Universität Karlsruhe (TH)

Karlsruhe Institute of Technology

Fakultät für Maschinenbau

Institut für Technische Mechanik

Studienarbeit von Johannes Wippler

Implementierung

elasto-plastischer Materialgesetze

April 2008

---

---

Danksagung

Ich bedanke mich ganz herzlich bei meinem Dozenten Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Thomas

Böhlke für die interessante, motivierende und fordernde Aufgabenstellung. Mein ganz tiefer

und aufrichtiger Dank richtet sich an meinen Betreuer Dipl.-Ing. Dipl.-Math. techn. Felix

Fritzen, der mir immer mit Rat und Tat zur Seite stand und mir damit eine groÿe Hilfe war.

Auÿerdem möchte ich meiner Freundin Ilona für die Unterstützung durch die Korrektur

meines Textes danken.

---

---

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

1

2 Plastizitätstheorie

3

2.1 Kinematik .

3

2.2 Bilanzgleichungen .

5

2.3 Ratenunabhängige Plastizität .

6

2.4 Spezielle Plastizitätsmodelle .

8

2.4.1 von Mises-Plastizität .

8

2.4.2 Einkristall-Elastoplastizität 14

3 Zeitintegration

19

3.1 Rückwärts-Euler-Algorithmus 19

3.2 Variationsformulierung 20

3.3 Globales Problem 22

3.3.1 Einführung 22

3.3.2 Algorithmisch konsistente Tangente 23

4 Beispiele

25

4.1 Konsistente Linearisierung der von Mises-Plastizität 25

4.1.1 Motivation 25

4.1.2 Zeitliche Diskretisierung des Materialgesetzes 25

4.1.3 Newton-Verfahren zur Bestimmung von 27

4.1.4 Algorithmisch konsistente Tangente 27

4.2 Variationsformulierung der Einkristallplastizität 28

5 Ergebnisse

35

5.1 Einleitung 35

5.2 von Mises-Plastizität 35

5.2.1 Zylinder 35

5.2.2 Leichtbauträger 38

5.3 Kristallplastizität 42

5.3.1 Lochscheibe 42

5.3.2 Polykristalline Einheitswürfel 45

5.3.3 Zylinder 53

6 Diskussion und Ausblick

55

I

---

Inhaltsverzeichnis

A Tensorrechnung

I

A.1 Grundoperationen .

I

A.2 Darstellung von Tensoren II

A.3 Tensor-Produkte II

A.4 Basistransformation III

A.5 Einheitstensoren und Projektoren IV

A.6 Tensordierentiation IV

Literaturverzeichnis

V

II

---

Abbildungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

2.1 Kinematische Grundbeziehung .

3

2.2 Darstellung der Plastizierung anhand eines Federmodells .

7

2.3 von Mises-Flieÿäche im Hauptspannungsraum .

9

2.4 Schnitt durch die von Mises-Flieÿäche in 1 2-Ebene vor und nach iso-

troper Verfestigung und zyklische, isotrope Verfestigungskurve 10

2.5 Voce-Verfestigungskurve 11

2.6 Schnitt durch die von Mises-Flieÿäche in der 1 2-Ebene vor und nach

isotroper und kinematischer Verfestigung und zyklischer Zugversuch mit

nichtlinearer isotroper und kinematischer Verfestigung 12

2.7 Absättigung der Rückspannung 13

2.8 Perfekte Plastizität mit und ohne Ratenabhängigkeit 14

2.9 kubisch-ächenzentrierte Elementarzelle mit eingezeichneter Gleitebene und

Stufenversetzung 15

2.10 Verfestigungskurve bei einem aktiven Gleitsystem 17

2.11 Viskose Überspannung in Abhängigkeit vom Betrag der Dehnrate 17

4.1 Ausgangs- und gedrehtes Koordinatensystem 33

5.1 Zylinder mit Randbedingungen 35

5.2 Verschiebungsamplitude 35

5.3 sym algo

algo

C

und skw

36

24

C24

5.4 sym algo

algo

C

und skw

36

26

C26

5.5 Verhältnis V 37

5.6 Vergleich Zeit/Zeitschritte 37

5.7 von Mises-Vergleichsspannung, asymmetrische und symmetrische Rechnung 37

5.8 Äquivalente plastische Dehnung, asymmetrische und symmetrische Rechnung 37

5.9 Träger mit Randbedingungen 38

5.10 Verschiebungsamplitude 38

5.11 Verteilung der Vergleichspannung 39

5.12 Verteilung der äquivalenten plastischen Dehnung 39

5.13 Verteilung der Norm der Rückspannungen 39

5.14 Spannnungs-Dehnungs-Kurve zu 1 40

5.15 Kraft-Verschiebungs-Kurve zu 1 40

5.16 Spannnungs-Dehnungs-Kurve 2 und 3 40

5.17 Rückspannungs-Dehnungs-Kurve zu 2 und 3 40

III

---

Abbildungsverzeichnis

5.18 Kraft-Verschiebungs-Kurve zu 2 und 3 40

5.19 Spannnungs-Dehnungs-Kurve zu 4 und 5 41

5.20 Kraft-Verschiebungs-Kurve zu 4 und 5 41

5.21 Träger mit Randbedingungen 41

5.22 von Mises-Vergleichsspannung nach Belastung ohne und mit ratenabhän-

giger Plastizität 41

5.23 Spannnungs-Dehnungs-Kurve ratenunabhängig und ratenabhängig 42

5.24 Kraft-Verschiebungs-Kurve ratenunabhängig und ratenabhängig 42

5.25 Lochscheibe mit Randbedingungen 42

5.26 Vergleichsspannung zu Orientierung 1 und 2 43

5.27 Vergleichsspannung zu Orientierung 3 und 4 44

5.28 Eektive akkumulierte Gleitung zu Orientierung 1 und 2 44

5.29 Eektive akkumulierte Gleitung zu Orientierung 3 und 4 44

5.30 Verschiebung in z-Richtung zu den Orientierungen 2, 3 und 4 45

5.31 Vergleich Zeit/Zeitschritte 45

5.32 Periodisch fortgesetztes zweidimensionales Voronoi-Gitter 46

5.33 Euler-Winkel der polykristallinen Einheitswürfel 46

5.34 Winkelorientierungen der polykristallinen Einheitswürfel 46

5.35 von Mises-Spannung und eektive akkumulierte plastische Gleitung beim

isochoren Zugversuch in y-Richtung 47

5.36 Schmid-Spannung 1 und akkumulierte plastische Gleitung 1 beim isocho-

ren Zugversuch in y-Richtung 48

5.37 Lage von Gleitsystem 1 48

5.38 von Mises-Spannung und eektive akkumulierte Gleitung beim Scherver-

such in x y-Richtung 48

5.39 Schmid-Spannung 8 und akkumulierte plastische Gleitung 8 beim Scher-

versuch in x y-Richtung 49

5.40 Vergleich Zeit/Zeitschritte 49

5.41 Euler-Winkel der polykristallinen Einheitswürfel 49

5.42 von Mises-Vergleichsspannung bei grobem und feinem Netz nach isochorer

Zugbelastung in y-Richtung 50

5.43 Eektive, akkumulierte Gleitungen bei grobem und feinem Netz nach iso-

chorer Zugbelastung in y-Richtung am gesamten Würfel 50

5.44 Eektive, akkumulierte Gleitungen bei grobem und feinem Netz nach iso-

chorer Zugbelastung in y-Richtung an einem periodisch fortgesetzten Korn . 51

5.45 Akkumulierte Gleitungen im Gleitsystem 2 bei grobem und feinem Netz

nach isochorer Zugbelastung in y-Richtung am gesamten Würfel 51

5.46 von Mises-Vergleichsspannung bei grobem und feinem Netz nach Scherung

in der x y-Ebene 52

5.47 Aktive Gleitsysteme bei grobem und feinem Netz nach Scherung in der x y-

Ebene 52

5.48 Eektive, akkumulierte Gleitung bei grobem und feinem Netz nach Scherung

in der x y-Ebene 52

5.49 Vergleich Zeit/Zeitschritte 53

IV

---