Fourierzerlegung mit Beispielen in MATLAB®


Studienarbeit, 2014
23 Seiten, Note: 1,3

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Anhangsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

I. Einleitung

II. Grundlagen
1. Fourier-Entwicklung
2. Approximationseigenschaften

III. Bearbeitung Themen
1. Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals
2. Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten
3. Berechnung der Spektrallinien

IV. Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Anhang

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: MATLAB Fourier-Zerlegung Rechtecksignal für verschiedene n

Abb. 2: Gibbsches Phänomen

Abb. 3: MATLAB Dreieckfunktion aus Fourier-Koeffizienten für verschiedene n

Abb. 4: Fourier-Transformation

Abb. 5: fft in MATLAB

Abb. 6: Leakage-Effekt

Anhangsverzeichnis

Anhang 1: Fourierzerlegung Rechtecksignal

Anhang 2: Fourierzerlegung Dreiecksignal

Anhang 3: Berechnung der Spektrallinien

Anhang 4: Daten-CD

Die Daten CD ist in dieser Publikation nicht enthalten.

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

I. Einleitung

Ein Vorgang, bei dem sich eine physikalische Größe aus einem Ruhezustand durch eine äußere Einwirkung periodisch ändert, bezeichnet man als Schwingung. Kann der Verlauf einer Schwingung durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben werden, bezeichnet man sie als harmonische Schwingung.[1]

In der Praxis trifft man jedoch häufig auf periodische Vorgänge, die sich nicht aus reinen Sinusfunktionen darstellen lassen[2], z.B. in der Akustik, Optik oder Elektrotechnik. Ende des 18. Jh. hat der französische Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) entdeckt, dass sich jede periodische Schwingung als Summe harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Amplituden und Frequenzen darstellen lässt. Diese Entdeckung ist heute als Fourier-Entwicklung oder -Reihe bekannt[3] und bedeutet, dass sich jede beliebige periodische Funktion durch Überlagerung harmonischer Schwingungen unendlich genau darstellen lässt. Dadurch kann ein kompliziertes Problem in ein einfacheres transformiert, gelöst und anschließend wieder auf das Ausgangsproblem zurücktransformiert werden.[4]

Inhalt dieses Assignments ist im Kapitel II die Grundlagenschaffung durch die Definitionen von Fourier-Entwicklung und Approximationseigenschaften, sowie der Fourier-Transformation im weiteren Verlauf. Im Kapitel III werden die Themen des Assignments mit MATLAB bearbeitet, die Ergebnisse bewertet und abschließend in Kapitel IV die gewonnenen Erkenntnisse zusammengefasst und kritisch reflektiert.

Das Ziel dieses Assignments ist es, den Grundgedanken der Fourier-Analyse und die Vorgehensweise der Berechnung darzustellen, sowie in unterschiedlichen Anwendungen den Nutzen der Fourier-Zerlegung auszuarbeiten. Damit einher sollen auch mögliche Fehler oder Ungenauigkeiten analysiert und bewertet werden.

II. Grundlagen

1. Fourier-Entwicklung

Periodische Funktionen sollen als Summe von Sinusfunktionen dargestellt werden. Die Fourier-Entwicklung lässt sich mathematisch folgendermaßen ausdrücken:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Periode der periodischen Funktion f sei einfacherweise , da dies die Periode von Sinus und Kosinus ist. Die Koeffizienten a0, an und bn müssen anschließend bestimmt werden, hier wird bei einer Periode von der Bereich von –π bis π betrachtet. Für die Konstanten ergeben sich nach mehrmaligen Umformungen folgende Formeln[5]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Koeffizienten heißen Fourier-Koeffizienten. Ihre Berechnung und damit „die Zerlegung einer Funktion […] in Frequenzanteile nennt man Fourier-Analyse“[6] oder -Transformation. In der Praxis können die Koeffizienten durch Rechensysteme ermittelt werden, z.B. mit Hilfe der schnellen Fourier-Transformation (Fast Fourier Transformation). Auf die Fourier-Transformation und deren Anwendungsbereiche wird in Kapitel III bei der Bearbeitung der Aufgabe 3 weiter eingegangen.

2. Approximationseigenschaften

Führt man die Fourier-Reihe für ein einzelnes Summenglied aus, erhält man eine reine Sinusfunktion. Bei einer erhöhten Anzahl an Summanden wird die zu zerlegende Funktion immer weiter approximiert. Unter Approximation versteht man die Annäherung an eben diese Zielfunktion (beispielsweise an die Rechteckfunktion aus Aufgabe 2 in Kapitel III), wenn die Fourier-Reihe nach endlich vielen Summengliedern abgebrochen wird.

III. Bearbeitung Themen

1. Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals

Ein periodisches Rechtecksignal kann durch folgende Summe von Sinusfunktionen geschrieben werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Funktion kann auch folgendermaßen dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mithilfe des Numerikprogrammes MATLAB®[7] kann eine Script-Datei (M-File) programmiert werden, welche die Fourier-Zerlegung des Rechtecksignals ausführt. Für die Programmierung der Rechteckzerlegung sind folgende Daten gegeben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten[8] [9]

Dabei wird das M-File in drei Teile gegliedert

1. Eingabe von Werten in die Kommandozeile
2. Rechnung
3. Grafikausgabe

und für eine verschiedene Anzahl an Summanden [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] getestet.

Das M-File fourier_rechteck.m ist in Anhang 4 (Daten-CD) angehängt. Die Approximation der Rechteckfunktion ist in folgender Abbildung 1 zu sehen, wobei n1 in blau, n2 in grün und n3 in rot dargestellt sind.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: MATLAB Fourier-Zerlegung Rechtecksignal für verschiedene n[10]

Nach n3=100 Summengliedern ist die Rechteckfunktion schon recht gut approximiert, ein ideales Rechtecksignal erhalten wir jedoch nicht. An den Sprungstellen bzw. Unstetigkeitsstellen der Funktion treten bei allen n Überschreitungen auf, die durch eine erhöhte Anzahl an Summanden nicht verringert werden kann (siehe Abbildung 2), es wird durch eine unendliche Anzahl an Summanden nur unendlich schmal. Dieses Phänomen ist als Gibbsches Phänomen bekannt,[11] welches nach dem Physiker Josiah Willard Gibbs (1839-1903) benannt ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Gibbsches Phänomen

2. Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourier-Koeffizienten

Analog der Zerlegung des Rechtecksignals wird hier eine Dreiecksfunktion mittels einer for-Schleife in einem M-File dargestellt. Eine for-Schleife ist eine Zählschleife, die das Programm automatisch für verschiedene Werte mehrmals hintereinander durchlaufen lässt, wobei die Werte in einer festen Differenz zueinander zuvor definiert sein müssen.[12]

Das periodische Dreiecksignal ist durch folgende Reihenentwicklung geben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Analog Aufgabe 1.1 wird auch die Reihenentwicklung (7) umgestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Programmierung des M-Files werden, bis auf die Impulshöhe a, alle in der Aufgabe 1.1 gegebenen Werte übernommen. Das M-File fourier_dreieck.m ist ebenfalls in Anhang 4 zu finden. Die approximierten Dreieckfunktionen sehen wie folgt aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: MATLAB Dreieckfunktion aus Fourier-Koeffizienten für verschiedene n[13]

Die Approximation der Dreieckfunktion mit n3=100 unterscheidet sich kaum vom vorgegebenen Dreieckverlauf. Geringfügige Abweichung sind bei n2=5 Summanden zu erkennen, wobei die Abweichungen an den Signalspitzen am größten sind. Hier erreicht die Approximation nicht mehr die Höchstwerte von ±1. Im Gegensatz zur Rechteckfunktion tritt bei der Dreieckfunktion das Gibbsche Phänomen nicht auf, da diese stetig ist.

[...]


[1] Weber, Hubert; Ulrich, Helmut, 2012: Laplace-, Fourier- und z-Transformation, 9. Auflage, Wiesbaden 2012

[2] Goebbels, Steffen; Ritter, Stefan, 2013: Mathematik verstehen und anwenden, 2. Auflage, Heidelberg 2013, S. 699ff.

[3] Burke Hubbard, Barbara, 1997: Wavelets: Die Mathematik der kleinen Wellen, Berlin 1997

[4] Goebbels, Steffen; Ritter, Stefan, a.a.O.

[5] Goebbels, Steffen; Ritter, Stefan, a.a.O.

[6] Goebbels, Steffen; Ritter, Stefan, a.a.O.

[7] MATLAB® ist eingetragenes Warenzeichen von The MathWorks, Inc.

[8] Definition Oberwelle: Oberwellen treten bei Schwingungen auf, die keine reinen Sinusschwingungen sind. Sie sind ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung

[9] Ohne Verfasser, 2014: Oberwelle, http://www.itwissen.info/definition/lexikon/Oberwelle-harmonic.html; 20.10.2014, 09:52

[10] Blau: n=1; Grün: n=5; Rot: n=100

[11] Ohne Verfasser, ohne Jahr: Fourierreihe und Gibbsches Phänomen, http://www.studienkolleg-bochum.de/node/125, 21.10.2014, 09:43

[12] Thuselt, Frank; Gennrich, Felix: Praktische Mathematik mit MATLAB, Scilab und Octave, Heidelberg 2013, S.295

[13] Blau: n=1; Grün: n=5; Rot: n=100

Ende der Leseprobe aus 23 Seiten

Details

Titel
Fourierzerlegung mit Beispielen in MATLAB®
Hochschule
AKAD University, ehem. AKAD Fachhochschule Stuttgart
Note
1,3
Autor
Jahr
2014
Seiten
23
Katalognummer
V285710
ISBN (eBook)
9783656859734
ISBN (Buch)
9783656859741
Dateigröße
847 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
fourierzerlegung, beispielen, matlab®
Arbeit zitieren
Isabelle Pipahl (Autor), 2014, Fourierzerlegung mit Beispielen in MATLAB®, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/285710

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