentenviereck

und umgekehrt.

76

Teil III: Pyramiden

79

Das Analogon zum rechtwinkligen Dreieck: Der dreidimensionale Pythagoras

Mi = (r; r; r)

83

r = 3V /O

83

Umkugelzentrum Mu = (a/2; b/2; c/2)

83

2

2

2

R = ½ (a +b +c )

84

r

= abc / [(ab+ac+bc)+(a²b²+a²c²+b²c²)]

88

rechtwinkliger Tetraeder

r

= [(ab+ac+bc) -(a²b²+a²c²+b²c²)] / 2(a+b+c)

88

rechtw. Pyramide

2rR =abc (a²+b²+c²) / [(ab+ac+bc)+(a²b²+a²c²+b²c²)]

90

4rR =[ab+ac+bc-(a²b²+a²c²+b²c²)](a²+b² +c²) / (a+b+c)

90

Die Entfernung der Zentren

2

2

|M M | = [R + 3r - (a+b+c)r ]

91

i u

Die Fehringer-Wehrle-Formel

8rR = [(ad+be+cf) (-ad+be+cf) (ad-be+cf) (ad+be-cf)]/ / O = Ai (für i=1 bis 4)92

2rR = l Aabc / O

93

R = l / (2hK)

95

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TEIL IV: n- und unendliche Dimensionalität

96

Wir verlassen nun die uns vertrauten Sphären!

Die Inhyperkugelmitte

96

Satz des Pythagoras im n-Dimensionalen

Die Umhyperkugelmitte

98

Das allereinfachste Gebilde, genannt SIMPLEX

lim

r

1/n = 0

99

(n ->) n / Rn = lim(n ->)

Volumen der unendlich-dimensionalen Kugeln

Wagen wir nun den Sprung in den unendlich-dimensionalen Raum

101

n

½n

Vn = r

/ (n/2)!

101

n-1

0n= n r

½n/ (½n)!

102

lim

V

(n ->)

n = 0

102

Schlußfolgerung

ANHANG

106

BEWEIS der WEHRLE-Formel

Beweis der Flächenformel: A = w + r2

u = 2(r+2R)

112

Beweis für w = R² - d²

Übungsaufgaben zum Kapitel I:

Übungsaufgaben zum Kapitel II:

Übungsaufgaben zum Kapitel III:

Geometrie in allen Dimensionen

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Jahr der Mathematik 2008

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