Der Begriff „Fraktal“ wurde 1975 vom französisch-US-amerikanischen Mathematiker Benoît Mandelbrot (1924–2010) geprägt und bezeichnet bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster. Eine allgemeingültige umfassende mathematische Definition von „Fraktal“ existiert jedoch aufgrund der vielfältigen und unterschiedlichen Eigenschaften „fraktaler Strukturen“ bislang nicht; selbst für Fraktale typische Eigenschaften wie „Selbstähnlichkeit“ und (gebrochene) „fraktale Dimension“ lassen sich mathematisch schwer einheitlich behandeln.
Inhaltsverzeichnis
- Einführung
- Wichtige Begriffe und Bezeichnungen
- Selbstähnlichkeit
- Fraktale Dimension
- Die HAUSDORFF-Dimension
- Die Boxcounting-Dimension
- Die Ähnlichkeitsdimension
- CANTOR-Mengen
- Die Mittel-Drittel-CANTOR-Menge
- Konstruktion und Definition
- Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften
- Ausblick auf höherdimensionale Verallgemeinerungen
- Die generalisierte CANTOR-Menge
- Konstruktion und Definition
- Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften
- Die SMITH-VOLTERRA-CANTOR-Menge
- Konstruktion und Definition
- Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften
- Die Mittel-Drittel-CANTOR-Menge
- KOCH-Kurven
- Die klassische KOCH-Kurve
- Konstruktion und Definition
- Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften
- Fraktalantennen als technische Anwendung
- Die KOCHsche Schneeflocke
- Konstruktion und Definition
- Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften
- Ein Paradoxon mit „unendlich umfangreichen“ Flächen
- Die klassische KOCH-Kurve
- SIERPINSKI-Dreiecke
- Das SIERPINSKI-,,Linien-Dreieck"
- Konstruktion und Definition
- Fraktale Dimension
- Das SIERPINSKI-,,Flächen-Dreieck"
- Konstruktion und Definition
- Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften
- Variationen und höherdimensionale Verallgemeinerungen
- Zusammenhang mit dem PASCALschen Dreieck
- (SIERPINSKI-) Dreiecke durch Zellautomaten
- Überblick über Wolframs eindimensionales Universum
- SIERPINSKI-Dreiecke in Wolframs eindimensionalen Universum
- Schneckenhäuser und Wolframs eindimensionales Universum
- Deterministisches Chaos und das Chaos-Spiel
- Deterministisches Chaos
- Das Chaos-Spiel
- Das SIERPINSKI-,,Linien-Dreieck"
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit der Einführung in das Konzept der Fraktale, ihrer Eigenschaften und Anwendungen. Sie stellt wichtige Begriffe wie Selbstähnlichkeit und die fraktale Dimension vor und beleuchtet deren Bedeutung im Kontext fraktaler Strukturen.
- Definition und Eigenschaften von Fraktalen
- Bedeutung der Selbstähnlichkeit für fraktale Strukturen
- Fraktale Dimension und ihre Berechnung
- Vorstellung verschiedener Fraktaltypen (z.B. CANTOR-Mengen, KOCH-Kurven, SIERPINSKI-Dreiecke)
- Anwendungen von Fraktalen in Natur und Technik
Zusammenfassung der Kapitel
- Einführung: In diesem Kapitel wird der Begriff "Fraktal" eingeführt und die Bedeutung fraktaler Strukturen in der Natur und Technik erläutert. Es wird hervorgehoben, dass Fraktale nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den Bereichen der Biologie, Physik, Informatik und Kunst relevant sind.
- Wichtige Begriffe und Bezeichnungen: Dieses Kapitel beschäftigt sich mit grundlegenden Begriffen, die im Zusammenhang mit Fraktalen verwendet werden. Dazu gehören die Selbstähnlichkeit, die fraktale Dimension und die verschiedenen Methoden zur Berechnung der Dimension.
- CANTOR-Mengen: Hier werden verschiedene CANTOR-Mengen vorgestellt, die als grundlegende Beispiele für fraktale Strukturen dienen. Die Konstruktion und Definition der einzelnen Mengen wird erläutert, sowie ihre Dimension und weitere Eigenschaften.
- KOCH-Kurven: Das Kapitel erläutert die Konstruktion und Eigenschaften der klassischen KOCH-Kurve sowie der KOCHschen Schneeflocke. Es werden die fraktale Dimension und das Paradoxon der "unendlich umfangreichen" Flächen diskutiert.
- SIERPINSKI-Dreiecke: Verschiedene SIERPINSKI-Dreiecke werden vorgestellt, einschließlich ihrer Konstruktion, Dimension und weiteren Eigenschaften. Der Zusammenhang mit dem PASCALschen Dreieck und die Generierung von SIERPINSKI-Dreiecken durch Zellautomaten werden ebenfalls behandelt.
Schlüsselwörter
Die Arbeit fokussiert auf die Themen der Fraktalen, der Selbstähnlichkeit, der fraktalen Dimension und der verschiedenen Fraktaltypen. Besonderes Augenmerk liegt auf den CANTOR-Mengen, KOCH-Kurven und SIERPINSKI-Dreiecken sowie deren Konstruktion, Eigenschaften und Dimensionen.
- Arbeit zitieren
- Steven Bärwolf (Autor:in), 2015, Ausgewählte Fraktale und deren mathematische Beschreibung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/424145
