Einleitung
1. Was Kaninchen und antike Bauwerke gemeinsam haben
Was hat die Vermehrung von Kaninchen mit der Anordnung von Sonnenblumenkernen oder der antiken Architektur zu tun? Und welche Rolle spielt dabei ein italienischer Mathematiker namens Leonardo da Pisa? Lassen sich derartige Dinge etwa durch ma-thematische Formeln berechnen? Die vorliegende Seminararbeit wird Antworten auf diese und auch auf viele weitere Fragen geben.
Die Lucaszahlen stellen das erste Thema dieser Arbeit dar. Sie sind eine wichtige Zah-lenfolge in der Zahlentheorie und finden beispielsweise in der Datenverschlüsselung Verwendung. Sie stehen in direktem Zusammenhang mit den Fibonaccizahlen.
Die Fibonaccifolge birgt die Antwort auf die oben genannten Fragen. Obwohl sie zu den allgemein bekanntesten Zahlenfolgen zählt, wissen die meisten Menschen nichts oder nicht viel über sie sowie über ihre Bedeutung für unser gesamtes Leben und unsere Umwelt. Sie erscheint auf den ersten Blick sehr simpel und unbedeutsam, und doch sind die Menschen schon seit Jahrhunderten von ihr fasziniert. Der größte Teil dieser Seminararbeit wird sich damit befassen, dem Leser diese wichtige Zahlenfolge näher zu bringen.
Eine weitere Zahlenfolge - die Ulamfolge - wird am Ende noch kurz beleuchtet. Vertieft darauf einzugehen würde jedoch den Umfang dieser Arbeit sprengen.
Alle drei Zahlenfolgen werden nacheinander behandelt und ihre Problematiken dem Leser nähergebracht. Dabei wird jeweils zunächst kurz auf ihre Entdecker bzw. ihre Namensgeber eingegangen. Danach werden die Folgen definiert, ihre mathematischen Besonderheiten betrachtet und - wo möglich - praktische Anwendungen aufgezeigt.
Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)
- 1. Was Kaninchen und antike Bauwerke gemeinsam haben
- 2. Die Lucaszahlen
- 2.1. Édouard Lucas: Leben und Werk
- 2.2. Mathematische Definition der Lucaszahlen
- 2.3. Mathematische Besonderheiten
- 2.4. Praktische Anwendungen der Lucaszahlen
- 2.4.1. Der Lucas-Lehmer-Test
- 2.4.2. Lucaszahlen in der Datenverschlüsselung
- 3. Die Fibonaccizahlen
- 3.1. Leonardo da Pisa: Leben und Werk
- 3.2. Entdeckung der Fibonaccizahlen
- 3.2.1. Entdeckung der Zahlenfolge vor Fibonacci
- 3.2.2. Liber Abaci: Die Kaninchenaufgabe
- 3.3. Mathematische Definition der Fibonaccizahlen
- 3.3.1. Allgemeine Definition
- 3.3.2. Die Formel von Binet
- 3.4. Mathematische Besonderheiten
- 3.5. Die Fibonaccizahlen und der Goldene Schnitt
- 3.5.1. Mathematischer Zusammenhang
- 3.5.2. Fibonaccizahlen in der Natur
- 3.5.3. Fibonaccizahlen in der Kunst
- 3.5.4. Fibonaccizahlen in der Architektur
- 3.5.5. Fibonaccizahlen in der Musik
- 3.6. Praktische Anwendungen der Fibonaccizahlen
- 3.7. Zusammenhänge zwischen Fibonacci- und Lucaszahlen
- 4. Die Ulamzahlen
- 4.1. Stanislaw Ulam: Leben und Werk
- 4.2. Mathematische Definition der Ulamzahlen
- 4.3. Mathematische Besonderheiten
- 5. Zusammenfassung und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)
Die Seminararbeit „Eine Reise durch das Zahlenland“ befasst sich mit den Fibonacci-, Lucas- und Ulamzahlen und untersucht ihre mathematischen Eigenschaften und Anwendungen. Sie zielt darauf ab, die Bedeutung dieser Zahlenfolgen für die Mathematik, Naturwissenschaften und andere Bereiche des menschlichen Lebens aufzuzeigen.
- Mathematische Definition und Eigenschaften der Fibonacci-, Lucas- und Ulamzahlen
- Zusammenhang zwischen Fibonacci- und Lucaszahlen
- Praktische Anwendungen der Fibonacci- und Lucaszahlen
- Bedeutung dieser Zahlenfolgen für die Natur, Kunst, Architektur und Musik
- Der Einfluss der Fibonacci- und Lucaszahlen auf die Entwicklung der Mathematik
Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)
Kapitel 1 führt in das Thema der Seminararbeit ein und erläutert die enge Verbindung zwischen den Fibonaccizahlen und den Lucaszahlen. Es stellt Fragen auf, die im Laufe der Arbeit beantwortet werden, und erklärt die Bedeutung der verschiedenen Zahlenfolgen für die verschiedenen Bereiche des Lebens.
Kapitel 2 widmet sich den Lucaszahlen und beleuchtet das Leben und Werk des französischen Mathematikers Édouard Lucas. Der Leser wird mit der mathematischen Definition der Lucaszahlen vertraut gemacht, und einige ihrer mathematischen Besonderheiten werden behandelt. Darüber hinaus werden praktische Anwendungen der Lucaszahlen im Bereich der Datenverschlüsselung und bei der Primzahllprüfung von Mersenne-Zahlen vorgestellt.
Kapitel 3 beschäftigt sich mit den Fibonaccizahlen. Der Leser lernt den italienischen Mathematiker Leonardo da Pisa kennen und erfährt mehr über die Entdeckung der Fibonaccizahlen sowie ihre Definition und ihre mathematischen Besonderheiten. Besonders hervorgehoben wird der enge Zusammenhang der Fibonaccizahlen mit dem Goldenen Schnitt, der sich in der Natur, Kunst, Architektur und Musik wiederfindet. Darüber hinaus werden praktische Anwendungen der Fibonaccizahlen in verschiedenen Bereichen aufgezeigt.
Kapitel 4 bietet eine kurze Einführung in die Ulamzahlen. Es beleuchtet das Leben und Werk des Mathematikers Stanislaw Ulam und definiert die Ulamzahlen mathematisch. Außerdem werden einige ihrer Besonderheiten vorgestellt.
Schlüsselwörter (Keywords)
Die Seminararbeit konzentriert sich auf die Fibonaccizahlen, Lucaszahlen und Ulamzahlen, behandelt ihre mathematischen Definitionen und Eigenschaften sowie ihre Anwendungen in verschiedenen Bereichen. Wichtige Themen sind rekursive Zahlenfolgen, der Goldene Schnitt, Primzahllprüfung, Datenverschlüsselung, und die Bedeutung der Fibonacci- und Lucaszahlen für die Natur, Kunst, Architektur und Musik.
- Arbeit zitieren
- Samuel Kienzle (Autor:in), 2010, Fibonacci-, Lucas- und Ulamzahlen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/169885
