Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Potenzreihen. Dabei wird auf die Grundlagen eingegangen, sowie die Thematisierung der Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Potenzreihen. Wir wollen klarstellen, aufbauend auf den illustrierten Grundlagen, wie Potenzreihen differenzierbar und integrierbar sind.
Im Hauptteil der Arbeit wird es ein Kapitel zu Potenzreihen geben, bei der wir uns die Definition und ein geeignetes Beispiel ansehen. Demnach werden wir uns zwei Standardverfahren zur Bestimmung der Konvergenz/Divergenz einer Reihe, ansehen. Die beiden Verfahren, die wir betrachten, heißen Wurzelkriterium und Quotientenkriterium. Natürlich werden wir die beiden Verfahren differenziert betrachten, indem wir den jeweiligen Beweis tiefgründig untersuchen und anhand eines geeigneten Beispiels illustrieren. Außerdem werden wir das Quotientenkriterium auf Potenzreihen aufstellen. Dabei werden wir ebenfalls den Beweis ausführlich darstellen und ein Beispiel heranziehen.
Im nächsten Abschnitt des Hauptteils wird es um die Differenzierbarkeit von Potenzreihen gehen. Dabei werden wir auf die punktweise und gleichmäßige Konvergenz eingehen. Die nötigen Sätze und Beweise werden wir natürlich angeben und anhand von Beispielen darstellen. Die Beispiele dienen an der Stelle für das Verständnis und soll die wesentliche Intention der Differenzierbarkeit von Potenzreihen klarstellen. Zum Ende des Kapitelabschnitts soll deutlich gemacht werden, wie Potenzreihen differenzierbar sind.
Nachdem wir uns mit der Differenzierbarkeit von Potenzreihen beschäftigt haben, widmen wir uns der Integrierbarkeit von Potenzreihen. An der Stelle möchten wir ebenfalls die nötigen Sätze und Beweise darstellen. In dem Abschnitt zur Integration von Potenzreihen möchten wir reichliche Beispiele illustrieren, wie z. B. arctan(x), arcsin(x), arccos(x), log(1 + x) und log(1+x)/1+x. Hierbei soll ebenfalls deutlich gemacht werden, wie man Potenzreihen integriert.
In dem vorherigen Kapitel haben wir Zahlen im Reellen betrachtet. Deshalb wollen wir zum Schluss einen allgemeinen Ausblick der Potenzreihen und deren Differentiation und Integration in den komplexen Zahlen betrachten.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Hauptteil
2.1 Potenzreihen
2.2 Differenzierbarkeit von Potenzreihen
2.3 Integrierbarkeit von Potenzreihen
3 Schluss
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Bachelorarbeit untersucht die mathematischen Grundlagen von Potenzreihen mit einem speziellen Fokus auf deren Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit. Das primäre Ziel ist es, aufbauend auf den theoretischen Definitionen und Konvergenzkriterien, nachzuweisen, dass Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzradius gliedweise differenziert sowie integriert werden können.
- Grundlagen und Definition von Potenzreihen
- Konvergenzuntersuchungen mittels Wurzel- und Quotientenkriterium
- Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
- Differenzierbarkeit von Potenzreihen und gliedweise Ableitung
- Integration von Potenzreihen und gliedweise Stammfunktionbildung
Auszug aus dem Buch
Beispiel 2.1.4 (Beispiel zum Wurzelkriterium)
Wir betrachten folgende Reihe
∞ n=1 n2 2n .
Wir setzen an := n2 2n . Dann folgt mit limn→∞ √n n = 1, dass
r = limn→∞ n |an| = limn→∞ √n n √n n 2 = 1 · 1 2 = 1 2 ,
d.h. r = 1 2 < 1. Mit dem Wurzelkriterium folgt die absolute Konvergenz und damit auch die Konvergenz der Reihe.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die historische Entwicklung von Potenzreihen in der Analysis ein und motiviert deren Bedeutung für die bequeme Berechnung von Funktionen.
2 Hauptteil: Der Hauptteil widmet sich den theoretischen Grundlagen, Konvergenztests wie dem Wurzel- und Quotientenkriterium sowie der mathematischen Herleitung der gliedweisen Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Potenzreihen.
3 Schluss: Das Fazit fasst die Ergebnisse zusammen und gibt einen Ausblick auf die Behandlung von Potenzreihen im Bereich der komplexen Zahlen bzw. der Funktionentheorie.
Schlüsselwörter
Potenzreihen, Analysis, Konvergenzbereich, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit, gliedweise Ableitung, gliedweise Integration, Funktionenfolgen, gleichmäßige Konvergenz, Formel von Hadamard, Stammfunktion, Konvergenzradius, Weierstraß-Satz
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Disziplin der Analysis, wobei der Fokus auf den Eigenschaften und Anwendungsmöglichkeiten von Potenzreihen liegt.
Was sind die zentralen Themenfelder der Publikation?
Die zentralen Themen sind die Konvergenztheorie von Reihen sowie die Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit analytischer Ausdrücke.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Das Ziel ist es, mathematisch zu belegen und zu illustrieren, dass Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzbereichs gliedweise differenziert und integriert werden können.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es werden klassische analytische Beweismethoden angewandt, insbesondere Konvergenzkriterien (Wurzel- und Quotientenkriterium) und Sätze über gleichmäßige Konvergenz.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil behandelt neben grundlegenden Definitionen die spezifischen Kriterien zur Konvergenzbestimmung und die detaillierte Untersuchung der Ableitungs- und Integrationsregeln für Potenzreihen.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren diese Bachelorarbeit?
Wichtige Begriffe sind Potenzreihen, Konvergenzradius, gliedweise Differentiation und Integration sowie die Sätze von Weierstraß und Hadamard.
Wie unterscheidet sich die Differenzierbarkeit im Reellen von der im Komplexen?
Die grundlegende Logik der gliedweisen Ableitung bleibt im Komplexen nahezu identisch, jedoch müssen Konvergenzkreise statt Intervalle betrachtet werden und die Beweisführung variiert.
Warum ist das Wurzelkriterium für Potenzreihen von Bedeutung?
Es dient als essenzielles Werkzeug, um den Konvergenzbereich einer Reihe zu bestimmen, indem das Verhalten der allgemeinen Glieder für steigende Indizes geprüft wird.
- Quote paper
- Gazaleh Ramadan (Author), Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Potenzreihen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1505997
