Ein Handlungsreisender soll eine gewisse Anzahl von Kunden in verschiedenen Städten besuchen, in jeder Stadt einen Kunden, und anschließend zum Ausgangspunkt zurückkehren. Doch wie ist diese Reise zu wählen, sodass der Handlungsreisende den möglichst kürzesten Gesamtweg beschreitet? Diese Fragestellung wird als das Problem des Handlungsreisenden bzw. das Traveling Salesman Problem (kurz TSP) bezeichnet.
Diese etwas einfache Beschreibung trifft die Gesamtheit des Problems aber bei weiten nicht. Bei dem Problem des Handlungsreisenden handelt es sich um ein Minimierungsproblem aus dem Bereich der theoretischen Informatik. Genauer gesagt gehört es zu einer sehr wichtigen Klasse der theoretischen Informatik; den sogenannten NP-vollständigen Problemen, für die keine effizienten und exakten Lösungsverfahren existieren bzw. existieren können (unter der Annahme das P≠NP gilt).
Intuitiv kann ein Mensch mit Blick auf eine Karte und einer geringen Anzahl an Städten, die es für eine Rundreise zusammenzuführen gilt, eine gute, gar optimale, Lösung sehen. Dieses gilt aber nicht für Maschinen und Softwareprogramme, denn diese können die Gesamtheit nicht wie ein Mensch begreifen. Somit müssen andere, konkretere, Lösungen genutzt werden.
Ziel dieser Arbeit ist es, einen Überblick über die Geschichte, Definition und Arten des Problems des Handlungsreisenden zu geben. Die Einordnung in der theoretischen Informatik zu klassifizieren und zu beschreiben sowie eine ausführliche Übersicht und Beschreibung von bekannten exakten und annähernden Lösungsverfahren zu geben. Ziel soll ein Kompendium für das Problem des Handlungsreisenden sein.
Für diese Arbeit wird vorausgesetzt, dass der Leser grundlegende Kenntnisse der Mathematik, Graphentheorie und theoretischen Informatik besitzt.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung und Motivation dieser Arbeit
- Definitionen, Konventionen, Begriffe und Problemstellung des TSP
- Aktuelle Ergebnisse und Rekorde - Die Geschichte des TSP
- Einordnung des TSP
- Komplexitätstheorie
- Entscheidungs- und Optimierungsproblem
- TSP in NP und NP-schwere des Problems
- Asymmetrisches, symmetrisches und metrisches TSP
- Hamiltonischer Kreis (Hamiltonkreis) und Euler Weg
- Multiple-TSP (mTSP) und Vehicle Routing Problem (VRP)
- TSP exakt lösen
- Brute Force
- Dynamische Programmierung
- Branch and Bound
- Approximierbarkeit des TSP
- Nearest Neighbor und Greedy
- Insertion Heuristiken
- Minimum Spanning Tree (MST)
- Christofides
- K-Opt Verbesserungsverfahren
- Lin-Kernighan (LK) und Lin-Kernighan-Helsgaun (LKH)
- Fazit und Ausblick
- Literaturverzeichnis
- Abbildungsverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die vorliegende Studienabschlussarbeit widmet sich dem Problem des Handlungsreisenden (Traveling Salesman Problem, TSP), einem klassischen Minimierungsproblem aus der theoretischen Informatik. Ziel ist es, ein umfassendes Kompendium zu diesem Thema zu erstellen, das die Geschichte, Definition, Einordnung und Lösungsansätze des TSP beleuchtet.
- Die Geschichte des TSP und die wichtigsten Meilensteine in der Lösungsfindung
- Die Einordnung des TSP in die Komplexitätstheorie und die NP-Vollständigkeit
- Die verschiedenen Arten des TSP, wie das asymmetrische, symmetrische und metrische TSP
- Exakte Lösungsverfahren, wie Brute Force, dynamische Programmierung und Branch and Bound
- Approximationsalgorithmen, sogenannte Heuristiken, zur effizienten Näherung an optimale Lösungen
Zusammenfassung der Kapitel
Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die Problematik des Handlungsreisenden. Sie definiert den TSP und erläutert die verschiedenen Arten und Begrifflichkeiten, die mit diesem Problem verbunden sind. Die Einordnung des TSP in die Komplexitätstheorie wird beleuchtet, wobei die NP-Vollständigkeit des Problems im Vordergrund steht. Es werden verschiedene Varianten und Spezialfälle des TSP, wie das asymmetrische, symmetrische und metrische TSP, sowie das Multiple-TSP und das Vehicle Routing Problem, vorgestellt.
Die Arbeit widmet sich anschließend den Verfahren zur exakten Lösung des TSP, darunter die Brute Force Methode, die dynamische Programmierung und das Branch and Bound Verfahren. Die Limitationen und die exponentielle Laufzeit dieser Methoden werden diskutiert.
Im weiteren Verlauf werden verschiedene Approximationsalgorithmen, sogenannte Heuristiken, vorgestellt, die in Polynomialzeit gute Näherungslösungen liefern. Dazu gehören Verfahren wie Nearest Neighbor, Greedy, Insertion Heuristiken, Minimum Spanning Tree, Christofides und das Lin-Kernighan Verfahren. Die Funktionsweise und die Approximationsgüte dieser Algorithmen werden anhand von Beispielen erläutert. Die Arbeit beleuchtet auch die Weiterentwicklung des Lin-Kernighan Algorithmus durch Keld Helsgaun, den Lin-Kernighan-Helsgaun (LKH) Algorithmus, der einen neuen Standard in der Tourenfindung setzt.
Schlüsselwörter
Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen das Problem des Handlungsreisenden (Traveling Salesman Problem, TSP), die Komplexitätstheorie, NP-Vollständigkeit, exakte Lösungsverfahren, Approximationsalgorithmen, Heuristiken, Brute Force, dynamische Programmierung, Branch and Bound, Nearest Neighbor, Greedy, Insertion Heuristiken, Minimum Spanning Tree, Christofides, Lin-Kernighan, Lin-Kernighan-Helsgaun (LKH), Simulated Annealing, genetische Algorithmen, Ant Colonies und Ant Colony Optimization (ACO).
- Arbeit zitieren
- Kai Pohl (Autor:in), 2013, Das Problem des Handlungsreisenden. Ein Kompendium, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/265472
