Quantifizierung von Marktrisiken mittels Copula Funktionen

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Vorwort XII

1. Einführung
1.1 Problemstellung
1.2 Zielsetzung
1.3 Aufbau der Arbeit

2. Mathematische Grundlagen der Copula Funktionen
2.1 Definition Verteilungsfunktion
2.2 Das Theorem von Sklar
2.3 Definition Copula
2.4 Eigenschaften von Copula Funktionen
2.4.1 Invarianz
2.4.2 Fréchet-Hoeffding-Schranken

3. Abhängigkeitsmaße
3.1 Anforderungen an Abhängigkeitsmaße
3.2 Linearer Korrelationskoeffizient
3.3 Konkordanz und Diskordanz
3.4 Kendall´s tau
3.5 Spearman´s Roh
3.6 Tail Dependence

4. Copula Klassifikationen
4.1 Elliptische Copulas
4.1.1 Gauß Copula
4.1.2 Student-t Copula
4.2 Archimedische Copulas
4.2.1 Gumbel Copula
4.2.2 Clayton Copula
4.2.3 Frank Copula

5. Simulation von Copulas
5.1 Modellierung elliptischer Copulas
5.1.1 Simulation n-dimensionaler Gauß Copulas
5.1.2 Simulation n-dimensionaler Student-t Copulas
5.1.3 Darstellung der elliptischen Copulas
5.2 Modellierung und Darstellung archimedischer Copulas

6. Ausgewählte Testverfahren zur Validierung der Modellannahmen
6.1 Anpassungstests
6.1.1 Kolmogorov-Smirnov Test (K-S Test)
6.1.2 Anderson-Darling Test (A-D Test).
6.2 Schätzverfahren zur Bestimmung einer archimedischen Copula
6.2.1 Der nicht-parametrische Anpassungstest
6.2.2 Die Momentenmethode
6.3 Prognose-Tests
6.3.1 Basic Frequency-of-tail-losses Test (FOTL)
6.3.2 Proportion of failures Test (POF)
6.3.3 Time until first failure Test (TUFF)
6.3.4 Unabhängigkeitstest nach Christoffersen

7. Auswertung des Musterportfolios
7.1 Anpassungstests
7.1.1 Kolmogorov-Smirnov Test (K-S Test)
7.1.2 Anderson-Darling Test (A-D Test).
7.2 Übersicht Value at Risk
7.2.1 Übersicht Value at Risk für die elliptischen Copulas
7.2.2 Übersicht Value at Risk für die archimedischen Copulas
7.3 Prognose-Tests
7.3.1 Basic Frequency-of-tail-losses Test (FOTL)
7.3.2 Proportion of failures Test (POF)

8. Schlussbetrachtung
8.1 Kritische Würdigung
8.2 Implikation für das Portfoliomanagement
8.3 Ausblick

Anhangsverzeichnis

Anhang

Literaturverzeichnis .

Tabellenverzeichnis

Seite

Tabelle 1: Tail Dependences

Tabelle 2: Testgrößen der Normalverteilung K-S Test

Tabelle 3: Testgrößen der Lognormalverteilung K-S Test

Tabelle 4: Testgrößen der Normalverteilung A-D Test

Tabelle 5: Testgrößen der Lognormalverteilung A-D Test

Tabelle 6: Übersicht: Value at Risk - Gauß Copula

Tabelle 7: Übersicht: Value at Risk - Student-t Copula

Tabelle 8: Übersicht: Theta

Tabelle 9: Übersicht: Value at Risk - Archimedische Copulas mit Normalverteilung

Tabelle 10: Übersicht: Value at Risk - Archimedische Copulas mit t2-Verteilung

Tabelle 11: Übersicht: Value at Risk - Archimedische Copulas mit t100-Verteilung

Tabelle 12: Gauß und t Copula mit normalverteilten Rändern, kritischer Wert 0,01

Tabelle 13: Archimedische Copulas mit normalverteilten Rändern, kritischer Wert 0,01

Tabelle 14: Gauß und t Copula mit normalverteilten Rändern, kritischer Wert 6,63

Tabelle 15: Archimedische Copulas mit normalverteilten Rändern, kritischer Wert 6,63

Tabelle 16: Frank Copula mit t2-Verteilung, VaR 99 %

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Gaußsche Glockenkurve

Abbildung 2: Separation nach Sklar

Abbildung 3: Separation nach Sklar (Umkehrung)

Abbildung 4: Zweidimensionale Copula

Abbildung 5: Untere Fréchet-Hoeffding Schranke

Abbildung 6: Obere Fréchet-Hoeffding Schranke

Abbildung 7: Unabhängigkeitscopula

Abbildung 8: t2 Copula - N(0,1) - R1,2 = 0,3

Abbildung 9: Übersicht der Arbeitsschritte

Abbildung 10: Gauß Copula - N(0,1) - R1,2 = 0,3

Abbildung 11: Gauß Copula - t4 -Verteilung - R1,2 = 0,3

Abbildung 12: t4 Copula - N(0,1) - R1,2 = 0,3

Abbildung 13: t4 Copula - t4 -Verteilung - R1,2 = 0,3

Abbildung 14: Gumbel Copula mit N(0,1) - Theta = 5

Abbildung 15: Clayton Copula mit N(0,1) - Theta = 5

Abbildung 16: Frank Copula mit N(0,1) - Theta = 5

Abbildung 17: Gumbel Copula mit N(0,1) - Theta = 15

Abbildung 18: Clayton Copula mit N(0,1) - Theta = 15

Abbildung 19: Frank Copula mit N(0,1) - Theta = 15

Abbildung 20: Gewinn- und Verlustverteilung - Archimedische Copulas

Abbildung 21: Gewinn- und Verlustverteilung - Archimedische Copulas mit Normalverteilung

Abbildung 22: Gewinn- und Verlustverteilung - Archimedische Copulas, t2-verteilten Rändern

Abbildung 23: Gewinn- und Verlustverteilung - Vergleich Frank Copula

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vorwort

An erster Stelle möchte ich mich bei meinen Eltern und meiner Freundin bedanken, die mich in jeglicher Hinsicht während meines gesamten Studiums unterstützt haben.

Ein besonderer Dank gilt darüber hinaus Herrn Prof. Dr. Daniel Rösch und seinem Lehrstuhl für die hervorragende wissenschaftliche Unterstützung während meiner Diplomarbeit. Des Weiteren möchte ich Herrn Dipl. Mathematiker Henrik Voß für die sehr hilfreichen und in-formativen Diskussionen und Meinungen danksagen.

"It ain't what you don't know that gets you into trouble. It's what you know for sure that just ain't so." ^[1] Mark Twain

1. Einführung

1.1 Problemstellung

Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit dem Thema der Risikobeurteilung des Marktrisikos von Wertpapierportfolien. Nicht zuletzt aufgrund der aktuellen Geschehnisse auf den internationalen Finanz- und Kapitalmärkten hat das Risikobewusstsein der verschiedenen Marktteilnehmer stark zugenommen. Insbesondere die grobe Fehleinschätzung des Marktrisi-kos und der Kreditrisiken wurde vielen Banken und Finanzinstitutionen zum Verhängnis. Dies wurde u.a. durch eine Kette von Fehlbeurteilungen der Risiken durch die amerikanische Bank Lehman Brothers und deren Insolvenz deutlich. Das betrachtete Marktrisiko ist dabei definiert als

Ä • das Risiko von Verlusten aus bilanzwirksamen und ausserbilanziellen Positio-nen aufgrund von Veränderungen der Marktpreise. Zu berücksichtigen sind da-bei:

- Risiken aus Zinsinstrumenten und Aktien im Handelsbestand

- Fremdwährungsrisiken und Rohstoffrisiken in der gesamten Ban N3 ^[2]

Das Hauptproblem besteht demnach nicht in der Unkenntnis dieser Risiken, sondern in ihrer falschen Einschätzung. Viele herkömmliche und häufig genutzte Risikomodelle zur Messung des Marktrisikos basieren auf falschen Grundvoraussetzungen und Annahmen. Ziel dieser Analysen ist daher das Verhalten der Marktpreise verschiedener Assets unter unterschiedli-chen Marktgegebenheiten zu untersuchen und verschiedene Entwicklungsszenarien zu gene-rieren, um auf dessen Basis diverse Risikokennzahlen, wie z.B. den Value at Risk (VaR), zu berechnen. Der Value at Risk gibt dabei den maximalen Verlust an, der mit einer vorgegebe-nen Wahrscheinlichkeit innerhalb eines vorher definierten Zeitraums, nicht überschritten wird.

Zur Ermittlung dieser Kennzahl sind alle Kredit- und Finanzdienstleistungsinstitute der euro-päischen Mitgliedsstaaten durch das Basel II Abkommen^[3] verpflichtet, die Kredit-^[4], Markt- und operationellen Risiken^[5] zu quantifizieren. In diesem Abkommen sind alle Eigenkapital-vorschriften der Institute geregelt, so dass das aus dem VaR abgeleitete und gewichtete Ge-samtbankrisiko täglich durch mindestens 8 % des haft]enden Eigenkapitals gedeckt sein muss.^[6]

Für die Schätzung des Marktrisikos wurden im Rahmen des Basel II Regelwerks drei mögli-che Verfahren zur Quantifizierung der Marktrisiken vorgeschlagen.^[7] Einer dieser Ansätze zur Beurteilung des Risikos stellt der analytische Varianz-Kovarianz-Ansatz dar. Dieser geht da-bei von einem linearen Zusammenhang der Wertveränderung eines Portfolios und den Risiko-faktoren aus.^[8] Die Einflüsse der Risikofaktoren auf das Portfolio werden dabei über eine Va-rianz-Kovarianz-Matrix ausgedrückt. Der Value at Risk wird damit auf Basis der Volatilität und der Korrelation der einzelnen Risikofaktoren berechnet. Der Vorteil dieses Ansatzes be-steht in der einfachen Generierung der benötigten Daten aus historischen Zeitreihen. Die Problematik jedoch besteht in der Annahme multivariater normalverteilter Renditen.^[9] Diese Annahme ist u.a. aufgrund der empirisch bewiesenen hohen Kurtosis^[10] der Renditen, d.h. hohe Eintrittswahrscheinlichkeit von positiven oder negativen Extremwerte, nur eingeschränkt rich-tig. Demnach treten extreme Veränderungen der Renditen häufiger auf, als das es die Nor-malverteilung annimmt.

Ein weiteres häufig im Risikomanagement vorzufindendes Modell zur Analyse der Marktrisi-ken ist die Historische Simulation. Gegenüber dem Varianz-Kovarianz-Ansatz besteht der Vorteil dieses Modells in seiner Einfachheit. So müssen keine Annahmen über die Vertei-lungsfunktion der Renditen oder sonstiger Parameter getroffen werden, da z.B. die Korrela-tionen in den historischen Marktpreisveränderungen impliziert sind.^[11] Die Portfolioentwick-lung für z.B. den nächsten Tag wird somit anhand historischer Zeitreihen in die Zukunft mo-delliert. Der Nachteil dieser Methodik liegt unter anderem in dem relativ hohen Rechenauf-wand und in der eventuell nicht ausreichenden historischen Datenmenge der Wertpapierrendi- ten, was sich insbesondere in der Beurteilung von neu emittierten Wertpapieren als schwierig erweist.

Neben den beiden kurz vorgestellten Analysemöglichkeiten gibt es eine weitere Methode, die häufig zur Beurteilung der Portfoliorisiken genutzt wird, die Monte-Carlo-Simulation. Die standardmäl3ige Monte-Carlo-Simulation ist der Historischen Simulation sehr ähnlich, wobei die Simulation nicht auf Vergangenheitsdaten beruht, sondern auf stochastischen Prozessen, die die Entwicklung der Risikoszenarien bestimmen.^[12] Die Variabilität dieses Ansatzes be-steht in der Möglichkeit verschiedene Verteilungen der Renditen anzunehmen, so dass die Modellierung von z.B. Extremwerten möglich wird.

Aus den vorgestellten Ansätzen stellt sich daher die Frage, wie es trotz dieser durch den Bas­ler Ausschuss akzeptierten Risikomodelle zu der Unterschätzung bzw. Fehleinschätzung der Marktrisiken kommen kann. Wie zuvor bereits angedeutet, muss in vielen genutzten mehrdi-mensionalen Risikomodellen oder auch in der traditionellen Portfoliotheorie eine Annahme hinsichtlich der multivariaten Verteilung der Interdependenzen zwischen den einzelnen Risi-kofaktoren getroffen werden. In diesen Modellen wird dabei häufig die multivariate Normal-verteilung zur Modellierung von Abhängigkeiten zwischen Wertpapieren genutzt. Wie aber zahlreiche empirische Arbeiten, u.a. von Rachev/Mittnik (1993), zur Verteilung von Wertpa-pierrenditen festgestellt haben, beschreibt die multivariate Normalverteilung die Ereignisse auf den Finanzmärkten nur unzureichend.^[13] So gibt die Gaul3sche Normalverteilung an, dass ein Börsencrash wie im Oktober 1987 nur einmal in 1087 Jahren eintreten könne. Die Historie zeigt jedoch, dass solche Crash Ereignisse etwa alle 38 Jahre vorkommen.^[14] Dieses Verhalten lässt sich sehr gut an der Gestalt der Gaul3schen Glockenkurse erkennen, wie man der Abbil-dung 1 entnehmen kann. Die Häufigkeit von Ereignissen in den Rändern, d.h. sehr grol3e Ver-luste oder Gewinne der Verteilung, nimmt stark ab. Demnach müsste eine negative oder posi­tive Rendite seltener auftreten, je weiter sie von der Mitte der Verteilung entfernt liegt. Folg-lich müsste ein Börsenabschwung wie 2008 im dünnen linken Ende der Kurve liegen.

Abb. 1: Gaul3sche Glockenkurve

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung.

Daher sollte bei der Analyse von Marktrisiken eine gröl3ere Beachtung der fat-tails (dickere Ränder), insbesondere der linken Flanke der Verteilung und der tail dependence (Wahrschein-lichkeit, dass extreme Ereignisse simultan auftreten) geschenkt werden.^[15] Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die Wahrscheinlichkeit von gemeinsam auftretenden Extremereig-nissen und die Abhängigkeit der einzelnen Wertpapiere zueinander, häufig stark unterschätzt wird. Ein flexibles Modell, welches eine realistischere Zusammenhangsmodellierung der Ri-sikofaktoren erlaubt, stellen die in dieser Arbeit vorgestellten Copula Modelle dar.

1.2 Zielsetzung

Das Ziel dieser Arbeit besteht in der empirischen Analyse des Marktrisikos anhand eines Musterportfolios. Dabei soll der Frage nachgegangen werden, inwieweit mit Hilfe von Copula Funktionen das von dem Portfolio ausgehende Marktrisiko quantifiziert werden kann. Des Weiteren soll ein allgemeiner Überblick über die Zusammenhangsmodellierung von Wertpa-pieren mittels Copulas gegeben und verschiedene Testverfahren zur Überprüfung der Annah-men und Aussagen dargestellt werden. Da diese Diplomarbeit in Kooperation mit der M.M. Warburg CO KGaA, Hamburg geschrieben wird, soll jederzeit die praktische Umsetzung der genutzten Ansätze und Verfahren im Vordergrund stehen.

1.3 Aufbau der Arbeit

Die vorliegende Arbeit setzt sich aus drei Hauptteilen zusammen. Der erste Teil stellt das Co­pula Konzept ausführlich dar und nimmt eine Einordnung gegenüber häufig in der Praxis verwendeter Maße zur Abhängigkeitsmodellierung vor. Dabei werden die mathematischen Grundlagen der Copulas und die verschiedenen Copula Klassen vorgestellt, um in einem wei-teren Schritt einen Vergleich zu den verschiedenen Abhängigkeitsmaßen herzustellen. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Umsetzung des Copula Ansatzes zu Beurteilung des von dem Musterportfolio ausgehenden Marktrisikos. Dabei werden verschiedene Simulationsalgo-rithmen sowie Test- und Schätzverfahren vorgestellt. Wie gezeigt wird, besteht eines der Hauptschwierigkeiten in dem „Aufspiiren" der fir die zugrundeliegenden Daten am besten passenden Copula. Im dritten Hauptteil erfolgt eine empirische Auswertung der Ergebnisse auf Grundlage der Copula Funktionen und der vorgestellten Testverfahren.

2. Mathematische Grundlagen der Copula Funktionen

Dieses Kapitel beschreibt die mathematischen Grundlagen der Copula Funktionen, um die Vorteile gegenüber den bisher häufig in der Praxis genutzten Risikomodellen und Abhängig-keitsmaßen zu illustrieren. Wie in der Einleitung angedeutet, kann es aufgrund von falschen Modellannahmen zu erheblichen Messfehlern und Unterschätzungen in der Risikobeurteilung kommen. Ein Instrument, dass die Asset Renditen realistischer simulieren soll und komplexe-re Abhängigkeiten in die Risikoanalyse einbezieht, sind die Copula Funktionen. Wahrschein-lichkeitsorientierte Aussagen über die Verteilungen der Renditen machen nur Sinn, wenn ein realistisches Modell für die Modellierung der Renditeverteilungen herangezogen wird. Ziel dieser Analyse ist es, Rückschlüsse auf die stochastischen Abhängigkeiten zwischen zwei oder mehreren Risikofaktoren zu erhalten, um beispielsweise große, gemeinsame Verluste in Wertpapierportfolien adäquater zu quantifizieren.

In der Copulatheorie wird die multivariate Verteilungsfunktion in zwei Teile zerlegt: Die eine Funktion beschreibt die Abhängigkeitsstruktur (Copula), die andere beschreibt das Randver-halten, d.h. das Verhalten der Risikovariablen an den Enden des Definitionsbereiches (z.B. der Normalverteilung), der einzelnen Zufallsvariablen. Für die weitere Analyse ist es hilf-reich, beliebige univariate Randverteilungen (Margins) nicht singulär zu betrachten, sondern mittels einer frei wählbaren Copula in eine gemeinsame Verteilungsfunktion zu überführen.^[16] Dies wird aufgrund des Theorems von Sklar, welches eine zentrale Rolle spielt und im späte-ren Verlauf beschrieben wird, ermöglicht.^[17]

Formal ausgedrückt sind Copula Funktionen „...mehrdimensionale Verteilungsfunktionen, mit Gleichverteilungen auf dem Einheitsintervall als eindimensionale Randverteilungen".^[18] Hier-bei wird untersucht, wie sich Veränderungen von Zufallsvariablen auf die anderen Zufallsva-riablen des Modells auswirken, um daraus die Abhängigkeiten der Variablen zu beschreiben. Das Ziel der Copulatheorie besteht darin, aus gegebenen Randverteilungen der im Portfolio enthaltenen Wertpapiere und der Information über die Abhängigkeitsstruktur, die Risikopa-rameter des gesamten Portfolios zu berechnen und zu analysieren. Die Schwierigkeit liegt in der richtigen Wahl der Randverteilungen und einer geeigneten Copula. Zunächst werden durch geeignete Schätzverfahren die am besten passenden Randverteilungen und die Copula bestimmt (siehe Kapitel 6). Im Anschluss daran können die im Portfolio befindlichen Risiken durch die bekannten Risikomaße, wie z.B. Value at Risk (VaR) oder expected Shortfall, quan-tifiziert werden. Der Vorteil der flexibleren Copula Funktionen gegenüber den herkömmli-chen Risikomodellen liegt somit in der Modellierung von vorher fest definierten Abhängig-keiten der Risikofaktoren, d.h. die Copula gibt die Abhängigkeitsstruktur der einzelnen Zu-fallsvariablen vor. Bei der mathematischen Grundsetzung erfolgt eine Beschränkung auf die für diese Diplomarbeit wichtigen Zusammenhänge. Für eine weitergehende Untersuchung und Beweisführung sei auf die Bücher von Embrechts et al. (1999) und Nelsen (2006) verwie-sen.

2.1 Definition Verteilungsfunktion

Je nach Anzahl der Wertpapiere, die sich im Portfolio befinden, spricht man von bivariaten (Anzahl Wertpapiere n =) 2 oder multivariaten (Anzahl Wertpapiere n ~ 2) Verteilungsfunk-tionen. Ein wesentliches Element zur Beschreibung der Zufallsvariablen (z.B. Renditen) ver-schiedener Wertpapiere ist die gemeinsame Verteilungsfunktion. Die gemeinsame Vertei-lungsfunktion für n Zufallsvariablen X 1,..., Xn beschreibt die Abhängigkeit der reellwertigen Zufallsvariablen und ist definiert als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

für x • n. Die Gleichung 2.1.1 definiert den Zusammenhang der Zufallsvariablen X 1,..., Xn, d.h. sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich die Zufallsvariable X kleiner gleich dem Wert x realisiert.^[19] Zur Vereinfachung kann auch die Vektornotation 2.1.2 genutzt werden. Außerdem kann gezeigt werden, dass die Verteilungsfunktion alle Eigenschaften der stetigen Zufallsvariablen enthält.

2.2 Das Theorem von Sklar

Der Vorteil des copulabasierten Analyseansatzes liegt, wie oben beschrieben, in der Möglich-keit, je nach verwendeter Copula, verschiedene Randverteilungen der Risikofaktoren zugrun-dezulegen. Gemäß des Theorems von Sklar wird die gemeinsame Verteilungsfunktion F [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in zwei Teile zu zerlegt: Der eine Teil beschreibt die multivariate Abhängigkeits- struktur und der andere Teil beschreibt die univariate Randverteilung der einzelnen Zufallsva-riablen. Die Abhängigkeitsstruktur, welche durch eine Copula repräsentiert wird, sowie die Randverteilungen, können so getrennt voneinander untersucht, simuliert oder auch geschätzt werden. Diese Separation geht auf den Satz von Sklar zurück, der im Folgenden erläutern wird.

Seien [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Zufallsvariablen mit den univariaten Randverteilungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und der gemeinsamen Verteilungsfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], dann existiert eine n-dimensionale Copula

Funktion : [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] — für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], so dass

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gilt. Sind die univariaten Randverteilungen stetig, dann ist C eindeutig bestimmt. Sonst ist C eindeutig auf dem Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Ran F n von F i festgelegt, wobei Ran Fi den Bild- bereich von Fi festlegt. Umgekehrt gilt: Ist C eine Copula und sind F 1,..., Fn univariate Ver- teilungsfunktionen, dann ist die in 2.2.2 definierte gemeinsame Verteilungsfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine multivariate Verteilungsfunktion mit den Randverteilungen F 1,..., F n.^[20] Da- durch wird ermöglicht, dass die uniformen Randverteilungen auf beliebige Verteilungen F transformiert werden können.^[21] Um diesen Sachverhalt zu visualisieren, schauen wir uns nachfolgende Grafik an. Die Abbildung 2 lässt erkennen, dass die gemeinsame multivariate Verteilungsfunktion der Risikofaktoren F (x 1 ,..., x n) in zwei Komponenten zerlegt werden kann: In die Abhängigkeitsstruktur [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und in die Randverteilungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Abb. 2: Separation nach Sklar

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: In Anlehnung an Schmid/Trede (2005).

Die Copula Funktion enthält somit alle Informationen über die Abhängigkeiten der Zufallsva-riablen, aber keine Informationen über die Randverteilungen. Umgekehrt enthält die Randver-teilung keine Informationen über die Abhängigkeiten der Zufallsvariablen.^[22]

Diese Separation erlaubt eine Verknüpfung einer univariaten Verteilung der Renditen mit jeder beliebigen Copula, um eine für die betrachtete Modellwelt passende multivariate Vertei-lung zu erhalten.^[23] Die Copulas ermöglichen somit eine separate Modellierung der Randver-teilungen unabhängig von ihrer Abhängigkeitsstruktur und vice versa.^[24] Diese Möglichkeit mindert das Schätzproblem für die Verteilungsparameter eines Portfolios. Anstatt alle Vertei-lungsparameter zusammen schätzen zu müssen, kann die Randverteilung separat von der Ge-samtverteilung des Wertpapierkorbes geschätzt werden.

Wenn die Randverteilung jedes Wertpapiers festgelegt wurde, kann die Copula genutzt wer-den, um die Gesamtverteilung mit der erwünschten Abhängigkeitsstruktur zu konstruieren (siehe Abbildung 3).^[25] Auf diese Weise können Verteilungsfunktionen der Asset Renditen modelliert werden, welche die Marktgegebenheiten des betrachteten Portfolios am besten wiedergeben. Dieser Vorteil zeigt sich, indem man die Abhängigkeitsstruktur mittels einer Copula festlegt und in einem zweiten Schritt, unabhängig davon, die Randverteilungen der Zufallsvariablen bestimmt. Somit können beliebige Copulas und Randverteilungen für die Renditen angenommen werden.

Abb. 3: Separation nach Sklar (Umkehrung)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: In Anlehnung an Schmid/Trede (2005).

Für die Analyse der Risikofaktoren eines Portfolios ist es in der Finanzwissenschaft mindes-tens genauso wichtig zu testen, ob die gewählte Copula zur Modellierung der Finanzmarktda-ten passt.^[26] In diesem Fall Formen wir die Gleichung 2.2.1 um, so dass

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gilt, wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] 1 die Pseudo-Inverse von Fi darstellt

Fi-1 (u) inf {xIFi(x) u} f•r i = 1,..., n.^[27] 2.2.4

Falls keine gewöhnliche Inverse für die Randverteilung vorliegt, schlagen Embrechts et al. (2003) eine „quasi Inverse" vor.^[28] Gleichung 2.2.3 besagt, dass C (u) die Wahrscheinlichkeit

angibt, dass die Zufallsvariablen Xi gemeinsam das jeweilige ui-Quantil der zugrundeliegen-den Verteilung nicht überschreiten.

2.3 Definition Copula

Wie oben erwähnt, ist eine Copula C eine multivariate Verteilungsfunktionen mit eindimen-sionalen, uniformen Rändern, welche sich auf dem Einheitsintervall [ 0, 1 ] bewegen. Formal ist eine n-dimensionale Copula C ( u ) = C ( u 1,..., u n ) eine Verteilungsfunktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

von Zufallsvariablen (Ui,...,Un), welche sich auf einem Standard Hyperwür-fel^[29] B befindet und die folgenden drei Bedingungen erfüllt^[30]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anhand von Abbildung 4 kann man den Verlauf der Ränder für eine zweidimensionale Copu-

la auf dem Einheitsquadrat E > 0,1 @ 2 erkennen.

Abb. 4: Zweidimensionale Copula

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: In Anlehnung an F. Neumann (2008).

Bedingung (1) besagt, dass eine Verteilungsfunktion steigend in ihren Komponenten ist. Be-dingung (2) legt fest, dass die Randverteilungen gleichverteilt auf dem Intervall U 0, 1 sind.

Bedingung (3) bedeutet, dass für den Hyperwürfel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]das Volumen größer Null ist, d.h. Vc B t 0. ^[31]

Daraus folgt, dass man für jede stetige multivariate Funktion der Form (1) eine eindeutige Copula C erhält.^[32] Umgekehrt gilt: Ist C eine Copula Funktion und sind F 1,..., Fn Vertei-lungsfunktionen, dann ist F eine n-dimensionale Verteilungsfunktion der Form 3.1.1. Falls die Verteilungsfunktion F 1,..., Fn nicht stetig, sondern diskret ist, kann gezeigt werden, dass die gemeinsame Verteilungsfunktion immer in der Form (1) ausgedrückt werden kann, wobei dann C eindeutig auf dem Intervall von F liegt, d.h. Ran F 1 u... u Ran F n. ^[33] Wie oben und in der Definition (1) beschrieben, wird man an den folgenden Eigenschaften (Abschnitt 2.4) erkennen, dass die Copula Funktion die Verbindung zwischen den einzelnen Randverteilun-gen und der Gesamtverteilung eines Portfolios herstellt, indem sie die Abhängigkeitsstruktur der Zufallsvariablen beschreibt.

2.4 Eigenschaften von Copula Funktionen

2.4.1 Invarianz

Die nachfolgende Eigenschaft stellt fest, dass die Abhängigkeitsstruktur bzw. Copula inva­riant bezüglich ihrer streng monoton ansteigenden Transformation des Zufallsvektors ist.^[34]

Sei (X 1,..., X n) t ein Zufallsvektor mit der Copula C und sind T 1,..., T n streng monoton wach-sende Funktionen, dann hat der transformierte Vektor T 1 X 1 ,..., T n X x t auch die Copula CF T 1(x 1)(x 1),...,()().

F Tn x n xn 2.4.1
Der Vorteil wird ersichtlich, indem die in der Finanzwirtschaft genutzten Wahrscheinlich-keitsmodelle oftmals mit zufallsverteilten Renditen arbeiten. Dabei können die Renditen loga-rithmiert rt oder prozentual Rt angegeben sein. Um die einfache Rendite in logarithmierte Renditen zu überführen, müssen die Zufallsvariablen über eine nichtlineare Transformation

rt ln R t 1 umgewandelt werden.^[35] Aufgrund der angesprochenen Invarianz der Copula

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gegenüber streng monotoner Transformation ihrer Zufallsvariablen verändert sich die Copula, im Gegensatz zur Randverteilung, nicht.^[36]

2.4.2 Fréchet-Hoeffding-Schranken

Der Wertebereich einer Copula ist nach oben und unten durch die sogenannten Fréchet-Hoeffding-Schranken begrenzt und kann somit keine beliebige Gestalt annehmen. Die obere M und die untere W Fréchet-Hoeffding-Schranke sind folgendermaßen definiert. Falls C eine n-dimensionale Copula ist, dann gilt für alle u •> 0, 1 @ n

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Definition 2.4.4 wird als Fréchet-Hoeffding Untergrenze W bezeichnet und ist nur für den Fall n 2 eine Copula, was einer perfekt negativen Abhängigkeit der Zufallsvariablen oder anders ausgedrückt einer Kontramonotonie^[37] entspricht.^[38] Für den Fall n ! 2 ist die Funktion keine Copula aufgrund des fehlenden Anstiegs in jeder Komponente xi.^[39] Die rechte Seite der Definition 2.4.3 wird Fréchet-Hoeffding Obergrenze M genannt. Diese ist in jeder Dimension eine Copula und zeigt die perfekt positive Abhängigkeit bzw. Komonotonie^[40] der Zufallsvariablen.^[41] Die Definition 2.4.6 veranschaulicht die Produkt- bzw. Unabhängigkeits-copula. Die Zufallsvariablen sind genau dann unabhängig, wenn die Copula C folgende Form besitzt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Lage der Grenzen zu verdeutlichen, betrachten wir erneut einen Würfel (siehe Abb. 5 bis 7).

Abb. 5: Untere Fréchet-Hoeffding Schranke

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung.

Abb. 6: Obere Fréchet-Hoeffding Schranke

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung.

Abb. 7: Unabhängigkeitscopula

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung

Dementsprechend lässt sich festhalten, dass die Copula, welche die Abhängigkeitsstruktur des Modells festlegt, zwischen den beiden Begrenzungen W und M, d.h. den Extremwerten lie-gen muss.^[42]

3. Abhängigkeitsmaße

Nachdem wir in Kapitel 2 die Copula Funktionen als Abhängigkeitsstruktur sowie ihre Eigen-schaften kennengelernt haben, stellt sich nun die Frage, wie die Abhängigkeiten der Zufalls-variablen quantifiziert werden können.

In diesem Kapitel erfolgt eine Abgrenzung des klassischen Abhängigkeitsmaßes, dem soge-nannten linearen Korrelationskoeffizienten, welches auf der Annahme elliptischer Verteilun-gen beruht, gegenüber den Abhängigkeitsmaßen, die die fat tail Problematik des Marktrisikos berücksichtigen.^[43] Für das Risikomanagement ist es essentiell zu verstehen und zu analysie-ren, wie sich die betrachteten Zufallsvariablen zueinander verhalten bzw. wie sie voneinander abhängen. Somit können die von den einzelnen Risikofaktoren ausgehenden Gefahrenpoten-tiale des Gesamtportfolios erfasst werden. Des Weiteren wird in Kapitel 4 gezeigt, dass mit Hilfe der Abhängigkeitsmaße, im speziellen Kendall´s tau r, die Copula Funktionen über eine Generatorfunktion ço berechnet und modelliert werden.

3.1 Anforderungen an Abhängigkeitsmaße

Um einen Überblick zu erhalten welchen Anforderungen ein Abhängigkeitsmaß per Definiti­on zu genügen hat, werden im Folgenden vier Axiome vorgestellt, welche ein Abhängig-keitsmaß per se zu erfüllen hat. Die Beurteilung der Konzepte erfolgt auf Grundlage der ge-nannten Axiome von Scarsini (1984) und Embrechts et al. (1999).^[44] Ein geeignetes Maß zur Beurteilung von Abhängigkeiten S (•••, •"), welches die Abhängigkeitsstruktur der reellwerti- gen Zufallsvariablen X und Y abbildet, sollte folgende Eigenschaften erfüllen:

A1: Symmetrie S (X, Y) = S (Y, X)

A2: Normierung — 1 ~ S (X, Y) ~ 1

A3: Komonotonie S (X, Y) = 1 <> X, Y und Kontramonotonie S (X, Y) = — 1 <> X, Y

A4: Für T : - strikt monoton auf dem Bereich X gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die nachstehenden Abschnitte werden zeigen, dass der lineare Korrelationskoeffizient nach Pearson lediglich die Anforderung A1 und A2 erfüllt und sich somit als ungeeignet für die weitere Nutzung herausstellt.^[45] Die Rangkorrelationen nach Kendall und Spearman dagegen erfüllen neben A1 und A2, auch die Anforderungen A3 und A4.^[46] Insbesondere die Anforde-rung A3 ist für das Risikomanagement von großer Bedeutung, da zwei komonotone, gleich-läufige Risiken nicht durch Diversifikationseffekte des Portfolios gehedgt werden können.^[47] Außerdem beachtet die Anforderung A4 die wichtige Voraussetzung der Invarianz der Copula Funktion, welche in Kapitel 2.4 beschrieben wurde. Der lineare Korrelationskoeffizient nach Pearson dagegen verändert sich während der nicht-linearen Transformation der Daten, da er nicht unabhängig von der Randverteilung ist.^[48] Aufgrund ihrer Invarianz gegenüber der nicht-linearen Transformation ermöglichen uns Kendall´s tau und Spearman´s Rho die Messung und den Einbezug der Konkordanz in die Abhängigkeitsmessung von Zufallsvariablen.^[49]

3.2 Linearer Korrelationskoeffizient

Das in der Praxis, insbesondere in der Analyse von Portfoliorisiken, wohl am häufigsten ge-nutzte Maß der Zusammenhangsmessung für zwei oder mehrere Zufallsvariablen ist der linea-re Korrelationskoeffizient nach Pearson.^[50] Dieser berechnet sich für den bivariaten Fall als Dabei stellt der Zähler die empirische Kovarianz und der Nenner die empirische Varianz, d.h.die Streuung der reellwertigen Zufallszahlen, dar.^[51] Der lineare Korrelationskoeffizient xy U

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gibt somit die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen den Variablen x und y an. p xy ist auf den Bereich — 1 ~ p ~ 1 begrenzt. p > 0 impliziert einen positiven Zusammenhang der Variablen. Dagegen zeigt p < 0 einen negativen linearen Zusammenhang, d.h. steigt die Va­riable x, fällt mit einer hohen Wahrscheinlichkeit die Variable y. Ein Korrelationskoeffi-zient von p = 0 bedeutet dagegen, dass kein linearer Zusammenhang besteht.^[52] Zwar besagt eine Korrelation von Null eine Unkorreliertheit, wobei dieser Zusammenhang jedoch keine Rückschlüsse auf die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen zulässt, da nur kein linearer Zusammenhang besteht.^[53] Das Problem liegt demnach in der Kovarianz, die keine nicht-linearen Abhängigkeiten messen kann. Nur unter der Annahme normalverteilter Risi-ken, lässt sich daher ein Rückschluss auf die Unabhängigkeit der Variablen bestätigen. Wie zahlreiche empirische Untersuchungen aber zeigen, muss für das hier betrachtete Marktrisiko, insbesondere das Aktienpreisrisiko, die Nullhypothese einer Normalverteilung für den Ak-tienmarkt oftmals verworfen werden (siehe auch Kapitel 7.1).^[54]

Insbesondere in den Bereichen der negativen tails, d.h. betragsmäßig große Verluste der Risi-kofaktoren in den linken Randbereichen, haben Longin/Solnik (2001) die Nullhypothese em-pirisch widerlegen können. Auch Blum/Embrechts (2002) weisen auf die häufige Fehlinter-pretation der linearen Korrelation hin.^[55] Sie merken an, dass der lineare Korrelationskoeffi-zient nur für Zufallsvariablen berechnet werden kann, die über endliche Varianzen verfügen. Aber insbesondere bei Verteilungen mit heavy- oder fat tails (dicke Verteilungsenden) kann es aufgrund von selten auftretenden Ereignissen, die aber wiederum mit hohen Verlusten auf-treten, zu unendlichen Varianzen kommen. Insbesondere ist das der Fall bei einer t-Verteilung mit Freiheitsgraden v ~ 2 .^[56]

Des Weiteren wird ausgeführt, dass die herkömmlichen Risikomaße keine Aussage über die Abhängigkeitsstruktur geben. So können Verteilungen mit der gleicher Standardabweichung, gleichem Erwartungswert und gleichem Korrelationskoeffizient unterschiedliche Abhängig-keitsstrukturen in ihren Rändern aufweisen.^[57] Dementsprechend ist der Pearson Korrelations- koeffizient variant bezüglich monoton steigender Transformation der beobachteten Variablen. Somit hängt dieser nicht nur von der Copula Funktion ab, sondern auch von der Randvertei-lung der Zufallsvariablen, was zu störenden Verzerrungen führt.^[58] Besonders im Risikomana-gement der Finanz- oder Versicherungsbranche geht es um die Analyse extremer Ereignisse, weshalb die Kalkulation von Risiken für den Unternehmensfortbestand unabdingbar ist. Von großem Interesse sind dabei die Randgebiete, insbesondere der linke Bereich der Verteilung, welcher das ,,downside Potential" des betrachteten Marktrisikos offenbart.^[59] Um dieses Risiko adäquat zu beurteilen ist es daher unerlässlich Abhängigkeitsmaße zu nutzen, welche auch die Messung nicht-linearer Zusammenhänge zulassen. Dabei sollte den Randbereichen der Ver-teilung eine größere Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden, als es die Gauß- bzw. Normal-verteilung tut. Im Folgenden werden zwei copulabasierte Abhängigkeitsmaße vorgestellt, die gegenüber den linearen Abhängigkeitsmaßen die oben genannten Anforderungen erfüllen. Die beiden hier betrachteten copulabasierten Abhängigkeitsmaße Kendall´s tau r und Spearman´s Rho P S beruhen beide auf dem Konzept der Konkordanz bzw. Diskordanz, welches daher einleitend vorgestellt wird.

3.3 Konkordanz und Diskordanz

Allgemein versteht man unter dem Begriff der Konkordanz, dass große (kleine) Werte von X mit großen (kleinen) Werten von Y auftreten, dies führt zu einem gleichgerichteten Zusam-menhang. Dagegen beschreibt die Diskordanz, dass große Werte von X ( Y) mit kleinen Wer- ten von Y ( X ), also entgegengesetzt auftreten.^[60] Somit werden zwei unabhängige stetige Be-obachtungspaare (xi, yi) und (xj, yj) als konkordant bzw. diskordant bezeichnet, wenn (x i - x j)(y i - yj) >0 bzw. (x i - x j)(y i - yj) <0 gilt. Beide Rangkorrelationen, Kendall´s tau und Spearman´s Rho, messen den Grad der Konkordanz eines Zufallsvektors und bleiben unverändert bezüglich monoton steigender Transformation ihrer Variablen und hängen daher nur von der Copula Funktion ab.^[61] Laut Embrechts et al. (1999) kann die Komonotonie als stärkste Ausprägung der Konkordanz oder positiven Abhängigkeit bezeichnet werden.^[62]

Wie wir in den vorangegangenen Kapiteln gesehen haben, enthält die Copula alle benötigten Informationen über die Abhängigkeiten der zugrundeliegenden Zufallsvariablen. Um sich diesen Vorteil bei der Analyse der Abhängigkeiten zu nutzen zu machen, können Kendall´s tau und Spearman´s Rho in Termen der Copula ausgedrückt werden, wie im Folgenden ge-zeigt wird.

3.4 Kendall´s tau

Der Rangkorrelationskoeffizient nach Kendall misst die Stärke des monotonen Zusammen- hangs zwischen ein oder mehreren Zufallsvariablen und ist auch für nicht-lineare Zusammen- hänge geeignet. Sei { ( 1 , 1 ), ( 1 , 2 ),. . . , ( , )}

x y x y x n y n ein Zufallsvektor mit n Beobachtungen §

eines Vektors (X, Y), dann ergeben sich ¸

n Paare aus den Beobachtungen, wobei jedes Paar entweder konkordante oder diskordante Merkmale aufweist. Dementsprechend ist c die An- zahl an konkordanten und d die Anzahl an diskordanten Paaren. Kendall´s tau ist wie folgt definiert:

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Der Wert von W bewegt sich auf einer Skala von > 1,1 @. Je weiter sich der Wert 1 (1)

nähert, desto perfekt positiver (negativer) und monotoner ist der Zusammenhang zwischen den beobachteten Variablen. Werte um Null deuten darauf hin, dass kein monotoner Zusam-menhang besteht.^[63] Genau wie der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman, hängt der Korrelationskoeffizient Kendall´s tau von der zugehörigen Copula und nicht von der zugrun- deliegenden Randverteilung ab.^[64] Demnach kann, in Anlehnung an Kapitel 3.4.1, Kendall´s tau als globales Abhängigkeitsmaß folgendermaßen definiert werden:

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wobei (X 1, Y 1) und (X 2, Y 2) zwei unabhängig und gleichverteilte Zufallsvektoren sind. Inso-fern kann der Korrelationskoeffizient nach Kendall als Differenz aus der Wahrscheinlichkeit für Konkordanz und der Wahrscheinlichkeit für Diskordanz interpretiert werden.^[65] Für die Transformation des Kendall´s tau auf die Copula Funktion, betrachten wir (X, Y) als ein Zu-

fallsvektor mit der dazugehörigen Copula C.^[66] Dann ist der Rangkorrelationskoeffizient Ken-dall´s tau W für X und Y definiert als

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wobei Q die Differenz aus (X 1, Y 1 ) und (X 2, Y 2) widerspiegelt.

3.5 Spearman´s Roh

Ein weiteres und häufig genutztes nicht-parametrisches Maß auf Grundlage der Konkordanz zur Beurteilung von Abhängigkeiten zwischen zwei Variablen X und Y, ist der Korrelati-onskoeffizient nach Spearman. Genau wie Kendall´s tau ist Spearman´s Rho invariant bezüg-lich der monoton steigenden Transformation der zugrundeliegenden Variablen (X, Y) und hängt nur von der Copula Funktion ab, so dass die Randverteilungen der zugehörigen Zufalls-variablen unberücksichtigt bleiben.^[67] Spearman´s Rangkorrelationskoeffizient, bestehend aus den Zufallsvektoren X, Y und der dazugehörigen Verteilungsfunktion Fx, Fy sowie der zu- grundeliegenden gemeinsamen Verteilungsfunktion F, ist definiert als U s (X, Y) U (F 1 (X), F 2 (Y)) 3.5.1 bzw.

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U der lineare Korrelationskoeffizient ist.^[68] Ähnlich wie Kendall´s tau errechnet sich Spearman´s Rho ebenfalls aus der Differenz von Konkordanz- und Diskordanzwahrschein-lichkeit. Somit ergibt sich Spearman´s Rho als Funktion der Copula:^[69]

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Dadurch kann bei bekannter Copula die monotone Abhängigkeit durch Spearman´s Rho ver-einfacht bestimmt werden. Genau wie bei Kendall´s tau wird für den Fall U s ! 0 eine positive

Abhängigkeit und für U s 0 eine negative Abhängigkeit unterstellt, wohingegen U s 0 auf keinen monotonen Zusammenhang hindeutet.^[70]

3.6 Tail Dependence

Für die Untersuchung und Modellierung der Abhängigkeiten zwischen Extremwerten, d.h. den Ausprägungen in den oberen-rechten und/oder unteren-linken Quadranten der Verteilung, ist die tail dependence von großer Bedeutung.^[71] Die Analyse von großen Abhängigkeiten bei starken Marktbewegungen ist nicht zuletzt durch die aktuelle Finanzmarktkrise verstärkt wor-den, denn viele getroffene Annahmen über das stochastische Verhalten des Marktrisikos durch das Risikomanagement unterschätzen diese gemeinsamen Marktbewegungen systema-tisch. Dies kann zu Fehlkalkulationen der Risikokennzahlen und somit zu starken Fehlein-schätzungen des Portfoliorisikos führen.

Die tail dependence gibt, vereinfacht ausgedrückt, die Wahrscheinlichkeit an, dass hohe (niedrige) Werte von der Zufallsvariablen X mit einem hohen (niedrigen) Extremwert der Zufallszahl Y gemeinsam auftreten bzw. einhergehen. Eine weitere Interpretation ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Renditen von X das eigene u-Quantil übersteigen unter der Voraussetzung, dass die Rendite von Y das eigene u-Quantil auch übersteigen und rezip- rok. Wir betrachten dazu einen stetigen Vektor aus zwei Zufallsvariablen X und Y mit den Randverteilungen F und G. Für den Fall der Konzentration von großen Extremwerten bzw. Gewinnen, man spricht hierbei von upper (obere) tail dependence, ist der Koeffizient der obe-ren tail dependence folgendermaßen definiert

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Falls die Zufallsvariablen X und Y im oberen Ende der Verteilung asymptotisch abhängig sind, wird sich eine obere bzw. upper tail dependence O u ! 0 und im Fall O u 0 eine asymp-totische Unabhängigkeit ergeben.^[72] Eine Alternative Darstellung der oberen tail dependence unter Berücksichtigung der Copula Funktion kann man wie folgt definieren

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Für Beweise und Herleitungen siehe Embrechts et. al. (2005). Eine Übersicht über die spezifi-schen tail dependences für die jeweilige Copula zeigt Tabelle 1.

[...]

---

^[1] Deutsche Übersetzung: "Was uns in Schwierigkeiten bringt, ist nicht das, was wir nicht wissen. Es ist das, was wir mit Sicherheit wissen, was jedoch in Wahrheit falsch ist."

^[2] Zitat: Bank für Internationalen Zahlungsausgleich (2005), S. 7.

^[3] Basel II Abkommen: Festlegung von internationalen Standards zur Risikovorsorge bei Bankgeschäften (vgl. Bank für Internationalen Zahlungsausgleich 2005).

^[4] Kreditrisiko: Risiko das ein Kreditnehmer seinen Zahlungsverpflichtungen nicht nach kommt (vgl. Bundesans-talt für Finanzdienstleistungsaufsicht 2005).

^[5] Operationelle Risiken: Alle betriebliche Risiken, die in einem Unternehmen einen Schaden zufügen können (vgl. Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht 2005)

^[6] Vgl. Bank für Internationalen Zahlungsausgleich (2005), S. 12.

^[7] Vgl. Bank for International Settlements (2008), S. 12.

^[8] Vgl. Wimmer (2004), S. 236.

^[9] Vgl. Hull (1998), S. 353.

^[10] Kurtosis: Maß für den Grad der Flachheit einer Verteilung gegenüber der Normalverteilung (vgl. Levy 2004).

^[11] Vgl. Spremann/Gantenbein (2007), S. 131.

^[12] Vgl. Levy (2004), S. 221.

^[13] Vgl. Mittnik/Rachev (1993), S. 300 f.

^[14] Vgl. Mittnik/Rachev (2006), S. 1.

^[15] Vgl. Malevergne,/Sornette (2003), S. 231.

^[16] Vgl. Jondeau et al. (2006), S. 303 f.

^[17] Vgl. Palaro/Hotta (2006), S. 94.

^[18] Zitat: Vgl. Henking et al. (2006), S. 137.

^[19] Vgl. Hechenblaikner (2006), S. 65.

^[20] Vgl. McNeil et al. (2005), S. 186.

^[21] Vgl. Marshall/Olkin (1988), S. 2.

^[22] Vgl. Schmid/Trede (2005), S. 34.

^[23] Vgl. Palaro/Hotta (2006), S. 5.

^[24] Vgl. Sun et al. (2009), S. 204.

^[25] Vgl. Jondeau/Rockinger (2006), S. 831.

^[26] Vgl. Savu (2006), S. 13.

^[27] Vgl. Blum et al. (2002), S. 342.

^[28] Vgl. Embrechts et al. (2003), S. 341.

^[29] Def.: Würfel mit 4 oder mehr Dimensionen.

^[30] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 185 f.

^[31] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 186 f.

^[32] Beweis: siehe Sklar (1996).

^[33] Vgl. Clemen/Reilly (1999), S. 209.

^[34] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 6.

^[35] Vgl. Savu (2006), S. 16 f.

^[36] Vgl. Straßburger (2006), S. 97.

^[37] Kontramonotonie: Eine perfekt negative Abhängigkeit liegt vor, wenn die eine Zufallsvariable eine monoton fallende Funktion der anderen ist (vgl. Schmid/Trede 2006).

^[38] Vgl. Pfeifer/Neshlova (2000), S. 2.

^[39] Vgl. Kettler (2008), S. 3.

^[40] Komonotonie: Eine perfekt positive Abhängigkeit liegt vor, wenn die eine Zufallsvariable eine monoton wachsende Funktion der anderen ist (vgl. Schmid/Trede 2006).

^[41] Vgl. Denuit et al. (2005), S. 54.

^[42] Vgl. Genest/Favre (2007), S. 248.

^[43] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 1.

^[44] Vgl. Scarsini (1984), S. 205.

^[45] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 15.

^[46] Vgl. Embrechts et al. (2003), S. 346.

^[47] Vgl. Nguyen (2008), S. 134.

^[48] Vgl. Hurd et al. (2007), S. 11.

^[49] Vgl. Embrechts et al. (2003), S. 14.

^[50] Vgl. Jondeau/Rockinger (2006), S. 833.

^[51] Vgl. Cramer/Kamps (2008), S. 109.

^[52] Vgl. Fahrmeier et al. (2007), S. 130.

^[53] Vgl. Brunner (2004), S. 159.

^[54] Vgl. Longin/Solnik (2001).

^[55] Vgl. Blum/Embrechts (2002), S. 177.

^[56] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 7 f.

^[57] Vgl. Hechenblaikner (2006), S. 62.

^[58] Vgl. Melchiori (2003), S. 8.

^[59] Vgl. Mittnik (2003), S. 1.

^[60] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 95.

^[61] Vgl. Mikosch (2005), S 5.

^[62] Vgl. Embrechts et. al. (1999), S. 21.

^[63] Vgl. Cleff (2008), S. 120.

^[64] Vgl. Venter (2002), S. 69.

^[65] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 97.

^[66] Vgl. Nelsen (2006), S. 159.

^[67] Vgl. Malevergne/Sornette (2002), S. 12.

^[68] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 16 f.

^[69] Vgl. Embrechts et al. (2003), S. 13.

^[70] Vgl. Clemen/Reilly (1999), S. 211.

^[71] Vgl. Schmidt (2003), S. 65.

^[72] Vgl. Denuit et al. (2005), S. 217.