Stellen Sie sich vor, sie fahren mit ihrem Auto eine „unendlich lange“ Straße entlang und folgen stets mit ihrem Blick den Seitenmarkierungen der Straßen, so scheint es, wie wenn diese aufeinander zulaufen und sich in der „unendlichen Ferne“ treffen. Dieser Gedankengang führt zur projektiven Geometrie, auch Geometrie der Lage genannt. Hierbei wird jede Schar von parallelen Geraden um einen sogenannten Fernpunkt ergänzt. Anders gesagt schneiden sich somit alle Geraden.
Inhaltsverzeichnis
- 1. Einleitung
- 2. Hinführung zur projektiven Ebene
- 2.1 Konstruktion der projektiven Ebene aus der affinen Ebene
- 2.2 Einführung der Koordinaten der projektiven Ebene P2(R)
- 2.3 Inzidenzstruktur einer projektiven Ebene
- 2.4 Projektive Räume
- 3. Das Doppelverhältnis als Invariante projektiver Räume
- 3.1 Das Teilverhältnis
- 3.2 Das Doppelverhältnis
- 4. Harmonische Punkte
- 5. Vollständiges Vierseit
- 6. Der Satz von Pappus
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Seminararbeit führt in die projektive Geometrie ein und untersucht den Satz von Pappus. Ziel ist es, die grundlegenden Konzepte und Definitionen der projektiven Geometrie zu erläutern und den Satz von Pappus als wichtiges Theorem zu beweisen.
- Konstruktion der projektiven Ebene aus der affinen Ebene
- Eigenschaften und Inzidenzstruktur der projektiven Ebene
- Das Doppelverhältnis als Invariante projektiver Räume
- Harmonische Punkte und das vollständige Vierseit
- Der Satz von Pappus und dessen Beweis
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Einleitung
Dieses Kapitel führt in das Thema der projektiven Geometrie ein und erläutert den Ursprung und die Entwicklung dieses Gebiets. Es beschreibt den Zusammenhang zwischen der projektiven Geometrie und der Euklidischen Geometrie sowie die Motivation, sich mit der projektiven Geometrie auseinanderzusetzen.
- Kapitel 2: Hinführung zur projektiven Ebene
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Konstruktion der projektiven Ebene aus der affinen Ebene. Es werden die Koordinaten der projektiven Ebene P2(R) eingeführt und die Inzidenzstruktur einer projektiven Ebene erklärt. Außerdem werden projektive Räume und ihre Eigenschaften behandelt.
- Kapitel 3: Das Doppelverhältnis als Invariante projektiver Räume
Dieses Kapitel erklärt das Teilverhältnis und das Doppelverhältnis als wichtige Invarianten in der projektiven Geometrie. Es zeigt, wie diese Konzepte zur Unterscheidung von Punkten in projektiven Räumen genutzt werden können.
- Kapitel 4: Harmonische Punkte
Dieses Kapitel behandelt den Begriff der harmonischen Punkte und ihre Eigenschaften. Harmonische Punkte spielen eine wichtige Rolle bei der Untersuchung projektiver Konfigurationen.
- Kapitel 5: Vollständiges Vierseit
Dieses Kapitel stellt das Konzept des vollständigen Vierseits vor und zeigt seine Eigenschaften und Anwendungen in der projektiven Geometrie.
Schlüsselwörter
Projektive Geometrie, Satz von Pappus, projektive Ebene, affine Ebene, Doppelverhältnis, harmonische Punkte, vollständiges Vierseit, Inzidenzstruktur, projektive Räume, Fernpunkt.
- Arbeit zitieren
- Anna Weigele (Autor:in), 2015, Einführung in die projektive Geometrie. Der Satz von Pappus, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/428870
