Meine Facharbeit beschäftigt sich mit der vollständigen Induktion als Beweisverfahren
in der Mathematik, jedoch liegt der Schwerpunkt nicht in der Definition, sondern in
den Anwendungsbeispielen. Hierfür wählte ich fünf Aufgaben aus, die unter anderem
aus dem Bundeswettbewerb Mathematik aus den Jahren 1981, 2000, 2002 und 2006
stammen, und ordnete diese nach ihrem Schwierigkeitsgrad. Oft können solche
Wettbewerbsaufgaben nicht nur auf eine Weise gelöst werden, aber die vollständige
Induktion ist oft ein nützliches Beweisverfahren, wenn beispielweise eine Aussage über
die natürlichen Zahlen bewiesen werden soll.
Die Entscheidung für dieses Thema fiel, weil ich in meiner Schulzeit schon einige Male
an Mathematikwettbewerben teilgenommen habe. Ich finde es sehr interessant, mich
mit diesen Aufgaben zu beschäftigen, da sie meist ganz anders aufgebaut sind und
anders zu lösen sind als die Aufgaben, die aus der Schule bekannt sind.
[...]
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Definition der vollständigen Induktion als Beweisverfahren in der Mathematik
3. Aufgaben und Lösungen zur vollständigen Induktion
3.1 Leichte Aufgabe zum Einstieg
3.2 Bundeswettbewerb Mathematik 2002, Runde 2, Aufgabe 1
3.3 Bundeswettbewerb Mathematik 1981, Runde 1, Aufgabe 3
3.4 Bundeswettbewerb Mathematik 2000, Runde 2, Aufgabe 1
3.5 Bundeswettbewerb Mathematik 2006, Runde 2, Aufgabe 1
4. Schlusswort
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Facharbeit untersucht die Anwendung der vollständigen Induktion als Beweisverfahren für mathematische Wettbewerbsaufgaben. Ziel ist es, die Vielseitigkeit dieser Methode anhand von fünf ausgewählten, nach Schwierigkeitsgrad geordneten Aufgaben aus verschiedenen Bundeswettbewerben Mathematik aufzuzeigen und deren Lösungsweg darzulegen.
- Grundlagen und Definition der vollständigen Induktion
- Methodische Anwendung des Induktionsbeweises
- Analyse geometrischer und kombinatorischer Wettbewerbsaufgaben
- Vergleich von Problemstellungen unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade
- Didaktische Aufarbeitung von mathematischen Beweisstrategien
Auszug aus dem Buch
3.1 Leichte Aufgabe zum Einstieg
Aufgabe: Zeige, dass es in einem ebenen, konvexen n-Eck n(n-3)/2 Diagonalen gibt.
Lösung:
Induktionsanfang:
Zur Verdeutlichung der Aufgabenstellung ist unten ein ebenes, konvexes Viereck aufgezeichnet, das – wie allgemein bekannt– stets zwei Diagonalen hat.
Nun wird überprüft, ob man bei Berechnung der Diagonalenanzahl (bei n=4) mit der gegebenen Gleichung dasselbe Ergebnis erhält.
n(n-3)/2 = 4(4-3)/2 = 4/2 = 2
Die Formel ist somit für n = 4 bewiesen.
Induktionsvoraussetzung:
Man nimmt an, dass ein ebenes, konvexes Vieleck mit n Ecken stets n(n-3)/2 Diagonalen hat.
Induktionsschritt:
Laut Induktionsvoraussetzung ist die Formel für ein beliebig vorgegebenes n gültig. Um zu zeigen, dass sie für jedes n gilt, muss sie für (n+1) bewiesen werden. Laut der Aussage A(n+1) müsste ein Vieleck mit n+1 Ecken (n+1)((n+1)-3)/2 Diagonalen haben.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Die Autorin erläutert ihre Motivation, die vollständige Induktion anhand ausgewählter Wettbewerbsaufgaben zu untersuchen, und beschreibt die Auswahl der Beispiele.
2. Definition der vollständigen Induktion als Beweisverfahren in der Mathematik: Dieses Kapitel führt in die theoretischen Grundlagen der vollständigen Induktion ein, inklusive des Induktionsaxioms und des schematischen Ablaufs des Beweisverfahrens.
3. Aufgaben und Lösungen zur vollständigen Induktion: Dieser Hauptteil präsentiert fünf verschiedene Wettbewerbsaufgaben, die jeweils durch einen Induktionsbeweis gelöst und detailliert analysiert werden.
4. Schlusswort: Die Autorin reflektiert ihre Erkenntnisse über die Vielseitigkeit des Beweisverfahrens und die Herausforderung bei der Auswahl geeigneter Aufgaben aus der Fülle des Materials.
Schlüsselwörter
Vollständige Induktion, Beweisverfahren, Mathematikwettbewerb, Bundeswettbewerb Mathematik, Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschritt, Geometrie, Algebra, Natürliche Zahlen, Wettbewerbsaufgaben, Kombinatorik, Mathematische Beweise, Peano-Axiom, Problemlösung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Facharbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der praktischen Anwendung der vollständigen Induktion als mathematisches Beweisverfahren zur Lösung komplexer Wettbewerbsaufgaben.
Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?
Die Schwerpunkte liegen auf der geometrischen und algebraischen Anwendung der vollständigen Induktion, insbesondere bei Aufgaben, die über das schulübliche Niveau hinausgehen.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es zu demonstrieren, wie durch die Methode der vollständigen Induktion verschiedene mathematische Aussagen systematisch bewiesen werden können.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Es wird das mathematische Beweisverfahren der vollständigen Induktion verwendet, bestehend aus Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung und Induktionsschritt.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in fünf konkrete Wettbewerbsaufgaben, deren Lösungen Schritt für Schritt unter Anwendung des Induktionsprinzips hergeleitet werden.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit am besten?
Die Arbeit ist durch Begriffe wie vollständige Induktion, Beweisstrategien, mathematische Wettbewerbe und logische Schlussfolgerungen geprägt.
Wie wird die Aufgabe zu den Diagonalen im n-Eck gelöst?
Die Lösung erfolgt über eine induktive Herleitung, bei der ausgehend vom Viereck (n=4) gezeigt wird, dass sich die Anzahl der Diagonalen durch Hinzufügen weiterer Ecken konsistent nach der Formel berechnen lässt.
Welche Rolle spielt die Trennlinie im Sektorenproblem des Bundeswettbewerbs 2006?
Die Trennlinie dient dazu, den Kreis in zwei Bereiche zu unterteilen, in denen jeweils alle Ziffern von 1 bis n enthalten sind, was durch Induktion über die Anzahl der Sektoren bewiesen wird.
- Arbeit zitieren
- Nina Liebhaber (Autor:in), 2010, Anwendung der vollständigen Induktion auf Wettbewerbsaufgaben, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/166328
