Im Rahmen dieser Hausarbeit soll die Frage beantwortet werden, wie der Sachverhalt der Identität von 0,999... = 1 für Schüler*innen mathematisch verständlich im Mathematikunterricht argumentiert werden kann. Hierzu wird insbesondere die Hypothese: „Beweise zur Frage ‚0,999… = 1‘ sind für Schüler*innen der Sekundarstufe I zu kompliziert und daher ungeeignet“ untersucht. Daher sollen Beweise im Hinblick auf ihre didaktische Eignung für den modernen Mathematikunterricht analysiert werden und es soll erörtert werden, welches Vorwissen für diese Beweise notwendig ist. Abschließend soll auf Basis dieser Ergebnisse eine Einschätzung darüber getroffen werden, für welche Klassenstufe die jeweilige Begründung geeignet ist und welche mathematikdidaktischen Lernziele damit verfolgt werden können.
Um diese Ziele der Hausarbeit zu erfüllen, werden im Anschluss an die Einleitung die von Ludwig Bauer empirisch untersuchten Schülergrundvorstellungen und Grundverständnisse zu diesem Sachverhalt dargestellt. In den Folgenden Kapiteln (3 und 4) werden drei Beweisarten vorgestellt. Die ersten beiden Beweise sind der fachdidaktischen Argumentationsart zuzuordnen. Im Anschluss wird eine fachmathematische Argumentation gezeigt, hierbei bezieht sich die Hausarbeit auf die Ausführungen von Deiser et al. (2012). Anschließend werden diese Beweise mit den am Anfang dargestellten Schülergrundvorstellungen im Hinblick auf die sinnvolle didaktische Verwendung im Mathematikunterricht diskutiert, hierbei wird Bezug genommen auf Fehlvorstellungen im Bereich von Folgen und Grenzwerten. Zum Schluss wird ein Fazit mit einem abschließenden Ausblick dargestellt, wie ein Mathematikunterricht ausgebaut werden kann um diesen Fehlvorstellungen und Fehlverständnisse präventiv entgegenzuwirken.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Schülergrundvorstellungen
3 Fachdidaktische Argumentationsarten
3.1 Argument: Erweiterung von Brüchen
3.2 Argument: Visualisierung von Folgen und Funktionen
4 Fachmathematische Argumentationsarten
5 Diskussion
6 Fazit / Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht, wie der mathematische Sachverhalt der Identität von 0,9̄ = 1 für Schülerinnen und Schüler in einem modernen Mathematikunterricht verständlich vermittelt werden kann, wobei insbesondere die didaktische Eignung verschiedener Beweisarten im Kontext von Schülervorstellungen und fachmathematischer Argumentation analysiert wird.
- Analyse von Schülergrundvorstellungen zu unendlichen Dezimalzahlen und Grenzwerten.
- Untersuchung fachdidaktischer Beweismethoden (Bruchrechnen, Folgen/Funktionen).
- Darstellung fachmathematischer Argumentationsweisen unter Einbeziehung des Körpers der reellen Zahlen.
- Diskussion der Diskrepanz zwischen Alltagsvorstellungen und mathematischer Sachlogik.
- Erörterung didaktischer Prinzipien zur nachhaltigen Wissensvermittlung im Sinne des Spiralprinzips.
Auszug aus dem Buch
3.1 Argument: Erweiterung von Brüchen
Ein sehr einfacher und für Schüler*innen leicht zu verstehender Ansatz wird durch die Erweiterung und das Wissen von Brüchen als Darstellungsform von Dezimalzahlen gestellt. In diesem Sinne führt das Lehrbuch „Elemente der Mathematik“ für die Klassenstufe 6 diesen Sachverhalt ein. Die Schüler*innen sollen „[…] den periodischen Dezimalbruch 0,9̄ in einen gewöhnlichen Bruch [umwandeln]“ (Bruder & Griesel, 2015, S. 179). Im Anschluss soll von den Schüler*innen eine Argumentation zu der Identität von 0,9̄ = 1 verstanden werden können und diese „Entdeckung“ (Bruder & Griesel, 2015, S. 179) sprachlich festgehalten werden.
Eine Grundlage hierzu legt das Niedersächsische Kultusministerium (2015, S. 23) als verpflichtende Kompetenz zum Ende des 6. Schuljahrganges in der gymnasialen Schulbildung unter den inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen fest, hierzu zählen das dem Deuten von Brüchen als Verhältnisse und Anteile. Ebenso sollen Schüler*innen Dezimalzahlen als Darstellungsform für Brüche deuten und die Umwandlung der einen Form in die andere Form durchführen können (Niedersächsische Kultusministerium, 2015, S. 23).
Den Schüler*innen sollte somit im Sinne des Kerncurriculums der gymnasialen Bildung bis zum Ende des 6. Schuljahres bekannt sein, dass 0,333… = 1/3. Mit dieser Voraussetzung erweitern wir die beiden Seiten der Gleichung mit dem Faktor 3 und erhalten: 3 ∙ 0,333… = 3 ∙ 1/3, was 0,999… = 1 bzw. 0,9̄ = 1 ergibt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Arbeit analysiert didaktische Zugänge zur Identität von 0,9̄ = 1 und prüft die Hypothese, ob entsprechende Beweise für die Sekundarstufe I zu komplex sind.
2 Schülergrundvorstellungen: Auf Basis empirischer Daten wird aufgezeigt, dass Schülerinnen und Schüler häufig intuitive Fehlvorstellungen hegen, bei denen 0,9̄ als vom Wert 1 verschieden wahrgenommen wird.
3 Fachdidaktische Argumentationsarten: Es werden zwei elementare Beweise vorgestellt, die durch Bruchrechnung oder die Visualisierung von Folgen den Sachverhalt für Lernende greifbar machen sollen.
3.1 Argument: Erweiterung von Brüchen: Dieses Kapitel erläutert, wie durch das Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen mittels einfacher Multiplikation die Identität 0,9̄ = 1 hergeleitet werden kann.
3.2 Argument: Visualisierung von Folgen und Funktionen: Hier wird der Grenzwertbegriff durch ikonische Darstellungsmethoden und die grafische Verdeutlichung in Koordinatensystemen verknüpft.
4 Fachmathematische Argumentationsarten: Dieser Abschnitt bietet eine hochschulmathematische Perspektive unter Verwendung des archimedischen Axioms und der Vollständigkeit der reellen Zahlen.
5 Diskussion: Es findet eine kritische Auseinandersetzung mit der Diskrepanz zwischen fachmathematischer Strenge und didaktischer Vermittelbarkeit statt.
6 Fazit / Ausblick: Die Arbeit resümiert, dass fachdidaktische Zugänge für Schülerinnen und Schüler besser geeignet sind und fordert eine stärkere Einbindung infinitesimaler Lerngegenstände im Unterricht.
Schlüsselwörter
0,9̄, Mathematikdidaktik, reelle Zahlen, Grenzwert, Schülergrundvorstellungen, Infinitesimalmathematik, Identität, Bruchrechnen, Folgen, Funktionen, EIS-Prinzip, Spiralprinzip, Fehlvorstellungen, Sekundarstufe, Beweisverfahren
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht, wie das mathematische Phänomen, dass 0,9̄ identisch mit 1 ist, im schulischen Mathematikunterricht vermittelt werden kann.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Arbeit verknüpft Empirie zu Schülervorstellungen mit fachdidaktischen und fachmathematischen Beweismethoden sowie didaktischen Prinzipien der Unterrichtsgestaltung.
Welches primäre Ziel verfolgt die Arbeit?
Das Ziel ist die Beantwortung der Frage, welche mathematischen Begründungen für bestimmte Klassenstufen geeignet sind, um die Identität von 0,9̄ und 1 verständlich zu machen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es handelt sich um eine qualitative Analyse, die auf bestehenden empirischen Untersuchungen und fachdidaktischen Konzepten aufbaut.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil analysiert schülernahe Beweise über Brüche und Funktionsgraphen sowie formal-mathematische Herleitungen aus der Analysis.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit dreht sich maßgeblich um Grundvorstellungen, den Grenzwertbegriff, didaktische Reduktion und die Förderung mathematischen Denkens.
Warum haben viele Schüler Schwierigkeiten mit dem Sachverhalt 0,9̄ = 1?
Viele Lernende betrachten 0,9̄ als den direkten Vorgänger von 1 oder als einen Prozess, der sich dem Wert 1 zwar annähert, ihn aber aufgrund der unendlichen Stellen niemals erreicht.
Welche Rolle spielt das EIS-Prinzip in der Arbeit?
Das EIS-Prinzip dient als Rahmen, um mathematische Sachverhalte durch enaktive, ikonische und symbolische Darstellungsebenen nachhaltig im Gedächtnis zu verankern.
Ist der mathematische Beweis für Studierende identisch mit dem für Schüler?
Nein; während Schüler auf anschauliche Visualisierungen setzen, erfordert der mathematisch strenge Beweis Kenntnisse über die Vollständigkeit der reellen Zahlen und das archimedische Axiom.
- Arbeit zitieren
- Jannik Poggemann (Autor:in), 2021, Didaktische Überlegungen für den Matheunterricht zu der Frage "Warum ist 0,999...= 1?", München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1273336
