Capital Asset Pricing Modell (CAPM) vs. Arbitrage Pricing Theory (APT). Vergleich von Konzeption und Implikation zweier Modelle zur Renditebestimmung

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Einleitung

1 Herleitung des Capital Asset Pricing Modell (CAPM)
1.1 Die Portfoliotheorie als Ausgangspunkt des CAPM
1.2 CAPM als klassische Kapitalmarkttheorie des Gleichgewichts
1.3 Das CAPM als Modell der Wertpapierlinie

2 Darstellung der Arbitrage Pricing Theory (APT)
2.1 Herleitung der Wertpapier- & Portfoliorendite in der APT
2.2 Herleitung der Bewertungsgleichung der APT
2.3 Das CAPM als Spezialfall der APT

3 Kritischer Vergleich des CAPM und der APT
3.1 Kritik an den Modellkonzeptionen
3.2 Ergebnis der empirischen Überprüfung des CAPM
3.3 Von empirisch relevanten Risikofaktoren bis zum Fama-French-Modell

Fazit

Literaturverzeichnis

Anhang

Abkürzungsverzeichnis

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Symbolverzeichnis

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Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Effiziente Portfolios gem. μσ-Prinzip (Quelle: Rolfes (2003): 31)

Abb. 2: Investitionsentscheidung bei risikoloser Verschuldungs- und Investitionsmöglichkeit (Quelle: Cuthbertson/Nitzsche (2007): 129)

Abb. 3: Mögliche PF’s aus zwei Assets bei unterschiedlicher Korrelation (Quelle: Cuthbertson/Nitzsche (2007): 124)

Abb. 4: Portfolio aus Asset i und Marktportfolio M (Quelle: Cuthbertson/Nitzsche (2007): 132)

Abb. 5: Wertpapierlinie des CAPM (Quelle: Copeland et al. (2005): 151.

Einleitung

Eine immer wiederkehrende Frage des Unternehmertums beschäftigt sich mit dem „richtigen“ Preis – und damit mit der erzielbaren Rendite – eines risikobehafteten Investitionsobjekts. Die effiziente Allokation knapper unternehmerischer Mittel und damit die langfristige Sicherung der eigenen Existenz ist nur dann gewährleistet, falls es gelingt durch die richtige Auswahl von Investionen risikoadäquate Vermögenszuwächse (Renditen) zu erzielen.

Das in den letzten Jahrzehnten wohl meistdiskutierte Modell zur Erklärung der Bildung von Preisen aller Anlageformen^[1] ist das von Sharpe, Litner und Mossin entwickelte Capital Asset Pricing Modell^[2] (CAPM). Die intuitive Eingängigkeit des Resultats, dieses auf einem existenten Kapitalmarktgleichgewicht fußenden Modells, mag auch der Grund dafür sein, dass das CAPM von großer praktischer Bedeutung ist. So kommt sowohl eine deutsche^[3], wie US-amerikanische^[4] Studie zu dem Ergebnis, dass ungefähr 75% der Manager ihre Eigenkapitalkosten unter Verwendung des CAPM errechnen.

Trotz des intuitiven Ergebnisses des CAPM kam es zu ansteigender Kritik an den zahlreichen unrealistischen Modellannahmen des Gleichgewichtsmodells. Insbesondere die Nicht-Beobachtbarkeit des Marktportfolios und damit einhergehend die fehlende Möglichkeit der empirischen Überprüfbarkeit des CAPM wurden von Roll kritisiert.^[5] Dies führte zur Entwicklung einer alternativen Theorie, nämlich der Arbitrage Pricing Theory (APT) von Ross^[6], die mit weniger restriktiven Annahmen auskommt. Vor allem das Wissen um die Zusammensetzung des Marktportfolios wird überflüssig und das Modell zur Renditebestimmung damit deutlich handhabbarer. Ziel dieser Arbeit ist es, die Konzeption und die Implikationen beider Modelle einander vergleichend gegenüber zu stellen. Dabei wird die Frage beantwortet, welches der Modelle sowohl aus theoretischer wie auch praktischer Sicht vor zu ziehen ist. Zu beachten ist außerdem, dass obwohl die Modelle konzeptionell keinerlei Anlageform explizit ausschließen, handelt es sich doch um Kapitalmarktmodelle.^[7] Im weiteren Verlauf der Arbeit sind deshalb mit Preisen und Renditen immer diejenigen von Wertpapieranlagen gemeint.

Das erste Kapitel beschäftigt sich mit den Annahmen und der darauf fußenden Herleitung des CAPM sowie seinen Implikationen.

Im zweiten Kapitel werden dann die Konzeption und die Implikationen des Alternativmodells, der APT, beschrieben.

Das dritte und letzte Kapitel stellt die konzeptionellen Gemeinsamkeiten und Unterschiede der hier diskutierten Modelle einander gegenüber, wobei auch auf modellspezifische Kritikpunkte – insbesondere hinsichtlich der empirischen Überprüfbarkeit der Modelle – eingegangen wird. In den nächsten beiden Abschnitten erfolgt ein vergleichender Abriss der bisherigen empirischen Befunde für die beiden Modelle, indem grundlegende Erkenntnisse jahrzehntelanger empirischer Forschung präsentiert werden^[8]. Abschließend wird ein Modell vorgestellt, welches aus den Diskussionen um die Kapitalmarkttheorie hervorgegangen ist und eine hohe Erklärungskraft für die Renditen besitzt, nämlich das Drei-Faktor-Modell nach Fama/French.

Auf Grundlage der kritischen Auseinandersetzung sowohl mit der theoretischen Konzeption als auch der empirischen Überprüfbarkeit der Modellimplikationen, findet dann im Fazit eine abschließende Wertung der präsentierten Modelle statt.

1 Herleitung des Capital Asset Pricing Modell (CAPM)

1.1 Die Portfoliotheorie als Ausgangspunkt des CAPM

Die theoretische Grundlage kapitalmarkttheoretischer Ansätze^[9], wie zum Beispiel die des CAPM, bildet die Portfoliotheorie (PT) nach Markowitz^[10], welche sich mit Investitionsentscheidungen unter Risiko beschäftigt.^[11] Markowitz versuchte die Fragen zu beantworten, warum Investoren ihr Vermögen auf mehrere verschiedene Wertpapiere verteilen, wodurch sie ihr Risiko streuen und wie die Auswahl dieser Anlagen rational durchgeführt werden kann. Dabei ging er von einem einperiodigen Investitionszeitraum (Annahme 1 [AN 1]) aus, so dass sich einerseits die Frage nach Diskontierung und Wiederanlage erübrigt^[12], andererseits Renditen als Kriterium für die Investitionsentscheidung herangezogen werden können.^[13]

In der PT wird das Risiko mit dem µσ-Prinzip erfasst. Das bedeutet, dass neben der erwarteten (erw.) Rendite eines Wertpapiers (µi), die – als Risiko definierte – Schwankung bzw. Standardabweichung (σi) um diesen Renditeerwartungswert in die Investitionsentscheidung mit einbezogen wird.^[14] Betrachtet man zunächst eine Welt in der nur zwei Wertpapiere A und B existieren. So ergibt sich für die erw. Rendite des Portfolios (PFs) (μP) mit dem Wertanteil^[15] xA am Wertpapier (WP) A und xB am WP B, wobei gilt xA + xB =1:

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und für das Risiko des Portfolios, d.h. die Standardabweichung σP^[16]

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wobei σAB der Kovarianz des WPes A mit WP B entspricht und somit auch gilt:^[17]

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Abhängig von dem Anteil xA des WPs A am PF lassen sich viele PFs mit unterschiedlichen μσ -Kombinationen bilden. Im Extremfall xA =0 besteht das PF nur aus dem WP A, entsprechend für xA =1 nur aus Asset B. Der Verlauf der PFs mit unterschiedlichem WP-Anteil xA im μσ -Diagramm hängt dabei von der Ausprägung des Korrelationskoeffizienten kij ab. Für eine perfekte positive Korrelation kij =+1 entsteht dabei ein linearer Zusammenhang zwischen der PF-Rendite μP und PF-Risiko σP.^[18] Mit Beziehung (3) folgt, dass alle weiteren möglichen PFs links von dieser äußersten Verbindungsgerade AB liegen müssen. Eine Verringerung des Risikos durch Mischung der beiden Assets (sog. Diversifikation) ist so immer dann möglich, wenn kij <+1 gilt.^[19] Für kij =-1 hingegen kann das Risiko sogar vollständig diversifiziert werden.^[20] Zu beachten ist, dass für jedes beliebige kij <+1 für einen bestimmten Anteil xA ein varianzminimierendes PF^[21] existiert (vgl. Punkt Z A/Berechnung 3 Abb. 3); d.h. es existiert ein Anteil xA für den das PF bei gegebenen kij die niedrigste mögliche Standardabweichung aufweist.^[22] All diese Zusammenhänge können auf den Fall beliebig vieler WPe übertragen werden, indem die Beziehung (1) und (2) angepasst werden.^[23] Mit der Anzahl an WPen n folgt:

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Mit

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Das Risiko eines PFs wird dabei durch eine wachsende Anzahl an (nicht vollständig korrelierten) WPen diversifiziert. Dabei spielt mit steigender WP-Anzahl immer weniger das sog. s pezifische bzw. unsystematische Risiko des einzelnen Assets eine Rolle (dieses wird diversifiziert), sondern die korrelativen Beziehungen zwischen den WPen treten in den Vordergrund (sog. PF-Risiko, Marktrisiko oder systematisches Risiko).^[24] Die Menge möglicher PFs behält dabei ihre grundsätzliche Form^[25] (vgl. Abb. 1 mit Abb. 4 A/Berechnung 3).

In der PT wird den Investoren risikoaverses Verhalten (µσ-Regel) unterstellt (AN 2). Dies bedeutet, dass ein Investor bei gleichem µ zweier Investitionen diejenige mit geringerem σ und bei gleichem σ diejenige mit höherem µ bevorzugt.^[26] Oder anders ausgedrückt: Ein Investor wird nur dann in ein WP mit höherem Risiko investieren, wenn ihm dieses eine höhere erw. Rendite bietet. Der sich dadurch ergebende Verlauf der Indifferenzkurven^[27] ist für zwei Investoren mit unterschiedlich ausgeprägter Risikoaversion beispielhaft in Abb. 1 wiedergegeben. Ihr Nutzen steigt dabei je weiter links ihre Indifferenzkurve verläuft. Betrachtet man

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Abb. 1: Effiziente Portfolios gem. μσ-Prinzip (Quelle: Rolfes (2003): 31)

unter dieser Voraussetzung die Menge aller möglichen PFs aus WP‘en, so ist unmittelbar einsichtig, dass nur die PFs auf der Kurve ZD risikoeffizient sind. Sie dominieren hinsichtlich der µσ-Regel alle anderen PFs und sind daher respektive besser diversifiziert [ Implikation 1 (IM 1) ]^[28]. Die Kurve ZD wird deshalb auch als Effizienzkurve (EK)^[29] bezeichnet.^[30] Sie kann definiert werden als „der geometrische Ort, derjenigen Portfolios, die für eine gegebene Standardabweichung die höchste erwartete Rendite aller möglichen Portfolios aufweisen^[31]“^[32]. Entsprechend seiner Risikoneigung (Verlauf der Indifferenzkurve) wählt jeder Investor seinen individuellen (ind.) Punkt auf der EK. Dabei ist zu beachten, dass die EK aus WP-PFs besteht,^[33] deren erw. Renditen von der subjektiven Einschätzung des jeweiligen Investors abhängen. Das bedeutet, dass Investoren unterschiedliche PFs derselben EK abhängig von ihrer Risikoneigung wählen und auch verschiedene subjektive EKn existieren. Ergo kann auch kein Kapitalmarktgleichgewicht (KGG) bestehen. Vielmehr kommt es zu Nachfrage- bzw. Angebotsüberhängen.^[34]

1.2 CAPM als klassische Kapitalmarkttheorie des Gleichgewichts

Die Kapitalmarkttheorie (KT) beschäftigt sich mit der Frage, welche Eigenschaften ein KGG aufweist, wenn alle Investoren sich so verhalten, wie die oben beschriebene PT es verlangt. Sie wird als Vorstufe des CAPM aufgefasst.^[35] Um ein KGG herzuleiten müssen jedoch weitere Annahmen getroffen werden.

Da es üblich ist, dass ein Investor einen Teil seines Vermögens in relativ risikofreie Investitionen tätigt^[36], besteht der nächste Schritt darin, einen risikolosen Zins einzuführen zu dem jeder Investor unbeschränkt Kapital anlegen und aufnehmen kann (AN 3). Eine risikolose Rendite (Rf) ist ex ante bekannt, so dass für sie gilt:

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Legt ein Investor den Teil (1- xA) seines Vermögens zu Rf und entsprechend den Vermögensanteil xA in ein beliebiges risikobehaftetes PF mit der Rendite RA an, ergibt sich für die erw. PF-Rendite der lineare Zusammenhang^[37]:

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Grafisch wird diese Gleichung durch die Gerade I1 (Abb. 2) – auch sog. Transformationslinie (TL) – dargestellt. Ist das gesamte Vermögen in das risikobehaftete PF A investiert, so befindet sich der Investor im Punkt A von I1. Je mehr seines

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Abb. 2: Investitionsentscheidung bei risikoloser Verschuldungs- und Investitionsmöglichkeit (Quelle: Cuthbertson/Nitzsche (2007): 129)

Vermögens zum Zins Rf investiert ist, desto weiter links auf der Geraden befindet er sich. Darüber hinaus wurde auf die Möglichkeit des Short-Sellings verwiesen (vgl. Fußnote 29). Weil AN 3 die Verschuldung zu Rf erlaubt, kann der Investor durch Leerverkäufe der risikolosen Anlage^[38] und damit der Investition in PF A – über sein eigentliches Vermögen hinaus – jeden beliebigen Punkt der Geraden I1 erreichen. Hervorzuheben ist, dass entlang I1 der Vermögensanteil xA in immer dasselbe PF A investiert wird. Klar ist aber auch, dass ein gem. der μσ -Regel agierender Anleger keinen Punkt auf der Gerade I1 anstreben wird, denn diese PFs werden von allen anderen PFs oberhalb von I1 dominiert (z.B. von PF A‘ vgl. Abb. 2). Bei der Entscheidung über die Zusammensetzung des PFs wird der Investor diejenige Gewichtung an risikobehafteten WPen für sein PF zusätzlich zu seiner risikofreien Anlage wählen, welches die Steigung [E(Ri)- Rf ]/ σi (sog. Sharpe-Ratio^[39] ) der TL maximiert^[40]. Graphisch bedeutet dies, dass der Investor das Tangentialportfolio M der EK mit der TL wählt. Seine TL (I2) hat dann die Form:

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Wie an den Punkten O‘1 und O‘2 in Abb. 2 zu erkennen ist, kombinieren die Investoren die risikolose Anlagemöglichkeit mit dem risikobehafteten PF M^[41]. So schaffen sie es ihren Nutzen ggü. der reinen Investition in die risikobehafteten PFs der EK (vgl. Abb. 2: O1 und O2) zu erhöhen. Tatsächlich dominiert jede Aufteilung des Vermögens zwischen risikoloser Anlage und M alle anderen Investitionsmöglichkeiten; d.h. bietet eine höhere Sharpe-Ratio^[42] und stellt damit die einzige effiziente Anlageform dar.^[43] Die Investitionsentscheidung lässt sich also in zwei Schritte aufteilen (sog. Two-Fund Theorem oder Seperationsprinzip^[44] ):^[45]

1.) Wahl der Gewichtung risikobehafteter Assets so, dass das risikobehaftete PF dem Tangentialportfolio M entspricht bzw. die Sharpe-Ratio maximiert wird.
2.) Entscheidung gem. der ind. Risikoneigung, welcher Anteil des Vermögens in das Portfolio M bzw. die risikolose Anlage investiert wird.

Noch ist jedoch kein KGG hergestellt. Denn jeder Investor hat unterschiedliche Erwartungen über die Renditen, Varianzen und Kovarianzen und würde dementsprechend ein ind. Tangentialportfolio ermitteln.^[46] Deshalb wird zusätzlich die AN getroffen, dass unter den Investoren homogene Erwartungen (AN 4) bzgl. der erw. Renditen, Varianzen und Kovarianzen aller WPe bestehen.^[47] Dies hat zur Folge, dass alle Investoren bei der Investitionsentscheidung dieselben Gewichtungen der WPe des Tangentialportfolios M ermitteln, ferner auch nur eine EK existiert. Jedes WP wird also von jedem Investor mit demselben Anteil im PF gehalten und alle Investoren halten dasselbe risikobehaftete Tangentialportfolio M. Ergo entsprechen die Gewichtungen der Assets am Markt ihrem Gewicht im T angentialportfolio der Investoren, weshalb M auch als Marktportfolio (MPF) bezeichnet wird.^[48] Alle teilen ihre Vermögen auf dieses MPF [ IM 2 ^[49] ] und die risikolose Anlage entlang I2 gem. ihrer ind. Risikoneigung auf. Die TL wird deshalb auch als Kapitalmarktlinie (KL) bezeichnet.^[50] Die erw. PF-Rendite µP ist dann durch die lineare Beziehung [ IM 3 ] (10) für jeden Investor gegeben und entspricht der Summe aus risikolosem Zins und dem Produkt aus dem Marktpreis des Risikos bzw. der Steigung der KL E[(RM)- Rf ]/ σM, (erw. Überrendite des MPFs über den risikolosen Zins pro Risikoeinheit des Marktes) und der Risikoeinheit σP. Die Risikoeinheit ist dabei definiert als xiσM^[51] und ist damit umso höher, je mehr Vermögensanteile in das MPF angelegt werden.^[52] Ist σP =1, so gilt σP = σM, da der Investor in diesem Fall nur das MPF hält. Aus (10) folgt, dass die erw. PF-Rendite µP dann der erw. Rendite des Marktes E(RM) entspricht. Zu den drei bisher getroffenen Annahmen sind außerdem drei weitere Prämissen notwendig, damit sich ein Gleichgewicht einstellt. Die Anzahl an WPen ist vorgegeben, sie sind handelbar und beliebig teilbar (AN 5). Es existieren keine Friktionen wie Transaktionskosten, alle Informationen sind kostenlos und für jeden verfügbar; sog. Informationseffizienz (AN 6). Kapitalmarktunvollkommenheiten, die den WP-Handel beschränken (z.B. Steuern), existieren nicht (AN 7).^[53]

1.3 Das CAPM als Modell der Wertpapierlinie

Als zweite Stufe der KGGs-Theorie und eigentliches CAPM gilt das Modell der Wertpapierlinie (WPL).^[54] Bisher wurde zwar der Zusammenhang der Rendite eines PFs, bestehend aus dem MPF und einer risikolosen Anlage, hergeleitet. Über die Rendite eines einzelnen WPes des MPFs (und damit seinen Preis) im Gleichgewicht wurde jedoch nichts gesagt. Durch Bildung eines PFs bestehend aus einem Anteil xi eines beliebigen WPes i und dem Anteil (1- xi) am MPF M lässt sich die zu erw. Rendite des WPs i im KGG ableiten. Man stellt fest, dass die erw. Rendite Ri dabei insb. von dem marktbezogenen bzw. systematischen Risiko abhängig ist^[55].^[56] Der formale Zusammenhang wird als WPL bezeichnet und lautet:

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^[57]

Eine für die Interpretation eingängigere Darstellung ist^[58]:

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Die erw. Rendite eines einzelnen WPs setzt sich also aus dem Zins Rf und einer Risikoprämie – bestehend aus dem Produkt des Marktpreises des Risikos und dem marktbestimmten Investitionsrisiko σikim – zusammen. Mit dem Marktpreis des Risikos wird derjenige Teil des Risikos eines WPs σi vergütet, der systematisch mit dem Markt schwankt^[59] (systematisches Risko; vlg. oben). Der verbleibende Risikoanteil des WPs wird als spezifisches Risiko des WPs aufgefasst. Es ist diversifizierbar und wird nicht vom Markt vergütet.^[60] Der ursprüngliche Quotient σim/σm2 wird üblicherweise als Beta (βi) eines WPs bezeichnet. Man schreibt:

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Es besteht also eine lineare Beziehung^[61] zwischen erw. WP-Rendite und dem βi. Das βi stellt dabei das ind. Risikomaß eines WPs dar. Es gibt das marktbestimmte Investitionsrisiko σikim je Einheit des Marktrisikos σM an. Da es sich dabei um die standardisierte Kovarianz zwischen Markt- und WP-Rendite handelt, liegt eine dimensionslose Größe vor. Ist βi =1, so verfügt ein WP über kein spezifisches Risiko und die Rendite des WPs entspricht der Marktrendite. Ein WP mit βi <1 hingegen reagiert eher unterproportional auf die Marktbewegung usw. Es sei abschließend darauf hingewiesen, dass auch negative Werte sind möglich.^[62]

2 Darstellung der Arbitrage Pricing Theory (APT)

2.1 Herleitung der Wertpapier- & Portfoliorendite in der APT

Als Reaktion auf die geäußerte Kritik am CAPM^[63] entwickelte Ross einen alternativen Ansatz zur Erklärung erw. Marktrenditen; nämlich die APT.^[64] Neben der gebräuchlichen Annahmen eines perfekten friktionslosen Kapitalmarktes^[65] (AN I), gilt die sog. Faktormodellannahme (AN II) als zentraler Ausgangspunkt der APT.^[66] Dabei wird angenommen, dass die Rendite jeder Aktie (Rit) – wenn auch mit unterschiedlicher Sensitivität (bij) – linear von den Ausprägungen gleicher Risikofaktoren (Fjt)^[67] (systematisches Risiko) und ihrem spezifischen Risiko (εit) (unsystematisches Risiko) abhängig ist. Die Rendite Rit lässt sich dann unter der Annahme homogener Erwartungen^[68] (AN III) über die Art und Anzahl k der Risikofaktoren wie folgt darstellen (sog. Rendite-Generierungsprozess^[69] ):^[70]

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Für die erw. Rendite gilt dabei:

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Unter der Annahme, dass E(εit) =0 – die spezifischen Schocks einer Aktie sich im Mittel also ausgleichen – folgt aus der Subtraktion beider Bedingungen:

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Die Rendite eines WPs ist also linear abhängig [ IM I ] von der Summe ihres Erwartungswertes, ihrer durch die individuellen Sensitivitätskoeffizienten bij determinierten Reaktion auf die Abweichungen der k Risikofaktoren von ihrem Erwartungswert (denn nur unerw. Änderungen, sog. „news“, üben einen Einfluss auf die tatsächliche Rendite aus, d.h. Formal gilt: E[Fjt-E(Fjt)] =0) und ihrem spezifischen Risiko εit. Die weitere formale Annahme, dass die spezifischen Schocks der Assets untereinander unkorreliert sind (d.h.: cov(εit, εjt.)=0), stellt sicher, dass gemeinsame Bewegungen von WPen vollständig durch die k Faktoren erklärt werden. Damit die Ausprägungen der εit ausschließlich unternehmensspezifischer Art sind, gilt außerdem cov(εit, Fjt)=0, d.h. spezifische Risiken eines WPs sind unabhängig von den Marktrisikofaktoren.

Die Rendite eines PFs P (RtP), in dem WPe mit der prozentualen Änderung des in sie investierten Vermögens wi gewichtet werden, lautet entsprechend:

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2.2 Herleitung der Bewertungsgleichung der APT

Für die Herleitung der Bewertungsgleichung wird nun die zentrale Annahme der APT unterstellt, nämlich die Arbitragefreiheit des Marktes^[71] (AN IV), d.h. ein PF wird im Durchschnitt Renditen von Null erzielen (sog. Arbitrageportfolio^[72] ). Unter dieser Voraussetzung darf sich also die Vermögensposition des Investors nicht ändern und kein Risiko bestehen.^[73] RtP kann dann als ein derartiges risikoloses Arbitrage-PF betrachtet werden, falls es die dafür notwendigen Bedingungen erfüllt, die im Folgenden formal dargestellt sind^[74]:

Die Vermögensposition des Investors bleibt unverändert. Mit dem Vektor^[75] e:=(e1,e2,…,ei,)T mit i=1,…,n und ei=1 folgt:

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[...]

---

^[1] Vgl. Schierenbeck (2004): 395.

^[2] Vgl. Sharpe (1964): 425-442; Lintner (1965): 13-37; Mossin (1966): 768-783.

^[3] Vgl. Hansmann/Kehl (2000): 32.

^[4] Vgl. Graham (2001): 201.

^[5] Vgl. Roll (1977): 130.

^[6] Vgl. Ross (1977): 189-218.

^[7] Vgl. Hörnstein (1990): 1-3.

^[8] Die Forschungsarbeiten auf diesem Gebiet sind so zahlreich, dass sie im Rahmen einer nicht auf die Empirie fokussierten Seminararbeit nicht vollständig dargestellt werden können. An entsprechenden Stellen wird dann auf weiterführende Literatur verwiesen.

^[9] Vgl. Schierenbeck (2003): 395f.

^[10] Vgl. Markowitz (1952): 77-91; Markowitz (1959): 1-344.

^[11] Vgl. Perriodon/Steiner (2007): 241.

^[12] Eine ausführliche Darstellung der damit verbundenen Probleme findet sich in Rolfes (2003).

^[13] Vgl. Perridon/Steiner (2007): 240f.

^[14] Womit gleichzeitig entweder quadratische Nutzenfunktionen oder normalverteilte Renditen vorausgesetzt werden; vgl.: Perridon/Steiner (2007): 241.

^[15] Unter Wertanteil ist derjenige Vermögensanteil zu verstehen, der in ein WP i investiert wird.

^[16] Hier und im Folgenden wird unterstellt, dass ein Investor über alle Renditen, Varianzen und auch Kovarianzen von WPen Bescheid weiß. Dies stellt in der Realität ein enormes Informationsproblem dar, da für 150 WPe bereits [n(n-1]/2, also 11175 Kovarianzen zu ermitteln sind. Sharpe stellte 1963 sein (heute als Single-Index Modell bekanntes) Diagonalmodell vor, welches Renditeerwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen durch die Zerlegung der Rendite eines WPs in drei Teilkomponenten abhängig von einer Indexrendite darstellt und ermöglicht, statt [n(n-1)]/2 Kovarianzen, nur n β-Koeffizienten zu ermitteln; vgl. hierzu: Sharpe (1963): 281-285; Perriodon/Steiner (2007): 246-248; Cuthbertson/Nitzsche (2007): 179-181.

^[17] Die Kovarianz ist definiert als der Erwartungswert des Produktes der Abweichungen der einzelnen Komponenten von ihrem jeweiligen Mittelwert. Näheres hierzu und zur Gültigkeit der Beziehung (2) & (3) vlg. A 1: Berechnung 1 und 2.

^[18] Für die Herleitung des Zusammenhangs und eine grafische Illustration vgl. A/Berechnung 3.

^[19] D.h., dass die Renditen der WPe sich nicht 1:1 in dieselbe Richtung entwickeln.

^[20] Der sich auch formal ergebende „Dreieckverlauf“ ist nachzulesen bei Schneider (1992): 478f. Eine grafische Darstellung ist unter A/Berechnung 3 Abb. 4 wiedergegeben.

^[21] Auf die Ableitung der Schwellenwerte für xA wird an dieser Stelle verzichtet. Grundsätzlich muss jedoch lediglich die Standardabweichung des PFs nach dem Anteil xA abgeleitet werden. Ein anschauliches Beispiel findet sich u.a. in Cuthbertson/Nitzsche (2007): 120f.

^[22] Vgl. Cuthbertson/Nitzsche (2007): 120-124; Ross et al. (2002): 254f.

^[23] Vgl. Cuthbertson/Nitzsche (2007): 124f.

^[24] Vgl. hierzu A/Berechnung 4 sowie Ross et al. (2002): 259-264.

^[25] Vgl. Merton (1972): 1851-1855; Copeland et al. (2005): 132f.

^[26] Vgl. Perridon/Steiner (2007): 99-104.

^[27] In diesem Zusammenhang bilden Indifferenzkurven den geometrischen Ort aller μσ-Kombinationen, die ein konstantes Nutzenniveau aus der Investition in ein WP-Portfolio aufweisen. Zum Konzept der Indifferenzkurve vgl. Varian (2004): 32-70.

^[28] Als IM werden in dieser Arbeit Schlussfolgerungen bezeichnet, die sich aus den Modellen und Theorien ergeben und Aussagekraft für das Investorenverhalten in der Praxis und/oder empirisch testbare Aussagen beinhalten. IM 1 sagt somit aus, dass Anleger ihr Risiko durch Diversifikation mindern und dabei effiziente PF halten.

^[29] Die Vorgehensweise zur Ermittlung der Effizienzkurve ist unter A/Berechnung 5 verbal erläutert. Durch Leerverkäufe (short-selling) wäre es außerdem möglich in Portfolios rechts der Verbindungslinie CD zu investieren; vgl. hierzu: Copeland et al. (2005): 126-127.

^[30] Vgl. Perridon/Steiner (2003): 241f.; Rolfes (2003): 30f.

^[31] Wodurch im Umkehrschluss alle PFs der EK per Definition varianzminimierende PF sind; vgl. Cuthbertson/Nitsche (2007): 133.

^[32] Frei übersetzt und zitiert nach: Copeland et al. (2005): 123.

^[33] Die Punkte C und D in Abb. 1 entsprechen also nicht mehr zwingend einzelnen Assets (vgl. A/Berechnung 3 Abb. 4 Punkte A und B), sondern verschiedenen PF-Zusammensetzungen.

^[34] Vgl. Rolfes (2003): 31f.; Schmidt/Terberger (2006): 344.

^[35] Sie bildet damit im Gegensatz zur reinen Portfoliotheorie, die eine normative Theorie darstellt, eine positive Theorie respektive ein Modell, welches versucht Anlageverhalten zu erklären; vgl. hierzu Schmidt/Terberger (2006): 343f.; Schierenbeck (2003): 399.

^[36] Vgl. Sharpe (1964): 433.

^[37] Die formale Herleitung ist unter A/Berechnung 6 wiedergegeben.

^[38] Vgl. Copeland et al. (2005): 125-127; Elton et al. (2007): 84ff.

^[39] Vgl. Brealey et al. (2008): 231.

^[40] Vgl. Cuthbertson/Nitschze (2007). 131f. Das formale Optimierungsproblem ist kurz in A/Berechnung 7 dargestellt; vgl. hierzu Litner (1965): 19-21; Cuthbertson/Nitzsche (2007): 148-151.

^[41] Wobei Investor 2 sich in der risikolosen Anlage verschuldet.

^[42] Also einen höheren Ertrag pro Risikoeinheit.

^[43] Vgl. Schierenbeck (2003): 399f.; Cuthberson/Nitzsche (2007): 126-130.

^[44] Den Beweis der Gültigkeit des Separationsprinzips erbrachte Tobin, allerdings für einen risikolosen Zins von Null, was dem Halten von Bargeld entspricht. Vgl. hierzu: Tobin (1958): 65-86.

^[45] Vgl. Sharpe (1964): 433; Rolfes (2003): 32; Cuthbertson/Nitzsche (2007): 130.

^[46] Dasselbe Problem bestand bereits bei der Ermittlung einer eindeutigen Effizienzkurve.

^[47] Vgl. Sharpe (1964): 433f; Rolfes (2003): 32.

^[48] Sonst würde es zu Anpassungsreaktionen der Preise und damit Renditen von WPen kommen (durch Käufe und Verkäufe der Investoren), was zu Anpassungen der optimalen Gewichtungen führt. Letztendlich stellt sich ein Marktgleichgewicht ein. Vgl. hierzu: Sharpe (1964): 435.

^[49] Es existiert also ein Markt-PF, welches von allen Anlegern gehalten wird und effizient ist. Das Separationsprinzip wird hier nicht als gesonderte Implikation behandelt, da es aus wissenschaftlicher Sicht nicht im Vordergrund des Interesses steht; vgl. Warfsmann (1993): 32.

^[50] Vgl. Copeland et al. (2005): 133-137; Cuthbertson/Nitzsche (2007): 129-130.

^[51] Vgl. Ausführungen zu A/Berechnung 6.

^[52] vgl. Rolfes (2003): 36. Also der Investor auf der KL zunehmend nach rechts wandert.

^[53] Vgl. Rolfes (2003): 34f.; Perridon/Steiner (2007): 251.

^[54] Vgl. Schierenbeck: (2003): 399f.

^[55] Vgl. Sharpe (1963): 436; Schierenbeck (2003): 400.

^[56] Vgl Perridon/Steiner (2007): 254; Cuthbertson/Nitzsche (2007): 132-134.

^[57] Eine ausführliche Herleitung dieses Zusammenhangs ist in A/Berechnung 8 wiedergegeben, wo sich auch eine graphische Darstellung des Zusammenhangs (Abb. 5) findet; vgl. hierzu: Sharpe (1963): 436-442; Cuthbertson/Nitzsche (2007): 132-134.

^[58] Vgl. Rolfes (2003): 38f und A/Berechnung 2.

^[59] Nichts anderes als den Zusammenhang zwischen Marktrendite und WP-Rendite gibt kim an.

^[60] Vgl. hierzu ausführlicher Rolfes (2003): 38.f

^[61] Streng genommen eine weitere IM des CAPM. Da die KL und die WP-Linie beide das KGG darstellen und ineinander überführbar sind, soll IM 3 auch diesen Zusammenhang umfassen; vgl. hierzu Nowak (1994):35-37.

^[62] Vgl. Rolfes (2003): 38-40; Schmidt/Terberger (2006): 354-358.

^[63] Vgl. insbesondere Roll (1977): 129-176; und Ausführungen Abschnitt 3.1.

^[64] Vgl. Ross (1976): 341-360; Ross (1977): 189-218.

^[65] Vgl. Copeland et al. (2005): 177, für eine genauere Erläuterung vgl. Lockert (1997): 10.

^[66] Vgl. Hörnstein (1990): 3; Perriodon/Steiner (2007): 263f. und ausführlicher zu Faktor-Modellen Hörnstein(1990): 11-36;Nowak (1994): 8-26.

^[67] Dabei kann es sich sowohl um statistisch abgeleitete Faktoren handeln oder mikro- wie makroökonomische Faktoren, die vorab spezifiziert werden; vgl. hierzu genauer Perridon/Steiner (2003): 263f. und ausführlich Roll/Ross (1980): 1074-1103; Nowak (1994): 114-165; für eine beispielhafte Aufstellung verschiedener Faktoren vgl. auch Chen et al. (1986): 387.

^[68] Vgl. Copeland et al. (2005): 177.

^[69] Vgl. Lockert (1997): 11f.

^[70] Vgl. hierzu und im Folgenden Uhlir/Steiner (1994): Cuthbertson/Nitzsche (2007): 181-183; Perridon/Steiner (2007): 263f.

^[71] Vgl. Hörnstein (1990): 3; Perridon/Steiner (2007): 265.

^[72] Vgl. Uhlir/Steiner (1994): 196f.

^[73] Vgl. Copeland et al. (2005): 177.

^[74] Vgl. hierzu und im Folgenden Uhlir/Steiner (1994): 196-199; Copeland at el. (2003): 177-179; Cuthbertson/Nitzsche (2007): 183-185; Perridon/Steiner (2003) 265f.

^[75] Der Vektor e verändert den Wert der linken Beziehung nicht, ist aber für die Herleitung der Bewertungsgleichung notwendig; vgl. auch Ross (1977): 194-196; Copeland et al (2005): 178.