Zeitstetige Modelle und deren Anwendung in der Bewertung von Derivaten

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung

2 Theoretische Grundlagen stochastischer Prozesse
2.1 Zeitstetige stochastische Prozesse
2.2 Itô-Lemma

3 Modellierung von Aktienkursen
3.1 Lognormalverteilte Aktienkurse
3.2 Normalverteilte stetige Aktienrendite

4 Black-Scholes Optionsbewertungsmodell
4.1 Diskussion des Black-Scholes-Modells
4.2 Anwendungen des Black-Scholes-Modells

5 Zusammenfassung

Abbildungsverzeichnis

Anhang

Literaturverzeichnis

1 Einführung

Die Bewertung von Derivaten spielt in der Finanzwirtschaft eine bedeutende Rolle, zumal Derivatemärkte bezüglich ihres globalen Handelsvolumens in den letzten Jahren erheblich gewachsen sind und damit die Aufmerksamkeit der Zentralbanken, Aufsichtsbehörden und supranationalen Finanzinstitute auf sich gezogen haben. Es besteht die Sorge, dass dieses ungebremste Wachstum an den Säulen des globalen Finanzsystems rütteln könnte, da sie exponentiell stärker wachsen als die Realwirtschaft.¹ Derivate sind künstliche Finanzinstrumente. Der zentrale Bestandteil der Bewertungstheorie von Derivaten ist es daher, das stochastische Modell der Preisbildung der zugrunde liegenden Underlyings abzuleiten.² Im Rahmen dieser Arbeit steht die Annahme zeitstetiger Modelle zur Beschreibung von Wertapierpreisen und -renditen im Mittelpunkt. Diese im ersten Kapitel vorgestellten Preisprozesse werden in den darauf folgenden Kapiteln zur Ableitung der fairen, arbitragefreien Preise beliebiger Derivate (Aktien, Zinsen, Wechselkurse etc.) herangezogen.³ Anschließend wird das Black-Scholes-Modell zur Bewertung von Optionen hergeleitet und diskutiert. Das von Fischer Black und Myron Scholes (1973) im berühmten Artikel „The pricing of options and corporate liabilities“ veröffentlichte Black-Scholes-Modell gilt als ein Meilenstein der Finanzwirtschaft, welches 1973 mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet wurde. Die Finanzindustrie erkannte sehr schnell den fundamentalen Durchbruch der Wissenschaftler, woraufhin sich das Modell als Standard etablierte. Im praktischen Teil der Arbeit werden im Kapitel 2.3 die Sensitivitätskennzahlen, die sog. „Griechen“ als Einflussfaktoren des Optionswertes vorgestellt und interpretiert. Eine kurze Zusammenfassung und ein Ausblick schließen die Arbeit im Kapitel 2.4 ab.

2 Theoretische Grundlagen stochastischer Prozesse

Ein stochastischer Prozess ist ein statistischer Begriff für die unvorhersehbare Entwicklung einer Zufallsvariable im Zeitverlauf. Die beobachteten Preise von Finanzanlagen werden als Realisationen des zugrunde liegenden stochastischen Prozesses gesehen. Man unterscheidet zwischen zeitdiskreten und -zeitstetigen stochastischen Prozessen. Bei zeitdiskreten stochastischen Prozessen ändert sich der Preis nur zu bestimmten Zeitpunkten, wie z.B. der Schlusskurs einer an der Börse gehandelten Aktie. Bei stochastischen Prozessen in stetiger Zeit ändert sich der Preis kontinuierlich, also jederzeit (TSAY et al., 2005, S. 251f). Des Weiteren können stochastische Prozesse in Prozesse mit stetigen sowie diskreten Variablen unterteilt werden. Bei einem Prozess mit stetigen Variablen kann die zugrunde liegende Variable jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereiches annehmen, im diskreten Fall hingegen nur endlich viele Werte (HULL, 2006, S. 326). In dieser Arbeit wird für den Aktienpreis ein stochastischer Prozess mit stetigen Variablen in stetiger Zeit entwickelt. Zur Vereinfachung wird im weiteren Verlauf ein zeitstetiger stochastischer Prozess formal als {xt} x für ein gegebenes t eine Zufallsvariable beschreibt (TSAY et al., 2005, S. 251).

2.1 Zeitstetige stochastische Prozesse

In diesem Kapitel werden drei zeitstetige stochastische Prozesse vorgestellt. Zunächst wird der einfache Wiener-Prozess entwickelt, der auch unter der Standard-BROWNschen Bewegung bekannt ist. Dieser ist im diskreten ökonometrischen Modell analog mit einem White-Noise gleichzusetzen. Ein Wiener-Prozess ist ein spezieller Markov-Prozess⁴, da er die Markov-Eigenschaft erfüllt. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Prozesses zu irgendeinem zukünftigen Zeitpunkt nicht von dem Prozessverlauf in der Vergangenheit abhängig ist Das bedeutet, dass allein der gegenwärtige Wert relevant für die Vorhersage der Zukunft ist. Überträgt man diesen Sachverhalt auf Aktienkursrenditen, steht die Markov-Eigenschaft im Einklang mit der schwachen Form der Kapitalmarkteffizienz.⁵ (HULL, 2006, S. 326). In einem weiteren Schritt wird der Wiener-Prozess um einen Driftterm erweitert, der dem Prozessverlauf eine Trendstruktur verleiht. Dies ist der sog. allgemeine Wiener-Prozess. Da die Parameter eines allgemeinen Wiener-Prozesses zeitinvariant sind wird anschließend der Itô-Prozess mit Parametern als Funktionen des stochastischen Prozesses vorgestellt (TSAY et al., 2005, S.256).

2.1.1 Wiener-Prozess

Die Dynamik eines Wiener-Prozesses wird gewöhnlich durch eine Differentialgleichung dargestellt. Bezeichnet man eine stochastische Variable alsωt , lässt sich der Prozess für diese Variable wie folgt beschreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch eine infinitesimalkleine Variation der Zeit d t , ist die Änderung der Variablen dω t zufällig.

ε entspricht einer standard-normalverteilten Zufallsvariable, mit ε ~ Φ(0,1) .

Die Zuwächse des Standard-Wiener-Prozesses (mit ε = 1 ) sind demnach normalverteilt, mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(VOIT, 2005, S. 61-64; EALES et al. 2003, S. 191) Die Varianz beträgt t , dies besagt, dass sie linear (proportional) mit der Länge der Zeit ansteigt. Der einfache Wiener-Prozess dω1 ist demnach mit dem Erwartungswert null und der Varianz eins ( dω1~ N(0,1) ) normalverteilt. Ein Mittelwert von null, bedeutet, dass der Erwartungswert des Wiener-Prozesses zu jedem zukünftigen Zeitpunkt gleich seinem aktuellen Wert ist (HULL, 2006, S. 229; SCHÄFER et al., 2005, S. 320,321).

2.1.1.1.1 Allgemeiner Wiener-Prozess

Eine bestimmte Richtung im Prozessverhalten lässt sich durch die Einführung eines sog. Driftterms berücksichtigen.

Dadurch wird der Wiener-Prozess verallgemeinert, indem man einfach zusätzlich zur stochastischen Komponente, einen Drift µdt auf den stochastischen Prozess dω t überlagert: dxt =µdt+σdωt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei µ und σ Konstanten sind.

Der Term µdt impliziert, dassxt eine erwartete Änderung in Höhe von µ pro Zeiteinheit aufweist. Der Ausdruck σdω t kann als zusätzliche Streuung auf dem vonxt zurückgelegten Weg angesehen werden, deren Höhe das σ -fache der Streuung eines Wiener-Prozesses ist. Die Zuwächse des allgemeinen Wiener-Prozesses sind normalverteilt, mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein allgemeiner Wiener-Prozess beschreibt somit die Entwicklung einer normalverteilten

Variablen mit Drift µ pro Zeiteinheit

(Driftrate) und Varianz σ

pro Zeiteinheit

(Varianzrate). Die Unsicherheit bezüglich des zukünftigen Wertes, wächst mit der Quadratwurzel des Zeitraums, den man in die Zukunft blickt (TSAY et al. 2005, S. 255f; HULL, 2006, S. 330f).

In der folgenden Abbildung ist der Wiener-Prozess dem allgemeinen Wiener-Prozess gegenübergestellt.

Abbildung 1: Allgemeiner Wiener-Prozess mit α =0,3 und b=1,5⁶

2.2 Itô-Prozess

Ein Itô-Prozess ist ein allgemeiner Wiener-Prozess, bei dem die Parameter µ und σ Funktionen der zugrunde liegenden Variablenxt und der Zeit t sein können. Ein Prozessxt ist ein Itô-Prozess wenn die Gleichung:⁷

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

erfüllt ist, wobeiωt einen Wiener-Prozess darstellt. Die Gleichung wird als stochastische Diffusionsgleichung bezeichnet, wobei µ(xt,t) und σ(xt,t) Drift- und Diffusionfunktionen darstellen. Der Wiener Prozess ist ein spezieller Itô-Prozess, weil er die Gleichung mit µ(xt,t) = 0 und σ(xt,t) =1 erfüllt (TSAY et al., 2005, S.256).

2.1.2 Itô-Lemma

Man interessiert sich oft im Zusammenhang mit der Bewertung von Derivaten für den Verlauf anderer stochastischer Prozesse, die - wie z.B. Optionen - Funktionen von der zugrunde liegenden Variable (Aktie) sind. Man hat also mit Funktionen vom Typ:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

zu tun, mit zwei Variablen, von denen die eine, x , eine Zufallsvariable (z.B. ein Akteinkurs) und die andere, t , eine deterministische Variable (z.B. die Zeit) ist. Itôs Lemma ist ein mathematischer Satz über das totale Differential einer solchen stochastischen Funktion. Was das Taylor-Theorem für Funktionen mit deterministischen Variablen ist, ist das Lemma von Itô für Funktionen mit Zufallsvariablen. insofern setzt das Lemma von Itô die marginale Änderung in der Funktion einer Zufallsvariable zur marginalen Änderung in der Zufallsvariable selbst im Bezug (KRUSCHWITZ, 2005, S. 1). Der allgemeine Wiener- Prozess ist gerade so ein stochastischer Prozess mit einem deterministischen und einem stochastischen Term.

Analytisch abgeleitet sieht das Itô-Lemma für einen Itô-Prozess wie folgt aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der allgemeine Wiener-Prozess liegt hier sowohl dem stochastischen Prozess der Variable,

als auch dem stochastischen der Funktion der Variablen zugrunde. Das bedeutet, dass dω t

aus Gleichungen und identisch sind, weshalb G ebenfalls einem Itô-Prozess folgt. Dieser

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

hat den Driftterm µ(x

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(x t,t) und einen Varianzterm σ (xt,t)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beide sind deshalb der gleichen zugrunde liegenden Quelle der Unsicherheit ausgesetzt.

2.2 Modellierung von Aktienkursen

Man könnte annehmen, dass der Aktienkurs einem im Kapitel 2.1 abgeleiteten allgemeinen Wiener-Prozess folgt. Dieser hätte demnach eine konstante erwartete Driftrate und eine konstante Varianzrate. In der Realität jedoch fordern die Anleger eine prozentuale Rendite aus einer Aktie, die unabhängig vom Peis der Aktie ist. Daher ist die Annahme eines konstanten Drifts ungeeignet und sollte durch die Annahme ersetzt werden, dass die erwartete Rendite konstant ist. Berücksichtigt man zusätzlich die Annahme, dass die Volatilität σ der Rendite µ unabhängig vom Aktienkurs immer identisch ist, lässt sich auf eine proportionale Veränderung der Standardabweichung zum Aktienkurs schließen. Formal lässt sich dieser Zusammenhang durch folgende stochastische Differentialgleichung darstellen:⁹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

den Renditeprozess, als Änderung im Preis dividiert durch den ursprünglichen

Preis, definiert. Das hier entwickelte Modell ist die geometrisch BROWNsche Bewegung. Die relativen Preisänderungen Bewegung:

(Renditen) bilden hingegen eine arithmetisch BROWNsche

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der geometrisch BROWNschen Bewegung wirken zwei Kräfte auf den jetzigen Kurs multiplikativ ein. In erster Linie µ , als ein deterministischer Drift, ein Maß für die durchschnittliche Wachstumsrate des Aktienpreises, und zweitens eine stochastische Störung (Rauschen) mit Volatilität σ , als eine Änderung des Aktienpreises, die die Standardabweichung der Renditen misst (VOIT, 2005, S. 67ff).

2.2.1 Normalverteilte stetige Aktienrendite

Der Vorteil der relativen Aktienkursänderungen (Renditen) liegt darin, dass normalverteilte Renditen einer Periode eine Normalverteilung der Renditen mehrer Perioden implizieren. Die stetige Rendite für mehrere Perioden lässt sich als Summe der Renditen in den einzelnen Perioden ermitteln. (RUPPERT, 2004, S. 76f, 80).¹⁰

Mit Hilfe des Lemma von Itô lässt sich zeigen, dass Gt = ln(Pt) normalverteilt, d.h. Pt =e

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

lognormalverteilt ist, wenn Pt durch den Prozess in Gleichung beschrieben wird. Dazu setzt man G = ln(Pt ) , als logarithmierten Preis der zugrunde liegenden Aktie und leitet diesen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Itô Lemma liefert folgende stochastische Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Logarithmus der BROWNschen Bewegung folgt somit einem allgemeinen Wiener

Prozess.

Die Aktienkursänderungen (stetige Rendite) sind demnach normalverteilt mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.2 Lognormalverteilte Aktienkurse

Aus der Gleichung lässt sich schließen, dass der Logarithmus des Aktienkurses zu einem

zukünftigen Zeitpunkt wie folgt verteilt ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von PT lautet:¹¹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Aktienkurs P zu einem zukünftigen Zeitpunkt T ist lognormalverteilt:¹²

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Variable folgt einer Lognormalverteilung wenn ihr natürlicher Logarithmus normalverteilt ist (HULL, 2006, S. 338; TSAY, 2005, S. 261; VOIT, 2005, S. 70f). In der folgenden Abbildung ist der Verlauf der Lognormalverteilung der Normalverteilung gegenübergestellt:

Abbildung 2: Lognormalverteilung vs. Normalverteilung¹³

Die Lognormalverteilung ist im Unterschied zur Normalverteilung linkssteil, d.h. asymmetrisch.¹⁴

2.3 Black-Scholes Optionsbewertungsmodell

Auf Basis der in den vorherigen Kapiteln diskutierten theoretischen Grundlagen, wird in diesem Teil der Arbeit das Black-Scholes Optionsbewertungsmodell vorgestellt. Eine Option ist in der Finanzwirtschaft ein abgeleitetes Finanzgeschäft (sog. Derivat), mit dessen Kauf man das Recht erwirbt, ein bestimmtes Underlying (z.B. eine Aktie) in der Zukunft zu einem bei Vertragsabschluss vereinbarten Basispreis zu kaufen oder zu verkaufen (STEINER et al., 2000, S. 293)¹⁵.

[...]

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¹ In Anlehnung an den Artikel von Handelsblatt: „Derivate verunsichern Finanzprofis“(NARAT/ RETTENBERG, 2006)

² Der Preis eines Underlying determiniert die Profitabilität eines Derivats, bspw. das zugrundeliegene Asset für eine gekaufte Kaufoption ist das Asset, welches der Besitzer der Kaufoption bei Zahlung des Basispreises kaufen kann (MCDONALD, 2003, S. 851).

³ Dies bedeutet intuitiv, dass der Wert eines Portfolios nicht erhöht werden kann, ohne irgendein Risiko einzugehen.

⁴ Eine formale Definition des Markov-Prozesses ist bei (RINNE/SPECHT 2002, S.166) vorzufinden.

⁵ d.h., dass der aktuelle Preis einer Aktie die gesamte Information der Preise der Vergangenheit reflektiert (HULL, 2006, S. 326).

⁶ Entnommen aus (HULL, 2006, S. 331)

⁷ Die Schreibweise des Prozesses in Integralform sieht wie folgt aus: x t =x 0 + t ∫ t µ(xs,s)ds+∫ σ (xs,s)dωs , wobei x 0 0 0 den Startwert des Prozesses zum Zeitpunkt 0 und der Ausdruck auf der rechten Seite ein stochastisches Integral darstellen (TSAY, 2005 S. 256).

⁸ Herleitung, siehe Anhang ¹.

⁹ Hierbei wird die Notation des allgemeinen Itô-Prozesses aus der Gleichung µ(xt,t) = µxt und σ(xt,t)=σxt gesetzt, wobei x t = Pt ist.

¹⁰ Die stetige Rendite  P t   (continously compounded  return) ist wie folgt definiert: rt = ln(1+ rt)= ln   = Pt − Pt − 1  Pt − 1 

¹¹ Dies ist eine Lognormalverteilung, mit Ln[Erwartungswert, Varianz].

¹²

¹³ Entnommen aus (FRANKE et al., 2004, S.63)

¹⁴ Mittelwert, Median und Modus sind nicht identisch.

¹⁵ Man kann zwischen einer Kaufoption (Call) und Verkaufsoption (Put) unterscheiden. Eine Kaufoption räumt das Recht ein, das zugrunde liegende Underlying zu kaufen, eine Verkaufsoption dieses zu verkaufen. Ferner ist noch zwischen europäischen und amerikanischen Optionen zu unterscheiden. Eine amerikanische Option kann