Numerische Untersuchung zum Tragverhalten von dünnwandigen, zylindrischen, zellulären Strukturen unter axialer Belastung

INHALTSVERZEICHNIS

Vorwort

Abbildungsverzeichnis

Bezeichnungen

1 Einleitung
1.1 Themenstellung und Inhalt
1.2 Begriffsdefinitionen
Kritische Last, Verzweigungslast, Beullast .
Gleichgewichtspfad
Verzweigungspunkt
Beulen
Nachbeulverhalten
Imperfektionsempfindlichkeit
1.3 Motivation
1.4 Tragverhalten

2 FEM mit ANSYS
2.1 Verwendung der FEM
2.2 Anwendung von ANSYS
2.3 Numerisches Modell

3 Untersuchung des Kreiszylinders
3.1 Numerisches Modell
3.1.1 Solid-Model
3.1.2 Netzgenerierung
3.1.3 Randbedingungen
3.1.4 Berechnung
3.1.5 Ausgabe
3.2 Ergebnisse der Berechnungen
3.2.1 Variation der Elementgröße .
3.2.2 Variation der Höhe
3.2.3 Variation der Wandstärke
3.2.4 Imperfektionsempfindlichkeit

4 Untersuchung des Sechseckzylinders
4.1 Numerisches Modell
4.1.1 Solid-Model
4.1.2 Netzgenerierung
4.1.3 Randbedingungen
4.2 Ergebnisse der Berechnungen
4.2.1 Variation der Elementgröße
4.2.2 Variation der Höhe
4.2.3 Variation der Wandstärke
4.2.4 Imperfektionsempfindlichkeit

5 Untersuchung von zellulären Sechseckzylinderstrukturen
5.1 Numerisches Modell
5.1.1 Solid-Model und Vernetzung
Version 1
Version 2
5.2 Ergebnisse der Berechnungen
5.2.1 Variation der Elementgröße
5.2.2 Variation der Höhe
5.2.3 Imperfektionsempfindlichkeit
5.2.4 Einfluss der Zellenanzahl auf die kritische Last

6 Vergleich der Untersuchungsergebnisse
6.1 Variation der Elementgröße
6.2 Variation der Höhe
6.3 Variation der Wandstärke
6.4 Imperfektionsempfindlichkeit
6.5 Last pro Gewicht

7 Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

A ANSYS Ein- und Ausgabedateien

A.1 Berechnung der Beullast und der zugehörigen Beulformen eines Kreiszylinders

A.2 Untersuchung der Imperfektionsempfindlichkeit eines Kreiszylinders

A.3 Berechnung der Beullast eines Sechseckzylinders unter Variation der Höhe

A.4 Berechnung der Beullast eines drei-zelligen Sechseckzylinders

A.5 Untersuchung der Imperfektionsempfindlichkeit eines sieben-zelligen Sechseckzylinders

B Skript- und Batch-Dateien

B.1 Berechnung im Batchbetrieb

B.2 Generierung der Eingabedateien

B.3 Auswertung der Ausgabedateien

C Zusätzliche Abbildungen

C.1 Kreiszylinder

C.2 Sechseckzylinder

C.3 Zelluläre Sechseckzylinderstrukturen

Diplomarbeit Alexander Bruns

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

0.1 Bezeichnungen am Zylinder

1.1 Kreiszylinder

1.2 Sechseckzylinder

1.3 mehrzelliger Sechseckzylinder

1.4 Last-Verschiebungs-Diagramm

1.5 Imperfektionsempfindlichkeit

2.1 ANSYS Element SHELL63, Elastisches Schalen-Element

2.2 Randbedingungen und Belastung am oberen Zylinderrand

2.3 Solid-Model und vernetzte Struktur eines imperfekten Kreiszylinders

2.4 Vernetzte Struktur eines perfekten und imperfekten Sechseckzylinders

3.1 Kreis: Beulform

3.2 Kreis: Erzeugende des Solid-Model

3.3 Kreis: Solid-Model als Linien- und Flächenansicht

3.4 Kreis: Vernetzte Struktur

3.5 Kreis: Aufgekrempelte Beulform

3.6 Kreis: Randbedingung RB

3.7 Kreis: Randbedingung RB

3.8 Kreis: Randbedingung RB

3.9 Kreis: Randbedingung RB01 an Knoten

3.10 Kreis: Kritische Beullast nach Elementgröße

3.11 Kreis: Erste Beulform, RB

3.12 Kreis: Absolute kritische Beullast nach Zylinderhöhe

3.13 Kreis: Erste Beulform eines hohen Zylinders, RB

3.14 Kreis: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke

3.15 Kreis: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion

4.1 Sechseck: Unterschiedliche Formen S1 bis S

4.2 Sechseck: Solid-Model als Linien- und Flächenansicht

4.3 Sechseck: Vernetzte Struktur

4.4 Sechseck: Randbedingung RB

4.5 Sechseck: Randbedingung RB

4.6 Sechseck: Randbedingung RB01 an Knoten

4.7 Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße

4.8 Sechseck: Erste Beulform, RB

4.9 Sechseck: Erste Beulform, RB

4.10 Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Höhe

4.11 Sechseck: Erste Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB

4.12 Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke

4.13 Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Imperfektion

4.14 Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S

5.1 Zellulär: neunzehn-zellige Struktur

5.2 Zellulär: Solid-Model als Linien- und Flächenansicht

5.3 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße

5.4 Zellulär: Erste Beulform, 19 Zellen, Version 2, RB

5.5 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Höhe

5.6 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion

5.7 Zellulär: Kritische Last pro Volumen nach Zellenanzahl

6.1 Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße

6.2 Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Höhe

6.3 Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke

6.4 Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Imperfektion

6.5 Vergleich: Last pro Volumen

C.1 Kreis: Zweite Beulform, RB

C.2 Kreis: Dritte Beulform, RB

C.3 Kreis: Vierte Beulform, RB

C.4 Kreis: Fünfte Beulform, RB

C.5 Kreis: Erste Beulform, RB

C.6 Kreis: Zweite Beulform, RB

C.7 Kreis: Dritte Beulform, RB

C.8 Kreis: Vierte Beulform, RB

C.9 Kreis: Fünfte Beulform, RB

C.10 Kreis: Erste Beulform, RB

C.11 Kreis: Zweite Beulform, RB

C.12 Kreis: Dritte Beulform, RB

C.13 Kreis: Vierte Beulform, RB

C.14 Kreis: Fünfte Beulform, RB

C.15 Kreis: Zweite Beulform eines hohen Zylinders, RB

C.16 Kreis: Dritte Beulform eines hohen Zylinders, RB

C.17 Kreis: Vierte Beulform eines hohen Zylinders, RB

C.18 Kreis: Fünfte Beulform eines hohen Zylinders, RB

C.19 Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße

C.20 Sechseck: Zweite Beulform, RB

C.21 Sechseck: Dritte Beulform, RB

C.22 Sechseck: Vierte Beulform, RB

C.23 Sechseck: Fünfte Beulform, RB

C.24 Sechseck: Sechste Beulform, RB

C.25 Sechseck: Siebte Beulform, RB

C.26 Sechseck: Achte Beulform, RB

C.27 Sechseck: Neunte Beulform, RB

C.28 Sechseck: Zweite Beulform, RB

C.29 Sechseck: Dritte Beulform, RB

C.30 Sechseck: Vierte Beulform, RB

C.31 Sechseck: Fünfte Beulform, RB

C.32 Sechseck: Sechste Beulform, RB

C.33 Sechseck: Siebte Beulform, RB

C.34 Sechseck: Achte Beulform, RB

C.35 Sechseck: Neunte Beulform, RB

C.36 Sechseck: Zweite Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB

C.37 Sechseck: Dritte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB

C.38 Sechseck: Vierte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB

C.39 Sechseck: Fünfte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB

C.40 Sechseck: Erste Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB

C.41 Sechseck: Zweite Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB

C.42 Sechseck: Dritte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB

C.43 Sechseck: Vierte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB

C.44 Sechseck: Fünfte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB

C.45 Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S

C.46 Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S

C.47 Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S

C.48 Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S

C.49 Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB01, Ansicht

C.50 Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB01, Ansicht

C.51 Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB05, Ansicht

C.52 Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB05, Ansicht

C.53 Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB01, Ansicht

C.54 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S2, RB01, Ansicht

C.55 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S2, RB05, Ansicht

C.56 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S2, RB05, Ansicht

C.57 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB01, Ansicht

C.58 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB01, Ansicht

C.59 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB05, Ansicht

C.60 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB05, Ansicht

C.61 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB01, Ansicht

C.62 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB01, Ansicht

C.63 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB05, Ansicht

C.64 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB05, Ansicht

C.65 Zellulär: Kritische Last pro Volumen nach Zellenanzahl

C.66 Zellulär: Erste Beulform, 1 Zelle, Version 2, RB

C.67 Zellulär: Erste Beulform, 2 Zellen, Version 2, RB

C.68 Zellulär: Erste Beulform, 3 Zellen, Version 2, RB

C.69 Zellulär: Erste Beulform, 4 Zellen, Version 2, RB

C.70 Zellulär: Erste Beulform, 7 Zellen, Version 2, RB

C.71 Zellulär: Erste Beulform, 19 Zellen, Version 2, RB

C.72 Zellulär: Erste Beulform, 1 Zelle, Version 2, RB

C.73 Zellulär: Erste Beulform, 2 Zellen, Version 2, RB

C.74 Zellulär: Erste Beulform, 3 Zellen, Version 2, RB

C.75 Zellulär: Erste Beulform, 4 Zellen, Version 2, RB

C.76 Zellulär: Erste Beulform, 7 Zellen, Version 2, RB

C.77 Zellulär: Erste Beulform, 19 Zellen, Version 2, RB

C.78 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße, Form S

C.79 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße, Form S

C.80 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße, Form S

C.81 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße,Form S

C.82 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, eine Zelle

C.83 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, zwei Zellen

C.84 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, drei Zellen

C.85 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, vier Zellen

C.86 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, sieben Zellen

C.87 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, neunzehn Zellen

C.88 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, eine Zelle

C.89 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, zwei Zellen

C.90 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, drei Zellen

C.91 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, vier Zellen

C.92 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, sieben Zellen . . . 154 C.93 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, neunzehn Zellen

C.94 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Höhe, Form S1, RB

C.95 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Höhe, Form S1, RB

Vorwort

Die vorliegende Arbeit basiert auf den Theorien zum Tragverhalten von dünnwandigen Schalen und auf numerischen Untersuchungen mit ANSYS. Sie stellt die Abschlussarbeit meines Studiums des Bauingenieurwesens an der Universität Dortmund, Studienrichtung B2 Konstruktiver Ingenieurbau, dar.

Den Berechnungen stand die Einarbeitung in die Nichtlinearität des Tragverhaltens von dünnwandigen Strukturen und die Beschäftigung mit FEM-Lösungswegen für nichtlineare Probleme voran. In diese Arbeit sind neben der Literaturstudie insgesamt 6.050.631 Sekunden¹ ANSYS-Berechnungszeit in 32.562 Berechnungen geflossen. Dabei hat ANSYS eine Datenmenge von über einem Terabyte produziert, wovon über 23 Gigabyte für die Auswertung der Berechnungen benötigt wurden.

Ich möchte mich für die Betreuung und die Unterstützung durch den Lehrstuhl Baumechanik-Statik an der Universität Dortmund bedanken. Herr Prof. Obrecht vertraute mir das Thema dieser Arbeit an, stellte mir die ANSYS-Lizenzen des Lehrstuhls zur Verfügung und nahm sich regelmäßig Zeit für meine Fragen. Auch bei Svenja Lange und Christian Marusczyk, wissenschaftliche Angestellte am Lehrstuhl, möchte ich mich für die Hilfestellung in ANSYS bedanken. Weiterhin danke ich Markus Behlau und Irmgard Mühlenkord für die spontane Hilfestellung bei Problemen mit dem Lizenz-Server.

Auch gilt mein Dank meinem Arbeitgeber Sports & Bytes GmbH, ganz speziell dem technischen Leiter Armin Matthaei. Er ermöglichte mir die Nutzung der Hardware des neuen Datenbank-Clusters² für meine Berechnungen mit ANSYS, die gleichzeitig einen Burn-In- und Dauer-Last-Test darstellten.

Zuletzt danke ich Karl-Richard Heering, Ingo Heinsch, Verena Nopto, Julia Heinrich, meiner Freundin Birgit Krieger und meinem Bruder Alfred Bergkemper. Sie haben dazu beigetragen, die Orthographiefehler in dieser Arbeit zu verbessern, sie auch für Leser, denen die Materie fremd ist, verständlich zu machen und sie in einem hochwertigen farbigen Druck zu Papier zu bringen.

Bezeichnungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 0.1: Bezeichnungen am Zylinder³

1 Einleitung

1.1 Themenstellung und Inhalt

Das Thema dieser Diplomarbeit lautet: „Numerische Untersuchung zum Tragverhalten von dünnwandigen, zy- lindrischen, zellulären Strukturen unter axialer Belastung“. Es soll erforscht werden, wie sich das Tragverhalten beim Wechsel von einzelligen zu mehrzelligen Strukturen ändert und ob eine Steigerung der Last im Vergleich zu einzelnen Zylindern auftritt. Zuerst werden einzelne Kreiszylinder (Kapitel 3) und Sechseckzylinder (Ka- pitel 4) auf das Verhalten bei Belastung untersucht. Das Verhalten von mehrzelligen Zylinderstrukturen wird anhand von Sechseckzylindern in Anordnungen von zwei, drei, vier, sieben und 19 Zellen untersucht (Kapi- tel 5). Ein Vergleich der Ergebnisse der Kreis- und Sechseckzylinder und der mehrzelligen Zylinder wird in Kapitel 6 unternommen. Die Schlussfolgerungen aus den Ergebnissen dieser Untersuchungen sind in Kapi- tel 7 zusammengefasst. Daran anschließend sind in Anhang A bis Anhang C die Ein- und Ausgabedateien der ANSYS-Berechnung angegeben, die Skripte, die bei der Berechnung Verwendung fanden, und die die folgenden Kapitel ergänzenden Abbildungen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.1: Kreiszylinder Abb. 1.2: Sechseckzylinder

Abb. 1.3: mehrz. Sechseckzylinder

1.2 Begriffsdefinitionen

Kritische Last, Verzweigungslast, Beullast

Wird die Last auf eine zylindrische Struktur kontinuierlich gesteigert, so gibt es zu jeder Last einen eindeutigen Gleichgewichtszustand. Wird eine bestimmte Last überschritten, so ist der Gleichgewichtszustand ab diesem Punkt nicht mehr eindeutig. Die Struktur beult aus und zweigt auf einen anderen Gleichgewichtspfad ab oder nimmt evtl. keine weitere Last mehr auf.

Gleichgewichtspfad

Trägt man die Last P zusammen mit der zugehörigen Verformung δ in ein Last-Verschiebungs-Diagramm ein, so bewegen sich die zugehörigen Punkte auf einer Kurve. Da zu jedem Punkt ein Gleichgewichtszustand gehört, spricht man von einem Gleichgewichtspfad.

Verzweigungspunkt

Das ist der Punkt in einem Last-Verschiebungs-Diagramm, an dem die Verzweigungslast erreicht ist. Der Gleichgewichtspfad hat an dieser Stelle einen Knick, da der Gleichgewichtszustand nicht mehr eindeutig ist und in einen anderen übergeht.

Beulen

Mit Beulen ist das Verhalten einer zylindrischen Struktur unter der Belastung mit der kritischen Last gemeint. Die Struktur ändert ihre Ausgangskonfiguration und wird nicht nur zusammengestaucht, sondern ändert die Form auch senkrecht zur Belastungsrichtung unter der kritischen Last.

Nachbeulverhalten

Erreicht die Belastung die kritische Last, so gibt es für das Verhalten der Struktur jenseits des Verzweigungspunktes zwei oder mehr Möglichkeiten. Ist nach dem Beulen eine weitere Belastung möglich, dann steigt der Gleichgewichtspfad nach dem Verzweigungspunkt an und man spricht von einem stabilen Nachbeulverhalten. Obwohl die Struktur sich durch das Ausbeulen verformt hat, ist eine weitere Aufnahme von Last möglich. Bricht die Struktur bei der kritischen Last zusammen, fällt der Gleichgewichtspfad nach dem Verzweigungspunkt ab. Es handelt sich dann um ein instabiles Nachbeulverhalten.

Imperfektionsempfindlichkeit

Bei einer zylindrischen Struktur spricht man von Imperfektionsempfindlichkeit, wenn kleine oder große Vorverformungen senkrecht zur Belastungsachse signifikante Änderungen der kritischen Last hervorrufen und diese sich bei zunehmender Imperfektion verringert. Ändert sich die Last auch bei einer verformten Struktur nicht oder steigt die Last bei zunehmender Imperfektion sogar, so sagt man, dass die Struktur in dieser Form unempfindlich gegenüber Imperfektionen ist.

1.3 Motivation

Die Analyse des Tragverhaltens von dünnwandigen Strukturen setzt sich zum Ziel, Formen zu finden, die im Vergleich zu anderen gleichen Gewichts bessere Eigenschaften besitzen. Dies bedeutet nicht nur eine große aufzunehmende Last, sondern auch eine geringe Empfindlichkeit gegenüber Imperfektionen oder anderen Ein- flüssen, die die Tragwirkung beeinträchtigen können. Dabei sind die Strukturen und Formen interessant, die mit möglichst wenig Gewicht eine sehr hohe Tragfähigkeit erreichen und somit das Gewicht optimal in Trag- wirkung umsetzen.

Diesem Ziel widmet sich die Forschung zum Thema „Ultraleichtbau“, welche nicht nur in den klassischen Disziplinen wie z. B. dem Flugzeugbau auf großes Interesse stößt. Auch im Bausektor werden zunehmend Materialien und Strukturen benötigt, die leichtere Tragwerke ermöglichen, ohne auf große Spannweiten oder große aufnehmbare Lasten verzichten zu müssen. Dabei gibt es zum einen den Weg, über das Material Gewicht einzusparen, zum anderen über die Formgebung das Material besser auszunutzen.

Die Frage, ob sich die Trageigenschaften signifikant ändern, wenn zylindrische Strukturen zellulär ange- ordnet werden und sich gegenseitig beeinflussen, wird in dieser Arbeit untersucht. Anhand von mehrzelligen Sechseckzylindern werden die Eigenschaften einer so entstandenen Bienenwabenstruktur mit den einzelligen Zylindern verglichen.

1.4 Tragverhalten

Das Tragverhalten von mechanisch beanspruchten Strukturen wird zum einen durch das verwendete Material beeinflusst. Zum anderen bestimmt auch das System, also die geometrische Anordnung des Materials, das Versagen der Struktur.

Ein sehr kurzes I-Profil aus Stahl zum Beispiel, das durch eine axiale Kraft zusammengedrückt wird, versagt wegen der Überschreitung der zulässigen Spannungen im Stahl. Es liegt ein Materialversagen vor. Mit zuneh- mender Länge des Profils bestimmen Erscheinungen wie Knicken oder Biege-Drill-Knicken das Versagen. Damit liegt ein Systemversagen vor. Dabei liegt die kritische Last, bei der der Stab ausknickt, unterhalb derer, bei der das Material versagen würde. Ist ein Stab genügend lang, so bestimmt sein System die Last, bei der er versagt. Die kritische Last dieser sehr einfachen geometrischen Form kann beeinflusst werden über die Randbe- dingungen, also die Lagerungen an beiden Enden. Man spricht dann von einem Euler-Stab⁴, dessen analytische Lösung für die kritische Last bei allen Randbedingungen bestimmt werden kann und bekannt ist. Wird bei dem Stab die kritische Last überschritten, so bricht das System nicht sofort zusammen. Der Stab knickt oder beult aus und eine weitere Laststeigerung ist möglich. Man spricht von einem stabilen Nachbeulverhalten.

Ein ähnliches Verhalten weisen Schalenkonstruktionen auf. Je dünner eine Schale ist, desto mehr bestimmt die Anordnung des Materials die Tragfähigkeit. Zusätzlich spielen die Randbedingungen (Lagerung, freie Rän- der, Verstärkungen an den Rändern) und Krümmungen eine große Rolle, denn sie bestimmen die Verteilung der Kräfte innerhalb der Struktur. Auch Schalen besitzen kritische Lasten, bei denen sie ein Beulverhalten zeigen.

Dieses Beulen von dünnwandigen Schalen-Strukturen ist ein nichtlineares strukturmechanisches Problem. Eine einfache analytische Lösung wie beim Euler-Stab ist bei diesen Formen allgemein nicht möglich. Nur durch sehr einschneidende Vereinfachungen und Annahmen können für die Zylinderschalen mit kreisrundem Querschnitt überhaupt analytische Aussagen über das Tragverhalten getroffen werden. Dabei muss teilweise ein lineares Verhalten angenommen werden, so dass diese Lösungen das exakte Verhalten nicht widerspiegeln. Die bekannte hohe Tragfähigkeit von Schalenkonstruktionen war aber schon immer von großem Interesse und wollte erforscht werden. Aus diesem Grunde wurden im letzten Jahrhundert zahlreiche praktische Versuche⁵ durchgeführt und dadurch das Tragverhalten auf sehr kostspielige Weise untersucht.

Erst durch eine numerische Behandlung des Problems in Form von Finite-Element-Methoden⁶ können genauere Aussagen über das Tragverhalten getroffen und viele Varianten bei einer Untersuchung durchgerechnet werden. Mit der Verfügbarkeit von schnellen Rechnern können diese Strukturen so detailliert analysiert werden, dass das Verhalten von ähnlichen realen Versuchen simuliert werden kann. Dabei ist der Einsatz von nichtlinearen Finite-Element-Methoden⁷ nötig, um Beulanalysen rechnergestützt durchzuführen.

Die dünnwandigen Zylinderschalen, die in dieser Arbeit untersucht werden, haben genau wie der Stab eine kritische Last, bei der die Struktur anfängt zu beulen. Die Dünnwandigkeit des Systems bestimmt das Verhal- ten der Struktur bei der Aufnahme von axialen Lasten. Bei den Theorien zum Tragverhalten von kreisrunden Zylinderschalen, die sehr detailliert von Brush und Almroth⁸ dargelegt werden, wird von unendlich langen Schalen ausgegangen. Die kritische Last zeigt keine Abhängigkeit von der Länge der Schale, außer dass bei sehr kurzen Schalen der Einfluss des Systems seinen Einfluss gegenüber dem des Materials verliert. Eine nu- merische Behandlung solcher Zylinderschalen kann nur an endlich langen Strukturen durchgeführt werden. Durch die richtige Wahl der Randbedingungen am Anfang und am Ende der Schale kann jedoch das aus den analytischen Lösungen bekannte Verhalten bestätigt werden. Es können Lasten ermittelt werden, bei denen der Gleichgewichtszustand nicht mehr eindeutig ist und es können die zugehörigen Beulformen dargestellt werden.

Nach dem Verzweigungspunkt, an dem das System den primären Gleichgewichtspfad verlässt, zeigen Kreis- zylinder und Sechseckzylinder unterschiedliches Verhalten. Vergleichbar mit dem Stab kann der Sechseckzy- linder nach der Beullast noch weiter belastet werden. Er hat also ebenfalls ein stabiles Nachbeulverhalten. Der Kreiszylinder dagegen hat ein instabiles Nachbeulverhalten. Er bricht unter der Beullast zusammen und zeigt deutliche Deformationen. Das unterschiedliche Verhalten veranschaulichen Abb. 1.4(a) und Abb. 1.4(b)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.4: Last-Verschiebungs-Diagramm

Die Zylinderstrukturen weisen noch ein weiteres Verhalten auf: Sie sind teilweise anfällig gegenüber Vorverformungen. Dieses als Imperfektionsempfindlichkeit bezeichnete Verhalten steht in engem Zusammenhang mit dem Nachbeulverhalten. Der Kreiszylinder, der ein instabiles Nachbeulverhalten aufweist, ist sehr anfällig gegenüber Imperfektionen. Erreicht die perfekte oder imperfekte Struktur die Beullast, so ist keine Laststeigerung mehr möglich und die Struktur erleidet große Verformungen. Der Sechseckzylinder, der ein stabiles Nachbeulverhalten aufweist, ist nicht anfällig gegenüber Imperfektionen und ermöglicht der imperfekten Form teilweise eine größere Last als der perfekten Ausgangsform.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.5: Imperfektionsempfindlichkeit

Für eine detailliertere Beschreibung des hier dargelegten Tragverhaltens wird auf die Ausführungen von Brush und Almroth unter[1] und von Koiter unter[2] verwiesen.

2 FEM mit ANSYS

An dieser Stelle wird auf die Anwendung der Finite-Element-Methoden, die bei dieser Untersuchung Verwen- dung fanden, eingegangen. Die Handhabung von ANSYS und die dabei verwendeten Funktionen und Elemente werden erläutert.

2.1 Verwendung der FEM

Eine numerische Untersuchung, die das Tragverhalten von mechanisch beanspruchten Strukturen analysiert, basiert zur heutigen Zeit auf den Finite-Element-Methoden⁹. Dabei wird das mechanische Problem, das durch Differentialgleichungen höherer Ordnung beschrieben ist, nicht durch das analytisch exakte Lösen der DGL beschrieben — was meistens nicht möglich ist, da die analytische Lösung nicht existiert — sondern die Lösung wird numerisch angenähert. Die Struktur wird in finite, also endliche, Elemente zerlegt, was auch als Ver- netzung bezeichnet wird. An den Knotenpunkten dieses Netzes werden durch die Finite-Element-Methoden Näherungen für die Lösung der DGLs berechnet. Hierbei werden die Gleichgewichtsbedingungen, die durch die DGLs ausgedrückt werden, durch die Variationsmethoden¹⁰ in eine Matrizen-Schreibweise umformuliert. Diese bietet die Möglichkeit, durch numerische Algorithmen näherungsweise im Rechner gelöst zu werden.

Die einzelnen Knoten, die das Netz über die Struktur bildet, werden durch Randbedingungen so definiert, dass sie das zu lösende Problem möglichst genau wiedergeben. Diese Randbedingungen sind Kräfte, Lagerun- gen oder auch Einschränkungen von Verschiebungen. Die Elemente des Netzes besitzen an ihren Knoten die nötigen Freiheitsgrade, die die für die Lösung des Problems nötigen Kräfte oder Verschiebungen repräsentieren. Eine Vereinfachung und Idealisierung des Problems ist auch bei den heute zur Verfügung stehenden Rechen- kapazitäten nötig, da dadurch zum einen Rechenzeit gespart wird und zum anderen nur die wirklich relevanten Ergebnisse berechnet werden.

Die Vorgehensweise bei dieser Untersuchung sieht wie folgt aus:

1. Erstellen der Geometrie des Zylinders.
2. Vernetzen der Geometrie mit Elementen, die als Freiheitsgrade Verschiebungen und Verdrehungen zu- lassen.
3. Einschränkung der Ränder des Zylinders auf die Randbedingungen (Verschiebungen und Lagerungen).
4. Belastung des Zylinders mit Einzellasten auf jedem Knoten.
5. Statische Berechnung unter einer Einheitslast von eins.
6. Berechnung der Beullast und von zugehörigen Beulformen als Vielfaches der Einheitslast.
7. Ausgabe der entsprechenden Beulformen.

2.2. ANWENDUNG VON ANSYS

Die Berechnung der kritischen Beullast stellt mathematisch gesehen das Finden der Kraft dar, bei der die Determinante der Steifigkeitsmatrix gleich null wird (DetK = 0). Aufgrund der geometrischen Nichtlineari- tät beim Beulen und der Nichtlinearität des Gleichgewichtspfads im Last-Verschiebungs-Diagramm kann die Beullast nicht direkt linear bestimmt werden. Mit dem Newton-Raphson-Verfahren¹¹ werden in definierten Iterationsschritten die zu der entsprechenden Last gehörenden Verschiebungen und Spannungen iterativ be- rechnet. Das Iterationsverfahren nach Lanczos¹² wird dabei benutzt, um die Eigenwerte der Steifigkeitsmatrix und deren Eigenformen zu bestimmen.

Das Software-Paket ANSYS bietet zahlreiche Programme für die Simulation von Beanspruchungen, die auf frei wählbare Strukturen und Geometrien wirken können. Dazu gehören Möglichkeiten für Untersuchungen von mechanischen, dynamischen, thermischen, elektrischen, magnetischen, akustischen und elektromagnetischen Beanspruchungen. Für diese Untersuchung wurden die Möglichkeiten für nichtlineare statische Berechnungen und Beuluntersuchungen mit ANSYS Multiphysics benutzt.

Die Arbeit mit ANSYS besteht dabei aus drei Teilen: Preprocessing, Solution und Postprocessing¹³. Prepro- cessing ist der erste Teil einer Berechnung, in dem die Geometrie festgelegt und die Vernetzung durchgeführt wird. Hier werden Materialien bestimmt und die Eigenschaften der Elemente, die die Vernetzung bestimmen, werden definiert. Im Solution-Teil können Kräfte auf Knoten aufgebracht und Randbedingungen definiert wer- den. Damit wird das zu lösende Gleichungssystem beeinflusst, dessen Berechnung und Lösung am Ende dieses Teils steht. Die Auswertung der Ergebnisse geschieht im Postprocessing-Teil. Farbige Darstellungen der Span- nungsverläufe über die Struktur und die zu den berechneten kritischen Lasten gehörenden Beulformen werden hier ausgegeben.

Die Berechnungen mit ANSYS können in einem grafischen Programm-Modus vorbereitet und ausgewertet oder im Batch-Modus ohne grafische Ausgabe durchgeführt werden. Für den letzteren Fall stellt ANSYS ei- ne mächtige eigene Programmiersprache zur Verfügung, in der alle Schritte, die grafisch möglich sind, durch Befehle und zugehörige Parameter realisiert sind. Die Untersuchung mit ANSYS besteht somit i. A. aus der Ent- wicklung der Eingabedateien in der ANSYS-Programmiersprache. Alle Schritte in ANSYS, die im grafischen Modus getätigt werden, können in einer History-Liste nachgesehen werden und helfen bei der Erstellung der Skripte. Für die Berechnung wird ANSYS im Batch-Modus gestartet, bei dem die Berechnungsschritte durch eine Eingabe-Datei eingelesen und die berechneten Werte in der Ausgabedatei und in von ANSYS generierten Bildern ausgegeben werden. Dieses Vorgehen ist detailliert in Anhang B beschrieben.

2.3 Numerisches Modell

Bei der Untersuchung der dünnwandigen Strukturen in dieser Arbeit wurden die Zylinder als Regelformen mit definiertem Radius, Wandstärke und Höhe eingegeben. Dabei wurden die Strukturen durch die Möglichkeiten der ANSYS-Programmiersprache erzeugt und aus Regelformen generiert. Dieses als Solid-Modeling¹⁴ be- zeichnete Verfahren hat den Vorteil, dass die Vernetzung des Modells mit den definierten Elementen mit der ANSYS eigenen Intelligenz durchgeführt wird. Somit können Berechnungsfehler durch eine schlecht gewählte Vernetzung ausgeschlossen werden. Eine Programmierung der Knotenpunkte des Netzes selber wäre zwar auch möglich gewesen, liefert aber die gleichen Ergebnisse bei größerem Programmieraufwand.

Bei der Generierung des Netzes wurden ebene Vier-Knoten-Elemente verwendet. Diesen kann als Parameter die Wandstärke übergeben werden. Eine Vernetzung mit Volumenelementen ist bei dünnwandigen Strukturen nicht nötig, da sie zu unnötiger Rechenzeit bei gleichen Ergebnissen führen.

Aus der von ANSYS bereitgestellten Bibliothek wurde das Element SHELL63 gewählt. Es besitzt vier Kno- ten und hat die Möglichkeit, Membran- und Biege-Schnittkräfte zu berechnen. Da das Beulverhalten von Zylinderstrukturen ohne Biegeschnittgrößen nicht stattfinden kann, ist diese Möglichkeit besonders wichtig. Das Element erlaubt die Belastung in Normalenrichtung und in Richtung der Elementebene. An jedem Knoten hat es sechs Freiheitsgrade, so dass drei Verschiebungen und drei Verdrehungen bestimmt werden können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.1: ANSYS Element SHELL63, Elastisches Schalen-Element

Das Koordinatensystem dieses Elementes hat eine leicht andere Notation als das globale Koordinatensystem in ANSYS. Es handelt sich um zwei voneinander getrennte Koordinatensysteme. Dieses muss aber nur bei der Auswertung der Spannungen und Ergebnisse pro Element berücksichtigt werden. Die Knoten des Netzes richten sich nach dem globalen KOS, solange dieses Knoten-KOS nicht gedreht wird. Da sich die Randbedingungen nach dem KOS der Knoten richten, müssen die Knoten vor dem Definieren der Randbedingungen gedreht und angepasst werden. Den Unterschied zeigen Abb. 2.2(a) und Abb. 2.2(b):

(a) nicht gedrehtes Knoten-KOS (b) gedrehtes Knoten-KOS

Abb. 2.2: Randbedingungen und Belastung am oberen Zylinderrand

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Sollen Imperfektionen vor der Berechnung auf die Geometrie aufgegeben werden, so kann dies auf zwei Ar- ten geschehen. Das Solid-Model kann imperfekt generiert werden. Dazu werden die Grundelemente, aus denen die Flächen erzeugt werden, verschoben generiert. Soll die Struktur nach der Vernetzung verändert werden, so reagiert ANSYS darauf allergisch mit Fehlermeldungen. Durch das nachträgliche Verschieben der Knotenko- ordianten bleiben die Elemente nicht mehr eben. Abb. 2.3(a) und Abb. 2.3(b) zeigen das erzeugte Solid-Model und die vernetzte Struktur.

(a) Solid-Model (b) vernetzte Struktur

Abb. 2.3: Solid-Model und vernetzte Struktur eines imperfekten Kreiszylinders

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Es besteht allerdings die Möglichkeit, ein perfektes Modell durchzurechnen, in einer erneuten Berechnung zu laden und die Geometrie durch die zuvor berechnete Beulform zu ersetzen. Dieses Verfahren wird als Updaten der Geometrie bezeichnet. Es entspricht dem bevorzugten Vorgehen beim Untersuchen der Imperfektionsempfindlichkeit. Man geht allgemein davon aus, dass eine Form, die aus der Geometrie der ersten Beulform als imperfekte Form generiert wird, zu Imperfektionsempfindlichkeit neigt. Abb. 2.4(a) und Abb. 2.4(b) zeigen das vernetzte Modell vor und nach dem Updaten der Geometrie.

(a) Perfekte Geometrie (b) Upgedatete Geometrie

Abb. 2.4: Vernetzte Struktur eines perfekten und imperfekten Sechseckzylinders

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3 Untersuchung des Kreiszylinders

Die Untersuchung des Kreiszylinders dient der Verifizierung des verwendeten numerischen Modells und als Grundlage für den Vergleich mit den Sechseckzylindern. Da analytische Lösungsansätze¹⁵ für die Differen- tialgleichungen, die die Gleichgewichtsbedingungen für den Kreiszylinder beschreiben, vorliegen, kann das analytische Ergebnis für die Größe der kritischen bestimmt Beullast mit dem numerischen Ergebnis direkt verglichen werden.

Als Grundlage für diese Untersuchung wird ein Kreiszylinder mit den folgenden Kennwerten gewählt:

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Für dünnwandige Zylinderstrukturen mit kreisrundem Querschnitt ist die kritische Last, bei der der Ver- zweigungspunkt erreicht ist und das Beulen einsetzt, näherungsweise analytisch nach der folgenden Formel zu ermitteln¹⁶:

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Die Höhe des Kreiszylinders kann beliebig gewählt werden, wobei darauf geachtet werden muss, dass der Zylinder nicht sehr klein ist und somit das Systemversagen nicht in den Hintergrund gerückt wird. Um die für den Kreiszylinder bekannte Beulform zu begünstigen, wird die Höhe aus einem Vielfachen der sog. Beullänge¹⁷ bestimmt, die eine Länge der sich ergebenden Beulwellen darstellt. Diese besteht aus der zweifachen halben Wellenlänge, die sich wie folgt bestimmen lässt:

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Sobald die Höhe des Kreiszylinders aus einem Vielfachen dieser Wellenlänge besteht, stellt sich die zugehörige Beulform als „Baumkuchenform“ ein. Abb. 3.1 veranschaulicht dieser Beulform:

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Abb. 3.1: Kreis: Beulform

3.1 Numerisches Modell

Um die kritische Last mit ANSYS numerisch zu berechnen, wird ein Kreiszylinder mit den folgenden, an die analytische Lösung angeglichenen, Kennwerten erzeugt:

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Dann werden Variablen definiert und die das Solid-Model beeinflussenden Größen berechnet. Nach den Formeln für die analytische Beullast und Beullänge werden Höhe und Wanddicke berechnet:

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Alle Werte, die für die Parameterstudien aller Berechnungen dieser Untersuchung verändert werden müssen, sind nur in dieser am Anfang der Eingabedatei zu findenden Stelle zu variieren.

Nach der Festlegung und Berechnung der Eingangsgrößen beginnt der Preprocessing-Teil in ANSYS. Es wird das Element für die Vernetzung festgelegt und die Eigenschaften wie Dicke, E-Modul und Querdehnzahl definiert:

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Beim Erzeugen von ANSYS-Elementen — dazu zählen Linien, Flächen, Volumen, Keypoints, Knoten und Elemente — wird jedem Element eine eindeutige Nummer zugeordnet. Es ist von Vorteil, dieses in Abhängigkeit von schon vorhandenen ANSYS-Elementen zu tun. Dazu werden Variablen definiert, die die vorhandene Anzahl dieser ANSYS-Elemente speichern:

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Nun wird das Solid-Model erstellt. Dieses geschieht durch die folgenden Schritte:

1. Erzeugen einer cosinusförmigen Kurve der Länge der Wellenlänge und der Amplitude der angegeben Anfangsimperfektion.
2. Diese Kurve wird nach der definierten Anzahl der gewünschten Wellen aneinander gehängt, so dass die Außenkante des Zylinders erzeugt wird.
3. Diese Linie wird um die Mittalachse des Kreiszylinders rotiert und somit das Solid-Model erstellt.

Diese Schritte sehen nacheinander so aus:

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Die erzeugte einfache Wellenlänge als Spline zeigt Abb. 3.2(a).

! Die Erzeugenden hochkopieren fuer komplette Vertikale Aussenkontur

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Abb. 3.2: Kreis: Erzeugende des Solid-Model

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Abb. 3.3: Kreis: Solid-Model als Linien- und Flächenansicht

3.1.2 Netzgenerierung

Der Schritt der Netzgenerierung wird in ANSYS als Meshing bezeichnet. Dabei werden die generierten Flächen mit dem definierten Element in der eingestellten Elementgröße vermascht. Anschließend werden die obere und untere Knotenreihe gruppiert und die erzeugten Knoten und Elemente einzelnen Gruppen zugeordnet:

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Anschließend werden noch die Koordinatensysteme der erzeugten Knoten gedreht, damit die Randbedingungen richtig aufgegeben werden können.

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Die vernetzte Struktur am Ende des Preprocessing zeigt Abb. 3.4

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Abb. 3.4: Kreis: Vernetzte Struktur

3.1.3 Randbedingungen

Die Randbedingungen beeinflussen das Verfor- mungsverhalten der Struktur. Ohne die richtige Wahl der Randbedingungen tritt das zu untersuchende Beulverhalten nicht auf. Auf den ersten Blick reicht eine Belastung der oberen Knotenreihe und eine ver- tikale Unverschieblichkeit in der unteren Knotenrei- he. Mit dieser sehr einfachen Randbedingung kann ANSYS keine kritische Last und keine Beulform fin- den. Der Zylinder verdreht sich nur in Umfangs- richtung (Z-Achse) und wird vertikal zusammenge- staucht. Wählt man die Randbedingung mit Unver- schieblichkeit UZ, tritt eine andere Erscheinung auf. Die Struktur krempelt sich an den Zylinderenden auf, wie Abb. 3.5 veranschaulicht.

Um die einfachste Randbedingung, die dem Zu- stand des unendlich langen Sechseckzylinders ent- Abb. 3.5: Kreis: Aufgekrempelte Beulform

spricht, zu definieren, muss zusätzlich noch die Ro- tation um die Z-Achse verhindert werden. Dadurch wird gewährleistet, dass die Struktur an der Stelle der

Krafteinleitung und der vertikalen Auflagerung auch wirklich tangential zur Kraft- bzw. Auflagerrichtung bleibt. Dabei muss beachtet werden, dass die Randbedingungen am oberen und am unteren Rand der Struktur gleich sind, ausgenommen der vertikalen Unverschieblichkeit.

Die einfachste Randbedingung, bei der die gewünschte Beulform auftritt, ist die Randbedingung RB01 wie Abb. 3.6 zeigt.

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Die Randbedingung wird in ANSYS genau wie die Belastung im Solution-Teil angegeben:

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Zusätzlich zu den einzelnen Randbedingungen werden alle Knoten in der oberen Ebene aneinander gekoppelt. Das bedeutet, dass sich die Knoten in dieser Ebene alle gleichförmig vertikal verschieben und somit dem Verhalten der unendlich langen Struktur entsprechen.

Zusätzlich zu der Randbedingung RB01 wurden noch zwei weitere untersucht. Bei Randbedingung RB02 wird zusätzlich die Verdrehung um die X-Achse und bei RB03 zusätzlich die Verdrehung um die Y-Achse verhindert. Diese Randbedingungen zeigen Abb. 3.7 und Abb. 3.8.

Die Randbedingung RB02 wird in ANSYS wie folgt definiert:

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Abb. 3.8: Kreis: Randbedingung RB03

Die Definition der Belastung geschieht im Solution-Teil der Berechnung. Hier wird eine Last der Größe eins auf die Knoten der obersten Ebene gegeben. Die eins-Last wird durch die Anzahl der Knoten dividiert. Da bei der Lösung der Matrix und der Beulberechnung die Beullast als ein Vielfaches der hier definierten Last angegeben wird, erhält man aus der Berechnung auf diesem Wege direkt die absolute Größe der Beullast.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3.9: Kreis: Randbedingung RB01 an Knoten

3.1.4 Berechnung

Nachdem das Netz generiert wurde und Randbedingungen und Lasten definiert sind, werden in zwei Schritten die Beullasten und zugehörigen Beulformen berechnet. Im ersten Schritt wird eine statische Berechnung durchgeführt und die Reaktionen der Struktur unter der eins-Belastung ermittelt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.1.5 Ausgabe

Im letzten Teil der Untersuchung, dem Postprocessing in ANSYS, werden automatisch die Beulformen in drei Ansichten als Grafik exportiert. Dabei wird eine Schleife über die berechnete Anzahl an Beulformen durchlau- fen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2 Ergebnisse der Berechnungen

Das zuvor dargestellte numerische Modell dient zur Untersuchung und Berechnung in Form von diversen Parameterstudien. In einem ersten Schritt wird die Elementgröße variiert und der Einfluss auf die Genauigkeit der Berechnung bestimmt. Daran anschließend werden die Höhe des Zylinders und die Wandstärke variiert und der Einfluss auf die kritische Last bestimmt. Als letzte Untersuchung wird der Einfluss von Imperfektionen vor der Belastung des Kreiszylinders analysiert.

3.2.1 Variation der Elementgröße

Die Elementgröße bestimmt, wie fein und genau das Netz über die Struktur gelegt wird. Diese Untersuchung dient dazu herauszufinden, ab welcher Genauigkeit die Berechnung brauchbare Ergebnisse liefert. Die Ele- mentgröße wurde von 1,00 mm bis 50,00 mm verändert. Dabei war die Berechnung mit dem Wert 1,00 mm nicht möglich, da die maximale Grenze der erlaubten Knoten von 512.000¹⁸ überschritten wurde. Die Kurve in Abb. 3.10(a) steigt stark an. Erst ab einer Elementgröße von 6,00 mm bis 5,00 mm ändert sich die Größe der berechneten kritischen Last nicht mehr merklich. Die Treppen in der Kurve sind durch den Umstand begründet, dass ANSYS bei sehr großen Elementen nicht bei jeder Verfeinerung unbedingt mehr Elemente und Knoten benutzt. Erst ab einer Elementgröße von 20,00 mm ist jede Berechnung unterschiedlich.

In Abb. 3.10(b) ist die Größe der berechneten kritischen Beullast jeweils durch den Wert der bekannten analytischen Lösung dividiert. Bei einer Elementgröße von 5,00 mm erhält man eine Übereinstimmung=4.925.356N

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3.10: Kreis: Kritische Beullast nach Elementgröße

Durch diese große Übereinstimmung kann davon ausgegangen werden, dass das numerische Modell brauchbar für diese Untersuchung ist. Die Übereinstimmung der Kurven der drei aufgegebenen Randbedingungen zeigt darüber hinaus, dass der Kreiszylinder weitestgehend unabhängig gegenüber den Verhältnissen am Rand ist. Dies zeigen auch die Beulformen, die ANSYS zugehörig zu den Beullasten findet. Bei allen drei Randbedingungen ist die erste Beulform gleich der erwarteten „Baumkuchenform“. Die folgenden Beulformen sind dieser sehr ähnlich und liegen mit den zugehörigen Beullasten alle sehr nahe beieinander.

Die Beulformen nach der ersten sind jedoch nur theoretische Formen, da sie zu Beullasten gehören, die größer sind als die erste und kleinste kritische Last. Wegen des instabilen Nachbeulverhaltens des Kreiszylinders können diese Lasten nicht erreicht werden und die zugehörigen Formen können nicht auftreten. Die Struktur bricht beim Erreichen der kritischen Last zusammen.

(a) Front (b) Aufsicht (c) 3D-Ansicht

Abb. 3.11: Kreis: Erste Beulform, RB01

Eine Übersicht über die weiteren vier Beulformen und die jeweils fünf Beulformen zu den Randbedingungen RB02 und RB03 ist in Abb. C.1(a) bis Abb. C.14(c) im Anhang C aufgeführt.

3.2.2 Variation der Höhe

Bei dieser Untersuchung wird der Einfluss der Höhe des Zylinders auf die kritische Last behandelt. Die Höhe wird nicht absolut variiert sondern die Anzahl der Beullängen lx bestimmt. Um eine möglichst genaue Aussage zu erhalten, werden die Zylinder mit einer Elementgröße von 5,00 mm vernetzt. Dadurch ist das Netz auf dem Zylinder bei einer sehr großen Höhe sehr fein und die Knotenanzahl sehr groß. Es werden Zylinder aus 1,00 bis 40,00 ganzen Wellenlängen untersucht, da in diesem Bereich ein sinnvolles Verhältnis aus benötigter Rechenzeit und erhaltener Aussage liegt. Die Berechnung des Kreiszylinders aus 40,00 Wellenlängen dauert allein bereits mehr als 18 Stunden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3.12: Kreis: Absolute kritische Beullast nach Zylinderhöhe

Es zeigt sich, dass die Größe der kritischen Last weitgehend unabhängig von der Länge des Zylinders ist. Dieses wird auch durch die aus der analytischen Behandlung von unendlich langen Kreiszylindern bekannten Aussagen und Ergebnisse untermauert.

Die Beulformen ergeben sich genauso wie beim zuvor untersuchten Kreiszylinder aus nur vier Wellenlängen. Die „Baumkuchenform“ stellt sich in der Wellenlänge der doppelten Beullänge ein und sieht bei einem aus 20 ·lx bestehenden Kreiszylinder wie eine Ziehharmonika aus:

(a) Front (b) Aufsicht (c) 3D-Ansicht

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3.13: Kreis: Erste Beulform eines hohen Zylinders, RB01

Eine Übersicht der weiteren vier Beulformen ist in Abb. C.15(a) bis Abb. C.18(c) im Anhang C aufgeführt.

3.2.3 Variation der Wandstärke

Bei der Variation der Wandstärke wird der gleiche Kreiszylinder wie in Kapitel 3.2.1 gewählt. Durchmesser und Höhe bleiben unverändert, nur das Verhältnis r/t wird variiert. Um eine möglichst genaue Aussage zu erhalten, werden auch hier die Zylinder mit einer Elementgröße von 5,00 mm vernetzt. Das Netz auf dem Zylinder ist bei allen Berechnungen dieser Untersuchung gleich groß, da die Dicke des Zylinders, die durch das r/t-Verhältnis bestimmt wird, nur in der Definition des Elementes berücksichtigt wird. Alle Berechnungen benötigen die gleiche Zeit. Dabei wird das r/t-Verhältnis von 1,00 bis 400,00 variiert. Obwohl der Wert des r/t-Verhältnisses linear gesteigert wird und auch in ANSYS bei jeder Berechnung die Elementanzahl, Knotenanzahl, Randbedingungen und die Größe der Matrix gleich bleiben und die Variation nur eine lineare Veränderung eines Kennwertes des Elementes darstellt, ist das Ergebnis nicht linear:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3.14: Kreis: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke

Je geringer das r/t-Verhältnis wird, je dicker also die Wandstärke ist, desto mehr Last kann der Zylinder aufnehmen. Dabei steigt die kritische Last logarithmisch an.

3.2.4 Imperfektionsempfindlichkeit

Bei den bisherigen Untersuchungen kann das in Kapitel 3.1 vorgestellte Modell angewendet werden. Es werden nur die entsprechenden Werte bei der Durchführung der Parameterstudien variiert. Da das Modell so programmiert ist, dass Imperfektionen aufgegeben werden können, indem das Solid-Model imperfekt generiert wird, reicht das Modell auch für die Untersuchung der Imperfektionsempfindlichkeit. Dies ist aber nur deshalb eine richtige Annahme, da die Beulform bereits bekannt ist.

Sollen auf die Geometrie vor der Berechnung Imperfektionen aufgegeben werden, so kann dieses auf zwei Arten geschehen. Das Solid-Model kann zum einen imperfekt generiert werden. Diese Möglichkeit bietet be- reits das vorhandene numerische Modell. Eine zweite Möglichkeit ist ein perfektes Modell durchzurechnen. Dieses wird dann in einer erneuten Berechnung geladen und die Geometrie wird durch die zuvor berechnete Beulform ersetzt. Hierbei ist die maximale Auslenkung in der Beulform schon auf den Wert eins normiert, so dass der Faktor beim Updaten der Geometrie gleich der zu berechnenden Imperfektion entspricht.

Bei dieser Untersuchung werden Imperfektionen auf den Zylinder aufgegeben und eine erneute Berechnung der kritischen Last durchgeführt. Dabei wird die Imperfektion δ in Abhängigkeit von der Wandstärke t ausge- drückt. Eine Imperfektion von eins bedeutet, dass die Form an einer Stelle maximal in der Größe der Blechdicke ausgelenkt ist.

Der Weg über das Updaten der Geometrie ist vorzuziehen, da meistens die Form der Beulform nicht bekannt ist und von dieser Form unabhängig ist. Die Änderungen an der Eingabedatei von ANSYS werden nun kurz angegeben.

Die Vorgehensweise dabei sieht wie folgt aus:

1. Laden der Ergebnisse der Berechnung der perfekten Form.
2. Berechnen des Faktors für das Geometrie-Update.
3. Updaten der Geometrie.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Danach ist eine imperfekte Geometrie mit den gleichen Randbedingungen und Lasten wie in der vorhergehenden Berechnung vorhanden. Es folgen die bekannten Schritte wie bei der Lösung des Gleichungssystems, Berechnung der Beullast und Beulform sowie Ausgabe der Grafiken.

In Abb. 3.15 ist die kritische Last in Abhängigkeit der Last der perfekten Form aufgetragen. Das Ergebnis dieser Untersuchung liefert für alle drei Randbedingungen die gleiche Aussage. Auch sind die Ergebnisse aus der Berechnung mit imperfektem Solid-Model und aus dem Weg über das Geometrie-Update identisch. Die Kreiszylinderstruktur ist empfindlich gegenüber Imperfektionen. Bereits ab einer Imperfektion in der Größen- ordnung der einfachen Blechdicke beträgt die kritische Last nur noch 20 % der Last der perfekten Struktur:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3.15: Kreis: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion

Die Spitzen in der Kurve können wie folgt begründet und gedeutet werden: Brush und Almroth geben für den Kreiszylinder unter axialer Belastung eine analytische Lösung¹⁹ an, in der der Eigenwert, der die kritische Last repräsentiert, abhängig ist von einem Paar natürlicher Parameter mund n.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Danach ist jeweils der kleinste Eigenwert der Wert der kritischen Last, welcher aus Kombinationen vonmund n gebildet werden kann. In der Kurve, die aus den Berechnungen resultiert, sind die spitzen Berge Punkte, an denen der relevante kleinste Eigenwert sich aus einer anderen Kombination vonmund n ergibt.

4 Untersuchung des Sechseckzylinders

Hier wird untersucht, wie sich eine Zylinderstruktur verhält, die als Grundform eine Sechseckform besitzt. Im Gegensatz zum Kreiszylinder, der eine konstante Krümmung in Umfangsrichtung besitzt, ist ein Sechseckzy- linder eine aus ebenen Scheiben zusammengesetzte Form. Aus den Ausführungen von Brush und Almroth²⁰ ist bekannt, dass eine ebene Struktur signifikant andere Trageigenschaften hat als eine gekrümmte Zylinderstruk- tur.

Untersucht man das Tragverhalten des Sechseckzylinders und vergleicht es mit dem einer einzelnen belas- teten Seite, die ein Sechstel der Belastung bekommt, so kann man die folgende Aussage treffen: Belastet man eine an den vertikalen Rändern frei drehbare aber horizontal unverschiebliche Scheibe, so liegt deren Last un- terhalb der Last der gleichen Scheibe, die an den vertikalen Rändern eingespannt ist. Vergleicht man diese Lasten mit der, die der Sechseckzylinder aufnehmen kann, so liegt jene genau zwischen diesen beiden Werten. Man kann also sagen, dass ein Sechseckzylinder eine Struktur darstellt, die aus aneinander gefügten ebenen Flächentragwerken besteht, die an den Ecken teilweise eingespannt sind. Die Beulform des Sechseckzylinders ist sehr ähnlich derer der einzelnen ebenen Fläche. Dieses unterstreicht die Aussage zusätzlich.

Um die Trageigenschaften mit dem Kreiszylinder aus Kapitel 3 vergleichen zu können, besitzen die hier behandelten Sechseckzylinder das gleiche Gewicht wie der Kreiszylinder. Es werden vier Versionen des Sechs- eckzylinders untersucht, die in Abb. 4.1 dargestellt sind. Diese unterscheiden sich im Radius r und der Wand- stärke t. Form S1 besitzt den gleichen Umfang wie der Kreiszylinder und daher auch die gleiche Wandstärke. Dafür liegen die Eckpunkte auf einem geringfügig größeren Radius. Bei Form S2 stimmt der Radius überein mit dem Kreiszylinder. Das Sechseck ist in den Kreis einbeschrieben und die Wandstärke ist größer als beim Kreiszylinder. Die Form S3 umschreibt im Grundriss den Kreis, so dass die Wandstärke geringer als bei der Form S1 zu wählen ist, um gleiches Gewicht zu erhalten. Die letzte Form S4 ist ein mit dem halben Kreisra- dius erstellter Sechseckzylinder, der mehr als die doppelte Wandstärke des Kreiszylinders besitzt. Sie ist als Vergleich gewählt, um den Einfluss einer sehr großen Wandstärke auf die hier durchgeführten Untersuchungen zu bestimmen.

Hier die anderen Kennwerte des Sechseckzylinders, die bei allen Formen gleich sind:

mit einem Dickenverhältnis aus 4 Wellenlängen mit ergibt sich E-Modul

Querdehnzahl

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4.1: Sechseck: Unterschiedliche Formen S1 bis S4

4.1 Numerisches Modell

Das numerische Modell des Sechseckzylinders unterscheidet sich von dem des Kreiszylinders nur in der Geometrie. Sobald diese als Solid-Model erstellt und das Netz generiert ist, wird wie beim Kreiszylinder das Gleichungssystem auf dem gleichen Weg gelöst und die Beulberechnung anschließend durchgeführt. Nur werden beim Sechseckzylinder andere Randbedingungen untersucht. Die Punkte Berechnung und Ausgabe sind identisch mit dem Vorgehen beim Kreiszylinder und unter Kap. 3.1 nachzulesen.

4.1.1 Solid-Model

Anders als beim Kreis ist ein Sechseckzylinder kein rotationssymmetrisches System sondern eine Regelform aus ebenen Flächen. Die Flächen des Solid-Model werden auf anderem Weg erzeugt. Die Variablen und die das Solid-Model beeinflussenden Größen werden aus den für den Kreiszylinder geltenden Größen definiert und berechnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach der Festlegung und Berechnung der Eingangsgrößen beginnt der Preprocessing-Teil in ANSYS. Es wird das Element für die Vernetzung festgelegt und die Eigenschaften wie Dicke, E-Modul und Querdehnzahl definiert:

/PREP7

! Festlegung der Elemente ET ,1,SHELL63

R,1,Z_SECHSECKWANDDICKE,Z_SECHSECKWANDDICKE,Z_SECHSECKWANDDICKE,Z_SECHSECKWANDDICKE MP,EX ,1,V_Z_EMODUL

MP,NUXY ,1,NUE

Nun wird das Solid-Model erstellt. Dieses geschieht durch die folgenden Schritte:

1. Die Eckpunkte des Sechsecks werden durch Rotation um den Mittelpunkt in 60◦-Winkeln erzeugt.
2. Die Eckpunkte werden durch Linien miteinander verbunden.
3. Im Mittelpunkt wird eine vertikale Linie erzeugt mit der definierten Höhe als Länge.
4. Die Linien des Sechsecks werden an dieser Mittellinie hochgezogen und so die Seitenflächen generiert.

Diese Schritte sehen nacheinander so aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das fertige Solid-Model zeigen Abb. 4.2(a) und Abb. 4.2(b).

(a) als Linienansicht (b) als Flächenansicht

Abb. 4.2: Sechseck: Solid-Model als Linien- und Flächenansicht

Um die einzelnen Elemente des Solid-Models später wieder einfach aufrufen zu können und auszuwählen, werden diese gruppiert:

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4.1.2 Netzgenerierung

Der Schritt der Netzgenerierung wird in ANSYS als Meshing bezeichnet. Dabei werden die generierten Flächen mit dem definierten Element in der eingestellten Elementgröße vermascht. Anschließend werden die obere und untere Knotenreihe gruppiert und die erzeugten Knoten und Elemente einzelnen Gruppen zugeordnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anschließend werden noch die Koordinatensysteme der erzeugten Knoten gedreht, damit die Randbedingungen richtig aufgegeben werden können. Hier kann im Gegensatz zum Kreiszylinder das KOS nicht rotationssymmetrisch angepasst werden, sondern das KOS wird in 60◦-Schritte eingeteilt und alle Knoten innerhalb eines Abschnittes gleich gedreht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die vernetzte Struktur am Ende des Preprocessing zeigt Abb. 4.3

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4.3: Sechseck: Vernetzte Struktur

4.1.3 Randbedingungen

Genau wie beim Kreiszylinder in Kap. 3.1.3 beschrieben, reichen auch beim Sechseckzylinder die einfachsten Randbedingungen nicht aus. Auf den ersten Blick reicht eine Belastung der oberen Knotenreihe und eine vertikale Unverschieblichkeit in der unteren Knotenreihe. Mit dieser sehr einfachen Randbedingung kann ANSYS auch hier keine kritische Last und keine Beulform finden. Der Zylinder verdreht sich zwar nicht, aber außer einer vertikal zusammengestauchten Struktur treten keine Verformungen auf.

[...]

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¹ entspricht 100.843,9 Minuten, 1.680,7 Stunden oder 70 Tagen

² Zwei Server mit jeweils Dual AMD Opteron Prozessor, 4 GB Arbeitsspeicher, 160 GB Serial-ATA-Raid und Gigabit-Ethernet unter Gentoo-Linux 2004.2 (64-Bit, x86_64) mit Kernel 2.6.7

³ Entgegen der üblichen Notation sind die Koordinatenachsen an die in ANSYS übliche Notation angepasst worden

⁴ nach Brush und Almroth siehe 1, Seite 22

⁵ siehe 1 und 2

⁶ siehe Bathe 6

⁷ siehe Wriggers 7

⁸ ebd. siehe 1, Kapitel 5

⁹ siehe Bathe 6

¹⁰ ebd. Seite 132

¹¹ vgl. Bathe 6, Seite 897 ff.

¹² ebd. Seite 1129 ff.

¹³ vgl. ANSYS-Dokumentation 8

¹⁴ ebd., Modeling and Meshing Guide

¹⁵ vgl. Brush und Almroth siehe 1 , Kapitel 5

¹⁶ ebd., Seite 168 (5.52)

¹⁷ vgl. Kollá und Dulácska, siehe 3, Seite 25 Diplomarbeit Alexander Bruns 10

¹⁸ Fehlermeldung: The maximum number of nodes that this version of ANSYS supports ( 512000 ) has been exceeded. Contact your ANSYS support person for more information

¹⁹ vgl. Brush und Almroth siehe 1 , Seite 167, Kapitel 5.5b

²⁰ vgl. Brush und Almroth siehe 1, Kapitel 3