Alte und neue Ideen im Bereich der Unendlichkeit

Zu Bernhard Bolzanos - "Paradoxien des Unendlichen"


Hausarbeit, 2007

13 Seiten, Note: 3,0


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

I. Einleitung

II. Bernard Bolzano: Leben und Werke
II.1 Das Leben Bernard Bolzanos
II.2 Die Werke Bernard Bolzanos

III. Bolzanos Paradoxien des Unendlichen
III.1 Allgemeines über die Paradoxien
III.2 Inhaltliche Eckpunkte der Paradoxien
III.3 Anknüpfungspunkte in den Paradoxien an frühere Ideen im Bereich der Unendlichkeit
III.4 Einige Ideen aus Bolzanos Paradoxien bei Georg Cantor

IV. Schlussbetrachtung

V. Literaturverzeichnis

I. Einleitung

Diese Hausarbeit widmet sich den Paradoxien des Unendlichen von Bernard Bolzano, einem Werk, das 1851 – 3 Jahre nach seinem Tod – erschien und hier anhand eines reprographischen Nachdrucks von 1964 untersucht wird.

Im ersten Teil dieser Hausarbeit wird Bolzanos Leben dargestellt und kurz auf seine Werke eingegangen. Die konstante Verbindung von Mathematik bzw. den Naturwissenschaften und Theologie bzw. Philosophie, die sich durch sein ganzes Leben zieht, tritt gerade in den Paradoxien des Unendlichen besonders deutlich hervor.

Im zweiten Teil wird auf den Inhalt der Paradoxien eingegangen, der anhand einiger wichtiger Punkte erläutert wird. Zudem werden Verbindungen zu bisherigen Ideen im Bereich der Unendlichkeit gezogen, die sich aus Bolzanos Werk ergeben. Es folgt ein Kapitel, in dem gezeigt wird, dass Georg Cantor später Ideen Bolzanos aufgegriffen hat und genau wie dieser die Existenz eines Aktual-Unendlichen vertritt. Weiterhin wird auf den Einfluss hingewiesen, den Bolzanos Paradoxien auf die Entstehung der Mengenlehre bei Cantor hatte.

In der Schlussbetrachtung werden noch einmal die Besonderheiten der Paradoxien hervorgehoben und die Wichtigkeit des Werkes, zumindest für Cantors Mengenlehre, betont.

II. Bernard Bolzano: Leben und Werke

II.1 Das Leben Bernard Bolzanos

Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano wurde am 05.10.1781 in Prag geboren. Er besuchte fünf Jahre lang ein Gymnasium (1791-96) und studierte danach Philosophie, Mathematik und Physik an der Prager Karls-Universität. 1800 begann er überdies ein Studium der Theologie. Mit 24 Jahren (1805) promovierte er und wurde zum Priester geweiht. Im selben Jahr übernahm er das Lehramt für Religionswissenschaft und nicht den Lehrstuhl für Elementarmathematik. Hier gehen die Meinungen auseinander, ob er sich bewusst für die Theologie entschieden hat, oder ob bei der Wahl der Besetzung des Lehrstuhls im Bereich der Mathematik gegen ihn entschieden wurde.[1]

Er konnte zwischen einer mathematischen Professur und einem Lehramt für Religionswissenschaft wählen. Der zwei Tage nach der Promotion (zum Dr. phil.) geweihte Priester entschied sich für die Religionswissenschaft.[2]

Bolzano bewarb sich nachreiflicher Überlegung um beide Lehrstühle, und
Gerstner empfahl ihn nachdrücklich für den mathematischen Lehrstuhl. Durch ein bisher nicht völlig geklärtes Zusammentreffen von Umständen wurde in Wien entschieden, den Lehrstuhl für Mathematik einem anderen Bewerber, L. Jandera, zu übertragen, der nie eine eigenständige mathematische Arbeit geschrieben hatte.[3]

Ein Jahr später wurde Bolzano zum ordentlichen Professor ernannt. 1815 wurde er Mitglied der Königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften und drei Jahre später der Direktor der dortigen naturwissenschaftlichen Abteilung. Im selben Jahr wurde er auch Dekan der Philosophischen Fakultät der Prager Universität.

Dadurch wird deutlich, wie sehr die Bereiche Mathematik/ Naturwissenschaften und Theologie/ Philosophie bei Bolzano zusammenhängen.

Erst bei Bolzano gewinnt man wieder einen großartigen Eindruck von der Nachbarschaft mathematischer und philosophischer Inspiration.[4]

(...) und die Mathematik beeindruckte ihn, wie er selbst zu sagen pflegte, gerade wegen ihres philosophischen Aspekts.[5]

1819 wurde Bolzano durch Kaiser Franz entlassen und erhielt wegen angeblicher Irrlehren ein Publikationsverbot. Tatsächlich verhielt sich so, dass Bolzano Kritik an der österreichischen Verfassung übte und pazifistische sowie sozialistische Ansichten hatte.

Am 18.12.1848 starb Bolzano in Prag.

Drei Jahre nach seinem Tod (1851) wurden die Paradoxien des Unendlichen aus Bolzanos Nachlass durch seinen Schüler F. Prihonsky herausgegeben.

II.2 Die Werke Bernard Bolzanos

1810: Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik

1816: Der binomische Lehrsatz

1817: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen zwey Werthen, die ein entgegen-

gesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege

1827: Athanasia oder Gründe für die Unsterblichkeit der Seele

1834: Lehrbuch der Religionswissenschaft

1837: Wissenschaftslehre

1851: Paradoxien des Unendlichen

1930: Functionenlehre

1967: Anti-Euklid

1975: Größenlehre

Aus der Betrachtung der Werke Bolzanos geht hervor, dass er sowohl mathematische als auch theologische Schriften verfasst hat. Einige seiner Arbeiten sind sogar erst nach seinem Tod herausgegeben worden.

Nach dem Publikationsverbot von 1819 hat Bolzano mehrere Jahre lang nichts veröffentlicht. Als der Kaiser 1835 starb konnte Bolzano wieder publizieren, ohne mit schweren Strafen rechnen zu müssen, doch blieben seine Arbeiten lange Zeit unbeachtet. Dies lag sicherlich auch daran, dass Prag, der Ort seines Wirkens, nicht zu den mathematischen Zentren der Zeit zählte.

III. Bolzanos Paradoxien des Unendlichen

III.1 Allgemeines über die Paradoxien

Die ‚Paradoxien‘ sind der letzte Strahl von Bolzanos Geist und ein echtes Kind seines Denkens. Fragen der Mathematik sind, entsprechend seiner Art zu denken, eng mit Fragen der Metaphysik verknüpft.[6]

Auf 134 Seiten spricht Bolzano in 70 Kapiteln verschiedene Paradoxien an, die sich im Bereich der Unendlichkeit bisher ergeben haben. Zu Anfang nennt er eigene Definitionen von verschiedenen mathematischen Begriffen, mit denen er daraufhin arbeiten wird. Beispiele zum Verständnis von Unendlichkeit anderer Mathematiker und Philosophen werden von Bolzano angeführt und kommentiert. Paradoxien versucht er aufzulösen. Dabei hält er sich nicht allein an Paradoxien, die aus der Betrachtung des unendlich Kleinen und des unendlich Großen bei verschiedenen mathematischen Berechnungen entstehen, sondern weitet seine Überlegungen beispielsweise auch auf die Raum-Zeit-Lehre aus. Er geht bei den einzelnen Fällen nicht in die Tiefe, aber deckt mit seiner Auswahl der Paradoxien ein breites Spektrum ab.

Es sind Gedankensplitter, die miteinander in loser Verbindung stehen.[7]

III.2 Inhaltliche Eckpunkte der Paradoxien

Bolzano gilt als ein Vertreter des Aktual-Unendlichen. Dies erkennt man daran, wie er die Auffassungen seiner Vorgänger kritisiert. Zum Beispiel wollte Cauchy „das Unendliche [...] als eine veränderliche Grösse beschreiben, deren Werth unbegränzt wächst und füglich grösser werden könne, als jede gegebene, noch so grosse Grösse. Die Gränze dieses unbegränzten Wachsens sei die unendlich grosse Grösse.“ (9)[8] Für Bolzano entsteht hier der Widerspruch von „unbegrenzt“ und „Grenze“. Für ihn ist die Unendlichkeit etwas wirklich Existierendes. Er schreibt: „Auch auf dem Gebiete der Wirklichkeit begegnen wir also überall einer Unendlichkeit.“ (37), z.B. ist Gott für ihn unendlich. Hier zeigt sich wieder die enge Verbundenheit von Mathematik und Theologie in Bolzanos Denken. Desweiteren tadelt Bolzano Spinozas Ansicht, „dass nur Dasjenige unendlich sei, was keiner ferneren Vermehrung fähig ist“ (10). Dies steht nämlich im Widerspruch dazu, dass man zu Unendlichem sogar Unendliches hinzufügen kann (wenn man zum Beispiel eine an einem Ende begrenzte Gerade nimmt und sie zu einer unbegrenzten Gerade erweitert). Anschließend prüft Bolzano die Meinung, dass „unendlich sei, was kein Ende hat“ (11), also keine Grenze. Er kommt zu dem Schluss, dass auch diese Definition nicht stimmen kann, da ein Punkt oder eine Kreislinie keine Grenze haben, aber trotzdem endlich sind. Als letzte Vorstellung von Unendlichkeit beanstandet Bolzano die Annahme, dass „unendlich gross sei, was größer ist als jede angebliche Grösse“ (12), da dies allein auf die subjektive Erfahrungsmöglichkeit des Einzelnen bezogen ist.

Vor Bolzano waren viele Mathematiker der Auffassung, dass das Aktual-Unendliche nicht existiert. Bolzano hat sich gegen diese Meinung gewendet und geschrieben:

‚Eine unendliche Menge,‘ sagt man, ‚kann es schon aus dem Grunde nirgends geben, weil eine unendliche Menge nie in ein Ganzes vereinigt, nie in Gedanken zusammengefasst werden kann.‘(15)

Bolzano kritisiert diese Ansicht und nennt als Beispiel, dass die Vorstellung der Gattung „Satz“ ausreicht, um sich die unendliche Menge aller Sätze vorstellen zu können.

In §20, dem Paragraphen, der in der Sekundärliteratur am häufigsten zitiert wird, geht Bolzano auf die eindeutige Zuordnung zweier unendlicher Mengen ein, wobei die eine aber nur eine Teilmenge der anderen ist. Hierzu schreibt er:

Zwei Mengen, die beide unendlich sind, können in einem solchen Verhältnisse zu einander stehen, dass es einerseits möglich ist, jedes der einen Menge gehörige Ding mit einem der anderen zu einem Paare zu verbinden mit dem Erfolge, dass kein einziges Ding in beiden Mengen ohne Verbindung zu einem Paare bleibt, und auch kein einziges in zwei oder mehreren Paaren vorkommt; und dabei ist es doch andererseits möglich, dass die eine dieser Mengen die anderen als einen blossen Theil in sich fasst. (28f.)

[...]


[1] Dieses Kapitel stützt sich vor allem auf Meschkowski (1964), S.39f. sowie auf die elektronischen Quellen http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Bolzano.html und http://de.wikipedia.org/wiki/Bernard_Bolzano.

[2] Meschkowski (1964), S. 39.

[3] Wußing/ Arnold (1975), S. 323.

[4] Bense (1944), S. 58f.

[5] Wußing/ Arnold (1975), S. 321.

[6] Winter (1969), S. 129.

[7] Winter (1969), S. 129.

[8] Bolzano (1964), S. 9. Im Folgenden werden Zitate aus dieser Quelle nur noch mit der Seitenzahl in Klammern angegeben.

Ende der Leseprobe aus 13 Seiten

Details

Titel
Alte und neue Ideen im Bereich der Unendlichkeit
Untertitel
Zu Bernhard Bolzanos - "Paradoxien des Unendlichen"
Hochschule
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Veranstaltung
Seminar: „Über das Unendliche in der Geschichte der Mathematik“
Note
3,0
Autor
Jahr
2007
Seiten
13
Katalognummer
V177925
ISBN (eBook)
9783640998104
ISBN (Buch)
9783640998326
Dateigröße
489 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Schlagworte
Bolzano;, unendlich;, Unendlichkeit;, Paradoxie;, Geschichte der Mathematik;, GdM
Arbeit zitieren
Sabine Husmann (Autor), 2007, Alte und neue Ideen im Bereich der Unendlichkeit, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/177925

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