Fuzzy Set Theorie

Inhaltsverzeichnis

Abstract

Anmerkungen zu zentralen Termini

1. Einführung und thematische Grundlagen
1.1 Entscheidungstheorie
1.2 Spieltheorie
1.3 Rationale Entscheidung und Unbestimmtheit
1.4 Einführung in das Thema Unschärfe

2. Unbestimmtheit aus Mangel an Information
2.1 Informationsmängel und stochastische Modellierung
2.2 Bayes-Regel
2.3 Bernoulli-Prinzip

3. Unbestimmtheit durch Unschärfe
3.1 Quellen der Unschärfe
3.2 Unschärfe und fuzzy Modellierung - Grundlagen der Fuzzy Set Theorie
3.2.1 Zugang über die klassische Mengenlehre
3.2.2 Fuzzy Set Theorie: Die Theorie unscharfer Mengen
3.2.3 Beispiel schnelle PKW
3.3 Mögliche Funktionsverläufe unscharfer Mengen
3.4 Linguistische Variablen (Konzept von Zadeh 1973)

4. Fuzzy Logik
4.1 Konjunktion (Logisches UND)
4.2 Disjunktion (Logisches ODER)
4.3 Negation (Logisches NICHT)
4.4 Struktureigenschaften
4.5 Kompensatorische Operatoren
4.6 Modifizierer

5. Fuzzy Control
5.1 Funktionsweise eines Fuzzy-Reglers
5.1.1 Fuzzifizierung
5.1.2 Inferenz
5.1.3 Defuzzifizierung

6. Fazit

Literaturverzeichnis

„Das englische Wort ‚fuzzy’ bedeutet so viel wie fusselig oder besser unscharf.“^[1]

Abstract

In the first chapters (1 and 2) the basics of decision and game theory are described in­cluding a specification of several forms of uncertainty (in a broad sense). On this funda­ment the circumstances of using probability and statistics related to uncertain decision making are marked out. Chapter three introduces Fuzzyness in general and especially the theory of fuzzy sets (Fuzzy Set Theory); the intention is to separate the cases of uncer­tainty from those suffering from fuzzyness. Both stand for inconveniences in the context of decision making (and so in strategic game situations, too). For both problems (uncertainty, fuzzyness) theories are capable of helping to keep decision making rational. The interest­ing fact is, in the context of decision making the handling of uncertainty is already stan­dardised while the use of Fuzzy Set Theory still seems be something exotic. Despite the fact, that fuzzyness is an obstacle for rational decision making as uncertainty is.

In the second part of this work (including chapters 4 and 5), the most common Fuzzy-Operators are presented and it is described how they work and how they can affect players’ decision-making processes. The main emphasis of our performance is on the dis­junction and conjunction of two fuzzy sets. Furthermore a fuzzy model within the frame­work of fuzzy control is described, which can be built and used without mathematical know how – a model getting sharp input values, processes them to fuzzy dimensions and recre­ates useful sharp output values in the end. Especially, we will try to substantiate with sim­ple examples and uncomplicated illustrations and diagrams.

Anmerkungen zu zentralen Termini

Dem Begriff Unbestimmtheit wird im Kontext dieser Ausarbeitung die Funktion zugewie­sen, als Oberbegriff für Kategorien wie Ungewissheit, Ungenauigkeit und andersartige Informationsmängel und –unschärfen zu fungieren. Entnommen wurde dieser Ausdruck einer Diplomarbeit mit dem Titel „Unscharfe Daten bei risikobehafteten Unternehmensent­scheidungen“.^[2] Da die Vorstellung und ansatzweise Verknüpfung der Bereiche Entschei­dungs- bzw. Spieltheorie und Fuzzy Set Theorie einer thematischen Hinführung bedarf, welche über das Grundmodell der Entscheidungstheorie und die (standardmäßige) Model­lierung von Ungewissheit hin zur Erfassung der Unschärfe führt, soll eine zweckmäßige Verortung der wichtigsten (und im Anklang verwechselbaren) Begriffe vorangestellt wer­den.

Unter den Begriff der Unbestimmtheit sind zwei Kategorien zu fassen: Unbestimmtheit aus Mangel an Information und Unbestimmtheit aus (begrifflicher) Unschärfe.

Erstere beinhaltet die Modellierung unterschiedlicher Informations- bzw. Wissensgrade, so dass - auf die Entscheidungstheorie gemünzt - Entscheidungen unter Sicherheit und Unsicherheit unterschieden werden können, wobei sich die Kategorie der Unsicherheit wiederum in Entscheidungen unter Risiko und solche unter Ungewissheit (auch: Unsicher­heit i.e.S.) differenzieren lässt.

Die zweite Kategorie der Unbestimmtheit (Unschärfe) bedarf (vorerst) keiner tieferge­henden begrifflichen Strukturierung, da ein erstes Anliegen lediglich darin besteht, die erstgenannten Begriffe der gängigen Modellierung mittels Wahrscheinlichkeitsrechnung zuzuordnen und die Unschärfe davon abzugrenzen. Unbestimmtheit wird synonym für Informationsmängel und Unschärfe verwendet; Informationsmangel, Unsicherheit oder Ungewissheit sind aber niemals als Synonyme für Unschärfe zu verstehen, da sie einer anderen Kategorie der Unbestimmtheit zuzurechnen sind.^[3]

An dieser Stelle sei noch angemerkt, dass Unschärfe ihrerseits ebenfalls zwei Arten aufweist: Vagheit und Unsicherheit (diese ist nicht mit der informatorischen Unsicherheit zu verwechseln!).^[4] Im Rahmen dieser Ausarbeitung liegt das Augenmerk auf den Grundlagen der Fuzzy Set Theorie und dem Begriff der unscharfen Mengen, welcher zugleich das kor­respondierende Konzept zur Unschärfe aus Vagheit darstellt.

Zur Unterscheidung verschiedener Unschärfequellen bietet sich die in Abschnitt 3.1 vor­gestellte Klassifizierung an.

1. Einführung und thematische Grundlagen

1.1 Entscheidungstheorie

In der Entscheidungstheorie lassen sich zwei Ausrichtungen unterscheiden: Die deskrip­tive und die präskriptive Entscheidungstheorie. Die deskriptive Entscheidungstheorie (auch empirisch-realistische Entscheidungstheorie) bemüht sich um die Abbildung des tatsäch­lichen Entscheidungsverhaltens und der entsprechenden Prozesse, wobei die Aufgabe in der Erklärung und Diagnostik dieses Verhaltens und dieser Prozesse zu sehen ist.^[5] In der präskriptiven Entscheidungstheorie liegt das Ziel in der Erstellung von Verhaltensempfeh­lungen und Entscheidungsregeln für die Entscheidungsträger. Dies geht damit einher, dass die „zukünftige Wirklichkeit als zumindest teilweise entscheidungsoffen“^[6], d.h. durch Ent­scheidungen beeinflussbar, betrachtet wird. „Die präskriptive Entscheidungstheorie will... verändernd auf reales Entscheidungsverhalten einwirken, um es, gemessen an bestimm­ten Kriterien, rational zu gestalten“ (Bosch 1993: 8, Herv. d. Verf.). Diese Aufgabe kann als praktische Gestaltungsaufgabe verstanden werden, wohingegen in der deskriptiven Entscheidungstheorie die theoretische Erklärungsaufgabe im Mittelpunkt steht.

Im Rahmen einer entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre^[7] besteht die präskrip­tive Aufgabe darin, Hilfestellungen für die Lösung ökonomischer Probleme zu ent­wickeln: „ [U] nter Berücksichtigung der Ziele der Unternehmung sollen auf Erklärungsmo­dellen... basierende Entscheidungsmodelle entworfen werden, welche im Hinblick auf die Zielvorstellungen zu optimalen Lösungen führen sollen.“^[8] Nach der Erfassung des Entschei­dungsproblems^[9] beschreiben die zu erstellenden Entscheidungsmodelle somit einen strukturierten Entscheidungsprozess, welcher nach den Kriterien für rationales Han­deln abläuft und die Konsequenzen bestimmter alternativer Entscheidungen aufzeigt.

Im Grundmodell der Entscheidungstheorie „ [g] eht man... vom ursprünglichen Problem aus und faßt... die Operationen, die zur Erreichung der angestrebten Zielsituation führen können, mit alternativen Entwicklungen der Umwelt sowie den Ergebnissen in Tabellen­form zusammen... “ (Bosch 1993: 23). Die sich hieraus ergebende Ergebnismatrix (vgl. Abb.1) führt in den Zeilen die Handlungsalternativen (ai) und in den Spalten die Umweltzu­stände (zj), welche u.U. mit Eintrittswahrscheinlichkeiten (pj) versehen werden, auf, woraus sich als Elemente der Matrix die Handlungskonsequenzen (eij) ergeben.^[10] Um mit Hilfe von Entscheidungsregeln eine Handlungsalter­native als Optimum identifizieren zu können, erfolgt eine Zuordnung von Nutzengrößen, welche eine Bewertung der Konsequenzen ermöglicht.

Das komplette entscheidungstheoretische Grundmodell setzt sich somit aus einer Menge von Handlungsalternativen, einer Menge von Umweltzuständen und einer Ergebnisfunktion zusammen; die Ergebnismatrix muss jedoch „um eine Nutzenfunktion und eine Entschei­dungsregel ergänzt“ werden, denn „ [e] rst dann ist das Ziel des Modellbildungsprozesses erreicht: (rationale) Entscheidbarkeit“ (Bosch 1993: 24).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.2 Spieltheorie

Die Spieltheorie, verstanden als spezielles Teilgebiet der Entscheidungstheorie, befasst sich mit Entscheidungssituationen, in denen die Handlungskonsequenz der Entscheidung nicht mehr nur von einem Entscheider (Spieler) abhängt, sondern gleichermaßen durch die Entscheidung eines oder mehrerer Gegen spieler mitbestimmt wird. „ [W] enn die Umweltzu­stände nicht durch Zufall, sondern durch einen rationalen Gegenspieler bestimmt wer­den“^[11], so Dörsam, liegt eine Entscheidungssituation vor, in der die Unsicherheit für den Entscheider aus der Existenz jenes Gegenspielers resultiert.

Derartige Situationen werden als strategische Entscheidungssituationen bezeichnet und lassen sich anhand spezifischer Charakteristika kennzeichnen^[12]: Jeder Spieler kennt die Regeln des Spiels und ist sich der wechselseitigen Abhängigkeiten bewusst; mögliche Entscheidungen der Gegenspieler werden berücksichtigt; die Spieler verfügen über reine oder gemischte Strategien. Ein klassisches Beispiel für eine strategische Entscheidungs­situation stellt das sogenannte „Markteintrittsspiel“ dar.^[13]

1.3 Rationale Entscheidung und Unbestimmtheit

Die rationale Gestaltung des Entscheidungsprozesses dient der Bestimmung des richti­gen Handelns – richtig in dem Sinne, dass das Handeln zweckorientiert und zweck rational erfolgt. Der Begriff der rationalen Entscheidung lässt sich gemäß Bosch in allgemeiner Form wie folgt definieren (Bosch 1993: 9):

1. Eine rationale Entscheidung besteht in der Wahl einer von mehreren Handlungs­alternativen.
2. Die zur Verfügung stehenden Handlungen sind für das Entscheidungssubjekt Mittel zum Zweck.
3. Die rationale Entscheidung orientiert sich ausschließlich an den Zielen des Ent­scheidungssubjekts.^[14]
4. Die rationale Entscheidung wird auf rein logischem Wege aus den Prämissen ab­geleitet.
5. Bezugspunkt für die rationale Entscheidung ist die zukünftige Wirklichkeit, die von der Entscheidung betroffen ist.

Die zentrale Problematik im Rahmen entscheidungstheoretischer Erörterung ergibt sich aus einer kritischen Betrachtung der genannten Punkte (ebd.): „ [Man] sieht sich vor dem Problem, daß der Zustand vollkommener Voraussicht nicht nur praktisch unmöglich, son­dern auch logisch widersprüchlich ist und muss der Tatsache Rechnung tragen, daß eine Entscheidung nie aufgrund einer vollkommenen Kenntnis der zukünftigen Welt getroffen wird.“ (ebd.) Das Problem der Unkenntnis der zukünftigen Welt soll hier als eine Kategorie von Unbestimmtheit behandelt werden. Diese Unkenntnis konkretisiert sich in fundamen­talen Hürden bei der Überwindung der Differenz von Ausgangs- und Zielzustand^[15]: Unsicher­heit und (stochastische) Ungewissheit. Wird ein Zustand eintreten? Wie wahr­scheinlich ist sein Eintreten?

In der vorliegenden Ausarbeitung wird hingegen die zweite Kategorie der Unbestimmt­heit fokussiert: Unschärfe. Beispielhaft ließe sich auf Punkt vier zur rationalen Entschei­dung rekurrieren: Liegen die Prämissen einer Entscheidung immer unzweideutig vor? Soll ein Zustand beispielsweise „schnell“ erreicht werden - z.B. das Ausboten eines Konkur­renten - und soll diese Vorgabe eine Prämisse sein, welche bei der Entscheidung für eine Handlungsalternative a1 oder a2 zu berücksichtigen ist, so liegt das fragliche Moment hier­bei nicht nur in der Unsicherheit oder Ungewissheit über das Erreichen des optimalen Ziel­zustandes, sondern ebenso in der Entscheidungsprämisse („schnell“) selbst, da sie nicht eindeutig und somit unscharf (vage) ist.

Somit unterliegen die Ansätze der Entscheidungstheorie (daraus folgend auch der Spieltheorie) in der Erfüllung der Erklärungs- und Gestaltungsaufgabe^[16] grundlegend dem Problem der oben angeführten Unbestimmtheiten. Unbestimmtheiten und die korrespon­dierenden Formen der Unkenntnis können folglich in zwei Kategorien erfasst werden:

- In der ersten Kategorie liegt die Problematik in einem Mangel an Information begrün­det (Unsicherheit und Ungewissheit).
- In der Zweiten resultieren Unbestimmtheiten aus einem Mangel an begrifflicher Schärfe (Unschärfe).

Diese Basiskategorien der Unbestimmtheit müssen differenziert und voneinander ge­trennt betrachtet und behandelt werden, da ihre Berücksichtigung in entscheidungstheore­tischen Modellen und entscheidungsunterstützenden Systemen zu grundlegend verschie­denen Ansatzpunkten der Modellierung und korrespondierend zu unterschiedlichen Aus­sagen führt.

Es muss strikt zwischen den Kategorien Mangel an Information und Mangel an begriffli­cher Schärfe unterschieden werden. Die Modellierung und Handhabung von Informations­mängeln erfolgt in der Entscheidungstheorie mittels stochastischer Ansätze (Wahrschein­lichkeitsrechnung). Zur Modellierung von Unschärfe (Vagheit) bedient man sich zuneh­mend der Ansätze der Fuzzy Set Theorie (Theorie unscharfer Mengen^[17] ).

Es wird folgend herausgearbeitet, inwiefern Unterschiede zwischen den Anwendungsge­bieten der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Fuzzy Set Theorie im entscheidungstheo­retischen Kontext bestehen, um anschließend auf die Grundzüge der – für den Bereich der Entscheidungstheorie/Spieltheorie neuen – Ansätze der Fuzzy Set Theorie einzugehen. Der Schwerpunkt liegt somit auf der zweiten Kategorie der Unbestimmtheit - der begriffli­chen Unschärfe (oder: Fuzzyness).

1.4 Einführung in das Thema Unschärfe

Der Entscheidungsträger in der betriebswirtschaftlichen Praxis wird tagtäglich mit un­scharfen Informationen konfrontiert, da bestimmte Daten sich überhaupt nur ungenau bestimmen lassen.^[18] Beispielsweise liegt der Benzinverbrauch eines Autos zwischen 10 und 12 Litern, je nachdem, wer dieses Auto fährt und wo man fährt. Eine ähnliche Un­schärfe besitzen die Abnutzungen bzw. Abschreibungen von Sachanlagegütern oder die Fertigungskosten pro Stück in der industriellen Fertigung. Eine andere Form der Unschärfe stellen linguistische Größen wie eine „hohe“ Rendite, „niedrige“ Kosten oder eine „alte“ Maschine dar. In der herkömmlichen Investitionsrechnung ist der Planer gezwungen, un­scharfe Größen wie Kosten als scharfen Mittelwert darzustellen, mit der Folge, dass das Rechenergebnis ebenfalls eine scharfe und scheinbar genaue Zahl darstellt. Doch das Ergebnis ist trügerisch, weil es eine Exaktheit vorspiegelt, die nicht vorhanden ist.

Die Übernahme von Ansätzen der Fuzzy Set Theorie ist nicht als das Anbieten einer al­ternativen Modellierungstechnik für Problembereiche, die bereits auf andere Art und Weise behandelt werden, zu verstehen, denn „ [i] n den klassischen (mathematisch orientierten) Modellen der entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre wird die angesprochene Vagheit bzw. Unschärfe im allgemeinen gleich einem Schönheitsfehler weggelassen “ (Comploj 2002: 1). Dies sei legitim, da eine derartige Vereinfachung zur Abstrahierung und Konzentration auf relevante Aspekte im Rahmen von Modellbildungen notwendig ist. Für den (bislang gängigen) Fall der Vernachlässigung von Unschärfe kann es auf Grund „vager Fakten“^[19] zu ungenauen und unvollständigen Ergebnissen bei der Lösung von Ent­scheidungsproblemen kommen. Mit der Berücksichtigung der Unschärfe und der Über­nahme von Ansätzen der Fuzzy Set Theorie löst man sich von der Unterstellung der Ex­aktheit modellrelevanter Daten.

[...]

^[1] Bronstein, Ilja N./Semendjajew, Konstantin A. u.a.: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage, Frankfurt a. M.: Verlag Harri Deutsch, 2001.S. 372.

^[2] Comploj, Petra: Unscharfe Daten bei risikobehafteten Unternehmensentscheidungen. Diplomarbeit zum Abschluß des Diplomstudiums der Betriebswirtschaftslehre. Leopold-Franzens-Universität Innsbruck, 2002.

^[3] Hieraus ergibt sich bspw., dass der Begriff Ungewissheit nicht für Erscheinungen von Unschärfe verwendet wird. Ungewissheit, Unsicherheit u.dgl. sind Begriffe, die dem Bereich der stochastischen Modellierung von Informationsmängeln explizit vorbehalten sind.

^[4] Bronstein/Semendjajew 2001: 372. Das Konzept zur Unschärfe aus Vagheit stellt die Theorie der unscharfen Mengen dar; zur Unschärfe aus Unsicherheit gehört die Theorie der unscharfen Maße.

^[5] Vgl. z.B. Wöhe, Günter: Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 20. Auflage, München: Verlag Franz Vahlen, 2000.S. 150ff.

^[6] Bosch, Harald: Entscheidung und Unschärfe. Eine entscheidungstheoretische Analyse der Fuzzy-Set-Theorie. Reihe: Planung, Information und Unternehmensführung, Band 47. Bergisch Gladbach usw.: Verlag Josef Eul, 1993.S. 8.

^[7] Die Betriebswirtschaftslehre ist ein Wissenschaftszweig, der die Entscheidungstheorie als festen Bestandteil integriert hat. Eine nicht weniger stark verbreitet Anwendung findet ebenso im Bereich der Volkswirtschaftslehre statt. Vgl. z.B. Kahle, Egbert: Betriebliche Entscheidungen. München: Oldenbourg, 1998.S. 14f.

^[8] Comploj 2002: 1.

^[9] Probleme existieren nicht per se. Probleme sind im Sinne der Problemtheorie als „Subjekt-Objekt-Beziehungen“ zu verstehen und im Bewusstsein des Subjekts anzusiedeln; demzufolge unterliegt ein als Problem definierter Zustand primär der subjektiven Wahrnehmung und wird „im Individuum“ erst zum Problem. Im Folgenden soll unter dem Problembegriff eine Abweichung von Ausgangs- und subjektiv angestrebter Zielsituation verstanden werden. Vgl. Bosch 1993: 10-14.

^[10] Beeinflussbare Parameter und wählbare Optionen werden hierbei als Handlungsalternativen, nicht beeinflussbare Faktoren mit Wirkung auf die Konsequenzen als Umweltzustände klassifiziert.

^[11] Dörsam, Peter: Grundlagen der Entscheidungstheorie. 2. überarb. und erw. Auflage, Heidenau: PD-Verlag, 1998.S. 13. Herv. im Original.

^[12] Vgl. Langerfeldt, Michael: Spieltheorie. WISU 12/2001, S. 1619-1621. Insbes. S. 1619.

^[13] Z.B. Holler, Manfred/Illing, Gerhard: Einführung in die Spieltheorie. 4. Aufl. Berlin usw.: Springer, 2000.S. 45ff.

^[14] Anm. d. Verf.: In der Entscheidungs- und Spieltheorie wird regelmäßig der Nutzen maximierende homo oeconomicus als Standardentscheidungsträger unterstellt. Als Ziel kann somit grundlegend Nutzenmaximierung angenommen werden. Vgl. z.B. Frank, Robert H.: Microeconomics and Behavior. Fourth Edition, Boston usw.: McGraw-Hill, 2000.S. 22ff.

^[15] Siehe Fußnote 7: Dies entspricht dem von uns unterstellten Problembegriff.

^[16] Auch die Spieltheorie weist sowohl eine deskriptive wie auch eine normative Ausrichtung auf. Vgl. z.B. Langerfeldt 2001: 1619.

^[17] Die Theorie unscharfer Mengen ist auf Prof. Lotfi A. Zadeh zurückzuführen, welcher diese Theorie Mitte der sechziger Jahre des 20. Jh. entwickelte. Zadeh, L. A.: Fuzzy Sets. Information and Control 8, 1965, S. 338-353.

^[18] Für diese und die folgenden Ausführungen vgl. auch http://www.fuzzyset.de/FUZZY4.HTM; übernommen am 05.02.2004.

^[19] Comploj 2002: 2.