Die heutige Erkenntnistheorie kann über die Ergebnisse der Grundlagenforschung der Mathematik nicht hinwegsehen. Die Resultate der Metamathematik sind nicht nur für die Philosophie der Mathematik, sondern auch für andere Disziplinen der Philosophie von herausragender Bedeutung. Schon die offenkundige strukturelle Isomorphie semantischer Paradoxien und formaler Konstruktionen der Metamathematik weist auf eine immanente Verwandtschaft der Problemstellung und des möglichen Lösungsansatzes hin. Während jedoch die Beschäftigung mit semantischen Paradoxien schon sehr früh als unfruchtbare Betätigung abgegolten wurde, zeigte sich die Metamathematik als fruchtbares und alles andere als triviales und apriorisches Gebiet philosophischer Erkenntnis. Dieser Fortschritt eröffnete nicht nur neue Bereiche innerhalb der Metamathematik und Mathematik selbst, sondern gab Anlass zur Annahme, dass auch eine Klärung der semantischen Paradoxien nicht mehr abwegig war. Dies mündete in der Erforschung der Möglichkeit der Definition eines adäquaten Wahrheitsbegriffes im Rahmen axiomatischer und philosophischer Wahrheitstheorien.
Diese Arbeit stellt sämtliche wesentlichen Resultate von Gödel und seinen Nachfolgern detailliert und Vollständig dar. Einige Beweisschritte wurden zum ersten mal systematisch aufbereitet. Zudem werden die Resultate in ihrem historischen und systematischen Kontext gewertet. Darauf aufbauend werden zuletzt Implikationen für die Philosophie abgeleitet.
Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)
- I Einführung und Grundlagen
- 1 Überblick und Fragestellungen
- 2 Historischer und ideengeschichtlicher Kontext
- 2.1 Arithmetische und mengentheoretische Preliminarien
- 2.2 Allgemeines zu formalen Systemen
- II Metamathematik
- 3 Die semantische Variante des ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes
- 4 Die schwache syntaktische Variante der Unvollständigkeitssätze
- 4.1 Der Aufbau der Gödelschen Originalarbeit 1931
- 4.2.1 Definition der Syntax
- 4.2 Das System P . . .
- 4.2.2 Definition der Semantik
- 4.2.3 Definition der Axiome und Schlussregeln.
- 4.2.4 Gödelisierung: Die Arithmetisierung der Syntax.
- 4.2.5 Ein Vergleich des Systems P mit dem System der Principia Mathematica
- 4.3 Primitiv-rekursive Funktionen.
- 4.4 Satz V: Der Zusammenhang zwischen dem System P und den primitiv-rekursiven Funktionen
- 4.5 Satz VI: w-Widerspruchsfreiheit.
- 4.6 Die schwache syntaktische Variante des ersten Unvollständigkeitssatzes
- 4.7 Der zweite Unvollständigkeitssatz.
- 4.8 Zwischenbetrachtung: Das Diagonallemma
- 5 Die starke syntaktische Variante der Unvollständigkeitssätze
- 6 Nichtstandardmodelle der Peano-Arithmetik: Unvollständigkeit ohne Selbst-bezüglichkeit?
- 6.1 Grundlagen der Modelltheorie.
- 6.2 Das Skolem-Gödel-Theorem
- 6.3 Der Vollständigkeitssatz
- 6.4 Satz von Löwenheim-Skolem .
- 6.5 Unvollständigkeit modelltheoretisch: Kripkes Beweisskizze des ersten Unvoll-ständigkeitssatzes . . .
- 6.6 Kommt Kripkes' Beweis ohne Selbstbezüglichkeit aus?
- 7 Fünf Fehlinterpretationen der metamathematischen Resultate
- 8 Das natürliche Unabhängigkeitsphänomen der Goodstein-Folgen
- 8.1 Die Definition der Goodstein-Folgen
- 8.2 Der Satz von Goodstein
- 8.3 Der Satz von Kirby und Paris
- III Erkenntnistheorie
- 9 Die Church-Turing-These
- 9.1 Berechenbarkeit.
- 9.2 Die Turing-Maschine
- 9.3 Registermaschinen
- 9.4 Die Church-These
- 10 Der Antimechanismus
- 10.1 Einführung in die Lucas-Penrose-Debatte
- 10.2 Das Argument von Lucas
- 10.3 Slezaks externer Betrachter
- 10.4 Benacerrafs Analyse
- 10.5 Whiteleys Bemerkung
- 11 Das Phänomen der Hyperzirkularität
- 12 Schlussbetrachtungen und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)
Die Masterarbeit untersucht die metamathematischen Implikationen der Unvollständigkeit axiomatischer Systeme der Peano-Arithmetik, insbesondere im Hinblick auf das Phänomen der Hyperzirkularität. Die Arbeit analysiert die Gödelschen Unvollständigkeitssätze und ihre Bedeutung für die Philosophie der Mathematik und die Erkenntnistheorie.
- Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze
- Hyperzirkularität
- Die Church-Turing-These
- Der Antimechanismus
- Die Grenzen der Formalisierung
Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)
- Kapitel 1 gibt einen Überblick über die Fragestellungen und den historischen Kontext der Arbeit.
- Kapitel 2 beleuchtet die arithmetischen und mengentheoretischen Grundlagen sowie allgemeine Konzepte formaler Systeme.
- Kapitel 3 erläutert die semantische Variante des ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes.
- Kapitel 4 behandelt die schwache syntaktische Variante der Unvollständigkeitssätze, einschließlich der Definition des Systems P, der Gödelisierung und des Zusammenhangs zwischen dem System P und primitiv-rekursiven Funktionen.
- Kapitel 5 untersucht die starke syntaktische Variante der Unvollständigkeitssätze.
- Kapitel 6 analysiert die Nichtstandardmodelle der Peano-Arithmetik und die Frage, ob Unvollständigkeit ohne Selbstbezüglichkeit möglich ist.
- Kapitel 7 beleuchtet fünf Fehlinterpretationen der metamathematischen Resultate.
- Kapitel 8 untersucht das natürliche Unabhängigkeitsphänomen der Goodstein-Folgen.
- Kapitel 9 behandelt die Church-Turing-These und die Konzepte der Berechenbarkeit, der Turing-Maschine und der Registermaschinen.
- Kapitel 10 analysiert das Argument des Antimechanismus, insbesondere im Kontext der Lucas-Penrose-Debatte.
- Kapitel 11 widmet sich dem Phänomen der Hyperzirkularität.
Schlüsselwörter (Keywords)
Die Arbeit fokussiert auf die Themen der Gödelschen Unvollständigkeitssätze, Hyperzirkularität, Berechenbarkeit, Antimechanismus, Formalisierung, Peano-Arithmetik, Modelltheorie, Church-Turing-These, Lucas-Penrose-Debatte und die Grenzen der mathematischen Erkenntnis.
- Arbeit zitieren
- MSc, MA Edin Boskovic (Autor:in), 2015, Hyperzirkularität und Berechenbarkeit. Metamathematische und philosophische Implikationen der Unvollständigkeit axiomatischer Systeme der Peano-Arithmetik, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/314374
