Schon einfache nichtlineare Abbildungen, wie die logistische Abbildung x_n+1 = r*x_n(1 − x_n), weisen ein vielfältiges dynamisches Verhalten auf, das von der Größe des Parameters r abhängt. Dieses reicht von Fixpunkten, über eine Hierarchie von Bifurkationen in Form von Periodenverdopplung bis hin zu chaotischem, d.h. ganz und gar unverhersagbarem Verhalten, und das obwohl die Gleichung selbst komplett deterministisch ist.
1 Einleitung
Die hier thematisierten mathematischen Modelle sind iterative Abbildungen f : V → V von der Form
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Lineare Abbildungen wie xn+1 = axn + b können eindeutig invertiert werden und zeigen daher kein kompliziertes Verhalten. Doch schon einfache nichtlineare Abbildungen, wie die logistische Abbildung xn+1 = rxn(1 − xn), weisen ein vielfältiges dynamisches Verhalten auf, das von der Größe des Parameters r abhängt. Dieses reicht von Fixpunkten, über eine Hierarchie von Bifurkationen in Form von Periodenverdopplung bis hin zu chaotischem, d.h. ganz und gar unverhersagbarem Verhalten, und das obwohl die Gleichung selbst komplett deterministisch ist.
Differenzgleichungen dieser Art können in derÖkologie zur Modellierung von Populationen genutzt werden. Wichtig dabei ist, dass die Generationen sich nicht überschneiden und die Tiere sich saisonbedingt fortpflanzen, da das Modell in diskreten Zeiteinheiten rechnet. Ein Beispiel ist die Gleichung Xn+1 = bXn − cXn2, wobei Xn die Population nach n Jahren, b die Geburtenrate, und cXn die populationsabhängige Sterberate ist [1]. Eine Vereinfachung hiervon ist die logistische Abbildung
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Eine erste umfangreiche mathematische Analyse dieser Gleichung unternahm der Biologe Robert May, die in seinem Aufsatz Simple mathematical models with very complicated dynamics von 1976 zusammengefasst ist.
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Häufig gestellte Fragen
Was ist die logistische Abbildung?
Eine mathematische Gleichung (x_n+1 = r*x_n(1 - x_n)), die zeigt, wie aus einfachen deterministischen Regeln hochkomplexes Verhalten entstehen kann.
Was versteht man unter einer Bifurkation?
Eine qualitative Zustandsänderung in einem System, wie z.B. die Periodenverdopplung, wenn ein Parameter (r) verändert wird.
Wie kann deterministisches Verhalten chaotisch sein?
Obwohl die Regeln feststehen, führt eine minimale Änderung der Anfangswerte zu völlig unterschiedlichen und unvorhersehbaren Ergebnissen.
Wie wird dieses Modell in der Ökologie genutzt?
Es dient zur Modellierung von Populationen, bei denen sich die Generationen nicht überschneiden (z.B. saisonale Fortpflanzung).
Wer war Robert May?
Ein Biologe, der 1976 eine bahnbrechende Analyse über einfache mathematische Modelle mit sehr komplizierter Dynamik veröffentlichte.
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- David Brückner (Author), 2013, Chaotische Dynamik in eindimensionalen Abbildungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/270957
