Mathematik, Statistik, Operations Research

Das mathematische Schmierbuch eines Fernstudenten


Fachbuch, 2015
338 Seiten

Leseprobe

II
Vorwort zur überarbeiteten Neuauflage
Die erste Auflage hat ein gutes Echo erfahren. Gleichzeitig wurden auch die
Schwächen und Fehler die beim Übertragen aus den Aufzeichnungen des Ver-
fassers entstanden sind deutlich. Mehrfaches Korrekturlesen hat die zum Teil
gravierenden Fehler nicht verhindert.
Gleichzeitig angeregt durch die berechtigte Kritik wurde auch eine neue Forma-
tierung durchgeführt, die die einzelnen Kapitel deutlicher voneinander unter-
scheidet und damit nicht nur zum besseren Auffinden der Kapitel führt sondern
auch gerade beim systematischen Nachschlagen Erleichterung bietet.
An dieser Stelle soll auch Dank gesagt werden an die Professoren der Hoch-
schule Wismar die mir während meines Studiums mit viel Verständnis begeg-
net sind und mir die Freude an einem Studium verdeutlichten.
Dank dem Fachschaftsrat der Fernstudenten Danilo Kleefeldt der sich der Mü-
he unterzog und das ,,Schmierbuch" einer kritischen Betrachtung unterzog, Feh-
ler aufzeigte und Vorschläge zur Verbesserung des Inhaltes und der Gestaltung
machte.
Ein besonderer Dank gilt dem Grin Verlag und seinen Mitarbeitern, für seine
Bereitschaft die Neuauflage zu begleiten.
Für gemachte Fehler bitte ich um Entschuldigung. Für das kritische Aufzeigen
von evtl. immer noch enthaltenen Fehlern und Verbesserungsvorschläge bin ich
dankbar.
Herbert F. Berg
Im August 2015
herbert-f@bergkarlsruhe.de

III
Vorwort
Mathematik, Operations Research, Statistik und die in diesen Fächern zu ab-
solvierenden Klausuren sind im Allgemeinen die großen Angsthürden aller Stu-
denten. Bei den Fernstudenten sicherlich besonders ausgeprägt, da die Fern-
studenten in der Regel nach einigen Jahren Berufsausbildung mit zeitlichem
Abstand zur Schule, in der sie je nach Schulsystem auch mit Mathematik im
allgemeinen und Statistik oder Operations Research im speziellen nicht tiefge-
hend befasst waren, große Wissenslücken in diesen Fächern haben. Die Hoch-
schulen tragen dieser Tatsache weitgehend dadurch Rechnung, dass sie im
Grundstudium vor den Fächern Statistik und Operations Research, die Vorkur-
se Mathematik I und Mathematik II in die Studiengänge eingefügt haben. Trotz
dieser Auffrischungsbemühungen der schulmathematischen Grundkenntnisse
ist es nahezu unmöglich Lücken zu schließen, wenn eben diese Lücken auf
dem Fehlen von Grundlagen basieren oder diese Grundlagen durch zeitlich
großen Abstand zwischen Schule und Studium verschüttet sind.
Das Lernen und Verstehen von Mathematik, Statistik und Operations Research
ist vergleichbar mit dem Erlernen einer Fremdsprache.
Erinnern wir, Babys hören zunächst die Wörter und Sätze, die die Eltern in der
Kommunikation mit ihnen oder der Umwelt anwenden. Sie lernen dann diese
Worte nachzusprechen und deren Sinn zu erfassen bzw. sie zu Sätzen zu-
sammen zu fügen, sinngerecht anzuwenden und im fortgeschrittenen Alter auch
zu schreiben. Eine wichtige Voraussetzung bei diesem Lernen ist, das große
Vertrauen das Babys in ihre Eltern haben.
Genau so ergeht es uns beim Erlernen der Mathematik, Statistik und Operati-
ons Research. Wir hören und lesen für uns unbekannte Zeichen und Formeln.
Wir müssen lernen, den Sinn der Zeichen und Formeln zu verstehen und die
Formeln entsprechend der gestellten Aufgaben anzuwenden. Eine wichtige Vo-
raussetzung dabei ist auch das richtige Lesen und Interpretieren der Aufgaben.
Aber auch hier kommt es für die Lernenden, die Studenten, darauf an, den leh-
renden Professor(en)innen und Dozent(en)innen zu vertrauen. Mangelnde

IV
Kenntnisse und daraus resultierend schlechte Klausurergebnisse sind nicht die
Schuld der Lehrenden, wie es oft von Studenten empfunden wird. Es gilt hier,
dass der Ruf einer(s) Professor(s)in oder einer(s) Dozent(es) in durch möglichst
viele gute Absolventen gestärkt und hervorgehoben wird.
,,Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: Redet man zu ihnen, so übersetzen
sie es in ihre Sprache, und dann ist es also bald ganz etwas anderes."
1
Basierend auf den eigenen Erfahrungen beim Fernstudium an der Hochschule
Wismar möchte der Verfasser dieser Arbeit sein persönliches Erleben beim Er-
lernen der ,,Fremdsprachen" Mathematik, Statistik und Operations Research,
weitergeben. Alle Hilfsmittel zum Lernen, können das selbständige Erarbeiten
von Übungsaufgaben, das Lesen einschlägiger Fachliteratur sowie das syste-
matische Erarbeiten des Skriptes nur unterstützen. Dabei gilt auch in engem
Kontakt mit der/dem verantwortlichen Professor(s)in oder Dozent(en)in Übungs-
aufgaben verstehen und lösen zu lernen. Es ist nicht Ziel dieser Arbeit ein
Lehrbuch zu sein oder ein solches zu ersetzen. Es kann auch kein Ersatz für
Skripte, Übungsaufgaben und Vorlesungen sein. Diese Arbeit entstand aus den
vielen zusammengetragenen Lernunterlagen, Notizen, verarbeiteter Literatur
und Aufzeichnungen des Verfassers. Beim Zusammentragen und Übertragen
aus den Schmierbüchern (Kladden) und Studienunterlagen seiner Studienzeit
ist dem Verfasser das Lied:
,,...hoffentlich merkt keiner den Betrug.
denn das ist alles nur geklaut,
das ist alles gar nicht meine,
das ist alles nur geklaut,
doch das weiß ich nur ganz alleine,
das ist alles nur geklaut und gestohlen,
nur gezogen und geraubt.
Entschuldigung, das hab' ich mir erlaubt."
2
eingefallen.
1
Johann Wolfgang von Goethe
2
Musikband ,,die
Prinzen"
Alles nur geklau
t
, Text Tobias Künzel, Leipzig, September 1993.

V
Tatsächlich ist es so, dass jede Formel, jede Gleichung, jeder Graph und jedes
Wort in der mathematischen, wissenschaftlichen Literatur schon seit Generatio-
nen in jeder erdenklichen Weise dokumentiert wurde. Ein anschauliches Bei-
spiel dazu bietet die Formel zum Rangkorrelationskoeffizienten R nach
Spearman
3
4
5
6
7
8
Alle meinen das Gleiche und kommen zum gleichen Ergebnis. Um im Vergleich
des Erlernens einer Sprache zu bleiben handelt es sich hier eben um die ver-
schiedenen Dialekte.
Das Rad wird nicht neu erfunden sondern es wird versucht das Zusammenge-
tragene aus der Sicht eines Studenten systematisch zu ordnen.
3
Charles Edward Spearman (* 10. September 1863 in London; 17. September 1945 ebenda) war ein
britischer Psychologe, der unter anderem durch seine 1904 publizierte
Zweifaktorentheorie der Intelli-
genz
bekannt wurde.
4
De.wikipedia.org/wiki/Rangkorrelationskoeffizient, abgerufen am 20.12.2014, 09:30 Uhr.
5
Müller G., Studienbrief, Statistik, Semester IV Diplom Fernstudiengang Grundständige
Betriebswirtschaft, Auflage 3/2011, S.71, Fakultät für Wirtschaftswissenschaften,
WINGS-Wismar International Graduation Service GmbH, Wismar, 2011
6
Bamberg G., Baur F., Krapp M.,Statistik,15. Überarbeitete Auflage,S.35, Oldenbourg
Wissenschafts-verlag GmbH, München, Wien, 2009.
7
Bol G., Deskriptive Statistik, 6. überarbeitete Auflage,S.144, Oldenbourg Wissenschafts Verlag, GmbH
München Wien, 2004
.
8
Bourier G., Beschreibende Statistik, 8. überarbeitete Auflage, S.219, Gabler GWV Fachverlage GmbH,
Wiesbaden, 2010.

VI
Auf das Nacharbeiten und die Wiedergabe von Musterklausuren sowie den Lö-
sungen zu diesen Klausuren wurde weitgehend verzichtet, da diese Veröffentli-
chungen in nahezu allen Studenten-Plogs und Internet-Plattformen eingehend
behandelt werden. Es wäre wenig hilfreich und würde dem Selbsterarbeiten des
Vorlesungsstoffes des entsprechenden Studiengangs entgegenstehen.
In einzelnen Fällen wurde entsprechend den Aufzeichnungen des Verfassers
dennoch die Lösung von Übungsaufgaben zur Verdeutlichung des Lösungswe-
ges dokumentiert. Die Arbeit soll Hilfestellung beim Erinnern und wieder Auffri-
schen von Vergessenem, einmal Erlerntem, dienen. Deutlich zu erkennen, dass
der Verfasser sich beim Lernen und niederschreiben des Stoffes an seinen
Lehrbriefen entlang gearbeitet hat.
Im Übrigen gilt:
,,Ob Mathe oder Muskeln um in Form zu bleiben helfen nur üben, trainieren und
wiederholen."
9
Es gibt eine Vielzahl sehr guter Lehrbücher von hervorragenden Hochschul-
lehrer(innen)n und Dozent(in)en die diesem Ziel dienen.
Die vom Verfasser dieser Arbeit genutzte Literatur ist im Literaturverzeichnis
aufgeführt und empfohlen.
9
Partoll H., Wagner I., Fejes P., Mathe macchiato Analysis, 2. Auflage, S.43, Pearson Education, 2010.

VII
Symbolverzeichnis
-Allgemeine Symbole-
=
ist gleich
ist ungleich
a=b
a ist gleich b
a b
a ist kleiner als b
a b
a ist kleiner oder gleich b
a > b
a ist größer als b
a b
a ist größer oder gleich b
x
1
+x
2
+...+x
n
x
1
*x
2
* *x
n
f(x)
1. Ableitung
1. Partielle Ableitung
Integral
lim
Grenzwert von f(x)
Transponierte Matrix
sgn(x)
Vorzeichen von x
-Symbole der Mengenlehre-
{a,b,c}
Menge, bestehend aus den Elementen a, b, und c
x M
x ist Element der Menge M
x
M
x ist nicht Element von Memtyset
{
Menge derjenigen Elemente von M, die
schaftE
}
die Eigenschaft E haben

VIII
A
B
A ist Teilmenge von M
A ist enthalten in oder gleich B
A
B
A ist nicht Teilmenge von M
Leere Menge
Potenzmenge von M, d.h. Menge aller
Teilmengen von M
A
B
Vereinigungsmenge von A und B
A B
Schnittmenge von A und B
Komplement von A
N
Menge der natürlichen Zahlen
N
0
Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0
Z
Menge der ganzen Zahlen
N
Menge der natürlichen Zahlen
N
0
Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0
Menge der rationalen Zahlen
R
Menge der reellen Zahlen
R
+
Menge der nicht negativen reellen Zahlen
(a,b)
{x R/a<x<b}
[a,b]
{x R/a x b}
(a,b]
{x R/ax b}
[a,b)
{x R/a x<b}
|M|
Anzahl der Elemente von M

IX
-Symbole der Aussagenlogik-
A
A ist eine Aussage, die wahr (w) oder falsch (f) sein
kann
v(A)
v(A) wird als Wahrheitswert der Aussage A bezeichnet;
v(A) = 1 heißt, dass A wahr und v(A) = 0 falsch ist.
Die Negation A (bzw.
) der Aussage A ist wahr, wenn
A falsch ist, und falsch wenn A wahr ist.
A
B
Die Konjunktion A
B ist wahr, wenn beide Aussagen
wahr sind, und falsch, wenn wenigstens eine der
Aussagen falsch ist.
A
B
Die Disjunktion A
B ist wahr, wenn wenigstens eine
der beiden Aussagen wahr ist, und falsch, wenn beide
Aussagen falsch sind.
A
B
Die Implikation A
B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann
ist B auch wahr. A wird als Voraussetzung (Prämisse),
B als Folgerung (Konklusion) bezeichnet. A
B ist nur
dann falsch, wenn eine der beiden Aussagen wahr und
die andere falsch ist.
,,Es gibt" (z.B.:
x :x
2
= 4 heißt: Es gibt eine rationale
Zahl x mit x
2
= 4)
,, Für all" (z.B.:
x :x
2
0
heißt. Für alle rationalen
Zahlen x gilt x
2
0).
-Symbole Statistik-
X bzw. Y
Merkmale
X bzw. Y
Zufallsvariablen
(gegebenenfalls auch zugehörige Merkmale)
x
i
bzw.
y
i
Beobachtungswerte von X bzw. Y
a
1, ,
a
k
realisierte Ausprägung des Merkmals x

X
h(a
j
)
absolute Ausprägung
a
j
f(a
j
)
relative Häufigkeit von
a
j
H(x)
kumulierte absolute Häufigkeitsverteilung
F(x)
kumulierte relative Häufigkeitsverteilung
arithmetisches Mittel
s
2
mittlere quadratische Abweichung
s
Standartabweichung
r
Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizent
Ergebnismenge
P
Wahrscheinlichkeitsmaß
P(A
|
B)
bedingte Wahrscheinlichkeit
f(x)
Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw.
Wahrscheinlichkeitsdichte
F(x)
Verteilungsfunktion
B(n;p)
Binomialverteilung
N(µ; )
Normalverteilung
N(0;1)
Standartnormalverteilung
(x)
Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung
E(X) bzw. µ
Erwartungswert der Zufallsvariablen
X
Var(X) bzw.
2
Varianz der Zufallsvariablen
X
G
Grundgesamtheit
X
i
i-
te Stichprobenvariable
Stichprobenmittel
S
2
Stichprobenvarianz
S
Stichproben-Standartabweichung
(x
1
,...,x
n
)
Stichprobenergebnis

XI
f(x
1
, ,x
n
)
Likelihoodfunktion
V
u
bzw. V
0
untere bzw. obere Grenzen eines Konfidenzintervalls
V bzw. v
Testfunktion bzw. ihre Realisierung
H
0
bzw. H
1
Nullhypothese bzw. Alternativhypothese
Signifikanzniveau
B
Verwerfungsbereich eines Tests
g( ) Gütefunktion
-Symbole Operation Research-
0
Nullvektor
,
kleiner, kleiner oder gleich
größer, größer oder gleich
a wesentlich größer als b
a schlechter als b
~
a gleichwertig zu b
a besser als b
a besser oder gleichwertig zu b
a ungefähr gleich b oder möglichst nicht größer als b
| |
Betrag von a :=
, 0
, 0
kleinste ganze Zahl größer oder gleich a
größte ganze Zahl kleiner oder gleich a
(a; b)
offenes Intervall von a bis b, ab
[a;b]
abgeschlossenes Intervall
Element von
nicht Element von

XII
:=
definitionsgemäß gleich (Wertzuweisung im Verfahren)
B
Basis
B
-1
Bassisinvers
B, N
Menge der Binären bzw. der natürlichen Zahlen
R,R
+,
R
n
Menge der reellen, nichtnegativen ganzen bzw.
n-elementigen reellen Zahlen,
n-dimensionaler euklidischer Raum
R
+
,R
-
Menge der positiven, negativen reellen Zahlen
Z,z
+
Menge der ganzen bzw. nichtnegativen ganzen Zahlen
Zuweisung, wobei h die Reihenfolge der Zuweisung
bestimmt
leere Menge
unendlich, wir definieren
ü R
i I
i ist Element der Menge I
I
J, I
I ist Teilmenge bzw. Echte Teilmenge von J
I
J
Vereinigung der Mengen I und J
f:X
R
Abbildung f, die jedem Element von X einen Wert aus R
zuordnet
min
, ... ,
Minimum aller a
Ij
,a
2j
,...,a
mj
| |, | |
Absolutbetrag von , Mächtigkeit der Menge I
A=(a
il
)
Koeffizienten Matrix
b=(b
I
,...,b
m
)
Vektor der rechten Seiten
c=(c
I
,...,c
n
)
Vektor der Zielkoeffizienten
c
ij
=c(i,j)=c
,
Kosten (Länge, Zeit, etc.) auf Pfeil (i,j) bzw. auf
Kante
,
c(w)
Länge des Weges
C(G)=(c
ij
)
Kostenmatrix des Graphen G

XIII
E
Kanten- oder Pfeilmenge
E(x)
Erwartungswert der Zufallsvariablen x
F(.)
etwa F(x), verwendet für Zielfunktions(-wert)
G=
,
ungerichteter, unbewerteter Graph
G=(V,E)
ungerichteter, unbewerteter Graph
GE,ME,ZE
Geldeinheit(en), Mengeneinheit(en), Zeiteinheit(en)
g
i
Grad des Knotens i (in ungerichteten Graphen)
h
i
;h
ij
nicht negativ gebrochener Anteil, 0 h
i
,h
ij
1
H
i
Hilfsvariable
I
Einheitsmatrix
m bzw. n
Anzahl der Restriktionen bzw. Variablen
M
hinreichend große Zahl für fiktive Bewertungen
N
Nichtbasismatrix
N(i)
Menge der Nachfolger des Knotens i
NB(i)
Menge der Nachbarn des Knotens i
n!
n Fakultät mit n! = 1+2*3*...*n,n
N;0! :=1
S
. .
eindimensionales Feld der Länge n
a
1
*a
2
*...*a
n
a
1+
a
2
+...+a
n
bestimmtes Integral in den Grenzen a und b
Ableitung von F nach x
lim
h
0xn
Limes von x
n
für h gegen 0
P(A/B)
Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt,
wenn B bereits eingetreten
T
Baum

XIV
V
Knotenmenge
V(i)
Menge der Vorgänger des Knotens i
X
wird vorwiegend als Vektor von
Variablen x
j
bzw. X
ij
, etwa (x
11
, x
12
,...x
mn
), verwendet
| ...
Menge aller x, für die gilt...
F
Gradient der Funktion F
X
kartesisches Produkt
x
j
;
primale Struktur-/Schlupfvariable
x/y/z
3-Tupel
y
i
;
duale Struktur-/Schlupfvariable
Z
*
aktuelle Zielfunktionswerte einer Basis B
Z
0
optimale Zielfunktionswerte einer primal und dual
zulässigen, optimalen Basis B
z
j
Kriteriums Element
Ende Beispiel
Ende Beweis

XV
Formelverzeichnis
Algebra
Rationale Zahlen
Dezimaldarstellung:
Natürliche Zahlen:
10
,
0
Ganze Zahlen:
10
Rationale Zahlen:
10
,
0, wobei die An-
zahl der Summanden (Dezimalstellen) ent-
weder endlich ist (endlicher Dezimalbruch)
oder sich eine endliche Folge von Ziffern
unendlich oft wiederholt (periodischer Dezi-
malbruch).
Komplexe Zahlen
Grundlegende Definitionen
Rechenregeln für komplexe Zahlen
ü
:
Addition
Subtraktion
Multiplikation mit einer
reellen Zahl
Multiplikation
,
0
Division

XVI
Für das Rechnen mit Beträgen komplexer Zahlen gilt:
| |
| | | |
| |
| |
0 | |
| |
Ganzzahlige Potenzen
Rechenregeln für Potenzen
ü , , ,
,
:
1
Speziell für Zehnerpotenzen gilt:
10
110
100 ... 0
n Nullen
10
0.00 ... 01
n Nullen
Achtung:
im Allgemeinen
Wichtige Regeln der Algebra
Grundlegende Gesetze
Für a,b,c
gilt
:
Kommutativgesetz der Addition:
Assoziativgesetz der Addition:
Null ist neutrales Element der Addition:
0
0
0

XVII
-a ist invers zu a bezüglich Addition:
0
Kommutativgesetz der Multiplikation:
Assoziativgesetz der Multiplikation:
1 ist neutrales Element der Multiplikation:
1
1
ist invers a bezüglich Multiplikation:
1 ü
0
Rechnen mit Minuszeichen:
1
1
Rechnen mit Minuszeichen:
0
Distributivgesetz oder Ausklammern:
Distributionsgesetz:
Multiplikation mit Null:
0
0
0
Produkt Null, wenn ein Faktor Null:
0
0
0
Division der Null:
0
Division durch Null nicht erlaubt:
Quotient Null, wenn Zähler Null:
0
0
0
Binomische Formel
Für
,
2
2

XVIII
Regeln für Brüche
Für
, , ,
gilt, wenn alle Nenner 0 sind:
Erweitern eines Bruches:
0
Kürzen eines Bruches:
Vorzeichenregel:
Vorzeichenregel:
1
Addition von Brüchen mit gleichem Nenner:
Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner:
Addition von beliebigen Brüchen:
+
Subtraktion von beliebigen Brüchen:
Addition/Subtraktion eines Bruches zu einer Zahl:
Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl:
Multiplikation zweier Brüche:
Division zweier Brüche=Multiplikation mit dem Kehrwert:
Division eines Bruches durch eine Zahl:

XIX
Division einer Zahl durch einen Bruch:
Rechenregel für Quadratwurzeln:
Für
, gilt:
1
1
0
beachten:
+
beachten:
,
| |
0
Rechenregel für n-te Wurzel:
Für
,
,
0gilt:
1
1
/
Rechenregel für Potenzen mit gebrochenen Exponenten:
Für
0, ,
gilt
:
Rechenregeln für Wurzeln aus Potenzen mit rationalen Exponenten:
Für
,
0, , , gilt:

XX
Rechenregel für Potenzen mit reellen Exponenten:
Für
0, , gilt:
1
1
0
0
Erlaubte Umformungen einer Gleichung:
Es sei
die Definitionsmenge einer Gleichung und
oder ein auf
definierter algebraischer Ausdruck. Dann gilt:
0
, ,
0
exp
exp
1
1

XXI
,
0 , ,
0
,
Wenn
ü
,
.
0
0
...
0
0
0
0
Lösung der Linearen Gleichung:
Für
, , ,
:
0:
0
0,
0:
0 ü
0,
0:
0
ö
.
:
Rechenregeln für Matrizenmultiplikation
Es seien A,B und C Matrizen. Unter der Voraussetzung, dass alle Produkte de-
finiert sind, gilt:
Assoziativgesetz:
(AB)C=A(BC)=ABC
linksseitiges Distributivgesetz:
A(B+C)=AB+AC
rechtseitiges Distributivgesetz:
(A+B)C=AC+BC

XXII
Satz des Pythagoras:
90
cos
0
Sinussatz:
Cosinus Satz:
2
cos
(=verallgemeinerter Pythagoras)
2
cos
cos
Tangenssatz:
Fläche:
Winkelsumme:
180
Statistik
Univariate Datenanalyse- Gruppierte Daten
Häufigkeitsverteilung:
Absolute Häufigkeit:
Relative Häufigkeit:
=
1,2, ... ,
1

XXIII
Absolute Summenhäufigkeit:
1,2, ... ,
Relative Summenhäufigkeit:
1,2, ... ,
Absolute Summenhäufigkeit:
0 ü
ü
1 ü
Verteilungsfunktion
(relative Summenhäufigkeitsfunktion):
0 ü
ü
1 ü
Lageparameter:
Modalwert (Modus):
!
Arithmetischer Mittelwert:
Geometrischer Mittelwert:
(
...
Additionssatz für Mittelwerte:
Median:
0,5
0,5
1
0,5
Quantil :
:
1
:

XXIV
Streuungsparameter
Spannweite (Range) R:
Quartilsabstand Q:
,
,
Variationskoeffizient
(relative Streuung):
Standartabweichung:
Varianz:
Varianz der Grundgesamtheit:
Relative Konzentration
Konzentrationskoeffizient:
Konzentrationsmaß:
Fläche unter der Lorenzkurve:
0
Lorenzfläche:
0,5
Gini-Koeffizient:
,
,
Univariate Datenanalyse Klassierte Daten
Häufigkeitsverteilung:
Absolute Klassenhäufigkeit:
1
1,2, ... ,
Relative Häufigkeit:
1,2, ... ,
1
Häufigkeitsdichte:

XXV
Absolute Summenhäufigkeit:
01,2, ... ,
Relative Summenhäufigkeit:
^
1,2, ... ,
Absolute Summenhäufigkeitsfunktion:
0 ü
1 ü
ü
Relative Summenhäufigkeitsfunktion:
0 ü
1 ü
ü
Lageparameter
Modalwert (Modus):
!
Arithmetischer Mittelwert:
Geometrischer Mittelwert:
...
Additionssatz für Mittelwerte:
Median:
) +
0,5
0,5
Quantil:

XXVI
Streuungsparameter
Spannweite (Range) R:
Quartilsabstand:
,
,
Standartabweichung:
Variationskoeffizient (relative Streuung):
Varianz:
Varianz der Grundgesamtheit :
Relative Konzentration:
Konzentrationskoeffizient:
Konzentrationsmaß:
Gini-Koeffizient:
,
,
Lorenzfläche:
0,5
Fläche unter der Lorenzkurve (AL):
*
0
Multivariate Datenanalyse
Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung
Zeilensumme:
.
1,2, ... ,
Spaltensumme:
.
1,2, ... ,

XXVII
Summe der Randhäufigkeiten:
.
.
Relative Häufigkeiten:
.
.
.
.
.
.
Summen der relativen Häufigkeiten:
.
.
1
Zusammenhang von nominalen Merkmalen
Bedingte relative Häufigkeiten:
ä
.
ä
Statistische Unabhängigkeit:
ü
1,2, ... ,
wegen
.
.
.
gilt bei Unabhängigkeit
.
.
.
.
.
Maß von
é
;
. .
. .
.
.
1
Zusammenhang von metrischen Merkmalen
Kovarianz:
;

XXVIII
Berechnung mit absoluten bzw. relativen Häufigkeiten bei zweidimensio-
naler Häufigkeitsverteilung
Gruppierte Werte:
,
Klassierte Werte:
,
Korrelationskoeffizient von Pearson/Bravais
,
1
1
Berechnung der Regressionskoeffizienten
,
Umformung ergibt:
Regressionsgerade:
Residuum:
Bestimmtheitsmaß:
1
,
Zusammenhang von ordinalen Merkmalen
Rangkorrelationskoeffizient
1
1

XXIX
Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur überarbeiteten Neuauflage...II
Vorwort ... III
Symbolverzeichnis...VII
Formelverzeichnis...XV
Inhaltsverzeichnis ... XXIX
I Abbildungsverzeichnis ... XXXIV
II Tabellenverzeichnis ... XL
III Anlagenverzeichnis ... XLI
IV Abkürzungsverzeichnis ... XLXLII
Einführung ... 1
Kapitel A ... 3
1 Mathematik ... 5
1.1 Zahlen/ Arithmetik ... 5
1.2 Variablen, Operatoren, Ausdrücke ... 11
1.3 Geometrie ... 17
1.4 Funktionen, Koordinaten, Graphen ... 28
1.5 Gleichungen ... 44
1.6 Diskrete und stetige Wachsstumsvorgänge ... 54
1.7 Winkelfunktionen/Trigonometrie ... 61
1.8 Reihen...69

XXX
Kapitel B...73
2 Analysis...75
2.1 Differenzialrechnung...75
2.1.1 Ableitung als Funktion...81
2.1.2 Differenzationsregel...84
2.1.3 Tangenten und Normale ...86
2.1.4 Extremwerte...90
2.1.5 Kettenregel...93
2.1.6 Ableitung als lineare Näherung...94
2.1.7 Ableitung des Produktes und des Quoitienten...97
2.1.8 Kurvendiskusion ganzer Funktionen...99
2.1.9 Ableitung der Winkelfunktionen...102
2.1.10 Newton'sches Näherungsverfahren...106
2.1.11 Ableitung der Exponentialfunktion und des Logarithmus...108
2.1.12 Umkehrung der Kurvendiskussion...110
2.1.13 Interpolation...112
2.1.14 Regel von de l'Hospital...114
2.2 Integralrechnung...115
Kapitel C...123
3 Statistik...125
3.1 Beschreibung von Daten...126
3.2 Datenerhebung und Datenaufbereitung...127
3.2.1 Statistische Einheit und Statistische Masse...128
3.2.2 Klassifizierung der Merkmale...128
3.2.3 Datenverdichtung (Gruppierung und Klassifizierung)...133
3.3 Eindimensionale Häufigkeitsverteilung...136

XXXI
3.3.1 Häufigkeitsverteilung bei gruppierten Daten...137
3.3.2 Häufigkeitsverteilung bei klassierten Daten...143
3.4 Lageparameter...148
3.4.1 Modalwert (Modus) x
D
...148
3.4.2 Der Median (Zentralwert) x
Z
...149
3.4.3 Quantil x
P
...150
3.4.4 Arithmetischer Mittelwert x...151
3.4.5 Geometrischer Mittelwert x
G
...152
3.5 Streuungsparameter...152
3.5.1 Spannweite (Range) R...152
3.5.2 Quartilsabstand Q...153
3.5.3 Varianz s
2
...153
3.5.4 Variationskoeffizent...154
3.5.5 Lorenzkurve...155
3.5.6 Gini- Koeffizient...157
3.6 Multivariate Datenanalyse...159
3.6.1 Zweidimensionale Häfigkeitsverteilung...160
3.6.2 Zusammenhang von Nominalen Merkmalen...163
3.6.2.1 Bedingte relative Häufigkeiten...163
3.6.2.2 Statistische Unabhängigkeit...164
3.6.2.3 Maß von Cramer...165
3.6.3 Zusammenhang von Metrischen Merkmalen...167
3.6.3.1 Kovarianz und Korrelationskoeffizient...169
3.6.3.2 Einfache lineare Regression...173
3.7 Zusammenhang von Ordinalen Merkmalen...179
3.8 Zeitreihenanalyse...182

XXXII
3.8.1 Bewegungskomponenten von Zeitreihen...183
3.8.2 Bestimmung der Trentkomponente...185
3.8.2.1 Methode gleitender Durchschnitt...185
3.8.2.2 Trendfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate...188
3.8.3 Ermittlung der Saisonkomponete...190
Kapitel D...197
4 Operations Research...199
4.1 Modellierung und Optimierung...200
4.1.1
Grundbegriffe...200
4.1.2
Methodik des Operations Research...202
4.1.3
Klassifizierung mathematischer Modelle...202
4.2 Lineare Optimierung (LO)...204
4.2.1
Grafische Lösung linearer Optimierungsprobleme...207
4.2.2
Lösung von LO- Problemen mit Hilfe der Simplexmethode..210
4.2.3
Dualität in der linearen Optimierung...221
4.3 Spezielle LO- Probleme...224
4.3.1
Das Transportproblem...225
4.3.1.1
Beschreibung des Transportproblems als LO- Problem..225
4.3.1.2
Bestimmung einer zulässigen Basislösung...228
4.3.1.3
Prüfung auf Optimalität...235
4.3.1.4
Sonderfälle...238
4.3.2
Das Zuordnungsproblem...238
4.3.3
Das Rundreiseproblem...242
4.4 Lagerhaltung...247
4.4.1
Funktion der Lagerhaltung...247
4.4.2
Einflussfaktoren von Lagerhaltungssystemen...249

XXXIII
4.4.3
Deterministische Modelle...253
4.5 Bedienungsmodelle...258
4.5.1
Bedienungsprobleme...258
4.5.2
Offene Wartesysteme...260
4.5.2.1 Einflussgrößen...260
4.5.2.2 Standartmodell für offene Wartesysteme...263
4.5.2.3 Weitere Modelle für offene Wartesystem...265
Kapitel E...26
9
5 Zusammenfassung...270
Literaturverzeichnis...274
Verzeichnis der Internetquellen...280
Verzeichnis von Arbeitshilfen (Berechnen, Schreiben, Formatieren)...281
Anhang...28
3

XXXIV
I Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1:
Additionsoperator
12
Abbildung 2:
Subtraktionsoperator
12
Abbildung 3:
Divisionsoperator
12
Abbildung 4:
Potenzoperator
13
Abbildung 5:
Wurzeloperator
15
Abbildung 6:
Quadratwurzeloperator
16
Abbildung 7:
Strecke
17
Abbildung 8:
Bezeichnung der Strecken und
Eckpunkte des Dreiecks
18
Abbildung 9:
Gleichschenkliges Dreieck
18
Abbildung 10:
Ähnliche Dreiecke und die Bezeichnungen
19
Abbildung 11:
Gleichseitiges Dreieck
20
Abbildung 12:
Rechtwinkliges Dreieck
21
Abbildung 13:
Flächenwandlung zur Flächenbestimmung
eines Dreiecks
22
Abbildung 14:
Vergrößerung des Quadrates nach Sokrates
23
Abbildung 15:
Darstellung zur Seitenlängenberechnung
eines Quadrates
23
Abbildung 16:
Satz des Pythagoras
24
Abbildung 17:
Vierecke mit Seitenbezeichnung
25
Abbildung 18:
Trapez mit mathematischen Bezeichnungen
25
Abbildung 19:
Bezeichnungen zur Kreisberechnung
27

XXXV
Abbildung 20:
Quadrat mit eingeschriebenem Kreis für
die Berechnung mittels Flächenformel
28
Abbildung 21:
Bezeichnungen im Koordinatensystem
29
Abbildung 22:
Koordinatensystem
30
Abbildung 23:
Graph zur Darstellung der Funktion
des Verdoppelungsoperators
31
Abbildung 24:
Graph zur linearen Darstellung
des ,,break even points"
33
Abbildung 25:
Begriffsbestimmungen zur linearen Darstellung
des ,,break even points"
33
Abbildung 26:
Graph mit symmetrischer Potenzfunktion
(a0 und n ist gerade)
35
Abbildung 27.
Graph mit symmetrischer Potenzfunktion
(a0 und n ist ungerade)
36
Abbildung 28:
Graph mit ungeradem Exponent
37
Abbildung 29:
Graph des quadratischen Polynoms
39
Abbildung 30:
Graph mit negativem Exponenten 1
40
Abbildung 31:
Graph mit negativem Exponenten 2
41
Abbildung 32:
Graph Exponentialfunktion
42
Abbildung 33:
Graph Logarithmusfunktion y=lg(x)
44
Abbildung 34:
Gleichung
45
Abbildung 35:
Graph zur Darstellung der Unbekannten a
54
Abbildung 36:
Definition von sin,cos,tan, und cot am Einheitskreis
63
Abbildung 37:
Einheitskreis mit Trigonometrischen Funktionen
64
Abbildung 38:
Darstellung der Sinuskurve
65
Abbildung 39:
Taschenrechner Sharp EL-W 506,
66
Abbildung 40:
Graph der Galiläischen Formel
76

XXXVI
Abbildung 41:
Graph zur Darstellung der Berechnung der
Durchschnittsgeschwindigkeit
78
Abbildung 42:
Graph zur Darstellung der Newton'schen und
Leibniz'schen Berechnungen
81
Abbildung 43:
Ableitungsfunktion s`(t)
82
Abbildung 44:
Orginalfunktion s(t)
83
Abbildung 45:
Darstellung Tangenten an einer Kurve
87
Abbildung 46:
Darstellung der Normale
89
Abbildung 47:
Extremwerte
91
Abbildung 48:
Berechneter Tiefpunkt
93
Abbildung 49:
Die Ableitung als lineare Näherung (1)
95
Abbildung 50:
Die Ableitung als lineare Näherung(2)
96
Abbildung 51:
Quadratischer Zuwachs
97
Abbildung 52:
Gerade fx=12-4x
100
Abbildung 53:
Parabel f(x)=0,5x
2
+6x+10
101
Abbildung 54
Winkel x
im Bogenmaß
103
Abbildung 55
Darstellung Bogendreieck und Rechtwinkliges Dreieck 104
Abbildung 56:
Newton'sches Näherungsverfahren
107
Abbildung:57:
Exponentialfunktionen
108
Abbildung 58:
Umkehrung Kurvendiskussion
111
Abbildung 59:
Lineare Interpolation
112
Abbildung 60:
Untersumme
117
Abbildung 61:
Obersumme
118
Abbildung 62:
Rechtecksformel
119
Abbildung 63:
Mittelpunkts- oder Tangentenformel
120
Abbildung 64:
Trapezformel
121

XXXVII
Abbildung 65:
Simpson- Formel
122
Abbildung 66:
Merkmalsarten und Merkmalsskalen
130
Abbildung 67:
Fahrplan Häufigkeitsverteilung,
Lage-und Streuungsparameter, rel. Konzentration
137
Abbildung 68:
Arbeitsblatt Häufigkeitsverteilung
139
Abbildung 69:
Stabdiagramm gruppiertes Merkmal Familienstand
140
Abbildung 70:
Arbeitsblatt absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
absolute und relative Summenhäufigkeit des
Merkmals Wohndauer
142
Abbildung 71:
Arbeitsblatt absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
absolute und relative Summenhäufigkeit
des klassierten Merkmals Alter
145
Abbildung 72:
Histogramm des klassierten Merkmals Alter
146
Abbildung 73:
Summenpolygon des klassierten Merkmals Alter
147
Abbildung 74:
Fläche unter Lorenzkurve bei erweiterter
Häufigkeitsverteilung des gruppierten Merkmals
Wohndauer von Einzelpersonen
157
Abbildung 75:
Trapez f aus der Fläche F`
158
Abbildung 76:
Absolute Häufigkeitsverteilung
der Merkmale x Personenstand und y Lebensqualität 160
Abbildung 77:
Symbolik der relativen zweidimensionalen
Häufigkeitsverteilung der Merkmale x und y
162
Abbildung 78:
Häufigkeitsverteilung bei Unabhängigkeit
der Merkmale Personenstand und Lebensqualität
165
Abbildung 79:
Streudiagramm der Merkmale Aufenthaltsdauer
und Tagesausgaben
170
Abbildung.80:
Streudiagramm der Merkmale Übernachtungskosten
und sonstige Tagesausgaben
171

XXXVIII
Abbildung 81:
Berechnung von Regressionsfunktion,
Regressionskoeffizent ecta.
177
Abbildung 82:
Streudiagramm und Regressionsgerade der Merkmale
sonstige Tagesausgaben in Abhängigkeit von
den Übernachtungskosten
178
Abbildung 83:
Verlauf der durchschnittlichen Aufenthaltsdauer
von Besuchern in Karlsruhe im Jahr 2012
184
Abbildung 84:
gleitender Durchschnitt D
4
, durchschnittliche
Aufenthaltsdauer der Besucher in Karlsruhe
im Jahr 2012
188
Abbildung 85:
Vergleich Orginal-und Schätztrend der
durchschnittlichen Aufenthaltsdauer der Besucher in
Karlsruhe im Januar 2012 bis Dezember 2012 und
Juni und Dezember 2013
196
Abbildung 86:
Schematische Vorgehensweise der Planung mit
mathematischen Modellen
203
Abbildung 87: Beziehungsnetz zwischen den Kapiteln der LO
204
Abbildung 88: unterschiedliche Modellstrukturen des
Operations Research
205
Abbildung 89:
Grafische Darstellung der Grenzgeraden
209
Abbildung 90:
Grafische Darstellung Zielfunktion und Lösungsbereich
eines LO-Problems
212
Abbildung 91:
Simplexschema
214
Abbildung 92:
Basistransformation
216
Abbildung 93:
Arbeitsblatt mit Lösung der Musteraufgabe
mittels der Basistransformation
219
Abbildung 94:
LOP Normalform / duales Problem der Form
221
Abbildung 95:
Zuordnung zwischen primalen und
dualen Problemen
222

XXXIX
Abbildung 96:
Formulierung des dualen Zuschnittproblems
223
Abbildung 97:
Graph des Transportproblems
227
Abbildung 98:
Nordwest- Eckenregel
229
Abbildung 99:
Beispiel Minimumregel- erster Lösungschritt
231
Abbildung 100:
Beispiel Minimumregel- zweiter Lösungschritt
231
Abbildung 101:
Beispiel Minimumregel- dritter Lösungschritt
232
Abbildung 102:
Einfügen von G
f
233
Abbildung 103:
Vogelsche Approximationsmethode (VAM)
234
Abbildung 104:
Optimale Lösung
237
Abbildung 105:
Ungarische Methode, Matrixreduktion
240
Abbildung 106:
Ungarische Methode, erste Zuordnung
241
Abbildung 107:
Aufbau eines Variantenbaumes
243
Abbildung 108:
Entfernungsmatrix zur Lösung a) der Aufgabe
246
Abbildung 109:
Stofffluss und Informationsfluss
248
Abbildung 110:
Verlauf des Lagerbestandes/Tz-Regel
253
Abbildung 111:
Grafische Darstellung der Kostenfunktion
254
Abbildung 112:
Darstellung der Kostenfunktion
257
Abbildung 113:
Grundstruktur eines Bedienungssystems
259
Abbildung 114:
Bedienungseinrichtung mit zwei parallel
angeordneten Bedienungsstellen
261
Abbildung 115:
vereinfachte Formeln für
die Systeme M/M/1 und M/M/2
264
Abbildung 116:
vereinfachte Formeln für
die Systeme M/G/1 und M/G/2
266

XL
II Tabellenverzeichnis
Tabelle 1:
Beispielzahlen zum Verdoppelungsoperator
30
Tabelle 2:
Winkelfunktionen Sin
67
Tabelle 3:
Zahlen zum Schachbrettbeispiel
71
Tabelle 4: Ausprägung zu den Merkmalen Aufenthaltsdauer,
Tagesausgaben, sonstige
Tagesausgaben,Übernachtungskosten
167
Tabelle 5:
Korrelationstabelle Tagesausgaben und
Aufenthaltsdauer
168
Tabelle 6:
Korrelationstabelle sonstige Tagesausgaben
und Übernachtungskosten
169
Tabelle 7:
Austellung Rangzahlen Merkmale
Übernachtungskosten und Unterkunftsbewertung
181
Tabelle 8:
Arbeitstabelle zur Berechnung der linearen Trendfunktion
190
Tabelle 9: Zeitreihe der Aufenthaltsdauer ­
Phasendurchschnittsverfahren
192
Tabelle 10: Berechnung Trenndwerte Y
T
ik
192
Tabelle 11: Berechnung Trend bereinigte Werte
Y*
ik
193
Tabelle 12: Berechnung durchschnittlicher Trend bereinigte Werte
194
Tabelle 13: Berechnung Saisonindizes I
k
194
Tabelle 14: Zuschnittvarianten
220
Tabelle 15: Simplextableau
224
Tabelle 16: Aufwandsmatrix (Entfernungeinheiten),
Aufkommen und Bedarf
226
Tabelle 17: Lagerarten
249
Tabelle 18: Mittlerer Bedarf über eine Woche im LH-System
250

XLI
III Anlagenverzeichnis
Anlage A1:
Griechisches Alphabet
XLIV
Anlage A2:
Arbeitsblatt Häufigkeitsverteilung
XLV
Anlage A3:
Absolute zweidimensionale Häufigkeitsverteilung der
Merkmale X und Y
XLVI
Anlage A4
Relative zweidimensionale Häufigkeitsverteilung der
Merkmale X und Y
XLVII
Anlage A5
Arbeitsblatt Regressionsfunktion
XXLVII
Anlage A6:
Arbeitsblatt Rangkorrelation
XLIX
Anlage A7
mtl. Gäste- und Übernachtungszahlen
der Stadt Karlsruhe 1996 ­ 2012
L
Ende der Leseprobe aus 338 Seiten

Details

Titel
Mathematik, Statistik, Operations Research
Untertitel
Das mathematische Schmierbuch eines Fernstudenten
Autor
Jahr
2015
Seiten
338
Katalognummer
V288094
ISBN (eBook)
9783656885382
ISBN (Buch)
9783656885399
Dateigröße
14414 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
repititorium, mathematik, statistik, operations, research, schmierbuch, fernstudenten
Arbeit zitieren
Herbert F. Berg (Autor), 2015, Mathematik, Statistik, Operations Research, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/288094

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