Da wir im Vortrag von Prof. Dr. Bergmann die Potenzfunktion mit ganzem Ex-ponenten kennen gelernt haben, möchte ich nun die Frage klären, ob die Po-tenzfunktion auch mit rationalem Exponenten existiert. Die Antwort dazu lautet „Ja“! Wir erweitern in diesem Fall ganz einfach die Definition der Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten.
Inhaltsverzeichnis
- Vorbemerkungen
- Definition
- Definition 1 (Potenzfunktion)
- Definition 2 (Potenz)
- Definition 3 (Definitionsbereich)
- Festsetzungen
- Satz 0 (Exponentenvertauschung)
- Bemerkungen
- Satz 1 (Umkehrfunktion)
- Erweiterung
- Eigenschaften
- Rechengesetze
- Satz 2 (Potenzgesetze)
- Gleichungen
- Satz 3 (Näherungsformel)
- Satz 4 (unendliche Binomialreihe)
- Ungleichungen
- Satz 5 (Monotonie-Ungleichung bezüglich der Basen)
- Satz 6 (Monotonie-Ungleichung bezüglich der Exponenten)
- Satz 7 (Bernoulli-Ungleichung)
- Rechengesetze
- Symmetrie Monotonie - Periodizität
- Satz 8 (Symmetrie)
- Satz 9 (Monotonie)
- Satz 10 (Periodizität)
- Stetigkeit, Grenzwert, Wertebereich, Graph
- Satz 11 (Stetigkeit)
- Satz 12 (spezielle Grenzwerte)
- Satz 13 (Wertebereich)
- Satz 14 (Konvexität/Konkavität)
- Satz 15 (Quadranten)
- Spezielle Graphen der Potenzfunktion
- Spezielle Werte
- Differenzierbarkeit
- Satz 16 (Differenzierbarkeit und Ableitung)
- Integrierbarkeit
- Satz 17 (Integrierbarkeit)
- Satz 18 (Stammfunktion)
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Hausarbeit untersucht die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten. Ziel ist es, die Definition der Potenzfunktion vom ganzzahligen auf den rationalen Exponenten zu erweitern und deren Eigenschaften, wie Rechengesetze, Gleichungen, Ungleichungen, Symmetrie, Monotonie, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit, zu analysieren.
- Erweiterung der Definition der Potenzfunktion auf rationale Exponenten
- Analyse der Eigenschaften der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten
- Untersuchung von Rechengesetzen und deren Beweise
- Betrachtung von Gleichungen und Ungleichungen im Kontext der Potenzfunktion
- Analyse von Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit
Zusammenfassung der Kapitel
Vorbemerkungen: Die Vorbemerkungen erläutern die verwendeten Notationen für Zahlenmengen und verweisen auf vorherige Vorlesungen von Prof. Dr. Bergmann, auf deren Sätze im weiteren Verlauf der Arbeit Bezug genommen wird. Dies legt den Grundstein für die einheitliche Notation und die methodische Herangehensweise der Arbeit.
Definition: Dieses Kapitel erweitert die bekannte Definition der Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten auf rationale Exponenten. Es werden Definitionen für die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten, die Potenz selbst und den Definitionsbereich präzisiert. Zusätzliche Festlegungen und der Beweis von Satz 0 (Exponentenvertauschung) schaffen die Grundlage für spätere Beweise und Berechnungen. Die Bemerkungen im Anschluss beleuchten potenzielle Stolpersteine bei der Lösung von Potenzgleichungen.
Eigenschaften: Dieses Kapitel untersucht die Eigenschaften der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten im Detail. Es werden die Potenzgesetze formuliert und bewiesen (Satz 2), verschiedene Gleichungen und Ungleichungen analysiert (Sätze 3-7), inklusive Näherungsformeln und der unendlichen Binomialreihe. Der Fokus liegt auf den mathematischen Beziehungen und deren Ableitung.
Symmetrie Monotonie - Periodizität: Hier werden die Symmetrie, Monotonie und Periodizität der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten mittels der Sätze 8-10 untersucht und bewiesen. Dieses Kapitel konzentriert sich auf die analytischen Eigenschaften der Funktion und deren Verhalten im Koordinatensystem.
Stetigkeit, Grenzwert, Wertebereich, Graph: Dieses Kapitel befasst sich mit den Eigenschaften Stetigkeit, Grenzwerte, Wertebereich und dem Graphen der Potenzfunktion. Die Sätze 11-15 belegen die Stetigkeit, spezielle Grenzwerte, den Wertebereich, Konvexität/Konkavität und die Quadranten, in denen der Graph liegt. Es wird auf spezielle Graphen und Werte eingegangen, um ein umfassendes Verständnis zu ermöglichen.
Differenzierbarkeit: Dieses Kapitel behandelt die Differenzierbarkeit der Potenzfunktion. Satz 16 liefert den Beweis für die Differenzierbarkeit und bestimmt die Ableitung der Funktion. Der Schwerpunkt liegt auf der mathematischen Herleitung der Ableitung.
Integrierbarkeit: Das Kapitel untersucht die Integrierbarkeit der Potenzfunktion und bestimmt die Stammfunktion. Satz 17 beweist die Integrierbarkeit, während Satz 18 die Stammfunktion angibt und deren Eigenschaften beleuchtet.
Schlüsselwörter
Potenzfunktion, rationaler Exponent, Definitionsbereich, Eigenschaften, Rechengesetze, Gleichungen, Ungleichungen, Symmetrie, Monotonie, Periodizität, Stetigkeit, Grenzwert, Wertebereich, Graph, Differenzierbarkeit, Ableitung, Integrierbarkeit, Stammfunktion, Beweis, Mathematische Analyse.
Häufig gestellte Fragen zur Hausarbeit: Potenzfunktion mit rationalem Exponenten
Was ist der Gegenstand dieser Hausarbeit?
Die Hausarbeit untersucht umfassend die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten. Sie erweitert die Definition der Potenzfunktion vom ganzzahligen auf den rationalen Exponenten und analysiert deren Eigenschaften.
Welche Themen werden in der Hausarbeit behandelt?
Die Arbeit behandelt die Definition der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten, ihre Eigenschaften (Rechengesetze, Gleichungen, Ungleichungen, Symmetrie, Monotonie, Periodizität), Stetigkeit, Grenzwerte, Wertebereich, Graph, Differenzierbarkeit, Ableitung und Integrierbarkeit. Es werden zahlreiche Sätze bewiesen und die mathematischen Zusammenhänge detailliert erläutert.
Wie ist die Hausarbeit strukturiert?
Die Arbeit gliedert sich in Kapitel zu Vorbemerkungen, Definition, Eigenschaften, Symmetrie/Monotonie/Periodizität, Stetigkeit/Grenzwert/Wertebereich/Graph, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit. Jedes Kapitel enthält Sätze mit Beweisen und Erläuterungen zu den jeweiligen Eigenschaften der Potenzfunktion.
Welche Sätze werden in der Hausarbeit bewiesen?
Die Hausarbeit umfasst insgesamt 18 Sätze. Diese behandeln unter anderem die Exponentenvertauschung, die Umkehrfunktion, die Potenzgesetze, Näherungsformeln, die unendliche Binomialreihe, Monotonie-Ungleichungen (inkl. Bernoulli-Ungleichung), Symmetrie, Monotonie, Periodizität, Stetigkeit, spezielle Grenzwerte, den Wertebereich, Konvexität/Konkavität, die Quadranten des Graphen, Differenzierbarkeit, Ableitung und Integrierbarkeit sowie die Stammfunktion der Potenzfunktion.
Welche Schlüsselwörter beschreiben die Hausarbeit am besten?
Schlüsselwörter sind: Potenzfunktion, rationaler Exponent, Definitionsbereich, Eigenschaften, Rechengesetze, Gleichungen, Ungleichungen, Symmetrie, Monotonie, Periodizität, Stetigkeit, Grenzwert, Wertebereich, Graph, Differenzierbarkeit, Ableitung, Integrierbarkeit, Stammfunktion, Beweis, Mathematische Analyse.
Auf welche Vorlesungen wird in der Hausarbeit Bezug genommen?
Die Hausarbeit verweist auf vorherige Vorlesungen von Prof. Dr. Bergmann, deren Sätze für die Beweise und die methodische Herangehensweise verwendet werden.
Welche Zielsetzung verfolgt die Hausarbeit?
Ziel der Hausarbeit ist die Erweiterung der Definition der Potenzfunktion auf rationale Exponenten und die umfassende Analyse der resultierenden Eigenschaften. Die Arbeit untersucht Rechengesetze, Gleichungen, Ungleichungen, sowie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten.
Wie werden die Kapitel zusammengefasst?
Jedem Kapitel der Hausarbeit ist eine Zusammenfassung vorangestellt, die die wichtigsten Ergebnisse und den Inhalt des jeweiligen Kapitels kurz und prägnant beschreibt.
- Arbeit zitieren
- Thomas Schrowe (Autor:in), 2001, Die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/22571
