Diese Seminararbeit beschäftigt sich mit der Funktionenschar f(x)=(e^x+ae^(-x))/(b(e^x+e^(-x) )+c). Dabei werde ich auf deren Verbindung zu den hyperbolischen Funktionen, oder auch Hyperbelfunktionen genannt, namens Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus und Tangens Hyperbolicus eingehen. Zudem habe ich an einer Kurvendiskussion mit der Betrachtung aller Fälle von a,b und c zur oben genannten Funktion gerechnet.
f (x) ist eine Funktionenschar, die für diese Seminararbeit erfunden wurde. Dabei ist aufgefallen, dass in Spezialfällen der Sinus Hyperbolicus, der Kosinus Hyperbolicus und der Tangens Hyperbolicus auftreten können. Das führte zu der Betrachtung der Hyberbelfunktionen, ihrer Eigenschaften, ihrer Definition und ihrer Anwendung in der realen Welt.
Bei der Bearbeitung der Kurvendiskussion ist mir jedoch aufgefallen, dass angefangen bei dem Monotonieverhalten und der ersten Ableitung von f (x) immer mehr Fälle von a, b und c dazu kamen. So werde ich die Monotonie nur ein wenig betrachten. Das Krümmungsverhalten und die zweite Ableitung, das unbestimmte Integral oder auch die Umkehrfunktion, falls es eine gibt, werde ich nicht berechnen, da es Rahmen und Zeit der Seminararbeit um ein Vielfaches sprengen würde. Die Graphen zu den Termen konnte ich mit Hilfe des kostenlosen erhältlichen Programms „Mathe-Grafix“ erstellen und in dieser Seminararbeit verwenden.
Die Arbeit wird so aufgebaut sein, dass ich zuerst auf die Hyperbelfunktionen näher eingehen werde. Danach gehe ich auf die Definitionsmenge, Nullstelle, Symmetrie und die Grenzwerte an der Definitionsmenge bei allen möglichen Fällen von f (x) ein. Bei der Monotonie habe ich drei Fälle gerechnet und ausgewertet.
Inhaltsverzeichnis
- I. Einleitung
- II. Die Hyperbelfunktionen
- 1. Kosinus Hyperbolicus (cosh(x))
- 2. Sinus Hyperbolicus (sinh(x))
- 3. Tangens Hyperbolicus (tanh(x))
- 4. Zusammenhang zwischen hyperbolischen Funktionen, Hyperbel und trigonometrischen Funktionen
- 5. Anwendung der hyperbolischen Funktionen
- III. Kurvendiskussion
- 1. Definitionsmenge
- 2. Nullstellen
- 3. Grenzwerte an den Rändern der Definitionsmenge
- 4. Symmetrie
- 5. Monotonie
- IV. Nachwort
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Seminararbeit untersucht die dreiparametrige Funktionenschar fabc(x) = (ex + ae-x) / (b(ex + e-x) + c) und deren Beziehung zu den hyperbolischen Funktionen. Die Arbeit beinhaltet eine Kurvendiskussion der Funktionenschar, wobei die Auswirkungen verschiedener Parameterkonstellationen von a, b und c auf den Funktionsverlauf analysiert werden. Die Beschränkung auf bestimmte Aspekte der Kurvendiskussion resultiert aus zeitlichen und Umfangsgründen.
- Einführung und Definition der hyperbolischen Funktionen (cosh(x), sinh(x), tanh(x))
- Analyse der Beziehung zwischen der Funktionenschar fabc(x) und den hyperbolischen Funktionen
- Kurvendiskussion von fabc(x) mit Fokus auf Definitionsmenge, Nullstellen, Grenzwerte und Symmetrie
- Untersuchung des Monotonieverhaltens von fabc(x)
- Anwendung von graphischen Darstellungen zur Veranschaulichung der Ergebnisse
Zusammenfassung der Kapitel
I. Einleitung: Die Einleitung führt in das Thema der Seminararbeit ein und beschreibt den Untersuchungsgegenstand, die dreiparametrige Funktionenschar fabc(x). Sie hebt die Verbindung zu den hyperbolischen Funktionen hervor und skizziert den Aufbau der Arbeit. Besondere Beachtung findet die Erklärung der Einschränkungen der Kurvendiskussion aufgrund von Zeitmangel. Die Arbeit nutzt das Programm "Mathe-Grafix" zur Erstellung der Graphen.
II. Die Hyperbelfunktionen: Dieses Kapitel liefert eine umfassende Einführung in die hyperbolischen Funktionen, einschließlich Kosinus Hyperbolicus (cosh(x)), Sinus Hyperbolicus (sinh(x)) und Tangens Hyperbolicus (tanh(x)). Es werden ihre Definitionen, Eigenschaften und Zusammenhänge mit den trigonometrischen Funktionen erläutert. Die Darstellung der hyperbolischen Funktionen im Kontext der Funktionenschar fabc(x) wird hervorgehoben, wobei gezeigt wird, wie spezielle Parameterwerte zu den bekannten hyperbolischen Funktionen führen. Der Fokus liegt auf der rechnerischen Herleitung der Eigenschaften.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur Seminararbeit: Analyse der dreiparametrigen Funktionenschar fabc(x)
Was ist der Gegenstand dieser Seminararbeit?
Die Seminararbeit untersucht die dreiparametrige Funktionenschar fabc(x) = (ex + ae-x) / (b(ex + e-x) + c) und deren Beziehung zu den hyperbolischen Funktionen. Ein Schwerpunkt liegt auf der Kurvendiskussion dieser Funktionenschar und der Analyse des Einflusses der Parameter a, b und c auf den Funktionsverlauf.
Welche hyperbolischen Funktionen werden behandelt?
Die Arbeit behandelt die drei wichtigsten hyperbolischen Funktionen: Kosinus Hyperbolicus (cosh(x)), Sinus Hyperbolicus (sinh(x)) und Tangens Hyperbolicus (tanh(x)). Es werden deren Definitionen, Eigenschaften und der Zusammenhang zu den trigonometrischen Funktionen erläutert.
Welche Aspekte der Kurvendiskussion werden untersucht?
Die Kurvendiskussion von fabc(x) umfasst die Untersuchung der Definitionsmenge, der Nullstellen, der Grenzwerte an den Rändern der Definitionsmenge, der Symmetrie und des Monotonieverhaltens. Aufgrund von zeitlichen Beschränkungen wurden nicht alle Aspekte der Kurvendiskussion im Detail behandelt.
Wie wird der Zusammenhang zwischen fabc(x) und den hyperbolischen Funktionen hergestellt?
Die Arbeit zeigt, wie spezielle Parameterwerte von a, b und c in der Funktion fabc(x) zu den bekannten hyperbolischen Funktionen führen. Die rechnerische Herleitung dieser Zusammenhänge wird detailliert dargestellt.
Welche Software wurde verwendet?
Zur Erstellung der Graphen wurde das Programm "Mathe-Grafix" verwendet.
Welche Kapitel umfasst die Seminararbeit?
Die Arbeit gliedert sich in folgende Kapitel: I. Einleitung, II. Die Hyperbelfunktionen, III. Kurvendiskussion und IV. Nachwort. Das Inhaltsverzeichnis bietet eine detaillierte Übersicht über die einzelnen Abschnitte.
Welche Einschränkungen gab es bei der Arbeit?
Die Arbeit unterliegt zeitlichen und umfangsbedingten Einschränkungen, die zu einer Fokussierung auf ausgewählte Aspekte der Kurvendiskussion geführt haben.
Wo finde ich eine Zusammenfassung der Kapitel?
Die Arbeit enthält eine Zusammenfassung der einzelnen Kapitel, die einen Überblick über die wichtigsten Inhalte und Ergebnisse jedes Kapitels bietet.
Welche Zielsetzung verfolgt die Arbeit?
Die Zielsetzung der Arbeit ist die umfassende Analyse der dreiparametrigen Funktionenschar fabc(x), ihre Beziehung zu den hyperbolischen Funktionen und die Untersuchung des Einflusses der Parameter auf den Funktionsverlauf mittels Kurvendiskussion.
- Arbeit zitieren
- Jonas Roser (Autor:in), 2015, Einführung in die Hyperbelfunktionen und Diskussion einer dreiparametrigen Funktionenschar, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/429829
