Die strategischen Entscheidungen von Individuen können zu Interessenkonflikten und Koordinationsproblemen führen. Solche Situationen können als Spiel modelliert und analysiert werden. Entscheidend für den Ablauf und das Spielergebnis sind die Anzahl der beteiligten Spieler und der Grad, zu dem ihre Interessen übereinstimmen bzw. sich überschneiden. Es wird angenommen, dass die Spieler miteinander kommunizieren und kooperativ handeln, so werden sie Koalitionen eingehen und überlegen, welche Anreize sie bieten und welche sie akzeptieren müssen. In dieser Arbeit sind Lösungskonzepte für kooperative Spiele mit mehr als zwei Personen dargestellt. Die Lösungskonzepte, welche als Grundlage die ’charakteristische Funktion’ von Spielen nutzen, sind in zwei Gruppen eingeteilt: Mengenansätze und Wertansätze. Die Mengenansätze reduzieren die Menge der alternativen Lösungen auf eine Teilmenge; eine einzige optimale Lösung wird dadurch nicht gefunden. Vorgestellt werden das starke Gleichgewicht, der Kern, die von-Neuman-Morgenstern-Theorie der stabilen Mengen und die Aumann-Maschler-Theorie der Verhandlungsmengen. Dagegen liefern die Wertansätze ein eindeutiges Ergebnis. Durch das Beispiel ’Abstimmung im Ministerrat der Europäischen Union’ werden der Shapely-Wert und seine vereinfachte Form der Shapely-Shubik-Index beschrieben.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundkonzepte und Definitionen
2.1 Die charakteristische Funktion
2.2 Imputation (Zurechnung)
3 LösungskonzepteMonika Zölde
3.1 Mengenansätze
3.1.1 Der Kern
3.1.2 Die von-Neuman-Morgenstern-Theorie
3.1.3 Die Aumann-Maschler-Theorie
3.2 Wertansätze
3.2.1 Der Shapley-Wert
4 Zusammenfassung
Zielsetzung und Themen
Diese Arbeit widmet sich der Analyse kooperativer n-Personen-Spiele, um das Verständnis strategischer Entscheidungssituationen bei mehr als zwei Akteuren zu vertiefen. Dabei liegt der Fokus auf der Untersuchung verschiedener mathematischer Lösungskonzepte, die bestimmen, wie sich Spieler in Koalitionen organisieren und den erzielten Nutzen untereinander verteilen.
- Grundlegende Konzepte wie die charakteristische Funktion und Imputation
- Mengenansätze (Kern, von-Neumann-Morgenstern-Theorie, Aumann-Maschler-Theorie)
- Wertansätze zur Bestimmung eindeutiger Auszahlungen
- Anwendung des Shapley-Wertes am Beispiel von Abstimmungsprozessen in der EU
Auszug aus dem Buch
3.1.1 Der Kern
Der Kern ist das populärste Lösungskonzept für Koalitionsspiele, obwohl die Eindeutigkeit der Lösung fehlt und die Existenz des Kerns nicht für alle Spiele gesichert ist.
In dem Kern befinden sich nur solche Auszahlungsvektoren, bei denen alle Spieler eine Auszahlung erhalten, die mindestens so hoch ist wie der Betrag, den sie in jeder möglichen Koalition bekommen könnten. Damit wird die Möglichkeit, durch Androhung von Koalitionen die Auszahlungen der Spieler zu erhöhen, entkräftet. Dies ist ein wesentliches Argument für die Wahl des Kern-Konzepts.
Definition: Der Kern C(v) in einem kooperativen Spiel mit der charakteristischen Funktion v ist die Menge aller Imputationen, für die gilt:
1. Summe x_i >= v(S) für alle S in I
2. Summe x_i = v(I)
Diese Bedingungen bedeuten, dass die Summe der Auszahlungen jeder möglichen Koalition S größer oder gleich dem Wert der Koalition ist.
Jede Imputation aus dem Kern ist in dem Sinn stabil, dass es keine Koalition gibt, die den Wunsch und die Macht hätte, den Ausgang des Spiels zu ändern. Meistens hat der Kern mehr als ein Element, was bedeutet, dass mehrere stabile Ausgänge existieren. Das größere Problem kann sein, dass der Kern leer ist. Sehen wir uns dazu das Folgende Beispiel an.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in die Spieltheorie mit Fokus auf die Abgrenzung zwischen nicht-kooperativen und kooperativen Spielen bei n-Personen-Konstellationen.
2 Grundkonzepte und Definitionen: Erläuterung der formalen Grundlagen, insbesondere der charakteristischen Funktion und der Definition einer Imputation.
3 LösungskonzepteMonika Zölde: Systematische Darstellung von Mengen- und Wertansätzen zur Lösungsfindung in Koalitionsspielen.
3.1 Mengenansätze: Überblick über Ansätze, die Mengen von stabilen Auszahlungen identifizieren, darunter der Kern sowie die Theorien von von-Neumann-Morgenstern und Aumann-Maschler.
3.1.1 Der Kern: Detaillierte Betrachtung des Kern-Konzepts als stabile Lösungsmenge und Diskussion seiner potenziellen Leerheit.
3.1.2 Die von-Neuman-Morgenstern-Theorie: Vorstellung der Theorie der stabilen Mengen basierend auf interner und externer Stabilität.
3.1.3 Die Aumann-Maschler-Theorie: Einführung der Verhandlungsmenge unter Berücksichtigung spezifischer Koalitionsstrukturen.
3.2 Wertansätze: Diskussion von Konzepten, die einem Spiel einen eindeutigen Auszahlungsvektor zuordnen.
3.2.1 Der Shapley-Wert: Axiomatische Herleitung des Shapley-Wertes und Anwendung des Shapley-Shubik-Index auf EU-Abstimmungsszenarien.
4 Zusammenfassung: Resümee der behandelten Konzepte und Reflexion über deren praktische Anwendbarkeit und theoretische Grenzen.
Schlüsselwörter
Spieltheorie, Koalitionsspiele, n-Personen-Spiele, charakteristische Funktion, Imputation, Kern, von-Neumann-Morgenstern-Theorie, Aumann-Maschler-Theorie, Verhandlungsmenge, Wertansätze, Shapley-Wert, Shapley-Shubik-Index, Pivotspieler, Europäische Union, Koalition.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der Spieltheorie, speziell mit kooperativen Spielen, bei denen mehr als zwei Spieler beteiligt sind und verbindliche Absprachen getroffen werden können.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die mathematische Beschreibung von Koalitionsspielen durch charakteristische Funktionen sowie die Anwendung verschiedener Lösungsansätze wie Kern, stabile Mengen und Wertansätze.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, verschiedene Lösungskonzepte für n-Personen-Spiele theoretisch darzustellen und deren Vor- sowie Nachteile in der Praxis, etwa bei Abstimmungen, aufzuzeigen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine mathematisch-theoretische Herangehensweise genutzt, bei der ökonomische Entscheidungssituationen modelliert, formal definiert und durch spieltheoretische Axiome analysiert werden.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in Mengenansätze (Kern, Stabile Mengen, Verhandlungsmenge) und Wertansätze (Shapley-Wert), ergänzt durch ein Anwendungsbeispiel zur Abstimmungsstärke im Ministerrat der EU.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wesentliche Begriffe sind Koalitionsspiele, charakteristische Funktion, Imputation, Kern, Shapley-Wert und Pivotspieler.
Was zeichnet die "diskriminatorische Lösung" in diesem Kontext aus?
Sie beschreibt Situationen, in denen Koalitionen unter Spielern gebildet werden, bei denen ein Spieler einen geringeren Anteil erhält und das verbleibende Spiel sich im Wesentlichen auf ein Zwei-Personen-Spiel zwischen den verbleibenden Akteuren reduziert.
Warum ist der Kern in vielen Spielen leer?
Der Kern ist leer, wenn die Anforderungen an Stabilität so hoch sind, dass kein Auszahlungsvektor existiert, der alle Koalitionsbedingungen gleichzeitig erfüllt, wie das Beispiel der drei Firmen zeigt.
Was besagt das Paradox der Umverteilung beim Shapley-Shubik-Index?
Es beschreibt ein kontraintuitives Phänomen, bei dem ein Spieler trotz des Erhalts zusätzlicher Stimmenanteile seine Macht im Abstimmungsprozess verlieren kann.
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- Monika Zölde (Author), 2004, n-Personen-Spiele, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/22869
