In dieser Facharbeit wurde eine Methode entwickelt, die Randwerte einer dreidimensionalen Funktion zu ermitteln. Es kann ein beliebiger, zweidimensionaler Definitionsbereich gewählt werden, in jeder erdenklichen Form. Nun können die Randmaxima sowie Randfunktionen am Rand des Definitionsbereiches ermittelt werden. Hiermit lassen sich mehrdimensionale Optimierungsprobleme lösen. Die Herangehensweise wird anschaulich und detailliert erklärt und mittels Grafiken und Beispielen belegt.
Soll an einer Funktion mit zwei Variablen (häufig auch als dreidimensionale Funktion bezeichnet) innerhalb eines Definitionsbereiches der absolut höchste oder tiefste Punkt ermittelt werden, so reicht es oft nicht aus, diese Funktion nur auf lokale Extrema zu untersuchen. So hat bereits die einfache Funktion f(x,y)=x^2+y^2 an jedem beliebigen Punkt höhere z-Werte als das lokale Extremum der Funktion, da dieser ein Tiefpunkt ist. Deswegen ist es unerlässlich, auch die Werte der Funktion am Rand des Definitionsbereiches zu ermitteln.
In dieser Facharbeit werde ich eine selbst entwickelte Lösungsstrategie vorstellen, um die höchsten, beziehungsweise tiefsten Werte an dem Rand einer Funktion mit zwei Variablen innerhalb eines runden Definitionsbereichs zu ermitteln. Diese Strategie lässt sich jedoch auch für Definitionsbereiche anwenden, welche nicht rund oder sogar unstetig sind.
Diese Facharbeit wird genau diese Ermittlung der Randwerte einer Funktion mit zwei Variablen in runden, sowie unstetigen Definitionsbereichen anhand einer detaillierten und strukturierten Strategie darstellen. Es wird sowohl die Strategie selbst und ihre Herleitung erklärend veranschaulicht und an Beispielen vorgerechnet. Jegliche neu entstandenen Begriffe werden in dem Definitionsverzeichnis noch einmal erklärt. Bilder und Grafiken, die das Verstehen der einzelnen Rechenschritte unterstützen, sind im Anhang zusätzlich aufgeführt.
Inhaltsverzeichnis
- Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Einleitung in das Thema
- Anmerkung zur Facharbeit
- Hauptteil
- Das grundlegende Problem
- Mein Gedankengang und Überlegungen zur Lösungsstrategie
- Randextrema von Funktionen mit zwei Variablen
- Randextrema im viereckigen Definitionsbereich
- Randextrema im runden Definitionsbereich
- Die Idee des Abrollens eines Funktionsrandes
- Berechnung am Beispiel
- Randextrema in beliebigen Definitionsbereichen
- Anwendung auf die reale Welt
- Zusammenfassung
- Anhang
- Definitionsverzeichnis
- Literaturverzeichnis
- Abbildungsverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Facharbeit widmet sich der Ermittlung von Randextrema dreidimensionaler Funktionen innerhalb eines Definitionsbereichs. Das Ziel ist es, eine selbst entwickelte Lösungsstrategie für die Bestimmung der höchsten und tiefsten Punkte am Rand einer Funktion mit zwei Variablen innerhalb eines runden Definitionsbereichs zu präsentieren.
- Bestimmung von Randextrema dreidimensionaler Funktionen
- Entwicklung einer Lösungsstrategie für Randextrema in runden Definitionsbereichen
- Anwendbarkeit der Strategie auf beliebige Definitionsbereiche
- Veranschaulichung der Strategie anhand von Beispielen
- Erklärung relevanter Begriffe im Definitionsverzeichnis
Zusammenfassung der Kapitel
Die Einleitung führt in die Thematik der Randextrema von Funktionen mit zwei Variablen ein und erklärt die Notwendigkeit, den Rand eines Definitionsbereichs zu untersuchen, um absolute Extrema zu finden. Die Facharbeit stellt eine eigene Lösungsstrategie für die Ermittlung von Randextrema in runden Definitionsbereichen vor, die auch für unstetige Bereiche anwendbar ist. Im Hauptteil wird das grundlegende Problem der Randextremumsbestimmung erläutert und die Lösungsstrategie detailliert dargestellt. Die Strategie beinhaltet die Darstellung des Funktionsrands als eigenständige Funktion und die anschließende Untersuchung dieser Funktion auf lokale Extrema. Das Kapitel behandelt zudem die Ermittlung von Randextrema in viereckigen und beliebigen Definitionsbereichen. Schließlich zeigt die Facharbeit die Anwendung der Lösungsstrategie auf ein reales Problem.
Schlüsselwörter
Die Facharbeit behandelt die Themen Randextrema, dreidimensionale Funktionen, Definitionsbereiche, runder Definitionsbereich, unstetige Definitionsbereiche, Lösungsstrategie, Funktionsrand, lokale Extrema, Funktionsuntersuchung, Beispielanwendung.
- Arbeit zitieren
- Mael Gerhard (Autor:in), 2022, Randextrema von Funktionen mit zwei Variablen. In runden sowie beliebigen Definitionsbereichen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1311474
