Zahlensysteme – einfach umgerechnet. Eine Einführung in die Darstellung von Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen

Mit Merkregeln für die Umrechnung


Fachbuch, 2016
22 Seiten

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis:

1. Einleitung

2. Zahlensysteme in Stellenschreibweise

3. Der Abakus
3.1. Die Stellenschreibweise
3.2. Der Ziffernvorrat

4. Das Dezimalsystem

5. Das Horner-Schema

6. Zahlensysteme und ihre Darstellung

7. Das Dualsystem
7.1. Berechnung des Dezimalwertes einer Dualzahl
7.1.1. Umständliche Methode (tabellarisch)
7.1.2. Einfache Methode
7.1.3. Merkregel für das Arbeiten mit dem Horner-Schema
7.1.4. Anwendung des Horner-Schemas für „gebrochene“ Dualzahlen
7.2. Dezimalzahl in Dualzahl umrechnen
7.2.1. Ausführliches Schema
7.2.2. Vereinfachtes Schema

8. Oktalzahlen und Sedezimalzahlen
8.1. Merkregel zur Darstellung
8.2. Umwandlung Dual - Oktal - Hexa
8.2.1. Umwandlung Dualzahl <==> Oktalzahl
8.2.2. Umwandlung Dualzahl <==> Sedezimalzahl
8.3. Oktal- und Sedezimal in Dezimal umrechnen
8.3.1. Oktalzahl in Dezimalzahl umrechnen
8.3.2. Sedezimalzahl in Dezimalzahl umrechnen

9. Dezimalzahl in beliebiges Zahlensystem umrechnen
9.1. Merkregel

10. Zahlendarstellung in Computersystemen
10.1. Binärdarstellung
10.2. Bitmuster
10.3. Angaben von Speichergrößen
10.4. Wortlänge einer Binärzahl
10.5. Bedeutung der Binärzahlen im Computer
10.5.1. Bitmuster zur Zahlendarstellung
10.5.2. Bitmuster als logische Signale
10.5.3. Bitmuster als Speicheradresse
10.5.4. Bitmuster als Programmcode
10.5.5. Bitmuster zur Textdarstellung: Der ASCII-Code

11. Zahlensysteme mit hoher Zahlenbasis
11.1. Ziffernvorrat
11.2. Das 256er-System

12. Negative Zahlen
12.1. Negative Dualzahlen
12.2. Negative Binärzahlen

13. Halblogarithmische Zahlendarstellung

14. Sachregister

1. Einleitung

Zahlen dienen dazu, Mengen oder andere Größen durch Ziffern darzustellen. Schon in den alten Kulturen hatten die Menschen Ziffernzeichen und Zahlensysteme, die zur Aufschreibung, aber auch zum Rechnen geeignet waren.

Die Inder kannten schon im 8. Jahrhundert n. Chr. die Ziffern 1 bis 9 und die Null, die als kleiner Kreis dargestellt wurde. Dies ermöglichte die Stellenschreibweise. Mit den Arabern kamen diese Ziffern über Spanien nach Europa (arabische Ziffern genannt).

2. Zahlensysteme in Stellenschreibweise

Zahlensysteme in Stellenschreibweise wurden schon sehr früh erfunden. Sie sind nicht an be- stimmte Ziffernzeichen gebunden. Die Römer und auch die Chinesen rechneten schon vor 2000 Jahren mit einem Rechenbrett, das auf dem Prinzip der Stellenschreibweise beruhte.

3. Der Abakus

Bild 1: Abakus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieses Rechenbrett hatte verschiedene Namen (Abakus, Suapan). Das Bild zeigt einen chinesischen Abakus in Messingausführung auf Marmorplatte, 80 × 45 mm groß.

Die Umrechnung einer Zahl in ein anderes Zahlensystem (Zahlenkonvertierung) ändert nichts am Zahlenwert, sondern gibt der Darstellung der Zahl nur eine andere Form.

Was bei der Umrechnung der Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes beachtet werden muss, wird im nachfolgenden Text beschrieben.

3.1. Die Stellenschreibweise

Eine Zahl wird durch Nebeneinanderschreiben von Ziffernzeichen dargestellt. Bei dieser Stel- lenschreibweise ist es von Bedeutung, welche Position die Ziffer innerhalb der Zahl hat. Der Stellenwert jeder Ziffer kann in Potenzschreibweise mit Zahlenbasis g und Exponent angege- ben werden.

Dieser Sachverhalt ist mathematisch allgemein darstellbar als Polynom:

Formel 1: Polynom zur Darstellung der Stellenschreibweise

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei die Koeffizienten z die Ziffern und g die Zahlenbasis (Grundzahl) bedeuten. Die unteren Indizes bei z bezeichnen die Positionen innerhalb der Zahl, die oberen Indizes bei g sind die Exponenten für die Stellenwerte der Zahlenbasis g. Dieses Polynom kann in mathematischer Kurzschreibweise auch als „Summe“ angeschrieben werden:

Formel 2: Mathematische Kurzschreibweise des Polynoms

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

nach dem Komma bedeuten.

Eine Zahl Z wird in Stellenschreibweise dargestellt, indem die Ziffern zi in absteigender Reihenfolge des Index i von links nach rechts nebeneinandergeschrieben werden, wobei zwischen den Ziffern z0 und z-1 ein Trennzeichen (ein Komma; im englischsprachigen Bereich ein Punkt) zu setzen ist, um den Übergang auf negative Exponenten zu kennzeichnen.

Dieses Prinzip der Zahlendarstellung durch Stellenschreibweise gilt für jedes beliebige Zahlensystem, nicht nur für das Dezimalsystem. Man nennt es g-adisches System, wobei für die Zahlenbasis g jede beliebige natürliche Zahl genommen werden kann.

3.2. Der Ziffernvorrat

Die Anzahl der für ein g-adisches System erforderlichen Ziffern beträgt g mit den Werten 0 bis (g-1). Die Menge der verschiedenen Ziffern für ein g-adisches System nennt man Ziffern- vorrat.

4. Das Dezimalsystem

Grundlage der Rechnungen des täglichen Lebens ist das Dezimalsystem (Zehnersystem), bei dem 10 verschiedene Ziffernzeichen erforderlich sind: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dazu folgendes Beispiel:

Dezimalzahl 123,45 in Stellenschreibweise:

Tabelle 1: Darstellung einer Dezimalzahl mit Zehnerpotenzen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert Z dieser dargestellten Zahl wird durch Summierung der Produkte aus Ziffernwert mal Stellenwert jeder Dezimalstelle berechnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5. Das Horner-Schema

Bei der gezeigten Berechnung des Zahlenwertes Z eines Polynoms ist die Berechnung der Summanden durch Multiplikation von Ziffernwert mal Stellenwert erforderlich, bevor addiert werden kann. Die Zwischenspeicherung der vorher berechneten Summanden war bei den mechanischen Rechenmaschinen des 19. Jahrhunderts nicht möglich. Deshalb hat der Engländer William George Horner (1786-1837) das Polynom umgeformt, um mit dem jeweils vorher ermittelten Ergebnis ohne Zwischenspeicherung weiterrechnen zu können:

Formel 3: Durch Horner umgeformtes Polynom

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese umgestellte Formel enthält nur Multiplikationen und Additionen, die nacheinander mit einer Rechenmaschine oder einem einfachen Taschenrechner ohne Speicherung von Zwischenergebnissen ausgeführt werden können.

Die Berechnung beginnt in der innersten Klammer. Mit dem in der Maschine aufgelaufenen Ergebnis kann im nächsten Schritt weitergerechnet werden. Zuletzt wird mit dem vorkommenden kleinsten Stellenwert g-m multipliziert.

Zahlenbeispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das von Horner für diese umgestellte Formel angegebene und nach ihm benannte Rechen- schema (Horner-Schema) ist auch heute noch bei der Umrechnung von Zahlensystemen (und bei anderen mathematischen Rechnungen) eine große Hilfe. Es wird weiter unten ausführlich erläutert.

6. Zahlensysteme und ihre Darstellung

Für die Zahlenbasis g kann in der Polynomdarstellung der Zahlen jeder beliebige positive ganzzahlige Wert genommen werden.

Für g = 1 ergibt sich der einfachste Fall (Trivialfall), bei dem nur eine einzige Ziffer verwendet wird, die ein beliebiges Zeichen sein kann. Die Anzahl der nebeneinanderstehenden Zeichen ist der dargestellte Zahlenwert. Diese Darstellungsweise ist bei Strichlisten üblich, wo die Anzahl der Striche gezählt wird.

Das Zahlensystem mit g = 2 (Zweier- oder Dualsystem) ist in der Computertechnik sehr wichtig.

Das Achtersystem (g = 8, Oktalsystem) und das Sechzehnersystem (g = 16, Sedezimalsystem, auch als Hexadezimal-System bekannt, kurz Hexa-System genannt) werden für die Darstellung von Zahlen im Zusammenhang mit dem Dualsystem gerne angewandt, weil sich die Zahlen dieser Systeme besonders leicht ineinander umrechnen lassen.

Dualsystem, Oktalsystem und Hexasystem werden weiter unten behandelt.

Bei der Umrechnung von Zahlen kommen sehr leicht Verwechslungen vor, weil die verschiedenen Zahlensysteme gleiche Ziffern verwenden.

Deshalb sollten in Zweifelsfällen, oder wo es nicht eindeutig aus dem Zusammenhang erkennbar ist, alle Zahlen, die nicht als Dezimalzahlen gelten, die Basiszahl g als dezimalen Index erhalten, damit sie eindeutig einem Zahlensystem zugeordnet werden können.

Tabelle 2: Beispiele für die Zahlendarstellung in verschiedenen Systemen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel in Dezimal-, Hexa-, Oktal- und Binärdarstellung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die wissenschaftlichen HP-Taschenrechner haben die Umrechnung der Zahlensysteme für g = 2 (dual), g = 8 (oktal), g = 10 (dezimal) und g = 16 (hexa) fest eingebaut.

7. Das Dualsystem

Im Dualsystem sind nur zwei Ziffern erforderlich: 0 und 1.

Für die daraus gebildeten Dualzahlen wird ebenfalls die Stellenschreibweise verwendet. Der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) hat als Erster mit diesem System ge- rechnet und es veröffentlicht. Damals konnte sich jedoch niemand eine praktische Anwen- dung vorstellen.

Erst Konrad Zuse erkannte die Bedeutung des Dualsystems und entwickelte im Jahr 1934 ei- nen Computer, bei dem Zahlen intern binär, also durch zwei eindeutig voneinander unter- scheidbare Zustände (Spannung vorhanden/nicht vorhanden, ja/nein, Strom fließt oder fließt nicht) dargestellt werden. Erläuterungen zur Binärdarstellung folgen unter 10.1 auf Seite 15.

7.1. Berechnung des Dezimalwertes einer Dualzahl

7.1.1. Umständliche Methode (tabellarisch)

Die Berechnung des dezimalen Zahlenwertes einer Dualzahl als Polynom ist sehr aufwendig, weil Potenzen von 2 berechnet und addiert werden müssen.

Beispiel: Dualzahl 10110112 => Dezimalzahl

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese klassische Berechnung des Polynoms ist heute noch bei der Umrechnung von Dualzah- len in Schulen und Lehrbüchern üblich. Man muss den Wert mit Bleistift auf Papier berech- nen.

Warum so kompliziert?

7.1.2. Einfache Methode

Mit dem Horner-Schema ist die Berechnung wesentlich einfacher. Der Dezimalwert wird oh- ne Tabelle der Stellenwerte und ohne Bildung von Summanden berechnet. Diese Berechnung ist gegenüber der klassischen Berechnung des Polynoms wesentlich einfacher, sie lässt sich sogar durch „Kopfrechnen“ bewältigen, wenn man die Verdopplung einer Zahl im Kopf schafft.

Beispiel:

Dualzahl 10110112 => Dezimalzahl (Ziffern der Dualzahl sind unterstrichen)

Man beginnt bei der Dualzahl mit der ersten Ziffer links, nimmt diese mal 2, addiert die nächste Ziffer, nimmt das Ganze mal 2 und so fort.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der ausgerechnete Klammerausdruck [...] muss mit dem Stellenwert der letzten Ziffer multipliziert werden: Hier ist dies der Wert 1, weil hier die Dualzahl keine Kommastellen hat und die letzte Ziffer die Einerstelle ist.

Bei Benutzung eines Taschenrechners mit arithmetischer Notation (zu erkennen an der Taste mit dem Gleichheitszeichen) werden die Klammern weggelassen und die Ziffern von links nach rechts, so wie sie dastehen, eingetippt. Man fängt also mit der am weitesten links stehenden 1 an.

Achtung: Bei der nachfolgenden Berechnung gilt ausnahmsweise nicht der bei Gleichungen übliche Vorrang der Multiplikation vor der Addition, weil hier die Reihenfolge (abwechselnd Multiplikation und Addition) wesentlich ist. Die Zifferntasten0,1 und2 und die Funkti- onstasten ([+], [×]) sind auf dem Taschenrechner abwechselnd nacheinander zu betätigen.

Die unterstrichenen Ziffern sind die Dualziffern.

Für den Wert des obigen Klammerausdrucks [...] ergibt sich die Tastenfolge

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach dem Drücken der Taste [=] erscheint auf dem Taschenrechner das Ergebnis: 91. Bei einem Taschenrechner mit „Umgekehrter Polnischer Notation (UPN)“ (auch als „RPN“ bekannt) sieht die Tastenfolge so aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach dem Drücken der [×]- bzw. [+]-Taste erscheint das jeweilige Zwischenergebnis. Dieses steht für die weitere Rechnung zur Verfügung. Nach dem Drücken der letzten Taste [+] steht das Ergebnis im Anzeigefeld.

7.1.3. Merkregel für das Arbeiten mit dem Horner-Schema

Die nachstehende Merkregel für die Anwendung des Horner-Schemas erlaubt eine übersichtliche Aufschreibung mit Zwischenergebnissen:

Merkregel für Horner-Schema

1. Zuerst wird die Dualzahl auseinandergezogen hingeschrieben (siehe nachfolgende Darstellung mit Zahlenbeispiel).
2. Die Berechnung beginnt links mit der ersten Dualziffer, diese wird mit der Basiszahl des Dualsystems g = 2 multipliziert.
3. Dann erfolgt die Addition der zweiten Dualziffer.
4. Die Zwischensumme wird wieder mit 2 multipliziert.
5. Dann wird die nächste Dualziffer addiert.
6. Ab jetzt wiederholt sich der Vorgang ab dem 4. Schritt, bis nach der Addition der letzten Dualziffer das Endergebnis feststeht.

[...]

Ende der Leseprobe aus 22 Seiten

Details

Titel
Zahlensysteme – einfach umgerechnet. Eine Einführung in die Darstellung von Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen
Untertitel
Mit Merkregeln für die Umrechnung
Autor
Jahr
2016
Seiten
22
Katalognummer
V319631
ISBN (eBook)
9783668188426
ISBN (Buch)
9783668188433
Dateigröße
917 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Schlagworte
Zahlensystem, Ziffern, Zahlen
Arbeit zitieren
Otto Praxl (Autor), 2016, Zahlensysteme – einfach umgerechnet. Eine Einführung in die Darstellung von Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/319631

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