Die Kreiszahl π (Pi). Eine Einführung

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Basler Problem

3. Archimedes Methode

4. Wallis - Produkt

5. Die Leibniz - Reihe und arctan(x)...

6. Die BBP - Formel

7. Irrationalitat der Kreiszahl n.. 66

8. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Die Kreiszahl n (Pi) ist eine der geheimnisvollsten und wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Sie ist wichtig, da sie in sehr vielen naturwissenschaftlichen Themen vorkommt und fur die Naturwissenschaftler selbst in der heutigen Technologie unverzichtbar ist. Diese Konstante wird uberall gebraucht, wo prazise Kreis- oder Kurvenberechnungen benotigt werden.

Diese irrationale, transzendente Konstante beschreibt das Verhaltnis zwischen dem Umfang und Durchmesser eines Kreises und besitzt die GroBe

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Schon die Babylonier gaben 2000 v. Chr. fur diese Kreiszahl eine GroBe an, welche sich im Praktischen nicht so sehr von der tatsachlichen GroBe unterscheidet, wie man annehmen wurde. In der folgenden Tabelle 1.1 sei eine Approximationshistorie 1 dieser Kreiszahl dargestellt.

Heutzutage ist es mit der starken Rechenleistung von Supercomputern moglich, unvorstellbar viele Nachkommastellen zu berechnen. Den Rekord fur die Berechnung der meisten Nachkommastellen behalt Timothy Mullican 2, welcher 50 Billionen Nachkommastellen vorweisen kann. Dafur benutzte er einen Computer mit vier leistungsstarken Prozessoren, die jeweils 15 Kerne mit einer Grundtaktfrequenz von 2,5 GHz besitzen, wobei angemerkt werden muss, dass es selbst mit so einem leistungsstarken Computer ganze 303 Tage gedauert hat, bis diese 50 Billionen Nachkommastellen berechnet wurden. Die groBen Berechnungen am Computer sind ebenfalls in der Tabelle 1.2 dargestellt.

Im Alltag sind meist ein paar Nachkommastellen ausreichend, jedoch sind zum Beispiel fur Flugbahnberechnungen von Sonden um die 15 Nachkommastellen notig. Wenn man den Umfang des Universums, welcher zurzeit einen Radius von ca. 46 Mrd. Lichtjahren besitzt, so prazise, wie den Durchmesser eines Wasserstoffatoms berechnen mochte, so brauchte man 39 bis 40 Dezimalstellen der Kreiszahl 3.

Tabelle 1.1: Historische Approximation der Kreiszahl n

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Tabelle 1.2: GroBe Berechnungen fur die Approximation der Kreiszahl n

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Neben der Definition dieser Kreiszahl und der Anzahl der Nachkommastellen, die berechnet wurden, ist auch die Methodik der Approximation interessant. Viele Mathematiker besaBen ihre eigenen Methoden diese Zahl zu berechnen. Einige Formeln und die Anzahl der berechneten Nachkommastellen, welche in der Tabelle 1.1 dargestellt sind, sind im Folgenden aufgelistet 4, 5.

Nilakantha (*1444, f1544):

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Francois Viete (*1540, f1603):

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William Brouncker (*1620, f1684):

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Sir Isaac Newton (*1643, f1727):

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David Gregory (*1659, f1708):

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Takebe Katahiro (*1664, f1739):

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John Machin (*1680, f1752):

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Formeln von Leonhard Euler (*1707, f1783):

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Johann Dase (*1824, f1861):

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Srinivasa Ramanujan (*1887, f1920):

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Dario Castellanos (*1937):

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Jonathan Borwein (*1951, f2016) und Peter Borwein (*1953, f2020):

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Die Beziehung von mit der Eulerschen Gammafunktion r(n + 1) := n! :

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Zu den Formeln sei gesagt, dass viele Approximationswege und ihre zugehorigen Reihen auch unterschiedliche Konvergenzgeschwindigkeiten besitzen. Im Hauptteil dieser wissenschaftlichen Arbeit werden diese Geschwindigkeiten von einigen weiteren Formeln miteinander verglichen, nachdem diese hergeleitet und bewiesen wurden.

Zu Beginn wird das Basler Problem physikalisch beschrieben bzw. hergeleitet. AnschlieBend wird auf die Methode von Archimedes eingegangen, indem diese zunachst graphisch und mathematisch in Schritten erlautert wird. Spater wird eine Produktdarstellung von n kennengelernt, die man als Wallis - Produkt bezeichnet. Danach wird der Zusammenhang zwischen der Leibniz - Reihe und des Arkustangens gezeigt. Hiernach geht es im vorletzten Kapitel um eine numerische Methode der Approximation, genannt die „BBP - Reihe“. Zu guter Letzt wird die Irrationalitat von n bewiesen.

2. Basler Problem

Das Basler Problem ist ein mathematisches Problem, welches Pietro Mengoli im Jahr 1664 und Jakob I Bernoulli im Jahr 1689 versuchten zu losen. Beide blieben erfolglos. Im Jahr 1726 begann sich Leonard Euler mit dem Problem zu beschaftigen, bis er im Jahr 1735 die Losung entdeckte 6.

Das Problem beschreibt die Summe der reziproken Quadratzahlen bis ins unendliche, welche — entspricht:

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Anders als Eulers Veroffentlichung der Losung in seinem Werk „De Summis Serierum Recoiprocarum“, stelle ich eine alternative Variante des Beweises der Losung 7,8 vor, welche zunachst auf physikalische Grundlagen zuruckzufuhren ist und diese als Ansatz benutzt wird.

Man stelle sich vor, eine Person stunde auf einem Zahlenstrahl. Als Nachstes platziere man Leuchtturme auf jeder naturlichen Zahl dieses Strahles.

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Abbildung 2.1: Sich auf dem Zahlenstrahl befindende Leuchtturme

Nehmen wir an, dass die Helligkeit des Lichtes vom Leuchtturm, welche wir wahrnehmen, die Intensitat 1 besitzt, so besitzt die Helligkeit des Leuchtturmes auf der Zahl 2 die Intensitat - , die des Leuchtturmes auf der Zahl 3 die Intensitat - etc.

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Abbildung 2.2: Die Intensitaten der Lichtstrahlen ausgehend von den Positionen

Es ist zu erkennen, dass die Helligkeit des Lichtes ausgehend von allen Leuchtturmen, welche das Auge wahrnimmt, genau die Summe deren ist. Dies gibt uns eine physikalische Bedeutung fur das Basler Problem. Zu zeigen ist also, dass die summierte Helligkeit genau das — - fache von der des ersten Leuchtturmes ist.

An nachstes sei erklart, was genau unter Helligkeit bzw. Intensitat des Lichtstrahles zu verstehen ist. Dazu stelle man sich erneut vor, dass vor einem Leuchtturm ein Auffangschirm gestellt wird, welches die aus der Quelle verlaufenden Lichtstrahlen des Leuchtturmes auffangt. Dieses empfangt nur einen Teil der Lichtstrahlen, und zwar genau diese die einen bestimmen Winkel k einschlieBen (siehe Abb. 2.3).

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Abbildung 2.3: Empfang der Lichtstrahlen des Auffangschirms

Im Raum dargestellt, sei dieser Fall gemaB der folgenden Abb. 2.4 visualisiert:

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Abbildung 2.4: 3D - Ansicht der Projektion auf das Auffangschirm

Es ist anzumerken, dass die raumlich ausgehenden Lichtstrahlen aus der Lichtquelle kugelformig verlaufen, sodass der Auffangschirm diese in einem bestimmten Raumwinkel empfangt. Diese Veranschaulichung wird genutzt, um die reziproken Quadratzahlen im Basler Problem naher zu verdeutlichen.

Nehmen wir nun an, dass die Lichtstrahlen den Schirm von einer Distanz der GroBe 1 treffen. Wenn man diese Distanz nun um eine ganze GroBe vergroBert, sodass sie nun die GroBe 2 besitzt, mussen die Kantenlangen des Schirms um eine ganze GroBe erhoht werden, damit dieser ebenfalls in der Lage ist, alle Lichtstrahlen zu empfangen. Der Grund dafur ist die lineare Steigung der Lichtstrahlen, welche unverandert bleiben. Der zweite, vergroBerte Schirm sei in der folgenden Abbildung 2.5 visualisiert.

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Abbildung 2.5: VergroBerung des Schirms bei doppeltem Abstand

Wenn also die Distanz 2 betragt, muss die Flache des Schirms viermal so grofc sein, um genau so viele Strahlen aufnehmen zu konnen, wie in der ursprunglichen Position. Infolgedessen kann jeder Teilschirm nur der Lichtstrahlen absorbieren. Aus diesem Grund erscheint fur den Schirm bzw. fur das Auge des Betrachters das Licht des Leuchtturms mit einer Distanz von 2 nur | - mal so hell, wie jenes mit einer Distanz von 1.

Analog ergeben sich fur den Fall bei einer Distanz von 3, neun Teilschirme, welche jeweils | des Lichtes empfangen.

Dieses Gesetz in Form des reziproken Quadrats taucht in allen moglichen physikalischen Gebieten auf, wie in Thermodynamik, Schallwellentheorie, elektrische Feldtheorie etc., in denen physikalische Grofcen von einer Quelle kugelformig ausgesendet werden.

Die unendliche Summe der Anzahl der Lichtstrahlen und die damit zusammenhangende Intensitat ihrer, welche der Betrachter wahrnimmt, ist das Ergebnis und somit eine physikalische Modellierung des Basler Problem.

Was wir nun versuchen, ist, die Aneinanderreihung dieser Lichtquellen so zu verandern, dass sich die wahrgenommene Helligkeit des Betrachters im Ursprung nicht andert. Als Ansatz erstelle man ein Koordinatensystem, in dem sich der Betrachter im Ursprung 0 und eine Lichtquelle P auf einer beliebigen Stelle befindet. Anschliefcend wird eine Ursprungsgerade ~OP, welche senkrecht zu einer zweiten Geraden AB liegt, wobei die Punkte A und B die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen darstellen, gesetzt.

Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck Aoab, welches zwei rechtwinklige Teildreiecke Aoap und Aopb mit den gegebenen Seiten a,b und c beinhaltet. Die Hohe des Dreiecks Aoab ist durch h gegeben.

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Abbildung 2.6: Koordinaten mit den bestimmten Positionen

Teilt man nun die Positionen der Lichtquelle P in zwei Positionen A und B auf, wobei diese dieselbe Leistung, wie P ausstrahlen, so entspricht die wahrgenommene Helligkeit des Punkts P der Summe der beider Helligkeiten von A und B.

Der Beweis hierfur erfolgt recht schnell:

Die Flache des Dreiecks Aoab ist definiert durch

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Die Starke der Intensitat des Lichtes ist, wie zu Beginn dargestellt, durch das reziproke Quadrat des Abstandes von den Lichtquellen A, B und P zum Betrachter 0 definiert.

Bildet man nun die Summe der reziproken Quadrate von a und b, so ergibt sich durch Einsetzen von (2.2) und Verwendung des Satzes des Pythagoras:

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sodass die Gleichung (2.3) den umgekehrten Satz des Pythagoras fur das Dreieck Aoab beschreibt.

Als Ziel nehmen wir uns vor, das Licht in einer unendlich vielen Anzahl an Lichtern aufzuteilen, sodass eine Lichterkette entsteht und wir die Helligkeiten dieser summieren konnen.

Sei nun ein Kreis (siehe Abb. 2.7) durch den Ursprung in der oberen Halbebene mit dem Umfang U = 2 gegeben und eine Lichtquelle befindet sich am oberen Ende dieses Kreises, sodass die Distanz zwischen dem oberen und unteren Ende d betragt. Fur die Helligkeit H der Lichtquelle gilt also:

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Fur den Durchmesser gilt:

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sodass sich fur die Helligkeit H durch Einsetzen von (2.5) in (2.4)

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ergibt.

Wir beginnen nun damit den Kreis zu verformen. Dazu erstellen wir einen zweiten Kreis, der ebenfalls in Abb. 2.7 vertreten ist, welcher den doppelten Umfang besitzt. Die beiden unteren Enden befinden sich an der identischen Stelle im Ursprung.

AnschlieBend legen wir eine Tangente am oberen Ende des ersten Kreises an und lassen diese mit dem zweiten Kreis schneiden, sodass die Schnittpunkte I2 und I3 entstehen und wir den Lichtpunkt I in diesen beiden Lichtpunkten aufteilen.

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Abbildung 2.7: Kreis mit Umfang U± (links) und U2 (rechts) in der oberen Halbebene

GemaB dem umgekehrten Satz des Pythagoras gilt, dass

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Jetzt legen wir einen dritten Kreis an (siehe Abb. 2.8), welcher den Umfang U3 = 8, also den doppelten Umfang von U2 besitzt und sich ebenfalls in der oberen Halbebene befindet. Dabei wird erneut eine Gerade angelegt, welche den oberen Endpunkt des zweiten Kreises mit I2 und somit auch den dritten Kreis an zwei neuen Punkten schneidet, welche die neuen, durch I2 aufgeteilten Lichtquellenpositionen I3 und /4 sind. Die Helligkeit H2 von I2 ist genauso hoch, wie die Summe der Helligkeiten h3 + H4 von I3 und /4, da der Ursprung P mit I3 und /4 das rechtwinklige Dreieck ^0/3/4 bildet, in dem der umgekehrte Satz des Pythagoras ebenfalls mit

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gilt.

Analog gilt fur die Helligkeit H4 am Punkt /4

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sodass die Gesamthelligkeit H = ■ durch die Summe von H3, H4, H$ und H6 erhalten bleibt. Diese Erhaltung gilt folglich fur unendlich viele Aufteilungen der Lichtpunkte.

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Abbildung 2.8: Aufteilung der Positionen I2 (links) und (rechts)

Da die Sekanten /3/4 und I$I6 senkrecht zueinander sind, besitzen die Kreissegmente des dritten Kreises mit dem Umfang ^3 folgende UmfangsgroBen:

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Wenn wir dieses Verfahren erneut mit einem vierten Kreis, welcher den doppelten Umfang des dritten Kreises: U4 = 16 besitzt, durchfuhren, so erhalten wir nun acht Lichtquellen, wie in der Abbildung 2.9 dargestellt. Alle vier Sekanten schneiden das obere Ende des dritten Kreises und diese benachbarten Sekanten schlieBen einen Winkel von 45° ein. Fur die Lange der Kreissegmente bedeutet das, dass ausgenommen von UPl7 und UPI11, welche die Lange 1 besitzen, alle eine Lange von 2 besitzen.

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